Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Математические понятия

Карабин, 6x60 мм.
Размеры: 6x60 мм. Материал: металл. Упаковка: блистер.
44 руб
Раздел: Карабины для ошейников и поводков
Пакеты с замком "Extra зиплок" (гриппер), комплект 100 штук (150x200 мм).
Быстрозакрывающиеся пакеты с замком "зиплок" предназначены для упаковки мелких предметов, фотографий, медицинских препаратов и
148 руб
Раздел: Гермоупаковка
Наклейки для поощрения "Смайлики 2".
Набор для поощрения на самоклеящейся бумаге. Формат 95х160 мм.
19 руб
Раздел: Наклейки для оценивания, поощрения

Математические понятия Термин "понятие" обычно применяется для обозначения мысленного образа некоторого класса вещей, процессов, отношений объективной реальности или нашего сознания. Математические понятия отражают в нашем мышлении определенные формы и отношения действительности, абстрагированные от реальных ситуаций. Каждое понятие объединяет в себе класс объектов (вещей, отношений) - объем этого понятия - и характеристическое свойство, присущее всем объектам этого класса, и только им, - содержание этого понятия. Например, понятие "треугольник" соединяет в себе класс .всевозможных треугольников (объем этого понятия) и характеристическое свойство - наличие трех сторон, трех вершин, трех углов (содержание понятия); понятие "уравнение" соединяет в себе класс всевозможных уравнений (объем понятия) и характеристическое свойство - равенство, содержащее одну или несколько переменных (содержание понятия). Содержание понятия раскрывается с помощью определения, объем - с помощью классификации. Посредством определения и классификации отдельные понятия организуются в систему взаимосвязанных понятий. Формирование понятий - сложный психологический процесс, начинающийся с образования простейших форм познания - ощущений - и протекающий часто по следующей схеме: ощущения - восприятие - представление - понятие. Обычно разделяют этот процесс на две ступени: чувственную, состоящую в образовании ощущений, восприятия и представления, и логическую, заключающуюся в переходе от представления к понятию с помощью обобщения и абстрагирования. Чувственная ступень в процессе формирования понятий соответствует первому этапу пути познания вообще, т. е. "живому созерцанию", и поэтому ее осуществление требует широкого применения наглядности. Если ученику никогда не показывали модель куба или предметы, имеющие форму куба, то у него не может образоваться представления, а следовательно, и понятия куба. Процесс формирования понятий будет эффективным, если он ориентирует учащихся на обобщение и абстрагирование существенных признаков (характеристического свойства) формируемого понятия. Рассмотрим процесс формирования понятий на примере понятия куба. Детям (6-7лет) показывают много предметов, отличающихся формой, размерами, окраской, материалом, из которого они сделаны, причем таких, что одни из них имеют форму куба, а другие нет. Дети, после того как им показывают на одно из этих тел и говорят, что это куб, безошибочно отбирают все те тела, которые имеют такую же форму, пренебрегая различиями, касающимися размера, окраски, материала. Здесь выделение из класса предметов подкласса, отождествление тел производится по одному еще недостаточно проанализированному признаку - внешней форме. Дети еще не знают свойств куба, они распознают его только по форме. Дальнейшая работа по формированию понятия куба состоит в анализе этой формы с целью выяснения ее свойств. Учащимся предлагают путем наблюдения найти, что есть общего у всех отобранных тел, имеющих форму куба, чем они отличаются от остальных. Устанавливается, что у каждого куба 8 вершин, 6 граней. Но у некоторых тел, которые мы не отнесли к кубам, тоже 8 вершин и 6 граней.

Оказывается, у куба все грани - квадраты (эта работа обычно проводится после аналогичной работы по выделению класса квадратов из множества плоских фигур). Остается один шаг к образованию понятия куба - переход от представления к понятию путем абстрагирования, т. е. отделения общих свойств от г^рочих, несущественных. Разумеется, на начальном этапе обучения нельзя еще говорить о полном абстрагировании этих свойств, у детей еще не образовывается понятие куба в чистом виде, они еще не определяют куб и противопоставляют его прямоугольному параллелепипеду с различными измерениями. В дальнейшем же, когда будет сконструирована логически упорядоченная система геометрических понятий (в рамках систематического курса геометрии), учащиеся узнают, что куб - это вид прямоугольного параллелепипеда. В этом - диалектика развития понятий. Приведенный пример показывает, что процесс формирования понятий, как правило, длительный процесс, способствующий развитию обобщающей и абстрагирующей деятельности учащихся. Однако формирование математических понятий не всегда протекает по приведенной выше схеме, начинающейся с ощущений. В частности, когда формируемое понятие связано, в той или иной форме, с категорией бесконечности (как, например, понятия прямой, плоскости, плотности множества рациональных чисел, предела и др.), то чувственная ступень играет меньшую роль, так как мы не в состоянии воспринимать бесконечное (ни в какой форме), и наглядность из средства, способствующего формированию понятия, иногда становится тормозящим фактором. Например, бесконечность множества рациональных чисел, лежащих между любыми двумя рациональными числами, не подкрепляется, а, наоборот, "опровергается" конкретным восприятием конечного отрезка, содержащего это множество. Свойство плотности множества рациональных чисел нельзя обнаружить опытным путем, оно не подтверждается наглядными геометрическими представлениями, а устанавливается логически. Этот и другие многочисленные примеры подтверждают выводы наших психологов о том, что восприятие наглядного материала в силу объективных особенностей этого материала может играть не только положительную, но и отрицательную роль. Заключительным этапом формирования понятия, как правило, является его определение. В математике и в обучении математике применяются различные способы определения понятий. Наиболее часто, особенно в обучении геометрии, встречается определение "через ближайший род и видовое отличие". Примером такого определения является следующее: Прямоугольник есть параллелограмм с прямым углом. Как видно, это определение состоит из двух частей: "прямоугольник" - определяемое понятие и "параллелограмм с прямым углом" - определяющее понятие. Связка "есть" (иногда вместо "прямоугольник есть." говорят "прямоугольником называется.") означает здесь, что термин "прямоугольник" (вновь введенный) обозначает то же понятие, что и выражение "параллелограмм с прямым углом", составленное из ранее уже известных терминов ("параллелограмм", "прямой угол"). Анализируя определяющее понятие "параллелограмм с прямым углом", выделяем понятие "параллелограмм" (ближайший род) и свойство "наличие прямого угла" (видовое отличие).

Название "ближайший род" оправдано тем, что не выделено другое понятие, объем которого включается в множество параллелограммов и включает множество прямоугольников. Если бы мы определили прямоугольник как четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и имеется прямой угол, то мы получили бы, как видно, более громоздкое определение именно потому, что понятие "четырехугольник" не является ближайшим родом для прямоугольника (имеется понятие "параллелограмм", объем которого включается в множество четырехугольников и включает множество прямоугольников), и поэтому усложнилось характеристическое свойство (видовое отличие). Общая схема определения "через ближайший род и видовое отличие" может быть записана на языке множеств (классов).: В={х х А и Р(х)} (класс В состоит из объектов х, принадлежащих А - ближайшему роду - и обладающих свойством Р - видовым отличием). В нашем примере В - определяемый класс прямоугольников (или свойство "быть прямоугольником"), А - класс параллелограммов (или свойство "быть параллелограммом"), Р - свойство "наличие прямого угла". Такое определение является явным определением, в котором четко (явно) выделены определяемое и определяющее понятия. Оно позволяет нам заменить при необходимости одно понятие другим. Очень часто такой заменой пользуемся в доказательствах теорем. Однако не все математические понятия могут определяться таким образом. Процесс формально-логического определения, как видно из приведенного выше примера, есть процесс сведения одного понятия к другому, с более широким объемом, второго - к третьему, с еще более широким объемом, и т. д. Процесс сведения не может быть бесконечным. Должны быть некоторые исходные, первоначальные понятия, которые неопределяемы через другие понятия данной теории, так как им не предшествуют никакие другие понятия этой теории. В процессе обучения должны создаваться такие педагогические ситуации, которые помогли бы учащимся открыть характерную особенность системы математических понятий, связанную с дедуктивным построением теории. Для этой цели можно использовать различный конкретный материал. Например, можно построить такую последовательность определений: П1: квадрат - ромб с прямым углом; П2: ромб - параллелограмм с равными смежными сторонами; П3: параллелограмм - четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны; П4: четырехугольник - многоугольник с четырьмя сторонами; П5: многоугольник - фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией; П6: фигура - множество точек. Как видно, этот процесс сведения одних понятий к другим доходит до понятий "множество" и "точка", которые принимаются за первоначальные и именно поэтому не определяются через другие понятия. Итак, первоначальные, исходные понятия не определяются явным образом через другие понятия данной теории. Это, однако, не означает, что они никак не определяются. В аксиомах выражаются основные свойства исходных понятий и отношений между ними, которыми пользуются при развертывании теории на базе этих аксиом, т. е. при доказательстве теорем и определении других (определяемых) понятий.

И это был кризис в основаниях математики. Все серьёзные математики того времени: Анри Пуанкаре, Давид Гильберт, Герман Вейль и другие, были озабочены тем, чтобы как-то преодолеть эти противоречия. И в качестве противоядия, в качестве одного из средств, обеспечивающих беспроблемное развитие математики, явилось создание математической логики, которая позволила впервые дать точные математические определения, а следовательно, и сделать объектом исследования такие понятия, которые в математике использовались, но использовались не как математические понятия, а именно: доказательство и алгоритм. Я не буду про другие говорить, но эти понятия сами по себе весьма важны. В 1900-м году на Международном математическом конгрессе в Париже Давид Гильберт, знаменитый немецкий математик, я его уже называл, выступил со списком проблем, которые, как он считал, в 20-м веке в математике будут одними из самых важных. И нужно сказать, что формулировка этих проблем сыграла очень важную роль для развития математики. В частности, человек, который решил одну из проблем Гильберта, сразу получал всемирную известность так что это был некий критерий

1. Что такое цивилизация? История возникновения данного понятия

2. Общее понятие о развивающем обучении истории, его цели и особенности их реализации

3. Г. Вельфлин. Основные понятия истории искусства

4. Общие понятия в литературоведении

5. Общие понятия об основах резания древесины

6. Общее понятие о способностях и их видах
7. Общее понятие о психике человека, ее структуре и функциях
8. Понятие "физическая готовность" в структуре общей готовности человека к профессиональной деятельности

9. Понятие истории

10. Общие понятия о безработице

11. Общие понятия международного частного права. Применение коллизионных норм

12. Общие понятия физиологии. Возбуждение

13. Патент – история развития и юридического оформления понятия

14. Общее понятие программного обеспечения. Гибкий экран

15. Общее понятие культуры. Культура, цивилизация и природа

16. Шизофрения: понятие, история, классификация, клиника

Подгузники-трусики для мальчиков Huggies DryNights, 4-7 лет, 10 штук.
Деликатная защита на всю ночь для детей от четырех лет, страдающих энурезом. Одноразовые Трусики "Huggies Dry Night" для
427 руб
Раздел: Обычные
Глобус физический на подставке из пластика диаметром 250 мм.
Диаметр: 250 мм. Масштаб: 1:50000000. Материал подставки: пластик. Цвет подставки: прозрачный. Шар выполнен из толстого пластика, имеет
554 руб
Раздел: Глобусы
Набор для проведения опытов по очистке воды "Юный ученый".
Самый лучший способ познания окружающего мира – увидеть все собственными глазами. Набор для проведения опытов по очистке воды «Юный
403 руб
Раздел: Химические опыты

17. Общее понятие о дидактике, ее предмет и задачи

18. Общее понятие о психике

19. Предмет и основные понятия истории религии

20. Доказательство: общее понятие, сущность и значение

21. Средневековое рыцарство: история возникновения, ритуалы, символика, кодекс чести

22. История возникновения монастырей в 10-13 веках Киевской Руси
23. Linux. История возникновения и инсталляция
24. История возникновения тестов интеллекта

25. История ВОЗНИКНОВЕНИЯ ХРИСТИАНСТВА, ислама и буддизма

26. История возникновения представлений о психике

27. История возникновения денег

28. Из истории возникновения христианства в Анапе. Древнейший христианский храм на анапской земле

29. История возникновения г. Казань

30. История возникновения и развития парков. Парк как социально-культурный институт

31. История возникновения театра в России

32. История возникновения театра в России

Настольная игра "Найди пару", арт. ВВ2411.
Игра помогает тренировать память, концентрировать внимание и развивать зрительно-моторную координацию движений. Игра способствует
411 руб
Раздел: Прочие
Дневник школьный "Пробка", цвет обложки синий.
Формат: А5+ (210х170 мм). Количество листов: 48. Внутренний блок: тонированный офсет 70 г/м2. Способ крепления блока:
362 руб
Раздел: Для младших классов
Карандаши восковые, 24 цветов, выкручивающийся стержень.
Восковые карандаши отличаются необыкновенной яркостью и стойкостью цвета, легко смешиваются, создавая огромное количество оттенков. Очень
367 руб
Раздел: Восковые

33. История возникновения и развития современного олимпийского движения

34. История возникновения экологии как самостоятельной науки

35. Основное содержания и история возникновения учения одного из представителей австрийской школы маржинализма Ойгена фон Бем-Баверка

36. Из истории возникновения химии

37. История возникновения и деятельности некоторых популярных отечественных печатных изданий СМИ

38. История возникновения Интернет
39. История возникновения и развития кинодокумента
40. Причины и история возникновения и развития кредитных отношений. Их эволюция

41. История возникновения и развития международного права

42. История возникновения судостроения

43. История возникновения Твери

44. История возникновения коммерческой деятельности в России

45. История возникновения и развития систем сенсорного воспитания детей дошкольного возраста

46. Современный терроризм: история возникновения, классификация, зарубежный и отечественный опыт противодействия терроризму

47. Понятие об измерительных шкалах, их виды. Понятие о шкалировании

48. История возникновения буддизма

Ручка-стилус шариковая "Супер-папа!".
Перед Вами готовый подарок в стильной упаковке — шариковая ручка со стилусом. Она имеет прочный металлический корпус, а надпись нанесена с
415 руб
Раздел: Металлические ручки
Настольная игра "Хватайка".
«Хватайка» — быстрая игра на развитие реакции и наблюдательности. Бросьте кубики и быстрее всех найдите карту, которая совпадает
690 руб
Раздел: Игры на ловкость
Глобус политический, диаметр 320 мм.
Диаметр: 320 мм. Масштаб: 1:40000000. Материал подставки: пластик. Цвет подставки: черный. Шар выполнен из толстого пластика, имеет один
791 руб
Раздел: Глобусы

49. История возникновения православных воскресных школ

50. История возникновения и дальнейших изменений ПДД

51. История возникновения и развития акцизов

52. История возникновения финансов

53. История возникновения и основоположники развития экологических наук

54. История возникновения товарной биржи
55. История возникновения фамилии
56. Понятие о волнении. Процесс возникновения развития и затухания ветровых волн

57. Трудовые правоотношения: понятие, содержание, основания возникновения, изменения и прекращения

58. Иммунология. Общие принципы и понятия. Иммунитет, его виды, стимуляторы, индукторы, цитотоксичность, апоптоз, киллинг, адгезия, интегрины, селектины, миграция, хоминг и многое другое

59. Определения основных понятий 1-9 глав книги: "Рынок: микро-математическая экономика экономическая модель"

60. Понятие о синтаксисе, пунктуации (из истории)

61. Понятие времени и проблема континуума (к истории вопроса)

62. Проблема соотношения понятий бессознательной и неявной деятельности в основах общего наукоучения Фихте

63. Содержание и объем понятий

64. Общие положения и понятия о компании S.W.I.F.T.

Игровой набор "Фрукты".
Увлекательный детский набор "Фрукты" подарит ребёнку много часов увлекательной игры! Такие игрушки тренируют у детей мелкую
321 руб
Раздел: Продукты
Щетка-сметка для снега со скребком, автомобильная, 850 мм.
Усиленная рукоятка из алюминиевого сплава с удлиненным мягким держателем. Густая распушенная щетина для бережной очистки снега с
521 руб
Раздел: Автомобильные щетки, скребки
Этажерка для обуви разборная, 4 полки, 660x280x700 мм.
Модель предназначена для хранения обуви в прихожей. Она придется особенно кстати, если у вас малогабаритная квартира: она займет минимум
1102 руб
Раздел: Полки напольные, стеллажи

65. Русский общий жаргон: к определению понятия

66. Понятие, состав бухотчетности и общие требования предъявляемые к ней

67. Понятие юридического лица: история и современная трактовка

68. Понятие эластичного спроса — математический и экономический смысл

69. Абстрактно-дедуктивный метод введения и формирования математических понятий в 10-11 классах

70. Понятие об эволюции и история эволюционной теории
71. Значение и общая характеристика трудового договора: понятие, стороны, содержание, порядок заключения
72. Понятие государства и общие принципы его организации

73. Понятие и общая характеристика государственного управления в области использования и охраны земель в Республике Беларусь

74. Понятие и общие принципы местного самоуправления

75. Понятие и основания возникновения материальной ответственности сторон в трудовом праве

76. Понятие, виды и общая характеристика государственных (муниципальных) предприятий

77. Понятие цивилизации в истории

78. Понятия и расчеты в математической статистике

79. История развития понятия мотивация

80. Роль умственного приема классификации в формировании математических понятий у младших школьников

Устройство для контроля над питанием "Хрюшка-диетолог".
Вы стараетесь придерживаться определенной диеты и не есть вечером после шести? Тогда «Хрюшка-диетолог» станет дополнительным средством,
324 руб
Раздел: Прочее
Набор мисок "Mayer & Boch", 10 предметов.
Набор салатниц выполнен из качественного прочного стекла и включает в себя 5 круглых салатниц различного диаметра. Изделия сочетают в себе
358 руб
Раздел: Наборы
Автокресло Еду-Еду "KS-513 Lux" с вкладышем (цвет: голубой, 9-36 кг).
Автокресло разработано для детей весом от 9 до 36 кг. Группа веса 1/2/3 (ECE R44/04). Каждая деталь автокресла спроектирована должным
2977 руб
Раздел: Группа 1/2/3 (9-36 кг)

81. История исследований в психологии и ее понятия

82. Понятие и история развития социально-психологического тренинга как сферы деятельности и научно-практического метода

83. Философия истории и ее понятия

84. Понятие государственного бюджета (Доклад)

85. Понятие опровержения и способы опровержения

86. Правонарушения и преступления. Понятия и виды
87. Понятие и принципы административной ответственности
88. Авторский договор: понятие и виды

89. Договор купли-продажи, договор имущественного найма, понятие и виды договора перевозки грузов

90. Понятие договора, классификация

91. Понятие договора найма по Закону о договорных и внедоговорных обязанностях

92. Понятие и виды обязательств, возникающих вследствие причинения вреда

93. Обязательства: понятия и виды

94. Понятие Иска. Виды исков

95. Понятие и состав земель промышленности и иного назначения

96. Соотношение понятий "единство власти" и "разделение властей"

Брелок с кольцом "Lord of the Rings" Ring.
Брелок с тем самым Кольцом из известного произведения жанра фэнтези романа-эпопеи "Властелин Колец" английского писателя Дж. Р.
1590 руб
Раздел: Металлические брелоки
Аэратор для вина "Сомелье".
Аэратор «Сомелье» насыщает вино маленькими пузырьками воздуха, благодаря чему раскрывается его букет и аромат, вкус становится более
329 руб
Раздел: Аксессуары для вина
Ножницы для школьного возраста.
Поддерживают моторные способности детей. Идеальны для маленькой детской руки, пригодны для правшей, а также и для левшей. Ножницы для
317 руб
Раздел: Ножи, ножницы, резаки

97. Понятие договора найма по Закону о договорных и внедоговорных обязанностях

98. Понятие государственного режима

99. Понятие, содержание и принципы исполнительной власти


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.