|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Решение систем линейных алгебраических уравнений |
Мыло металлическое "Ликвидатор". 
Карабин, 6x60 мм. Решение систем линейных алгебраических уравнений Введение Решение систем линейных алгебраических уравнений – одна из основных задач вычислительной линейной алгебры. Хотя задача решения системы линейных уравнений сравнительно редко представляет самостоятельный интерес для приложений, от умения эффективно решать такие системы часто зависит сама возможность математического моделирования самых разнообразных процессов с применением ЭВМ. Значительная часть численных методов решения различных (в особенности – нелинейных) задач включает в себя решение систем линейных уравнений как элементарный шаг соответствующего алгоритма. Одна из трудностей практического решения систем большой размерности связанна с ограниченностью оперативной памяти ЭВМ. Хотя обьем оперативной памяти вновь создаваемых вычислительных машин растет очень быстро, тем не менее, еще быстрее возрастают потребности практики в решении задач все большей размерности. В значительной степени ограничения на размерность решаемых систем можно снять, если использовать для хранения матрицы внешние запоминающие устройства. Однако в этом случае многократно возрастают как затраты машинного времени, так и сложность соответствующих алгоритмов. Поэтому при создании вычислительных алгоритмов линейной алгебры большое внимание уделяют способам компактного размещения элементов матриц в памяти ЭВМ. К счастью, приложения очень часто приводят к матрицам, в которых число ненулевых элементов много меньше общего чила элементов матрицы. Такие матрицы принято называть разреженными. Одним из основных источников разреженных матриц являются математические модели технических устройств, состоящих из большого числа элементов, связи между которыми локальны. Простейшие примеры таких устройств – сложные строительные конструкции и большие электрические цепи. Известны примеры решенных в последние годы задач, где число неизвестных достигало сотен тысяч. Естественно, это было бы невозможно, если бы соответствующие матрицы не являлись разреженными (матрица системы из 100 тыс. уравнений в формате двойной точности заняла бы около 75 Гбайт). 1. Теоретическая часть 1.1. Метод Гаусса Одним из самых распространенных методов решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. Этот метод (который также называют методом последовательного исключения неизвестных) известен в различных вариантах уже более 2000 лет. Вычисления с помощью метода Гаусса заключаются в последовательном исключении неизвестных из системы для преобразования ее к эквивалентной системе с верхней треугольной матрицей. Вычисления значений неизвестных производят на этапе обратного хода. 1.1.1. Схема единственного деления. Рассмотрим сначала простейший вариант метода Гаусса, называемый схемой единственного деления. Прямой ход состоит из - 1 шагов исключения. 1-й шаг. Целью этого шага является исключение неизвестного x1 из уравнений с номерами i = 2, 3, , . Предположим, что коэффициент a11 ¹ 0. Будем называть его главным элементом 1-го шага. Найдем величины qi1 = ai1/a11 (i = 2, 3, , ), называемые множителями 1-го шага. Вычтем последовательно из второго, третьего, , -го уравнений системы первое уравнение, умноженное соответственно на q21, q31, , q 1.
Это позволит обратить в нуль коэффициенты при x1 во всех уравнениях, кроме первого. В результате получим эквивалентную систему a11x1 a12x2 a13x3 a1 x = b1 , a22(1)x2 a23(1)x3 a2 (1)x = b2(1) , a32(1)x2 a33(1)x3 a3 (1)x = b3(1) , . . . . . . . . . . . . . . . a 2(1)x2 a 3(1)x3 a (1)x = b (1) . в которой aij(1) и bij(1) вычисляются по формулам aij(1) = aij − qi1a1j , bi(1) = bi − qi1b1. 2-й шаг. Целью этого шага является ислючение неизвестного x2 из уравнений с номерами i = 3, 4, , . Пусть a22(1) ≠ 0, где a22(1) – коэффициент, называемый главным (или ведущим) элементом 2-го шага. Вычислим множители 2-го шага qi2 = ai2(1) / a22(1) (i = 3, 4, , ) и вычтем последовательно из третьего, четвертого, , -го уравнения системы второе уравнение, умноженное соответственно на q32, q42, , qm2. В результате получим систему a11x1 a12x2 a13x3 a1 x = b1 , a22(1)x2 a23(1)x3 a2 (1) = b2(1) , a33(2)x3 a3 (2)x = b3(2) , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 3(2)x3 a (2)x = b (2) . Здесь коэффициенты aij(2) и bij(2) вычисляются по формулам aij(2) = aij(1) – qi2a2j(1) , bi(2) = bi(1) – qi2b2(1). Аналогично проводятся остальные шаги. Опишем очередной k-й шаг. k-й шаг. В предположении, что главный (ведущий) элемент k-го шага akk(k–1) отличен от нуля, вычислим множители k-го шага qik = aik(k–1) / akk(k–1) (i = k 1, , ) и вычтем последовательно из (k 1)-го, , -го уравнений полученной на предыдущем шаге системы k-e уравнение, умноженное соответственно на qk 1,k, qk 2,k, , q k. После ( - 1)-го шага исключения получим систему уравнений a11x1 a12x2 a13x3 a1 x = b1 , a22(1)x2 a23(1)x3 a2 (1)x = b2(1) , a33(2)x3 a3 (2)x = b3(2) , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a ( –1)x = b ( –1) . матрица A( -1) которой является верхней треугольной. На этом вычисления прямого хода заканчиваются. Обратный ход. Из последнего уравнения системы находим x . Подставляя найденное значение x в предпоследнее уравнение, получим x –1. Осуществляя обратную подстановку, далее последовательно находим x –1, x –2, , x1. Вычисления неизвестных здесь проводятся по формулам x = b ( –1) / a ( –1), xk = (b (k–1) – ak,k 1(k–1)xk 1 – – ak (k–1)x ) / akk(k–1), (k = – 1, , 1). Необходимость выбора главных элементов. Заметим, что вычисление множителей, а также обратная подстановка требуют деления на главные элементы akk(k–1). Поэтому если один из главных элементов оказывыется равным нулю, то схема единственного деления не может быть реализована. Здравый смысл подсказывает, что и в ситуации, когда все главные элементы отличны от нуля, но среди них есть близкие к нулю, возможен неконтролируемый рост погрешности.
1.1.2. Метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу (схема частичного выбора). Описание метода. На k-м шаге прямого хода коэффициенты уравнений системы с номерами i = k 1, , преобразуются по формулам aij(k) = aij(k–1) − qikakj , bi(k) = bi(k–1) − qikbk(k–1) , i = k 1, , . Интуитивно ясно, что во избежание сильного роста коэффициентов системы и связанных с этим ошибок нельзя допускать появления больших множителей qik. В методе Гаусса с выбором главного элементоа по столбцу гарантируется, что qik ≤ 1 для всех k = 1, 2, , – 1 и i = k 1, , . Отличие этого варианта метода Гаусса от схемы единственного деления заключается в том, что на k-м шаге исключения в качестве главного элемента выбирают максимальный по модулю коэффициент aikk при неизвестной xk в уравнениях с номерами i = k 1, , . Затем соответствующее выбранному коэффициенту уравнение с номером ik меняют местами с k-м уравнением системы для того, чтобы главный элемент занял место коэффициента akk(k-1). После этой перестановки исключение неизвестного xk производят, как в схеме единственного деления. 1.1.3. Метод Гаусса с выбором главного элемента по всей матрице (схема полного выбора). В этой схеме допускается нарушение естественного порядка исключения неизвестных. На 1-м шаге мтода среди элементов aij определяют максимальный по модулю элемент ai1j1. Первое уравнение системы и уравнение с номером i1 меняют местами. Далее стандартным образом производят исключение неизвестного xi1 из всех уравнений, кроме первого. На k-м шаге метода среди коэффициентов aij(k–1) при неизвестных в уравнениях системы с номерами i = k, , выбирают максимальный по модулю коэффициент aikjk(k-1). Затем k-е уравнение и уравнение, содержащее найденный коэффициент, меняют местами и исключают неизвестное xjk из уравнений с номерами i = k 1, , . На этапе обратного хода неизвестные вычисляют в следующем порядке: xj , xj –1, , xj1. 1.2. Метод Зейделя 1.2.1. Приведение системы к виду, удобному для итераций. Для того чтобы применить метод Зейделя к решению системы линейных алгебраических уравнений Ax = b с квадратной невырожденной матрицей A, необходимо предварительно преобразовать эту систему к виду x = Bx c. Здесь B – квадратная матрица с элементами bij (i, j = 1, 2, , ), c – вектор-столбец с элементами cij (i = 1, 2, , ). В развернутой форме записи система имеет следующий вид: x1 = b11x1 b12x2 b13x3 b1 x c1 x2 = b21x1 b22x2 b23x3 b2 x c2 . . . . . . . . . . . . . . . . . x = b 1x1 b 2x2 b 3x3 b x c Вообще говоря, операция приведения системы к виду, удобному для итераций, не является простой и требует специальных знаний, а также существенного использования специфики системы. Самый простой способ приведения системы к виду, удобному для итераций, состоит в следующем. Из первого уравнения системы выразим неизвестное x1: x1 = a11–1 (b1 – a12x2 – a13x3 – – a1 x ), из второго уравнения – неизвестное x2: x2 = a21–1 (b2 – a22x2 – a23x3 – – a2 x ), и т. д. В результате получим систему x1 = b12x2 b13x3 b1, –1x –1 b1 x c1 , x2 = b21x1 b23x3 b2, –1x –1 b2 x c2 , x3 = b31x1 b32x2 b3, –1x –1 b3 x c3 , .
В качестве примера читателю предлагается следующее нехитрое рассуждение с более чем сомнительным выводом: 1 яблоко + 4 груши = 5 фруктов; 2 сливы + 3 вишни = 5 фруктов; следовательно, 1 яблоко + 4 груши = 2 сливы + 3 вишни. Не так ли решаются в школе системы линейных алгебраических уравнений? Избыток оценочных символических систем ведет к тому, что человек с их помощью начинает пережевывать весь окружающий его мир, то есть его оценивать и судить, чаще всего совершенно неверно, но главное занимаясь при этом не своим делом. Дар мышления дан человеку для того, чтобы он с его помощью балансировал собственный организм, постепенно приближаясь к исполнению своей миссии, а не оценивал других с тех или иных позиций. "Он ведет себя неправильно," "Я бы на его месте принял во внимание то-то и то-то и поступил так-то"P подобные суждения в отношении третьих лиц, как правило, не только неэтичны, но и ошибочны по существу, так как предполагают очень отчетливое видение своей и чужой кармы, непройденных тупиков развития и опыта, который человек набирает по ходу их преодоления, а такого рода информацией автор сентенции обычно не располагает
1. Численные методы решения систем линейных уравнений
2. Численное решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
3. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и Зейделя
4. Автоматизация решения систем линейных алгебраических уравнений
5. Решение систем линейных алгебраических уравнений (прямые методы)
9. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА
10. Приближённые методы решения алгебраического уравнения
11. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона
12. Методы решения алгебраических уравнений
13. Методы решения систем линейных уравнений
14. Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений
15. Методы решения уравнений линейной регрессии
Горшок эмалированный с крышкой, 1,5 л. 
Кружка "Лучший Папа", с рисунком. 
Кондиционер для белья "Mitsuei", с ароматом белых цветов, 2 л. 18. Методы решения систем линейных неравенств
19. Методы решения уравнений в странах древнего мира
20. Метод решения уравнений Ньютона - Рафсона
21. Методы решения уравнений в странах древнего мира
25. Решение систем дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка
26. Графический метод и симплекс-метод решения задач линейного программирования
27. Предмет, метод и система гражданского процессуального права /Украина/
30. Метод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов
Карандаши цветные "Magic", 12+1 цветов. 
Багетная рама "Melissa" (цвет - коричневый+золотой), 30х40 см. 
Настольная игра "Спрячь крота". 33. Эвристические методы решения творческих задач
34. Кинезиология как Метод решения психологических проблем
35. Решение задач транспортного типа методом потенциалов
37. Модели и методы решения проблемы выбора в условиях неопределенности
41. Классификация методов диагностики. Системы фокусировки СВЧ-энергии
42. Методы решения краевых задач, в том числе "жестких" краевых задач
43. Методы решения логистических задач
44. Эвристические методы решения творческих задач
45. Метод и система в философии Гегеля. Философия Гегеля как классика первой половины XIX столетия
46. Оптимизационные методы решения экономических задач
47. Разработка программы решения системы линейных уравнений
16 разноцветных восковых смываемых, треугольных мелков. 
Подгузники-трусики "Pampers Pants", 6 ( 15+ кг), 44 штуки. 
Кружка с сердцем на дне (для правши или левши). 49. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса
51. Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами
52. Системы линейных уравнений
53. Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модули
57. Аналитические свойства решений системы двух дифференциальных уравнений третьего порядка
58. Решение алгебраического уравнения n-ой степени
59. Система линейных уравнений
60. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера
61. Разработка программного обеспечения решения нелинейных уравнений
62. Системы принятия решений, оптимизация в Excel и базы данных Access
63. Краткие сведения о электронных таблицах. Решение уравнения
64. Программы системы 1С: Предприятие. Администрирование в программах 1С: Предприятие
Кольцедержатель "Дерево с оленем", малый, белый. 
Детский велосипед Jaguar трехколесный (цвет: розовый). 
Горшок дорожный и насадка на унитаз "HandyPotty" (лайм). 66. Решение нелинейного уравнения методом касательных
67. Построение решения задачи Гурса для телеграфного уравнения методом Римана
68. Решение уравнений в целых числах
69. Решение задачи линейного программирования
74. Система уравнений Максвелла в сплошной среде. Граничные условия
75. Реферат по информационным системам управления
77. Системы поддержки и принятия решений
78. Применение графиков в решении уравнений
79. Решение смешанной задачи для уравнения
80. Линейное программирование: постановка задач и графическое решение
Мотоцикл-каталка Pilsan "Mini Moto" (цвет: красный, с музыкой). 
Карандаши цветные BIC "Evolution", 18 цветов. 
Фигурка (копилка) декоративная "Зайчонок/Непоседы" 9x11x22,5 см. 81. Построение приближенного решения нелинейного уравнения методом Ван-дер-Поля
82. Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных
83. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток
84. Решения смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток
85. Численное решение модельного уравнения диссипации, конвекции и кинетики
90. Системы Поддержки Принятия Решений
91. Самостоятельная работа как средство обучения решению уравнений в 5-9 классах
92. Решение задачи методами линейного, целочисленного, нелинейного и динамического программирования.
94. Система уравнений Максвелла в сплошной среде. Граничные условия
Прыгунки "три в одном" (прыгунки - тарзанка - качели). 
Ранец жесткокаркасный для начальной школы "Динозавр", 17 литров, 34х26х16 см. 
Велосипед трехколесный Moby Kids "Comfort. EVA", цвет: оранжевый. 97. Решение многокритериальной задачи линейного программирования
98. Рабочая программа по специальности Система машин в лесном хозяйстве и лесной промышленности
99. Применение Информационной Системы «GeoBox» для решения задач автоматизации строительства скважин
100. Принятие решений в экологической геоинформационной системе на основе нечеткой модели классификации
Совок №5. 
