Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Метод ортогонализации и метод сопряженных градиентов

Коврик для запекания, силиконовый "Пекарь".
Коврик "Пекарь", сделанный из силикона, поможет Вам готовить вкусную и красивую выпечку. Благодаря материалу коврика, выпечка не
202 руб
Раздел: Коврики силиконовые для выпечки
Мыло металлическое "Ликвидатор".
Мыло для рук «Ликвидатор» уничтожает стойкие и трудно выводимые запахи за счёт особой реакции металла с вызывающими их элементами.
197 руб
Раздел: Ванная
Крючки с поводками Mikado SSH Fudo "SB Chinu", №4BN, поводок 0,22 мм.
Качественные Японские крючки с лопаткой. Крючки с поводками – готовы к ловле. Высшего качества, исключительно острые японские крючки,
58 руб
Раздел: Размер от №1 до №10

ВведениеК решению систем линейных алгебраических уравнений приводятся многие задачи численного анализа. Известное из курса высшей алгебры правило Крамера для решения систем линейных алгебраических уравнений практически невыгодно, так как требует слишком большого количества арифметических операций и записей. Поэтому было предложено много различных способов, более пригодных для практики. Используемые практически методы решения систем линейных алгебраических уравнений можно разделить на две большие группы: так называемые точные методы и методы последовательных приближений. Точные методы характеризуются тем, что с их помощью принципиально возможно, проделав конечное число операций, получить точные значения неизвестных. При этом, конечно, предполагается, что коэффициенты и правые части системы известны точно, а все вычисления производятся без округлений. Чаще всего они осуществляются в два этапа. На первом этапе преобразуют систему к тому или иному простому виду. На втором этапе решают упрощенную систему и получают значения неизвестных. Методы последовательных приближений характеризуются тем, что с самого начала задаются какими-то приближенными значениями неизвестных. Из этих приближенных значений тем или иным способом получают новые «улучшенные» приближенные значения. С новыми приближенными значениями поступают точно также и т.д. При выполнении определенных условий можно придти, вообще говоря, после бесконечного числа шагов. Рассмотрим два точных метода: метод ортогонализации и метод сопряженных градиентов. Метод ортогонализации 1.1 Метод ортогонализации в случае симметрической матрицы Пусть дана система (1) порядка . Чтобы избежать в дальнейшем путаницы, над векторами поставим черточки. Решение системы будем разыскивать в виде , (2) где – векторов, удовлетворяющих условиям при (3) Здесь рассматривается обычное скалярное произведение векторов в -мерном векторном пространстве, т.е. если и , то . Пусть такие векторы найдены. Как это делается, будет показано ниже. Рассмотрим скалярное произведение обеих частей системы (1) с (4) Используя (2) получим: (5) или, в силу выбора векторов , . (6) Итак, для определения коэффициентов получили систему с треугольной матрицей. Определитель этой системы равен . (7) Следовательно, если , то возможно найти и находятся они без труда. Особенно легко определятся , если матрица А симметрическая. В этом случае, очевидно, (8) и, следовательно, =0 при . (9) Тогда система для определения примет вид (10) и . (11) Метод можно обобщить. Пусть каким-то образом удалось найти систему 2 векторов так, что =0 при . (12) Умножая обе части равенства (1) на и используя представление через , как и ранее, получим: . (13) Опять получилась система линейных алгебраических уравнений с треугольной матрицей для определения . Несколько усложнив вычисления можно получить систему диагонального вида. Для этого построим три системы векторов , так что имеют место равенства: (14) (15) (16) Тогда , (17) так как при i&l ;r (18) и при i&g ;r (19) Таким образом, (20) Остановимся подробнее на первом из описанных методов. Рассмотрим случай, когда матрица А симметрическая и положительно определенная.

Последнее означает, что для любого вектора квадратичная форма его компонент больше или равна нулю, причем равенство нулю возможно в том и только том случае, если вектор нулевой. Как мы видели ранее, нужно построить систему векторов , удовлетворяющих условиям =0 . (21) Это построение можно осуществить следующим образом. Исходим из какой-то системы линейно независимых векторов , например из системы единичных векторов, направленных по координатным осям: (22) Далее проводим «ортогонализацию». Принимаем и ищем в виде . (23) Из условия находим: (24) Ищем в виде . (25) Условия влекут за собой (26) Далее поступаем также. Процесс будет осуществим, так как все . Это же обеспечит нам разрешимость системы для определения коэффициентов . Заметим, что в нашем случае это будет процесс настоящей ортогонализации, если в пространстве векторов ввести новое скалярное произведение при помощи соотношения . (26) Нетрудно проверить, что введенное таким способом скалярное произведение будет удовлетворять всем требованиям, которые к нему предъявляются. При решении системы уравнений по настоящей схеме требуется произвести (28) операций умножения и деления. Метод ортогонализации в случае несимметрической матрицы В случае несимметрической матрицы процесс ортогонализации проводится точно также. Пусть векторы уже построены. Тогда ищется в виде (29) Коэффициенты определяются из системы (30) Система в случае несимметрической матрицы будет треугольной. Аналогично строится система «биортогональных» векторов, т.е. система 2 векторов, удовлетворяющих условию (12). При этом – произвольных линейно независимых векторов, а векторы строятся последовательно в виде (31) Коэффициенты находятся из системы (32) Также поступаем, отыскивая коэффициенты и , при построении систем векторов (14) и (15), удовлетворяющих условиям (16). При этом получим две системы: (33) из которых и определяем и . Остановимся еще на одном методе ортогонализации. Будем рассматривать строки матрицы А как векторы: (34) Ортонормируем эту систему векторов. Первое уравнение системы делим на . При этом получим (35) где (36) Второе уравнение системы заменится на (37) где (38) Аналогично поступаем дальше. Уравнение с номером i примет вид (39) где (40) Процесс будет осуществим, если система уравнений линейно независима. В результате мы придем к новой системе , где матрица С будет ортогональной, т.е. обладает свойством ССў=I. Таким образом, решение системы можно записать в виде . (41) Практически, вследствие ошибок округления, ССў будет отлична от единичной матрицы и может оказаться целесообразным произвести несколько итераций для системы . Метод сопряженных градиентов 2.1 Первый алгоритм метода Пусть требуется решить систему линейных алгебраических уравнений (1) с положительно определенной матрицей A порядка . Рассмотрим функционал , (2) представляющий многочлен второго порядка относительно x1, x2, , x . Обозначим через решение системы (1), т.е. . В силу симметричности и положительной определенности матрицы, имеем: При этом знак равенства возможен лишь при . Таким образом, задача решения уравнения (1) сводится к задаче отыскания вектора , обращающего в минимум функционал (2).

Для отыскания такого вектора применим следующий метод. Пусть – произвольный начальный вектор, а (4) – вектор невязок системы. Покажем, что вектор невязок имеет направление нормали к поверхности в точке . В самом деле, направление нормали совпадает с направлением быстрейшего изменения функции в точке . Это направление мы найдем, если найдем среди векторов , для которых , такой вектор, что имеет наибольшее значение. Но Но среди векторов постоянный длины достигает максимального значения, если имеет направление вектора или ему противоположное. Утверждение доказано. Будем двигаться из точки в направлении вектора до тех пор, пока функция достигает минимального значения. Это будет при , т.е. при . (5) Вектор (6) и принимаем за новое приближение к решению. В методе сопряженных градиентов следующее приближение находится так. Через точку проведем гиперплоскость ( -1) – го измерения (7) и через обозначим новую невязку системы . (8) Вектор направлен по нормали к поверхности в точке , а вектор параллелен касательной плоскости в этой точке. Поэтому . (9) Гиперплоскость (7) проходит через точку , так как . При любом вектор параллелен некоторой нормальной плоскости к поверхности в точке . Найдем среди них тот, который лежит в гиперплоскости (7), т.е. ортогонален к . Из условия ортогональности имеем: , или . (10) Вектор (11) имеет направление нормали к сечению поверхности гиперплоскости (7) в точке . Будем двигаться из точки в направлении вектора до тех пор, пока функция достигнет минимума. Это будет при . (12) Вектор примем за новое приближение к решению системы. Вектор невязок (13) имеет направление нормали к поверхности в точке . Покажем, что он будет ортогонален к и . В самом деле, используя (9), (11), (12), (13), имеем: Рассмотрим гиперплоскость ( -2) – х измерений , (14) проходящую через точку . Эта гиперплоскость содержит и , так как мы ранее видели, что , а . Вектор при любом параллелен гиперплоскости (7), так как . Подберем так, чтобы он был параллелен и гиперплоскости (14), т.е. потребуем ортогональности к вектору . Будем иметь: , или (15) Вектор (16) будет иметь направление нормали к сечению поверхности гиперплоскостью (14) в точке . Из точки сместимся в направлении этого вектора так, чтобы функция достигла минимального значения. Это будет при , (17) (18) примем за новое приближение к . Новый вектор невязок будет: . (19) Продолжая процесс, получим последовательности векторов , , , определяемые рекуррентными соотношениями: (20) Для этих векторов имеют место следующие соотношения: (21) (22) В самом деле, в силу самого построения при i№j Далее, при i&g ;j Если i=j 1, то правая часть равна нулю, в силу определения , если же i&g ;j 1, то , по доказанному, и . Продолжая понижение индекса у вектора , через несколько шагов придем к скалярному произведению (по определению ). Таким образом, соотношения (21) доказаны. Для доказательства (22), в силу равноправия индексов i и j, предположим, что i&g ;j. Тогда . Так как в -мерном векторном пространства не может быть более взаимно ортогональных векторов, то на некотором шаге получим , т.е.

В зависимости от того, какая наука кладется в основу этики, это течение может быть разделено на три группы: а) социологическое направление и его тезисы. Де-Роберти и Брюль главные представители этого течения; в) психологическое направление и его тезисы. Л. И. Петражицкий и В. Вундт как лучшие представители его; с) синтетическое течение и его тезисы. А. Фулье как выразитель этого направления. II 1. Формально-логическое направление должно быть целиком отвергнуто в силу следующих оснований: а) Поскольку допустим особый, независимый от каузального метода телеологический метод, он может иметь место только в области трансцендентного мира, и так как этот мир в сферу научного познания не входит, то не может иметь приложения и телеологический метод обоснования этики как науки. в) Это течение смешивает точки зрения: теоретическую и практическую. c) Регулятивные принципы, утверждаемые этим направлением, или бесплодны и пусты, поскольку они формальны, или же перестают быть таковыми, когда они получают хоть какое-нибудь содержание. d) Понятие воли в понимании формально-логического направления бессодержательно и метафизично

1. Примеры разностных аппроксимаций

2. Градостроительство феодального Китая на примере Пекина

3. Влияние физических нагрузок на опорно-двигательный аппарат на примере плавания

4. Внешнеэкономические связи России на примере Северо-Западного и Дальневосточного регионов

5. Экономико-географическая характеристика страны на примере Испании

6. Изменение географической оболочки при добыче полезных ископаемых на примере Рускеальской мраморной ломки
7. Зарубежный опыт государственного регулирования рыночной экономики на примере Франции (Доклад)
8. Финансирование железнодорожного транспорта на примере Тюменского отделения дороги

9. Порядок исчисления налога на прибыль организаций торговли на примере ЗАО «…»

10. История мирового развития в XX веке на примере Великобритании, США и Японии

11. Разделение властей на примере РФ

12. Отраслевые особенности налогообложения на предприятиях по добыче драгоценных металлов (на примере ЗАО «НОДОК»)

13. Проблемы реализации принципа разделения властей, действия системы сдержек и противовесов на примере Российской Федерации

14. Исполнительная власть субъектов РФ (на примере Оренбургской области)

15. Использование библейских сюжетов в проектной деятельности учащихся старших классов средней школы (на примере немецкого языка)

16. Развитие мест посещений (дестинации) на примере озера Myvatn

Сумка-транспортный чехол Baby care "TravelBag" для колясок "Книжка".
Размер: 360х930х500 мм. Цвет: черный.
840 руб
Раздел: Дождевики, чехлы для колясок
Шкатулка музыкальная "Сердце", 20x19x8 см, арт. 24804.
Состав: пластик, элементы металла, стекло. Регулярно удалять пыль сухой, мягкой тканью. Музыкальный механизм с ручным заводом. Товар не
1027 руб
Раздел: Шкатулки музыкальные
Магнитная игра для путешествий "Подводный мир".
Расположи 4 магнитные детали на игровой доске таким образом, чтобы только указанные в задании обитатели подводного мира остались видны.
554 руб
Раздел: Головоломки

17. Сниженная лексика английского языка и ее перевод на русский язык (на примере переводов романа С. Кинга “Долгий путь”)

18. Принципы работы редактора над статьями в энциклопедическом издании (на примере детских энциклопедий издательства "Дорлинг Киндерсли")

19. Кубизм. На примере творчества П. Пикассо

20. Язык средств массовой информации на примере газетной печати

21. Синтаксические конструкции с простыми сравнительными формами прилагательных, наречий и слов категории состояния на примере произведения О. Э. Мандельштама

22. Человек на войне на примере "Сашки" Кондратьева
23. Народно-поэтическая основа Щедринских сказок, их самобытность, нравственно-философская направленность (на примере сказки "Коняга")
24. Заимствованные слова в региональной прессе на примере газеты "Чапаевский рабочий"

25. Мастерство Чехова-сатирика (на примере рассказов)

26. Жанр интервью в региональной прессе (на примере городской газеты "Чапаевский рабочий")

27. Оппозиционно-публицистическая деятельность А.И. Герцена за рубежом на примере Вольной русской типографии и "Колокола"

28. Основные тенденции развития детского хорового творчества на современном этапе (на примере ведущих детских хоровых коллективов г.Минска)

29. Археология, как способ познания мира на примере городища Аркаим

30. Turbo Paskal "Операции над матрицами"

31. Информационно-поисковые системы на примере "Рамблера"

32. Система научно-технического перевода (пример перевода программой PROMT Гигант)

Спиннер двухкруговой "Компас" (красный).
Компактная стильная игрушка для взрослых и детей, предназначенная для вращения на пальцах. Состоит из подшипников, благодаря которым
524 руб
Раздел: Спиннеры
Матрас в коляску "Lepre" Luna Lux.
Матрас в коляску Luna Lux - это матрас в коляску с использованием биококоса и натурального латекса. Благодаря кокосовому волокну и
923 руб
Раздел: Матрасы в коляску
Мощный стиральный порошок с отбеливателем и ферментами для сильных загрязнений "Mitsuei", 1.
Этот порошок идеально подходит для белого белья. Ферменты в составе средства, расщепляют любые сложные загрязнения и они с легкостью
434 руб
Раздел: Стиральные порошки

33. Многопроцессорный вычислительный комплекс на основе коммутационной матрицы с симметричной обработкой заданий всеми процессорами

34. Технология беспроводной передачи информации на примере технологии Bluetooth

35. Пример базы данных на Delphi 2.0

36. Примеры баз данных (Студенческая группа)

37. Технический анализ рынка ценных бумаг на примере акций РАО "ЕЭС Россия" 2001-2002 гг.

38. Семантический анализ структуры EXE файла и дисассемблер (с примерами и исходниками), вирусология
39. Объектно-ориентированный подход к проектированию программного обеспечения на примере работы налоговой инспекции
40. Учебник по языку Ассемблер в задачах и примерах

41. Учебник по языку Turbo Pascal в задачах и примерах

42. Организационный инструментарий управления проектами (сетевые матрицы, матрица разделения административных задач управления, информационно-технологическая модель)

43. Изучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных занятиях по математике

44. Изучение статистической зависимости двух случайных величин на примере массы и диаметра луковицы гладиолуса

45. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

46. Метод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов

47. Обратная сила закона. Теория и практика применения на примере преступлений против собственности

48. Перспективы экологической оптимизации структуры агроэкосистем на примере колхозов Баймакского района РБ

Настольная игра Какаду "Упрямый Шарик" (Водный Рай).
Игра 100% такая же, как была в СССР! Цель игры Путешествие Шарика или Кто Быстрее - провести маленький металлический шарик через
1452 руб
Раздел: Игры на ловкость
Кружка "On/Off".
Оригинальная чашка - меняет цвет и надпись при нагревании. Упаковка стилизованная - качественный картон. Размеры упаковки: 11х10х8
448 руб
Раздел: Кружки
Набор детской складной мебели Ника "Азбука".
Комплект складной. Подходит для кормления, игр и обучения. Поверхность столешницы ламинированная с нанесением ярких познавательных
1270 руб
Раздел: Наборы детской мебели

49. Загрязнение атмосферы и решение этой проблемы на примере Санкт-Петербурга

50. Моделирование учебного процесса на примере темы "Издержки производства"

51. Методика изучения и использования во внеклассной работе истории населённых пунктов Белгородской области (На примере посёлка Прохоровка)

52. История развития системы среднего проффесионального образования на примере техникума

53. Хозяйственный механизм античного рабства /на примере Древней Греции и Древнего Рима

54. Манипуляция сознанием /на примере США/
55. Разработка опорной Цифровой Системы Коммутации (на примере ЦСК "Квант-Е")
56. Разработка технологического процесса для получения матрицы с удлиненно-продолговатым отверстием

57. Транспортное обеспечение туризма (на примере воздушного транспорта Республики Казахстан)

58. Возможность интеграции теорий на примере РЭПТ

59. Влияние политической рекламы на формирование выбора избирателей на примере предвыборной компании России 2003 года

60. Влияние эмоциональных отклонений на внутреннюю картину болезни (на примере онкологических больных)

61. Методы размещения и трассировки печатных плат на примере модуля памяти

62. Зарождение магии и ее отражение в монотеистических религиозных системах на примере Христианства

63. Оптимизация состава машинно-тракторного парка в сельскохозяйственных предприятиях на примере ОАО "Эфко-Победа" Алексеевского района Белгородской области

64. Оптимизация производственной структуры сельскохозяйственного предприятия на примере хозяйства "Путь Ленина"

Ящик для игрушек "Профи Kids", 15 л.
Ящик для игрушек "Профи Kids" имеет 6 разноцветных вкладышей, для хранения мелких деталей, игрушек, карандашей и
499 руб
Раздел: Корзины, контейнеры для игрушек
Тетрадь на резинке "Elements", А5, 120 листов, клетка, синяя.
Тетрадь общая на резинке. Формат: А5. Количество листов: 120, в клетку. Бумага: офсет. Цвет обложки: синий.
328 руб
Раздел: Прочие
Стул детский (цвет: сиреневый).
Стул детский устойчивый и удобный. Ребёнку будет комфортно сидеть на стуле как за столом, так и самостоятельно. Соответствует всем
362 руб
Раздел: Стульчики

65. Социальный аспект трудовых конфликтов на примере шахтерских забастовок

66. Организационная культура (о корпоративной культуре, стратегиях коммуникативного взаимодействия, влияния психотипа руководителя на структуру и стиль управления организацией, культура персонала на примере Японии)

67. Влияние физических нагрузок на опорно-двигательный аппарат на примере плавания

68. Этика долга и этика счастья (на примере Канта и Гельвеция)

69. Получение синтетических красителей реакцией азосочетания на примере синтеза 3-окси-4-карбоксиазобензола

70. ОСОБЕННОСТИ НОРМИРОВАНИЯ ТРУДА В РЫНОЧНЫХ УСЛОВИЯХ НА ПРИМЕРЕ ЦШИ ОАО "НОСТА" (ОХМК)
71. Учет и анализ финансовых результатов (на примере ООО "Карат", г. Биробиджан) ([Диплом])
72. Учет и анализ основных средств на примере фирмы

73. Анализ финансово-хозяйственной деятельности предприятия на примере ООО "Карьера"

74. Бухгалтерский учет денежных средств на примере ООО "Мото-Мир"

75. Анализ состояния и эффективности использования основных средств предприятия (на примере ОАО "Газпром-Кран")

76. Бухгалтерский учет, аудит и анализ финансовых результатов на примере хлебопекарни ООО "Хлеб"

77. Учёт и аудит кассовых операций на примере предприятия

78. Планирование фонда оплаты труда на примере "ОРМЕТО-ЮУМЗ"

79. Анализ финансового состояния предприятия связи (на примере Алданского улусного узла почтовой связи)

80. Финансовые анализ предприятия на примере ОАО "Транснефть"

Конструктор металлический для уроков труда №3 в деревянной упаковке.
Из трех конструкторов, входящих в серию, этот содержит наибольшее количество деталей, следовательно возможностей собрать что-то
578 руб
Раздел: Магнитные и металлические конструкторы
Компактные развивающие игры в дорогу "Логозавры", арт. ВВ2099.
Логозавры - это увлекательная игра-головоломка на развитие логического мышления, математических навыков, внимательности,
337 руб
Раздел: Игры в дорогу
Конструктор "Mechanical Kangaroo".
Конструктор для сборки действующей модели «Механический Кенгуру». Каждый мальчишка, увидев хитроумный механизм, пытается его
317 руб
Раздел: Инженерные, научно-технические

81. Маркетинговая деятельность и управление ею на предприятии /на примере муниципального предприятия "Кировское троллейбусное управление"

82. План маркетинга (на примере ООО "Равиолло")

83. Товары потребительского спроса и товарная стратегия фирм их производящих /на примере телевизионной техники/

84. Маркетинговые исследования в оптовой торговле на примере комплексного исследования рыночных комплексов и оптовых рынков г. Екатеринбурга

85. Оценка конкурентоспособности товара (на примере арланской и западно-сибирской (мегионской) нефти)

86. Исследование рынка туристических услуг на примере региона Кавказских Минеральных Вод
87. Место бренда в стратегии развития региона на примере Республики Бурятия
88. "Особенности разработки маркетинговой стратегии на примере дома моды Dilbar"

89. Внешнеэкономические связи Российской Федерации на примере Северо-Западного и Дальневосточного регионов

90. Международная экономическая Интеграция на примере НАФТА

91. Торгово-экономические отношения со странами СНГ (на примере Республики Казахстан)

92. Руководитель: стили и методы управления /на примера АО "Вятский торговый дом"/

93. Управление персоналом в организации (на примере Орской таможни)

94. Организация управления налогообложением в условиях рынка (на примере ГНИ Октябрьского района г. Орска)

95. Подготовка персонала: организация и проблема на примере ОАО ММК им. Ильича

96. Стратегическое планирование предприятия на трехлетний период на примере ОАО "Дальхимпром"

Пенал школьный "Pixie Crew" с силиконовой панелью для картинок (зелёная клетка).
Повседневные вещи кажутся скучными и однотонными, а тебе хочется выглядеть стильно и быть не как все? "Pixie Crew" сделает твою
1096 руб
Раздел: Без наполнения
Аэрозоль Gardex "Extreme" от кровососущих насекомых и клещей, 150 мл.
Уникальный продукт с самым широким спектром действия. От всех летающих кровососущих насекомых: комаров, москитов, слепней, мокрецов,
372 руб
Раздел: Аэрозоль, спрей
Шнуровка-бусы "Весна".
Эта простая, но интересная игрушка увлечет малыша! Цель игры - нанизать на шнурок все бусинки и сделать яркие бусы! Ребенку будет
321 руб
Раздел: Деревянные шнуровки

97. Развитие управленческой предприимчивости в новых условиях хозяйствования на примере ОАО "Курганмолпром"

98. Корпоративная культура (на примере ЮКОСА)

99. Пример должностной инструкции секретаря-референта

100. Факторы внешнего окружения фирмы и их учет(Теория + практика на примере СЛДК)


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.