|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Численное интегрирование определённых интегралов |
Коврик для запекания, силиконовый "Пекарь". 
Чашка "Неваляшка". АННОТАЦИЯ В данной работе будут рассмотрены три метода приближённого интегрирования определённого интеграла: метод прямоугольников, метод трапеций и метод Симпсона. Все эти методы будут подробно выведены с оценкой погрешности каждого из них. Для более полного восприятия материала в работу помещён раздел, в котором подробно расписано решение, всеми тремя методами, определённого интеграла. В материале имеются иллюстрации, с помощью которых, можно более глубоко вникнуть в суть рассматриваемой темы. СОДЕРЖАНИЕ Введение 3 Основная часть .4 -формула прямоугольников .6 -формула трапеций .8 -формула Симпсона 10 Практика .15 Заключение .19 Список литературы .20 ВВЕДЕНИЕ Цель данной курсовой работы – изучение методов приближённого интегрирования. Для некоторых подынтегральных функций интеграл можно вычислить аналитически или найти в справочниках. Однако в общем случае первообразная может быть не определена: либо первообразные не выражаются через элементарные функции, либо сами подынтегральные функции не являются элементарными. Это приводит к необходимости разработки приближенных методов вычисления определенных интегралов. Наиболее общеупотребительными приближенными методами вычисления одномерных определенных интегралов являются, так называемые, "классические" методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций, метод парабол (основанные на суммировании элементарных площадей, на которые разбивается вся площадь под функцией ). Хотя эти методы обычно предпочтительней в случае малых размерностей, они практически не годятся для вычисления многомерных интегралов, для их вычисления используются другие методы, однако в этой работе они рассмотрены не будут. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ I.Определение интеграла и его геометрический смысл. В начале узнаем, что такое определённый интеграл. Возможны два различных подхода к определению определённого интеграла. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1: приращение F(b)-F(a) любой из преобразованных функций F(x) c при изменении аргумента от x=a до x=b называют определённым интегралом от a до b функции f и обозначается . Причём функция F является первообразной для функции f на некотором промежутке D, а числа а и b принадлежат этому промежутку. Это можно записать следующим образом: (1) это формула Ньютона-Лейбница. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2: Если при любой последовательности разбиений отрезка таких, что ?=max?xi>0 ( >?) и при любом выборе точекf(?i) ?xi стремится к одному и тому же конечному пределу А, то это число А и есть определённый интеграл, т.е.f (?i) ?xi=A(2). Где ?хi=xi-xi-1 (i=1,2, , ) ?=max?xi – начало разбиения сумма всех произведений f(?i)?xi(i=1, , ). Простыми словами, определенный интеграл есть предел интегральной суммы, число членов которой неограниченно возрастает, а каждое слагаемое стремится к нулю. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ: функция f интегрируема на отрезке , функция f неотрицательна, но определённый интеграл численно равен S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f, осью абсцисс и прямыми x=a и x=b, S=f(x)dx. II.Приближённые методы вычисления. Как мы уже отметили, если функция f непрерывна на промежутке, то на этом промежутке существует функция F такая, что F’=f, то есть существует первообразная для функции f, но не всякая элементарная функция f имеет элементарную первообразную F.
Объясним понятие элементарной функции. Функции: степенная, показательная, тригонометрическая, логарифмическая, обратные тригонометрическим называются основными элементарными функциями. Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических операций и суперпозиций основных элементарных. Например следующие интегралы: ?e-xdx; ?; ?dx/l x ; ?(ex/x)dx; ?si x2dx; ?l x si xdx существуют, но не выражаются в конечном виде через элементарные функции, то есть относятся к числу интегралов, «не берущихся» в элементарных функциях. Бывает, что на практике сталкиваются с вычислением интегралов от функций, которые заданы табличными и графическими способами, или интегралы от функций, первообразные которых выражаются через элементарные функции очень сложно, что не удобно, долго и не рационально. В этих случаях вычисление определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница (1) сводит вычисление определённого интеграла от какой-либо функции к нахождению её первообразной. Значит, если первообразная не элементарна, надо вычислить определённый интеграл как-то по другому, поэтому прибегают к различным методам приближённого интегрирования. В основе приближённых методов интегрирования лежит геометрический смысл определённого интеграла, который рассмотрен выше. Формул приближённого интегрирования существует много. В данной курсовой работе будет рассмотрено три метода приближённого интегрирования: метод трапеций, метод прямоугольников и метод Симпсона. 1. Формула прямоугольников Теперь рассмотрим первый вид приближённого вычисления:требуется вычислить определённый интеграл: задана непрерывная функция y=f(x). Разделим отрезок , аналогично как в формуле трапеций: точками a=x0,x1,x2, ,x =b на равных частей длины ?х, где ?х=(b-a)/ . Обозначим через y0,y1,y2, ,y -1,y значение функции f(x) в точках x0, x1, x2 ,x , то есть, если записать в наглядной формуле: Y0=f(x0), y1=f(x1), y2=f(x2) y ,=f(x ). В данном способе подынтегральную функцию заменяем функцией, которая имеет ступенчатый вид (на рис. выделена). Составим суммы: y0?x y1?x1 y2?x2 y -1?x; Y1?x y2?x y ?x Каждое слагаемое этих сумм выражает площадь, полученных прямоугольников с основанием ?х, которое является шириной прямоугольника, и длиной выраженной через yi: Sпр=a b=yi?x. Каждая из этих сумм является интегральной суммой для f(x) на отрезке , и равна площади ступенчатых фигур, а значит приближённо выражает интеграл. Вынесем ?x=(b-a)/ из каждой суммы, получим: f(x)dx?x(y1 y2 y ). Выразив x, получим окончательно: f(x)dx?((b-a)/ )(y1 y2 y );(3 ) Это и есть формулы прямоугольников. Их две, так как можно использовать два способа замены подынтегральной функции. Если f(x)- положительная и возрастающая функция, то формула (3) выражает S фигуры, расположенной под графиком, составленной из входящих прямоугольников, а формула (3 )- площадь ступенчатой фигуры, расположенной под графиком функции составленной из выходящих треугольников. Ошибка, совершаемая при вычислении интегралов по формуле прямоугольников, будет тем меньше, чем больше число (то есть чем меньше шаг деления).
Для вычисления погрешности этого метода используется формула: P p= Результат полученный по формуле (3) заведомо даёт большую площадь прямоугольника, так же по формуле (3 ) даёт заведомо меньшую площадь, для получения среднего результата используется формула средних прямоугольников: (3 ) 2.Формула трапеций. Возьмём определённый интеграл ?f(x)dx, где f(x)- непрерывная подынтегральная функция, которую мы для наглядности будем предполагать положительной. При вычислении интеграла с помощью формулы трапеций подынтегральная функция f заменяется функцией, график которой представляет собой ломанную линию (на рисунке 2 красным цветом), звенья которой соединяют концы ординат yi-1 и yi (i=1,2, , ).Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями x=a, x=b, y=0, y=f(x), а значит (следуя из геометрического смысла), и значение нужного нам интеграла, приблизительно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями yi-1 и yi и высотой h=(b-a)/ , так как (если более привычно выражать для нас) h это ?x,a ?x=(b-a)/ при делении отрезка на равных отрезков при помощи точек x0=a
Говоря словами Алексея Николаевича, курс «имеет целью показать действительно применимые практические приемы и способы вычисления». «Главная забота была о том, чтобы показать, как и когда тем или иным приемом пользоваться». Курс охватывает все важнейшие задачи этого рода: вычисление корней численных уравнений, определенных интегралов, пользование тригонометрическими рядами и приближенное решение дифференциальных уравнений. Редко встречается курс, где бы с такой ясностью и полнотой излагались как основные правила, так и примеры их применений; всякое вычисление доводится до конца, с указанием всех необходимых промежуточных этапов, вследствие чего изучивший книгу Крылова может вполне овладеть изложенными в ней приемами. Наконец, остановлю ваше внимание на замечательной книге: «О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложение в технических вопросах», впервые вышедшей в 1913Pг., а затем вторым пополненным изданием в 1932Pг. и третьим в текущем году. Я не знаю руководства, лучше освещающего разнообразнейшие приемы интегрирования уравнений, практически применяемые в этой основной задаче; изложение в высшей степени простое, ясное и полное, с указанием подробного хода вычислений иллюстрировано самыми разнообразными примерами, как заимствованными из работ других ученых, так и взятыми из статей самого Крылова
1. Численное интегрирование методом Гаусса
2. Численное интегрирование функции методом Гаусса
3. Вычисление определенного интеграла методами трапеций и средних прямоугольников
4. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики
5. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики
9. Вычисление определенного интеграла
10. Методика установления норм времени и определения норм выработки. Нормативы численности
11. Определение активности ферментов
12. Определения положения объектов на местности при помощи приборов нивелира и теодолита
13. Инженерно-геологические изыскания для определения характеристик грунтов и оснований
14. Налоги: эволюция, определения и формы. Принципы налоговой политики и функции налогов
15. В чем сложность налога на добавленную стоимость (в определении и собирании)
16. Определения (Теория государства и право)
Сменный фильтр "Барьер-6" (2 штуки). 
Караоке песенки В. Шаинского. 
Дуст от муравьев "Чистый дом", 350 грамм. 17. Происхождение, основные этапы развития и современные определения термина «библиография»
18. Определение подозрительных пакетов, анализ протоколов сети
19. Вычисление определённого интеграла с помощью метода трапеций на компьютере
20. Основные определения и теоремы к зачету по функциональному анализу
21. Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и некоторые его приложения
25. Определение усилия штамповки в открытых штампах
29. Разработки функциональной схемы и определение ее быстродействия
30. Способ определения живучести связи (вероятности связности)
31. Определение параметров p-n перехода
32. Определение понятия "общественное мнение" (трактовка автора)
Пенка для купания малышей "Arau Baby", 400 мл. 
Набор мягкой мебели для гостиной "Коллекция". 
Точилка "Berlingo" механическая. 33. Определение горизонтальной составляющей магнитного поля Земли
34. Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения
37. "Камю", "Сартр", "Шопенгауэр", "Ясперс", "Фромм" (Рефераты, доклады по философии)
42. Методы определения требований к кандидатам на замещение вакантной должности
43. Общая характеристика организации, определение миссии организации
45. Определение эффективности производства
46. Определение основных показателей плана экономического и социального развития на 2001 год
47. Определение риска и эффективности каждой из стратегий развития фирмы
48. Виды монополий и особенности определения цены и объёма производства
Точилка "Божья коровка", электрическая с контейнером (2 запасных лезвия EG-5009). 
Макси-пазлы "Ягоды", 20 элементов. 
Рюкзак "Basic. Чемпионат мира по футболу 2018", 30х41х13 см. 49. Вычисление интеграла методом Ньютона-Котеса (теория и программа на Паскале)
51. Культура: основные определения и понятия
52. Обособленные определения. Вопросы теории и практики
53. Определение логических понятий
57. Интеграл Лебега
59. Приближенное вычисление определенных интегралов
60. Различные подходы к определению проективной плоскости
63. Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств
64. Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке
Подгузники Libero Newborn, 24 штуки, 0-2,5 кг. 
Фломастеры "Jungle Innovation" на подставке, 12 цветов. 
Карандаши акварельные "Mondeluz", 24 цвета. 65. Определение некоторых костей скелета человка
66. Внутрибольничная инфекция, понятие и природа современной ВБИ. Определение ВОЗ
67. Методология определения стоимости медицинской услуги
69. Об украинских непрямых методах определения налогового обязательства
73. Определение диаметра короткого трубопровода при истечении в атмосферу
74. Химический метод Винклера для определения растворенного кислорода
75. Определение поверхностного натяжения методом счета капель
76. Разработка ионометрической методики определения четвертичных аммониевых солей
77. Определение пола у динозавров
78. Моделирование в определении содержания понятия «власть»
79. Самообучающиеся организации и определение системы с точки зрения НЛП
80. Демократия. Сложность определения и недостатки ее практических форм
Папка-портфель пластиковая, А4, синяя (390x320 мм, 4 отделения, усиленная ручка). 
Набор чернографитовых карандашей "Art", 12 штук. 
Настольная игра "Проныры". 81. Определение применимого права при использовании независимых гарантий и резервных аккредитивов
82. Определение общих принципов местного самоуправления
83. Определение критериев выделения валютных ограничений
84. Инструментальное определение суицидального настроя личности
85. Явление и определение внимания
89. Определение воли. Произвольная и волевая регуляция деятельности
90. Определение, классификации и функции эмоций
91. Определение сознаваемого и неосознаваемого в мотивации
92. Определение своего стиля познания
93. Алгоритм определения перечня специальных квалификационных характеристик (компетентностей)
94. Определение функций электрической цепи и расчет их частотных зависимостей
96. Определение характеристик оптимального обнаружения сигналов
Мольберт "Ника растущий", со счетами (оранжевый). 
Конструктор "Краски дня. Утро", 105 деталей. 
Глобус Звездного неба диаметром 320 мм. 97. Определение параметров p-n перехода
98. Анализ эффективности рекламного сообщения по определенной анкете
99. Определение ежемесячного рекламного веса
Совок большой. 
