|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Метод касательных решения нелинейных уравнений |
Гуашь "Классика", 12 цветов. 
Ручка "Помада". 
Ночник-проектор "Звездное небо, планеты", черный. Пензенский приборостроительный колледж на тему: Метод касательных решения нелинейных уравнений Выполнил: Ст-т 22п группы ЛЯПИН Р.Н. Проверила: Ковылкино – 1999 г. ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ студент Ляпин Р.Н. группа 22п Тема: "Метод касательных решения нелинейных уравнений". Изучить теоретический материал по заданной теме. Составить блок схему алгоритма решения задачи . Написать программу на языке Турбо-Паскаль для решения задачи в общем виде. Выполнить программу с конкретными значениями исходных данных. Определить корни уравнения х3 0,1 х2 0,4 х – 1,2 = 0 аналитически и уточнить один из них с точностью до 0,000001 методом касательных Срок представления работы к защите: 10 мая 1999 г. Исходные данные для исследования: научная и техническая литература. Руководитель курсовой работы: Кривозубова С.А. Задание принял к исполнению: Ляпин Р.Н. РЕФЕРАТ Курсовая работа содержит: страниц, 1 график, 5 источников. Перечень ключевых понятий: производная, метод касательных, программирование, нелинейное уравнение. Объект исследования: Корни нелинейного уравнения. Цель работы: Определение корней нелинейного уравнения. Методы исследования: изучение работ отечественных и зарубежных авторов по данной теме. Полученные результаты: изучен метод касательных решения нелинейных уравнений; рассмотрена возможность составления программы на языке программирования Турбо-Паскаль 7.0 Область применения: в работе инженера. СОДЕРЖАНИЕ стр. 1. Краткое описание сущности метода касательных ( метода секущих Ньютона). 7 2. Решение нелинейного уравнения аналитически . 9 3. Блок схема программы . 11 4. Программа на языке PASCAL 7.0 . 12 5. Результаты выполнения программы . 13 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННИХ ИСТОЧНИКОВ . 14 ВВЕДЕНИЕ Процедура подготовки и решения задачи на ЭВМ достаточно сложный и трудоемкий процесс, состоящий из следующих этапов: Постановка задачи (задача, которую предстоит решать на ЭВМ, формулируется пользователем или получается им в виде задания). Математическая формулировка задачи. Разработка алгоритма решения задачи. Написание программы на языке программирования. Подготовка исходных данных . Ввод программы и исходных данных в ЭВМ. Отладка программы. Тестирование программы. Решение задачи на ЭВМ и обработка результатов. В настоящей курсовой работе условие задачи дано в математической формулировке, поэтому необходимость в выполнении этапов 1 и 2 отпадает и сразу можно приступить к разработке алгоритма решения задачи на ЭВМ. Под алгоритмом понимается последовательность арифметических и логических действий над числовыми значениями переменных, приводящих к вычислению результата решения задачи при изменении исходных данных в достаточно широких пределах. Таким образом, при разработке алгоритма решения задачи математическая формулировка преобразуется в процедуру решения, представляющую собой последовательность арифметических действий и логических связей между ними. При этом алгоритм обладает следующими свойствами: детерминированностью, означающей, что применение алгоритма к одним и тем же исходным данным должно приводить к одному и том уже результату; массовость, позволяющей получать результат при различных исходных данных; результативностью, обеспечивающей получение результата через конечное число шагов.
Наиболее наглядным способом описания алгоритмов является описание его в виде схем. При этом алгоритм представляется последовательность блоков, выполняющих определенные функции, и связей между ними. Внутри блоков указывается информация, характеризующая выполняемые ими функции. Блоки схемы имеют сквозную нумерацию. Конфигурация и размеры блоков, а также порядок построения схем определяются ГОСТ 19.002-80 и ГОСТ 19.003-80. На этапе 4 составляется программа на языке Турбо-Паскаль. При описании программы необходимо использовать характерные приемы программирования и учитывать специфику языка. В качестве языка программирования выбран язык ПАСКАЛЬ ввиду его наглядности и облегченного понимания для начинающих программистов, а также возможности в дальнейшем использовать для решения более трудных задач. Этапы алгоритмизации и программирования являются наиболее трудоемкими, поэтому им уделяется большое внимание. В процессе выполнения курсовой работы студент готовит исходные данные, вводит программу и исходные данные. При работе ввод программы и исходных данных осуществляется с клавиатуры дисплея. Отладка программы состоит в обнаружении и исправлении ошибок, допущенных на всех этапах подготовки задач к решению на ПЭВМ. Синтаксис ошибки обнаруживается компилятором, который выдает сообщение, указывающее место и тип ошибки. Обнаружение семантических ошибок осуществляется на этапе тестирования программы, в котором проверяется правильность выполнения программы на упрощенном варианте исходных данных или с помощью контрольных точек или в режиме пошагового исполнения. Задание при обработке на ЭВМ проходит ряд шагов: компиляцию, редактирование (компоновку) и выполнение. Обработка результатов решения задачи осуществляется с помощью ЭВМ. Выводимые результаты оформлены в виде, удобном для восприятия. 1. Краткое описание сущности метода касательных ( метода секущих Ньютона) Пусть на отрезке отделен корень с уравнения f (x) = 0 и f -функция непрерывна на отрезке a; b[ существуют отличные от нуля производные f ’ и f ”. Так как f ’(x) 0 , то запишем уравнение f (x) = 0 в виде : x = x – ( f (x) / f ’(x)) (1) Решая его методом итераций можем записать : x 1 = x – ( f (x ) / f ’(x )) (2) Если на отрезке f ’(x) f “(x) > 0, то нул – евое приближение выбираем x0=a. Рассмотрим геометрический смысл метода . Рассмотрим график функции y=f(x). Пусть для определенности f ‘(x) > 0 и f “(x) > 0 (рис. 1). Проведем касательную к графику функции в точке B (b, f (b)). Ее уравнение будет иметь вид : y = f (b) f ’(b) (x – b) Полагая в уравнении y = 0 и учитывая что f ’(x) 0, решаем его относительно x. Получим : x = b – (f (b) /f ‘(b)) Нашли абсциссу x1 точки c1 пересечения касательной с осью ox : x1 = b – (f (b) – f ’ (b)) Проведем касательную к графику функции в точке b1 (x1; f (x1)).Найдем абсциссу x2 точки с2 пересечения касательной с осью Ox : x2 = x1 – (f (x1) / ( f ’(x1)) Вообще : xk 1 = x k – ( f (x k) / f ’(x k)) (3) Таким образом, формула (3) дает последовательные приближения (xk) корня, получаемые из уравнения касательной , проведенной к графику функции в точке b k (x k; f (x k0) метод уточнения корня c уравнения f (x) = 0 с помощью формулы (3) называется методом касательной или методом Ньютона.
Геометрический смысл метода касательных состоит в замене дуги y = f (x) касательной, одной к одной из крайних точек . Начальное приближение x 0 = a или x0 = b брать таким, чтобы вся последовательность приближения х k принадлежала интервалу ]a;b[ . В случае существования производных f ’, f ”, сохраняющих свои знаки в интервале, за х0 берется тот конец отрезка , для которого выполняется условие f ’(х0) f (х0) > 0. Для оценки приближения используется общая формула : c-x k-1 f (x k 1)/m , где m = mi f ’(x) на отрезке . На практике проще пользоваться другим правилом : Если на отрезке выполняется условие 0 &l ; m &l ; f (x) и заданная точность решения, то неравенство x k 1-x k влечет выполнение неравенства c-x k-1 В этом случае процесс последовательного приближения продолжают до тех пор, пока не выполнится неравенство : c-x k-1 2. Решение нелинейного уравнения аналитически Определим корни уравнения х3 0,1х2 0,4х – 1,2 = 0 аналитически. Находим : f (x) = х3 0,1х2 0,4х – 1,2 f ‘ (x) = 3х2 0,1х 0,4 f (–1) = –2,5 &l ; 0 f (0) = –1,2 &l ; 0 f ( 1) = 0,3 > 0 x - -1 0 1 sig f (x) - - - Следовательно, уравнение имеет действительный корень, лежащий в промежутке . Приведем уравнение к виду x = (x) , так , чтобы ‘ (x) &l ;1 при 0 x 1. Так как max f ’(x) = f ’( 1) = 3 0,1 0,4 = 3,5 то можно взять R = 2. Тогда (x) = x – ( f (x) / R) = x – 0,5 х3 – 0,05 х2 – 0,2 х 0,6 = – 0,5 х3 – 0,05 х2 0,8 х 0,6. Пусть х0 = 0 , тогда х 1 = (х ). Вычисления расположим в таблице. х х2 х3 (х ). f (x) 1 1 1 1 0,85 -0,17363 2 0,85 0,7225 0,614125 0,9368125 0,08465 3 0,9368125 0,87761766 0,822163194 0,89448752 -0,04651 4 0,89448752 0,800107923 0,715686552 0,917741344 0,024288 5 0,917741344 0,842249174 0,772966889 0,905597172 -0,01306 6 0,905597172 0,820106238 0,74268589 0,912129481 0,006923 7 0,912129481 0,83198019 0,758873659 0,908667746 -0,0037 8 0,908667746 0,825677072 0,750266124 0,910517281 0,001968 9 0,910517281 0,829041719 0,754856812 0,909533333 -0,00105 10 0,909533333 0,827250884 0,752412253 0,910057995 0,000559 11 0,910057995 0,828205555 0,753715087 0,909778575 -0,0003 12 0,909778575 0,827697055 0,753021048 0,909927483 0,000159 13 0,909927483 0,827968025 0,753390861 0,909848155 -8,5E-05 14 0,909848155 0,827823665 0,753193834 0,909890424 4,5E-05 15 0,909890424 0,827900583 0,753298812 0,909867904 -2,4E-05 16 0,909867904 0,827859602 0,753242881 0,909879902 1,28E-05 17 0,909879902 0,827881437 0,753272681 0,90987351 -6,8E-06 18 0,90987351 0,827869803 0,753256804 0,909876916 3,63E-06 19 0,909876916 0,827876002 0,753265263 0,909875101 -1,9E-06 20 0,909875101 0,827872699 0,753260756 0,909876068 1,03E-06 График функции y = х3 0,1х2 0,4х – 1,2 3. Блок схема программы 4. Программа на языке PASCAL 7.0
В частности видно, что в нашем случае после кратковременного выбега итерационного процесса он приобретает быстро сходящийся характер. Рис. 9.25. Иллюстрация итераций при решении нелинейного уравнения методом Ньютона А теперь рассмотрим вычисление длины дуги, заданной произвольным выражением, например 2-х^3 в интервале изменения х от 0 до 2. Для этого исполним команду (вызов подпакета опущен, поскольку был выполнен ранее): > ArcLengthTutor(2-х^3, х=0..2); Интерактивное окно для этого примера представлено на рис. 9.26. График дает представление исходной функции и функции, описывающей изменение значения длины дуги в заданном интервале изменения х. Кроме того выводится выражение для длины дуги, вычисленное значение длины дуги на заданном интервале и вид команды для вычисления длины дуги в командном режиме (внизу окна). Рис. 9.26. Иллюстрация к вычислению длины дуги 9.6.6. Подпакет вычислений Precalculus Пакет вычислений Precalculus служит для визуализации таких операций, как вычисление полиномов, нахождение пределов функций, решение систем неравенств, представление функций и др
3. Метод касательных. Решения нелинейных уравнений. Паскаль 7.0
4. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера
5. Обработка текстовых файлов на языке Турбо Паскаль
9. Решение нелинейного уравнения методом касательных
10. Построение решения задачи Гурса для телеграфного уравнения методом Римана
11. Приближённые методы решения алгебраического уравнения
12. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера
13. Блок-схема: Вычитание чисел в форме плавающая точка, сдвиг вправо на один два разряда
14. Вычисление интеграла методом Ньютона-Котеса (теория и программа на Паскале)
15. Метод касательных решения нелинейных уравнений
16. Методы решения уравнений в странах древнего мира
Увлекательная настольная игра "Турбосчет Форсаж". 
Настольная игра "Имаджинариум". 
Картриджи чернильные "Cartridge Quink", синие, 5 штук. 17. Приближённые методы решения алгебраического уравнения
18. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА
19. Решения смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток
20. Метод решения уравнений Ньютона - Рафсона
25. Будування плакатів та блок-схем
26. Зображення плакатів у MSVisio та будування блок-схем алгоритмів
27. Метод программирования и схем ветвей в процессах решения задач дискретной оптимизации
28. Нахождение корней уравнений различными методами
29. Нахождение корней уравнения методом простой итерации (ЛИСП-реализация)
30. Поиск решений системы линейных уравнений методом Гаусса
31. Разностные схемы для уравнения переноса на неравномерных сетках
Набор игрушек для ванны "Мимимишки". 
Беговел "Funny Wheels Basic" (цвет: желтый). 
Фоторамка на 4 фотографии С34-009 "Alparaisa", 55,5x18 см (белый). 33. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона
34. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса
35. Численное решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
36. Численные методы решения систем линейных уравнений
41. Метод замены неизвестного при решении алгебраических уравнений
42. Методы подобия и моделирования с привлечением физических уравнений
43. Методы решения алгебраических уравнений
45. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений
46. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений
47. Методы и способы поверки СИ. Поверочные схемы
48. Методы решения уравнений линейной регрессии
Адаптер Navington для автокресел Maxi-Cosi, универсальный. 
Развивающая игра "Учимся считать". 
Точилка электрическая Attache Selection, 220 В. 49. Исследование природных ресурсов планеты с помощью космических методов
50. Исследование клеточного цикла методом проточной цитометрии
53. Обзор методов и способов измерения физико-механических параметров рыбы
57. Чили: создание блока Народное единство и президентские выборы 1970 года
58. Устройство, оптическая схема, неполная разборка и сборка теодолита 2Т2П, ЗТ2КП
59. Гидрохимический, атмохический и биогеохимический методы поисков
60. Добыча золота методами геотехнологии
61. Схема системы налогообложения
62. Основні методи боротьби з інфляцією
63. Предмет, метод, источники Административного права
64. Методы осуществления государственной власти
Подгузники Libero Comfort (5+), Maxi+, 10-16 кг, 56 штук. 
Веселый колобок. 
Настольная композиция "Сад Дзен", 16x16x2 см. 65. Метод гражданско правового регулирования
66. Формы и методы государственного регулирования экономики в Казахстане
67. Математические методы и модели в конституционно-правовом исследовании
69. Финансовый контроль: формы, методы, органы
73. Творческая биография А.А. Блока
74. Блок Александр Александрович
75. Образ Родины в творчестве Александра Блока
76. Россия Блока
77. Александр Блок. Жизнь и творчество. Влияние творчества Блока на поэзию Анны Ахматовой
78. Анализ стихотворения А. Блока "О доблестях, о подвигах, о славе"
79. Город в творчестве А.А. Блока
80. Жизнь и творчество А. Блока
Сейф-книга СС0081/1 "Alparaisa. Три богатыря", 21х13х5 см. 
Увлекательная настольная игра "Трафик-джем", новая версия. 
Набор шариков, диаметр: 5 см, 200 штук. 81. Путь среди революций (Блок-лирик и его современники)
83. Тема Родины в творчестве А. Блока
84. Хронологическая таблица по А.А. Блоку
85. Анализ стихотворения А.А. Блока "О! Весна без конца и без краю!"
89. Методы компьютерной обработки статистических данных
90. Решение транспортной задачи методом потенциалов
92. Оценка методов и средств обеспечения безошибочности передачи данных в сетях
94. Устройство компьютера и его основные блоки
95. Обзор возможных методов защиты
96. Метод Дэвидона-Флетчера-Пауэлла
Набор детских столовых приборов Apollo "Fluffy", 2 предмета. 
Сушилка для белья на ванну "Ника СБ4". 
Набор салатниц "Loraine", 10 предметов. 97. Защита информации от несанкционированного доступа методом криптопреобразования /ГОСТ/
98. Обучение начальных курсов методам программирования на языке Turbo Pascal
99. Получение уравнения переходного процесса по передаточной функции
