Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики

Пакеты с замком "Extra зиплок" (гриппер), комплект 100 штук (150x200 мм).
Быстрозакрывающиеся пакеты с замком "зиплок" предназначены для упаковки мелких предметов, фотографий, медицинских препаратов и
148 руб
Раздел: Гермоупаковка
Браслет светоотражающий, самофиксирующийся, желтый.
Изготовлены из влагостойкого и грязестойкого материала, сохраняющего свои свойства в любых погодных условиях. Легкость крепления позволяет
66 руб
Раздел: Прочее
Гуашь "Классика", 12 цветов.
Гуашевые краски изготавливаются на основе натуральных компонентов и высококачестсвенных пигментов с добавлением консервантов, не
170 руб
Раздел: 7 и более цветов

Вариант 1 № 1 Три стрелка делают по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятности поражения целей равны соответственно р1 = 0,9, р2 = 0,8, р3 = 0,7. Найти вероятности того, что: а) все три стрелка попадают в цель; б) только один из них попадает в цель; в) хотя бы один стрелок попадает в цель. Обозначим события: А – все 3 стрелка попадают в цель; В – только один стрелок попадает в цель; С – хотя бы один стрелок попадает в цель. Вероятности промахов равны соответственно: q1 = 0,1, q2 = 0,2, q3 = 0,3. а) Р(А) = р1р2р3 = 0,9∙0,8∙0,7 = 0,504. б) Р(В) = p1q2q3 q1p2q3 q1q2p3 = 0,9∙0,2∙0,3 0,1∙0,8∙0,3 0,1∙0,2∙0,7 = 0,092. в) Событие – все три стрелка промахиваются. Тогда Р(С) = 1 – Р() = 1 – 0,1∙0,2∙0,3 = 1 – 0,006 = 0,994. № 11 Вероятность наступления события в каждом из одинаковых независимых испытаний равна 0,02. Найти вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит ровно 5 раз У нас достаточно велику, р малу, λ = p = 150 ∙ 0,02 = 3 &l ; 9, k = 5. Справедливо равенство Пуассона: . Таким образом, № 21 По данному закону распределения дискретной случайной величины Х определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(Х). хі 1 2 3 4 5 рі 0,05 0,18 0,23 0,41 0,13 Последовательно получаем: 5 М(Х) = ∑ хірі = 0,05 2∙0,18 3∙0,23 4∙0,41 5∙0,13 = 3,39. i=1 5 D(X) = ∑ xiІpi – MІ = 0,05 2І∙0,18 3І∙0,23 4І∙0,41 5І∙0,13 – 3,39І = i=1 1,1579. σ(Х) = √D(X) = √1,1579 = 1,076. № 31 Случайная величина Х задана интегральной функцией а) дифференциальную функцию f(x) (плотность вероятности); б) математическое ожидание и дисперсию величины х; в) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу ; г) построить графики функций F(x) и f(x). Последовательно получаем: а) ; в) Р(a &l ; x &l ; b) = F(b) – F(a) Ю P= F(1) – F= – 0 = . Графики функций поданы далее. № 41Определить вероятность того, что нормально распределённая величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (α; &be a;) если известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ. Данные: α = 2; &be a; = 13; а = 10; σ = 4. Используем формулу Р(α &l ; x &l ; &be a;) = Имеем: Р(2 &l ; x &l ; 13) == Ф– Ф(–2). Поскольку функция Лапласа есть нечетная, можем записать: Ф– Ф(–2) = Ф Ф(2) = 0,2734 0,4772 = 0,7506. № 51 По данному статистическому распределению выборки хі 4 5,8 7,6 9,4 11,2 13 14,8 16,6 mі 5 8 12 25 30 20 18 6 Определить: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное среднее квадратическое отклонение. Для решения задачи введём условную переменную , где С – одно из значений хі, как правило, соответствующее наибольшему значению mі , а h – это шаг (у нас h = 1,8). Пусть С = 11,2. Тогда . Заполним таблицу: xi mi xiґ ximi (xiґ)Іmi 4 5 – 4 – 20 80 5,8 8 – 3 – 24 72 7,6 12 – 2 – 24 48 9,4 25 – 1 – 25 25 11,2 30 0 0 0 13 20 1 20 20 14,8 18 2 36 72 16,6 6 3 18 54 ∑ = 124 ∑ = – 19 ∑ = 371 Используя таблицу, найдём ; D(xґ) = ∑(xiґ)Іmi – (xiґ)І = – (– 0,1532)І = 2,9685.

Теперь перейдем к фактическим значениям х и D(x): x = xґh C = – 0,1532∙1,8 11,2 = 10,9242; D(x) = D(xґ)∙hІ = 2,9685∙1,8І = 9,6178; σ(x) = √D(x) = √9,6178 = 3,1013. № 61 По данной корреляционной таблице найти выборочное уравнение регрессии. у х 6 9 12 15 18 21 y 5 4 2 6 15 5 23 28 25 18 44 5 67 35 1 8 4 13 45 4 2 6 x 4 7 42 52 13 2 = 120 Для упрощения расчетов введем условные переменные u = , v = . Составим таблицу: v u – 3 – 2 – 1 0 1 2 v uvuv – 2 4 6 2 4 6 32 – 1 5 2 23 1 28 33 0 18 0 44 0 5 0 67 0 1 1 –1 8 0 4 1 13 3 2 4 2 2 4 6 16 u 4 7 42 52 13 2 = 120 ∑ = 84 Последовательно получаем: ; ; ; ; σuІ = – (u)І = 1,058 – (– 0,425)І = 0,878; σu = √0,878 = 0,937; σvІ = – (v)І = 0,742 – (– 0,125)І = 0,726; σv = √0,726 = 0,8521; По таблице, приведённой выше, получаем ∑ uvuv = 84. Находим выборочный коэффициент корреляции: Далее последовательно находим: x = u∙h1 C1 = – 0,425∙3 15 = 13,725; y = v∙h2 C2 = – 0,125∙10 25 = 23,75; σx = σu∙h1 = 0,937∙3 = 2,811; σy = σv∙h2 = 0,8521∙10 = 8,521. Уравнение регрессии в общем виде: Таким образом, упрощая, окончательно получим искомое уравнение регрессии: Необходимо произвести проверку полученного уравнения регрессии при, по крайней мере, двух значениях х. 1) при х = 12 по таблице имеем по уравнению: ух=12 = 2,457∙12 – 9,968 = 19,516; &epsilo ;1 = 19,762 – 19,516 = 0,246; 2) при х = 18 по таблице имеем по уравнению: ух=18 = 2,457∙18 – 9,968 = 34,258; &epsilo ;2 = 34,258 – 34,231 = 0,027. Отмечаем хорошее совпадение эмпирических и теоретических данных. Вариант 2 № 2 Для сигнализации об аварии установлены 3 независимо работающие устройства. Вероятности их срабатывания равны соответственно р1 = 0,9, р2 = 0,95, р3 = 0,85. Найти вероятности срабатывания при аварии: а) только одного устройства; б только двух устройств; в) всех трёх устройств. Обозначим события: А – срабатывает только одно устройство; В – срабатывают 2 устройства; С – срабатывают все 3 устройства. Вероятности противоположных событий (не срабатывания) соответственно равны q1 = 0,1, q2 = 0,05, q3 = 0,15. Тогда а) Р(А) = p1q2q3 q1p2q3 q1q2p3 = 0,9∙0,05 ∙0,15 0,1∙0,95∙0,15 0,1∙0,05∙0,85 = 0,02525. б) Р(В) = p1p2q3 p1q2p3 q1p2p3 = 0,9∙0,95∙0,15 0,9∙0,05∙0,85 0,1∙0,95∙0,85 = 0,24725. в) Р(С) = р1р2р3 = 0,9∙0,95∙0,85 = 0,72675. № 12 В партии из 1000 изделий имеется 10 дефектных. Найти вероятность того, что из взятых наудачу из этой партии 50 изделий ровно 3 окажутся дефектными. По условию = 50, k = 3. Поскольку р малу, достаточно большое, в то же время р = 0,5 &l ; 9, справедлива формула Пуассона: . Таким образом, № 22 По данному закону распределения дискретной случайной величины Х определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(Х). хі 2 3 4 5 8 рі 0,25 0,15 0,27 0,08 0,25 Последовательно получаем: 5 М(Х) = ∑ хірі = 2∙0,25 3∙0,15 4∙0,27 5∙0,08 8∙0,25 = 4,43.

i=1 5 D(X) = ∑ xiІpi – MІ = 2І∙0,25 3І∙0,15 4І∙0,27 5І∙0,08 8І∙0,25 – 4,43І і=1 = 5,0451. σ(Х) = √D(X) = √5,0451 = 2,246. № 32 Случайная величина Х задана интегральной функцией а) дифференциальную функцию f(x) (плотность вероятности); б) математическое ожидание и дисперсию величины х; в) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу ; г) построить графики функций F(x) и f(x). Последовательно получаем: а) ; в) Р(a &l ; x &l ; b) = F(b) – F(a) Ю P= F(1) – F= Графики функций приводятся далее. № 42 Определить вероятность того, что нормально распределённая величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (α; &be a;) если известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ. Данные: α = 5; &be a; = 14; а = 9; σ = 5. Используя формулу имеем Поскольку функция Лапласа есть нечетная, можем записать: № 52 По данному статистическому распределению выборки хі 7,6 8 8,4 8,8 9,2 9,6 10 10,4 mі 6 8 16 50 30 15 7 5 Определить: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное среднее квадратическое отклонение. Для решения задачи введём условную переменную где С – одно из значений хі , как правило, соответствующее наибольшему значению mі , а h – это шаг (у нас h = 0,4). Пусть С = 8,8. Тогда Заполним таблицу: xi mi xiґ ximi (xiґ)Іmi 7,6 6 – 3 – 18 54 8 8 – 2 – 16 32 8,4 16 – 1 – 16 16 8,8 50 0 0 0 9,2 30 1 30 30 9,6 15 2 30 60 10 7 3 21 63 10,4 5 4 20 80 ∑ = 137 ∑ = 51 ∑ = 335 Используя таблицу, найдём ; D(xґ) = ∑(xiґ)Іmi – (xiґ)І = – 0,3723І = 2,3067. Теперь перейдем к фактическим значениям х и D(x): x = xґh C = 0,3723∙0,4 8,8 = 8,9489; D(x) = D(xґ)∙hІ = 2,3067∙0,4І = 0,3961; σ(x) = √D(x) = √0,3961 = 0,6075. № 62 По данной корреляционной таблице у х 4 8 12 16 20 24 y 10 2 5 7 20 6 8 4 18 30 8 46 10 64 40 5 20 4 29 50 3 14 2 5 22 x 2 19 62 48 6 3 = 140 найти выборочное уравнение регрессии. Для упрощения расчетов введём условные переменные Составим таблицу. v u – 2 – 1 0 1 2 3 v uvuv – 2 2 4 5 2 7 18 – 1 6 1 8 0 4 –1 18 2 0 8 0 46 0 10 0 64 0 1 5 0 20 1 4 2 29 28 2 3 0 14 2 2 4 5 6 22 66 u 2 19 62 48 6 3 = 140 ∑ = 114 Последовательно получаем: ; ; ; ; σuІ = – (u)І = 0,9 – 0,329І = 0,792; σu = √0,792 = 0,89; σvІ = – (v)І = 1,164 – 0,293І = 1,079; σv = √1,079 = 1,0385; По таблице, приведённой выше, получаем ∑ uvuv = 114. Находим выборочный коэффициент корреляции: Далее последовательно находим: x = u∙h1 C1 = 0,329∙4 12 = 13,314; y = v∙h2 C2 =0,293∙10 30 = 32,929; σx = σu∙h1 = 0,89∙4 = 3,56; σy = σv∙h2 = 1,0385∙10 = 10,385. Уравнение регрессии в общем виде: Таким образом, упрощая, окончательно получим искомое уравнение регрессии: Необходимо произвести проверку полученного уравнения регрессии при, по крайней мере, двух значениях х. 1) при х = 12 по таблице имеем по уравнению: ух=12 = 2,266∙12 2,752 = 29,944; &epsilo ;1 = 30,484 – 29,944 = 0,54; 2) при х = 16 по таблице имеем по уравнению: ух=16 = 2,266∙16 2,752 = 39,008; &epsilo ;2 = 39,167 – 39,008 = 0,159.

Отчетливо виден разрыв в десятом веке н.э. Сведения об авторах Носовский Глеб Владимирович 1958 года рождения, кандидат физико-математических наук (МГУ, 1988), специалист в области теории вероятностей, математической статистики, теории случайных процессов, теории оптимизации, стохастических дифференциальных уравнений, компьютерного моделирования стохастических процессов. Работал в институте Космических Исследований (Москва), в Московском станко-инструментальном институте, а также в Японии, в рамках научного сотрудничества между МГУ и университетом Айзу в области компьютерной геометрии. В настоящее время работает старшим научным сотрудником на механико-математическом факультете МГУ, в лаборатории «Компьютерные методы в естественных и гуманитарных науках». Фоменко Анатолий Тимофеевич 1945 года рождения, академик Российской Академии Наук (РАН), действительный член РАЕН (Российской Академии Естественных Наук), действительный член МАН ВШ (Международной Академии Наук Высшей Школы), доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета Московского государственного университета

1. Теория вероятности и математическая статистика. Задачи

2. Лабораторная работа №5 по "Основам теории систем" (Транспортные задачи линейного программирования)

3. Теория вероятности и математическая статистика

4. Применение точечных и интервальных оценок в теории вероятности и математической статистике

5. Теория вероятностей и математическая статистика

6. Теория вероятностей и математическая статистика
7. Теория вероятности и математическая статистика
8. Нестандартные математические задачи в начальной школе

9. Налоговая политика: ее место в теории экономических школ

10. Вот где задача зарыта! Алгоритм постановки задач рекламной кампании

11. Шпаргалки з курсу Теорія і методіка журналістської творчості ГЕК

12. Теория химического строения органических соединений. Электронная природа химических связей. Предпосылки теории строения. Теория химического строения. Изомерия

13. Задачи и примеры их решения по теории вероятности

14. Лабораторная работа №2 по "Основам теории систем" (Решение задач линейного программирования симплекс-методом. Варианты разрешимости задач линейного программирования)

15. Задачи по теории принятия решений

16. Экономическая теория: решение практических задач

Логическая игра "Следопыт, колобок".
Игра предлагает ребенку 48 различных заданий на развитие логики и мышления. Смысл игры заключается в том, что нужно разложить пазлы особым
1104 руб
Раздел: Игры логические
Набор столовых приборов BE-0011S24 "Webber", 24 предмета.
В наборе 24 предмета: - вилка столовая (6 штук), - ложка столовая (6 штук), - ложка чайная (6 штук), - нож столовый (6
957 руб
Раздел: От 19 до 50 предметов
Ремень-кошелек эластичный с двумя отделениями, чёрный (арт. TD 0453).
Если Вы носите одежду без карманов или занимаетесь спортом, Вы, разумеется, сталкивались с необходимостью носить телефон, кошелек, ключи и
355 руб
Раздел: Поясные

17. Теория вероятностей и случайных процессов

18. Шпоры по теории вероятности

19. Примеры задач оптимизации, связанных с фундаментальными понятиями теории связи

20. Плоская задача теории упругости

21. Философские вопросы теории вероятностей

22. Курс лекций по теории вероятностей
23. Теория вероятностей
24. Теория вероятностей

25. Теория вероятности и мат статистика

26. Теория вероятностей: наука о случайном

27. Теория вероятностей

28. Задачи по теории управления

29. Предмет, задачи и методы теории перевода

30. Основные понятия теории вероятностей, позволяющие задать времена поступления заявок и времен их обслуживания. Понятие потока событий. Типы потоков. Примеры

31. Теория Вероятностей

32. Грегор Мендель, горох и теория вероятностей

Набор для резки сыра из 4-х приборов и деревянной доски «Рокфор».
Сыр - продукт, требующий трепетного к себе отношения. Его производство может занимать долгие месяцы, а порой и годы. Однако если сделать
1430 руб
Раздел: Кухня
Магнитная игра "Тангос. Парадокс".
Игры «Тангос» – это компактные головоломки, которые имеют многовековую историю и предназначены для изучения детьми геометрических фигур и
471 руб
Раздел: Игры на магнитах
Набор стикеров "Среда Обитания".
Удивительный набор стикеров познакомит вашего малыша с различными животными, а также со средой их обитания: фермой, африканским оазисом,
479 руб
Раздел: Альбомы, коллекции наклеек

33. Случайные величины и способы их описания. Основные понятия теории вероятности, применяемые при испытаниях РЭСИ

34. Вклад А.Н. Колмогорова в развитие теории вероятностей

35. Основы теории вероятностей

36. Теория вероятностей

37. Теория вероятности

38. Теория вероятности
39. Основы теории вероятности
40. Вычисления по теории вероятностей

41. Теории и задачи, которые разрабатывал Тейлор

42. Плоские задачи теории фильтрации

43. Задачи по семейному праву /условие-вопрос-решение/

44. Решение транспортной задачи методом потенциалов

45. По решению прикладных задач на языке FRED

46. 10 задач с решениями программированием на Паскале

47. Графы. решение практических задач с использованием графов (С++)

48. Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток

Ковш для ванны "Flipper", с лейкой, мятный.
Ковшик для купания и мытья головы Flipper в виде дельфина превратит каждое купание вашего малыша в веселую игру! Мягкий край из
406 руб
Раздел: Ковшики
Настольная игра "Спящие королевы".
Проснитесь и играйте! Королева Роз, Королева Тортов и десять их ближайших подруг заснули, поддавшись сонным чарам и именно вам предстоит
606 руб
Раздел: Карточные игры
Настольная игра "Морской бой для детей" (арт. Ин-1761).
Традиционная настольная игра для всей семьи теперь в новом исполнении! Двум капитанам предстоит сразиться на безбрежной глади океана. Тот,
396 руб
Раздел: Классические игры

49. Метод последовательных уступок (Теория принятия решений)

50. Решение оптимизационной задачи линейного программирования

51. Решение задач линейного программирования

52. Решение задач линейной оптимизации симплекс – методом

53. Решение задач на построение сечений многогранников

54. Графы. решение практических задач с использованием графов (С++)
55. Несколько способов решения одной геометрической задачи
56. Теории обучения в высшей школе

57. Возможности радиолокационного тренажера NMS-90 и его использование для решения задач расхождения судов в условиях ограниченной видимости

58. Решение обратной задачи вихретокового контроля

59. Кембриджская школа экономической теории

60. Теория администрации Анри Файоля; школа поведенческих наук

61. Овладение методикой построения экономико-математических моделей, решение конкретных задач по стратегическому планированию и прогнозированию

62. Современные направления и школы экономической теории

63. Создание программных продуктов для решения задач

64. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики

Дуга с подвесками "Лето".
Дуга с подвесками "Лето" крепится с помощью специальных прищепок к коляске, автокреслу или детской кроватке. Яркие
755 руб
Раздел: Дуги и погремушки для колясок
Пенал школьный, цвет черный.
Пенал школьный без наполнения, два отделение, металлическая "собачка" со шнурком, обработанные внутренние швы, два внутренних
531 руб
Раздел: Без наполнения
Корзина "Плетенка" с крышкой, 35х29х17,5 см (коричневая).
Материал: пластик. Ширина: 29 см. Длина: 35 см. Высота: 17,5 см. Цвет: коричневый.
303 руб
Раздел: Корзины для стеллажей

65. Решение смешанной задачи для уравнения

66. Линейное программирование: постановка задач и графическое решение

67. План-конспект урока Математическое моделирование при решении экологических задач

68. Решение задач по прикладной математике

69. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток

70. Теория игр и принятие решений
71. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики
72. Применение движений к решению задач

73. Обучение решению математических задач с помощью графов

74. Построения коллектива с акцентом на решение задач или на поддержание отношений в нем

75. Пример решения задачи по механике

76. Способ устойчивого решения неустойчивых задач и его алгоритм

77. Психолог о подростках в школе и семье. Теория и практика психодиагностики

78. Влияние использования схем, чертежей, иллюстраций на формирование ЗУН при обучении младших школьников решению задач на движение

79. Обучение общим методам решения задач

80. Развитие логического мышления младших школьников при обучении построению вспомогательных моделей в процессе решения текстовых задач

Настольная игра "Для тебя".
Романтическая игра для влюбленной пары. Игроки получают по конверту с 15 заданиями. Каждое из них — это сюрприз для второй половины — фант
590 руб
Раздел: Игры для взрослых (18+)
Счеты большие "Mapacha".
Благодаря этим красочным счётам малыш очень быстро научится считать! Счёты оснащены 10-ю осями, на каждой из которых расположено по 10
800 руб
Раздел: Счетные наборы, веера
Доска магнитно-маркерная.
Доска напольная в деревянной некрашеной раме, азбука и цифры на магнитах, маркер. Доска двухсторонняя, с одной стороны "белая"
1619 руб
Раздел: Доски магнитно-маркерные

81. Этапы решения мыслительной задачи

82. Развитие профессионального оперативного мышления будущего учителя в ходе решения психолого-педагогических задач

83. От решения задач к механизмам трансляции деятельности

84. Теория принятий решений

85. Нечеткая логика при решении криминологических задач

86. Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки
87. Алгоритм решения обратной задачи вихретокового контроля (ВТК)
88. Электрофизиологические корреляты центральных программ при решении простых моторных задач у лиц с различным профилем асимметрии

89. Решение задач по химии

90. Задачи по экономике с решениями

91. Задачи по экономике с решениями

92. Применение новейших экономико-математических методов для решения задач

93. Решение многокритериальной задачи линейного програмирования

94. Схема школ экономической теории

95. Петербургская школа философии права и задачи современного правоведения

96. Приемы решения научных задач в русловедении

Бейджи, 90х57 мм горизонтальные, с клипсой и булавкой, 50 штук.
•Горизонтальный. •Застежки – клипса и булавка. •Изготовлен из прозрачного пластика. •Размер - 57х90 мм.
383 руб
Раздел: Бейджи, держатели, этикетки
Фоторамка "Poster white".
Фоторамка для фотографий размером: 30х40 см. Может располагаться как вертикально, так и горизонтально, на подставке. Есть настенные
342 руб
Раздел: Размер 30x40
Настольная игра "Матрешкино".
В сказочной деревне Матрешкино сегодня с самого утра переполох! Юные красавицы затеяли хитрую игру: каждая матрешка придумала свое
418 руб
Раздел: Карточные игры

97. Опыт применения сейсморазведки ОГТ для решения инженерно-геологических задач

98. Применение спектральной сейсморазведки для решения задач инженерной геологии

99. Применение политического дискурс-анализа в решении идеологических задач (На примере медиатизации политических текстов)


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.