|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Алгебраические расширения полей |
Гуашь "Классика", 12 цветов. 
Ночник-проектор "Звездное небо, планеты", черный. 
Ручка "Помада". Алгебраические расширения полей Введение. В педагогических вузах введена программа единого курса алгебры и теории чисел. Главная цель этого курса—изучение основных алгебраических систем и воспитание алгебраической культуры, необходимой будущему учителю для глубокого понимания целей и задач как основного школьного курса математики, так и школьных факультативных курсов. На наш взгляд, наиболее целесообразным является введение в школьное преподавание элементов современной абстрактной алгебры. Начавшийся в ХХ веке процесс алгебраизации математики не прекращается, а это вызывает упорные попытки введения в школьное математическое образование основных алгебраических понятий. Математическая глубина и необычайно широкая сфера применения полей сочетаются с простотой ее основных положений – понятий полей, целый ряд важных теорем можно сформулировать и доказать, обладая начальными представлениями в области теории множеств. Поэтому теория полей как нельзя лучше подходит для того, чтобы показать школьникам образец современной математики. Кроме того, изучение элементов теории поля полезно для школьников, способствует их интеллектуальному росту, проявляющемуся в развитии и обогащении различных сторон их мышления, качеств и черт личности, а также воспитанию у учащихся интереса к математике, к науке. 1. Простое алгебраическое расширение поля. 1.1.Простое расширение поля. Пусть P — кольцо полиномов от x над полем P, где P — подполе поля F. Напомним, что элемент a поля F называется алгебраическим над полем P, если a является корнем какого-нибудь полинома положительной степени из P . Определение. Пусть P < F и a0F. Простым расширением поля P с помощью элемента a называется наименьшее подполе поля F, содержащее множество Р и элемент a. Простое расширение P с помощью a обозначается через P (a), основное множество поля P (a) обозначается через Р(a). Пусть a0F, P }, т. е. P есть множество всех выражений вида a0 a1a . a a , где а0, a1,.a 0P и — любое натуральное число. Легко видеть, что алгебра P, , —, ., 1, — подкольцо поля P (a) — является кольцом; это кольцо обозначается символом P — кольцо полиномов от х над P и P (a)— простое расширение поля P. Пусть y — отображение P такое, что y(f)=f(a) для любого f из P. Тогда: (а) для любого а из Р y (а) = а; (b) y(x) = a; (с) y является гомоморфизмом кольца P f(a)=0}; (е) фактор-кольцо P . Доказательство. Утверждения (а) и (Ь) непосредственно следуют из определения y. Отображение y сохраняет главные операции кольца P y(f g)=f(a) g(a), y(fg)= f(a)g(a), y(1)=1. Далее, по условию, y есть отображение Р. Следовательно, y является гомоморфизмом кольца P . Утверждение (d) непосредственно следует из определения отображения y. Поскольку y — гомоморфизм кольца P /Кег y изоморфно кольцу P . Следствие 1.2. Пусть a — трансцендентный элемент над полем P. Тогда кольцо полиномов P . Доказательство. В силу трансцендентности a над P Kery={0}. Поэтому P. Кроме того, фактор-кольцо кольца P . Следовательно, P . 1.2.Минимальный полином алгебраического элемента. Пусть P — кольцо полиномов над полем P. Определение. Пусть a — алгебраический элемент над полем P.
Минимальным полиномом элемента a, над P называется нормированный полином из P наименьшей степени, корнем которого является a. Степень минимального полинома называется степенью элемента a над P. Легко видеть, что для всякого элемента a, алгебраического над P , существует минимальный полином. Предложение 1.3. Если а — алгебраический элемент над полем P, а g и j — его минимальные полиномы над P, то g=j. Доказательство. Степени минимальных полиномов g и j совпадают. Если g ¹ j, то элемент a (степени над P) будет корнем полинома g - j, степень которого меньше степени полинома j (меньше ), что невозможно. Следовательно, g=j. Теорема 1.4. Пусть a — алгебраический элемент степени над полем P (a&oacu e;P) и g — его минимальный полином над P. Тогда: (а) полином g неприводим в кольце P , то g делит f; (с) фактор-кольцо P /(g) является полем; (е) кольцо P совпадает с полем P (a). Доказательство. Допустим, что полином g приводим в кольце P такие полиномы j и h, что g = jh, 1&pou d;deg j, deg h1 над полем P; f и h — полиномы из кольца полиномов P и h(a) ¹0. Требуется представить элемент f(a)/h(a)0P(a) в виде линейной комбинации степеней элемента a, т. е. в виде j(a), где j0P. Эта задача решается следующим образом. Пусть g — минимальный полином для a над P. Так как, по теореме 1.4, полином неприводим над P и h(a) ¹ 0, то g не делит h и, значит, полиномы h и g — взаимно простые. Поэтому существуют в P такие полиномы u и v, что uh vg=1 (1) Поскольку g(a) = 0, из (1) следует, что u(a)g(a) = 1, 1/h(a) = u(a). Следовательно, f(a)/h(a) = f(a)u(a), причем f,u 0P. Итак, мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби f(a)/h(a) . Пример. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби . Решение. В нашем случае a=. Минимальным многочленом этого числа является p(x)=x3-2. Многочлены p(x) и g(x)=-x2 x 1 взаимно просты. Поэтому существуют такие многочлены j и y, что pj gy=1. Для отыскания j и y применим алгоритм Евклида к многочленам p и g: -x3-2 -x2 x 1 -x2 x 1 2x-1 x3-x2-x -x-1 -x2 1/2x -1/2x 1/4 x2 x-2 1/2x 1 x2-x-1 1/2x-1/4 2x-1 5/4 Таким образом, p=g(-x-1) (2x-1), g=(2x-1)(-1/2x 1/4) 5/4. Откуда находим (2x-1)=p g(x 1), 5/4=g-(p g(x 1))(-1/2x 1/4) или p1/5(2x-1) g(4/5 1/5(2x2 x-1))=1, p1/5(2x-1) g(2/5x2 1/5x 3/5)=1. Таким образом, y(x)= (2/5x2 1/5x 3/5). Тогда y(a)=y()=. Следовательно . 2.Составное алгебраическое расширение поля. 2.1. Конечное расширение поля. Пусть P — подполе поля F. Тогда мы можем рассматривать F как векторное пространство над P, т. е. рассматривать векторное пространство F, , {wl½l 0P}, где wl- операция умножения элементов из F на скаляр l0P. Определение. Расширение F поля P называется конечным, если F, как векторное пространство над P, имеет конечную размерность. Эта размерность обозначается через . Предложение 2.1. Если a — алгебраический элемент степени над P, то = . Это предложение непосредственно следует из теоремы 1.5. Определение. Расширение F поля P называется алгебраическим, если каждый элемент из F является алгебраическим над P. Теорема 2.2
. Любое конечное расширение F поля P является алгебраическим над P. Доказательство. Пусть -размерность F над P. Теорема, очевидно, верна, если = 0. Предположим, что >0. Любые 1 элементов из F линейно зависимы над P. В частности, линейно зависима система элементов 1, a, ., a , т. е. существуют в P такие элементы с0, с1, ,c не все равные нулю, что с0& imes;1 с1a c a = 0. Следовательно, элемент a является алгебраическим над P. Отметим, что существуют алгебраические расширения поля, не являющиеся конечными расширениями. 2.2. Составное алгебраическое расширение поля. Расширение F поля P называется составным, если существует возрастающая цепочка подполей L i поля F такая, что P = L0 — L1 — — Lk= F и k>1. Теорема 2.3. Пусть F — конечное расширение поля L и L — конечное расширение поля P. Тогда F является конечным расширением поля P и . Доказательство. Пусть (1) a1, ,am — базис поля L над P (как векторного пространства) и (2) b1, ,b — базис поля F над L . Любой элемент d из F можно линейно выразить через базис: (3) d = l1b1 . l b (lk 0L). Коэффициенты 1k можно линейно выразить через базис (1): (4) lk = p1k a pmk am (pik0P). Подставляя выражения для коэффициентов lk в (3), получаем d = &ari g; pik aibk. i0{1, ,m} k0{1, , } Таким образом, каждый элемент поля F представим в виде линейной комбинации элементов множества B, где B = { a ibk½{1,., m}, k 0 {l,., }}. Отметим, что множество B состоит из m элементов. Покажем, что B есть базис F над полем P. Нам надо показать, что система элементов множества B линейно независима. Пусть (5) &ari g;cikaibk = 0, I,k где cik 0 P. Так как система (2) линейно независима над L , то из (5) следуют равенства (6) с1ka 1 . сmka m = 0 (k = 1,., ). Поскольку элементы a 1, ., a m линейно независимы над P, то из (6) следуют равенства c1k = 0, ,cmk = 0 (k = 1, ., ), показывающие, что все коэффициенты в (5) равны нулю. Таким образом, система элементов B линейно независима и является базисом F над P. Итак установлено, что . Следовательно, F является конечным расширением поля P и имеет место формула (I). Определение. Расширение F поля P называется составным алгебраическим, если существует возрастающая цепочка подполей поля P P = L0 — L1 — — Lk= F и k>1 (1) такая, что при i = 1,., k поле L i является простым алгебраическим расширением поля L i-1. Число k называется длиной цепочки (1). Следствие 2.4. Составное алгебраическое расширение F поля P является конечным расширением поля P. Доказательство легко проводится индукцией по длине цепочки (1) на основании теоремы 2.3. Теорема 2.5. Пусть a1,., ak — алгебраические над полем P элементы поля F . Тогда поле P(a1,., ak) является конечным расширением поля P. Доказательство. Пусть L 0 = P, L 1 = P . Тогда L1 = P есть простое алгебраическое расширение поля L0; L2 есть простое алгебраическое расширение поля L1 , так как L2 = P = L1(a2) и т. д. Таким образом, P = L0 — L1 — — Lk= F где Li = Li-1(ai ) при i = 1, ., k, т. е. каждый член цепочки (2) является простым алгебраическим расширением предшествующего члена цепочки.
Придание правового характера всем основам общественной жизни, при котором использование государством функций прямого внеправового принуждения была бы сведена к минимуму. Тотальная демократизация всех основ и проявлений человеческой жизни, нормативно-правовые гарантии свобод личности - свободы печати, слова, шествий, собраний, передвижения, убеждений. Преодоление моноидеологичности общества - засилья и всевластия одной идеологии, заидеологизированности общества вообще, расширение поля идейной плюральности. Формирование структур гражданского общества и его сердцевины - всех форм самоуправления, что стало бы выражением и закреплением в России более глубоких процессов современной истории возрастания роли масс в истории и их сознательности. Необходимо было по-настоящему открыть страну миру, преодолеть все разграничительные линии, оставшиеся от периодов тотального противостояния по линии Восток-Запад. Если не тотальная, то, по крайней мере, реальная гуманизация основ бытия личности в обществе, тех его сторон, которые определяются экономическими, политическими, социальными и духовными гарантиями осуществления прав человека и его личных свобод
2. Свободный полет в полях тяготения
3. Форма, размеры и движения Земли и их геофизические следствия. Гравитационное поле Земли
5. Великобритания (расширенный вариант реферата 9490)
9. Поле запаха в немецком языке на примере романа П.Зюскинда ПАРФЮМЕР
10. Семантическое поле страха на основе произведения Стивена Кинга "Цикл оборотня"
11. Політичний портрет гетьмана Павла Скоропадського
14. Алгебраические тождества. Арифметический корень. Степени. Логарифмы (Шпаргалка)
16. Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модуль
Магнитный театр "Три поросенка". 
Набор для обучения "Учись считать", 128 штук. 
Беговел "Funny Wheels Rider Classic" (цвет: зелёный). 17. Методы расчета электрических полей
18. Влияние электромагнитных полей (ЭМП) на живые организмы
20. АНТИТЕХНОЛОГІЇ У ПОЛІТИЧНІЙ БОРОТЬБІ: ВИКОРИСТАННЯ ЗМІ
21. Экономическая эффективность инвестиций, направленных на расширение парка ПС АТП
25. Определение горизонтальной составляющей магнитного поля Земли
26. Исследования магнитных полей в веществе (№26)
27. Движение в центральном симметричном поле
28. Гравитация с точки зрения общей теории поля
29. Торсионные поля. Миф или реальность
30. Электромагнитное поле и его влияние на здоровье человека
32. Статья "Молекула Бензола в сильном лазерном поле" ([Статья])
Столик универсальный "Раскладушка". 
Простыня на резинке "Лимон", 90x200 см. 
Подвесные качели "Кассон". 33. Анализ целесообразности расширения рынка (выход на новые сегменты рынка) сбыта организации.
35. Поліграфічна промисловість України. II роль та перспективи розвитку
37. Пол, власть и концепция "разделенных сфер": от истории женщин к гендерной истории
41. Нестор Махно: історично-політичний портрет
42. Революція 1905-1907 р.р. в Росії, розстановка ії політичних сил
43. Взаимоотношения Полоцких и Смоленских князей в конце XII-пер.пол.XIII в.
44. М. Драгоманов - основоположник української політичної науки
45. Жан Поль Марат
46. Основоположник учения об электромагнитном поле
47. Поль Гоген
48. Сезанн Поль
Рюкзак для старших классов, студентов и молодежи "Старлайт", 30 литров, 46x34x18 см. 
Мягкий пол универсальный, зеленый, 60x60 см (4 детали). 
Рулетка для пропуска "Chrome Quadro", с карабином, 80 см. 49. Государственный мемориальный и природный заповедник Музей-усадьба Л.Н.Толстого Ясная Поляна
50. Особливості мови роману О.Забужко Польові дослідження українського сексу
51. Ранние повести «Материнское поле» и «Первый учитель»
53. Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине
57. Приближённые методы решения алгебраического уравнения
58. Единая теория поля, пространства и времени
59. О единстве отталкивания и тяготения в теории поля
61. Структура рекурсивных m-степеней в полях
62. Математическое моделирование нестационарного электрического поля анодной защиты
63. Тождественные преобразования алгебраических выражений
64. Луна и планирование пола ребенка
Лоток для бумаг горизонтальный "Сити", черный. 
Глобус физико-политический "Falcon" с подсветкой, диаметр 400 мм. 65. Варикозное расширение вен нижних конечностей
66. Варикозное расширение вен нижних конечностей
69. Податкова політика України
73. Конвергирующее поле - новое поле не волновой природы
75. Электрические вихревые несоленоидальные поля
76. Мир глазами Поля Дирака: объединение идей квантовой механики и релятивизма
77. Странности магнитного поля Земли
78. Картина мира в свете теории единого поля
79. Электрические вихревые несоленоидальные поля
80. Возмущенные вариации магнитного поля высоких широт: геоэкологические аспекты
Глобус Земли физический, 250 мм. 
Подставка для ванны "Мишка", антискользящая, цвет: бежевый. 
Магнитная доска для фото, с маркером, 30x48 см. 81. Преподавание алгебраического материала в начальной школе
82. Основні напрямки зовнішньої політики України
83. Політичний режим
84. Соціально-економічні умови виникнення і розвитку політичної системи суспільства
85. Меридиан консерватизма или поле традиционализма?
89. Поле внимания и развитие ребенка
90. Влияние уровня притязаний на уровень удовлетворенности отношениями с противоположным полом
92. Защита от электромагнитных полей
93. Транссексуализм и вопросы изменения пола
94. Что такое пол?
95. Выбор пола ребенка до зачатия
96. Культурно-историческое и социально-правовое поля эротики и порнографии. (Общее и особенное)
Кресло детское мягкое "Мяу-Мяу". 
Сумка для обуви "Феи и невиданный зверь". 
Цветные акварельные карандаши "Lyra Osiris Aquarell", 24 цвета. 97. Нарушения психосексуальных ориентаций по полу объекта
Флаг "Россия", шёлк, 90х135 см. 
