Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Об основаниях теории множеств

Коврик для запекания, силиконовый "Пекарь".
Коврик "Пекарь", сделанный из силикона, поможет Вам готовить вкусную и красивую выпечку. Благодаря материалу коврика, выпечка не
202 руб
Раздел: Коврики силиконовые для выпечки
Фонарь желаний бумажный, оранжевый.
В комплекте: фонарик, горелка. Оформление упаковки - 100% полностью на русском языке. Форма купола "перевёрнутая груша" как у
87 руб
Раздел: Небесные фонарики
Фонарь садовый «Тюльпан».
Дачные фонари на солнечных батареях были сделаны с использованием технологии аккумулирования солнечной энергии. Уличные светильники для
106 руб
Раздел: Уличное освещение

Об основаниях теории множеств П. Дж. Коэн Высказываться о философских проблемах теории множеств, — разумеется, не совсем то, что высказываться о самой теории множеств. Я, по крайней мере, в этом положении чувствую себя непривычно и неловко. Я остро ощущаю тщетность попыток сформулировать позицию, приемлемую для всех или хотя бы для многих, и одновременно сознаю непоследовательность и трудности моей собственной точки зрения. Конечно же, те, кто до меня совершали этот рискованный переход от математики к философии, обычно шли на это на более позднем этапе своей научной карьеры. Наконец, к довершению трудностей, почти немыслимо добавить что-нибудь новое к этому старому спору. В самом деле, я склонен думать, что на такие фундаментальные вопросы любые технические достижения почти не проливают света — хотя, конечно, они могут повлиять на распространение той или иной точки зрения. Но вот, невзирая на все эти оговорки, я чувствую некоторое воодушевление от возможности высказать свои мысли, надеюсь, не слишком догматично, и указать на обстоятельства, на которые, пожалуй, следует указать. Фундаментальные открытия в логике были сделаны так недавно, что мы ещё в состоянии разделять глубокое волнение от этих поисков вслепую. Всплеск исследовательской активности в теории множеств, о котором свидетельствует нынешняя встреча, возможно, усиливает наш энтузиазм. Тон сегодняшних философских дискуссий, однако, как будто изменился. Возможно, математики полностью выложились в неистовых спорах прошлого, или их аудитория утомилась от полемики, — как бы то ни было, сейчас принято формулировать свою точку зрения, но не пытаться тут же обращать слушателя в собственную веру. В этом духе собираюсь выступить и я, чистосердечно уверив слушателей в своей терпимости к чужим взглядам. Хотя я не представляю себе, что можно было бы назвать «истинным» прогрессом в основаниях математики, очень интересно проследить с точки зрения историка, как высказывались на эту тему разные поколения, и попытаться угадать, как окрашивал их мнения дух времени. Сам я предпочитаю рассматривать математическую деятельность как сугубо человеческое предприятие, а отнюдь не как безличное наступление науки, свободной от всех человеческих слабостей. Так, позиция по вопросам оснований, которую занимает тот или иной математик, в большой мере определяется его воспитанием и окружением. Мне кажется, что желание принять принципы, ведущие к интересной и красивой математике, в прошлом безусловно преодолело разнообразную и серьёзную критику. В этом докладе я хотел бы указать на аналогичные тенденции, которые существуют сегодня. Прежде в центре споров находились многие вопросы, о которых я без особых на то причин высказываться не стану, например, закон исключённого третьего. Хотя он и связан с проблемами теории множеств, скажем, через использование непредикативных определений, сам по себе он не относится к теории множеств и здесь обсуждаться не будет. Я не намерен заниматься также всеми остальными проблемами законности применения исчисления предикатов, вопросами о природе формализации математики и чисто философскими вопросами, мало связанными со спецификой математического знания.

Для меня важнейшей проблемой представляется существование бесконечных совокупностей. Отношение к бесконечным множествам по традиции было критерием размежевания математиков. Знаменитые логические антиномии никогда не играли заметной роли в математике просто потому, что они не имели ничего общего с обычно используемыми рассуждениями. Никогда не рассматривались все мыслимые объекты универсума, длины описаний и т.п. Все эти трудности принадлежат, собственно, истории развития понятия формальной системы. Подобно этому, парадоксы Зенона вовсе не производят на нас впечатления демонстрации серьёзных трудностей, ради чего они и были придуманы. В общем, я склонен считать, что многие из этих проблем исторически связаны с переходным периодом от классической философии к нынешней математике. Нет сомнения, что в ряде случаев бесконечными множествами можно пользоваться без особых опасений. Очевидно, всё равно, сказать ли, что некоторым свойством обладают все целые числа или все элементы множества целых чисел. Точно также, сказать, что принадлежит множеству четных чисел, всё равно, что сказать « чётное». Иными словами, можно заменить использование некоторых множеств названием соответствующих свойств. Если бы это удавалось сделать всегда, у нас осталось бы мало оснований для беспокойства. В теории чисел, желая избежать апелляции к понятию произвольного множества целых чисел, мы должны формулировать принцип индукции отдельно для каждого свойства, которое можно выразить. Однако чрезвычайная сложность теории множеств, особенно её непредикативный характер, мешают просто представлять себе множества как стенограмму свойств. Всё же самые мощные и характерные аксиомы теории множеств — аксиомы степени и подстановки — описывают множества свойствами, а гёделевская теория конструктивных множеств показывает, что некоторую модель теории множеств можно получить, рассматривая вообще только множества, в некотором смысле отвечающие свойствам. То обстоятельство, что аксиома подстановки есть на самом деле бесконечная схема аксиом, в определённых отношениях является недостатком. Действительно, создаётся впечатление, что мы позволяем рассматривать лишь некоторые свойства, вместо того чтобы указать фундаментальное описание способов построения множеств. Конечно, всё это связано с теоремой Гёделя о неполноте, согласно которой никакая конечно аксиоматизируемая система не может быть полной. Эта теорема является величайшим препятствием для любой попытки полностью понять природу бесконечных множеств. Одновременно, показывая, что высшие бесконечности отражаются в теории чисел, ибо позволяют нам доказывать недоказуемые без них утверждения, теорема Гёделя чрезвычайно затрудняет отстаивание той точки зрения, что высшие бесконечности можно попросту отвергнуть. Наша привычка к теореме о неполноте не должна мешать нам постоянно видеть эту фундаментальную недостаточность всех формальных систем, которая имеет гораздо более далеко идущие последствия, чем независимость частных утверждений вроде гипотезы континуума. Именно это лежит в основе моего пессимистического мнения о том, что любое техническое достижение и в будущем не прольёт света на основные философские проблемы.

Рядовому математику, желающему лишь увериться в том, что его дело стоит не на песке, самым привлекательным способом избежать трудностей может показаться программа Гильберта. С этой точки зрения математика есть формальная игра, в которой следует заботиться лишь о непротиворечивости. С течением времени, когда операционный подход распространился на другие области, скажем, физику, привлекательность этой позиции, возможно, увеличилась. Можно работать лишь с непосредственно данными объектами, а в математике к таким относятся скорее формальные языки, чем бесконечные множества. Действительно, гильбертовская программа формализации по-прежнему остаётся единственной вполне точной (мы не говорим правильной) точкой зрения в этих вопросах. Вот убедительный пример того, как само по себе течение времени мало повлияло на появление новых и оригинальных концепций в основаниях. Но, разумеется, формализму присущи свои трудности, и прежде чем вернуться к нему, мы рассмотрим его главную альтернативу, точку зрения, которую можно назвать платонизмом, а мы предпочтём называть реализмом. Сторонник реалистической философии полностью принимает ценности традиционной математики. Все вопросы типа гипотезы континуума допускают положительный или отрицательный ответ в реальном мире безотносительно к их независимости от той или иной системы аксиом. Вероятно, большинство математиков предпочли бы эту точку зрения. В ней начинают сомневаться лишь после осознания некоторых трудностей теории множеств. Если эти трудности особенно смущают математика, он спешит под прикрытие формализма, предпочитая, однако, в спокойное время обретаться где-то между двух миров, наслаждаясь лучшим, что есть в обоих. Главное преимущество реализма состоит в том, что он избавляет от необходимости обосновывать аксиомы теории множеств. Нет нужды устанавливать их непротиворечивость и, что кажется мне столь же важным, нет нужды объяснять, почему именно эти аксиомы оказались настолько успешными и достойными специального внимания. Соответственно самая большая слабость формализма состоит в невозможности объяснить, почему аксиомы теории множеств, предположительно не отражающие никакой реальности, способны доказывать арифметические утверждения, не доказуемые с помощью более финитистских средств. Слабость, которую, как я полагаю, вынужден будет признать любой реалист, состоит в неспособности объяснить нескончаемую последовательность новых аксиом, вроде высших аксиом бесконечности. Несомненно, самый закоренелый реалист содрогнётся, рассматривая кардиналы достаточно недостижимого типа. А есть ещё аксиомы, как аксиома об измеримом кардинале, которые сильнее всех предложенных аксиом бесконечности и относительно которых, по-видимому, нет ни малейших интуитивно убедительных свидетельств в пользу принятия или отвержения. Недавние результаты о независимости также бросают вызов реалистической позиции. Хотя некоторые чувствуют, что какая-то интуитивно приемлемая аксиома сможет в конце концов разрешить проблему континуума и подобные ей вопросы, нет ни малейшей надежды на такой исход для аксиомы об измеримом кардинале, которую ревностные теоретико-множественники, вероятно, вынуждены будут признать в качестве аксиомы, ни к чему не сводимой.

Рассел назвал Кантора одним из великих мыслителей XIXPв. В 1910Pг. Рассел писал: «Решение проблем, издавна окутывавших тайной математическую бесконечность, является, вероятно, величайшим достижением, которым должен гордиться наш век». Расселу вторил Гильберт: «Никто не изгонит нас из рая, созданного Кантором». В 1926Pг. Гильберт так отозвался о трудах Кантора: «Мне представляется, что это самый восхитительный цветок математической мысли и одно из величайших достижений человеческой деятельности в сфере чистого мышления». Причину споров, которые породила теория множеств, очень тонко и точно охарактеризовал Феликс Хаусдорф в «Основаниях теории множеств» (1914).{102} Теорию множеств он метко назвал «областью, где ничто не является очевидным, где истинные утверждения нередко звучат парадоксально, а правдоподобные зачастую оказываются ложными». Большинство математиков были обеспокоены вытекавшими из теории Кантора следствиями по совершенно иной причине, нежели приемлемость или неприемлемость бесконечных множеств различной мощности

1. Начала онтологии как теории эволюции материи

2. Лабораторная работа №3 по "Основам теории систем" (Теория двойственности в задачах линейного программирования)

3. Социальные и философские истоки бунта Раскольникова

4. Роль теории дифференциальных уравнений в современной математике и ее приложениях

5. Нетрудовые теории стоимости: теория предельной полезности, теория факторов производства, теория спроса и предложения

6. Философские истоки концептуальной психотерапии
7. Аксиоматика теории множеств
8. Применение теории нечетких множеств к финансовому анализу предприятий

9. Элементы теории множеств

10. Философские аспекты теории относительности

11. Формирование философской теории Бессознательного

12. Ричард Хэмминг и начало теории кодирования

13. Ценностные основания теории трансформации кризисного общества

14. Квантовая теория и истоки учения об атоме

15. Истоки и крушение теории Родиона Раскольникова в романе Достоевского "Преступление и наказание".

16. Социологическая теория в Западной Европе начала ХХ века

Грызунок на прищепке "Сердечко".
Грызунок сделан из безопасного пищевого силикона, он выполняет роль прорезывателя для зубов. Бусины грызунка достаточно мягкие и очень
392 руб
Раздел: Силиконовые
Набор для проведения опытов по выработке электричества "Маленький гений".
Сейчас уже невозможно представить жизнь человечества без электричества. Для обеспечения людей электричеством работают огромные
452 руб
Раздел: Физические опыты
Бумага "IQ Color", А4, 250 листов, 5 цветов.
Обладает высокой однородностью цвета и точной нарезкой листа. Применяется для печати на копировально-множительной технике, лазерных и
462 руб
Раздел: Формата А4 и меньше

17. Картины мира. Философская теория бытия

18. Научно-философское мировоззрение. Идеи и теории Н.Н. Страхова

19. Теории и гипотезы о Луне

20. Происхождение человека. Эволюция человека. Теории и гипотезы

21. Теории зарождения жизни на Земле

22. Теория Дарвина
23. Антропогенез: эволюционная теория происхождения человека
24. Бюджетный дефицит и государственный долг: теория проблемы и ее проявление в российской экономике

25. Шпаргалки для госэкзамена по теории государства и права

26. Теория социальной пассионарности Л. Н. Гумилева

27. Противоречивость "норманнской теории" происхождения государства у славян

28. Норманнская теория происхождения русской государственности ее апологеты и критики

29. Шпаргалка по общей теории права

30. Теория государства и права как наука и учебная дисциплина

31. Генезис (развитие) теории правового государства с древнейших времен и по наши дни

32. Теории государства и права (Шпаргалка)

Фоторамка-коллаж для 12 фото, 58x45x2 см, арт. 238642.
Фоторамка украсит интерьер помещения оригинальным образом и позволит сохранить на память изображения дорогих вам людей и интересных
1460 руб
Раздел: Мультирамки
Набор для специй "Садовая ягода", 2 предмета+салфетница, 23x6,5x9 см.
Набор для специй из 2 предметов и салфетницы на деревянной подставке. Размер: 23x6,5x9 см. Материал: керамика.
318 руб
Раздел: Прочее
Настольная игра "Свинтус".
Свинтус веселая и быстрая игра, в которую могут играть как двое, так и несколько человек. Итак, сражение за звание лучшего работника можно
390 руб
Раздел: Игры в дорогу

33. Теория государства и права

34. Теория государства и права

35. Теория государства и права (Шпаргалка)

36. Теория разделения властей

37. Экзаменационные вопросы к государственному экзамену по теории государства и права

38. Определения (Теория государства и право)
39. Предмет теории государства и права
40. Шпоры к ГОСам (теория государства и права)

41. Шпаргалки по теории государства и права

42. Теория государства и права (шпаргалки для госэкзамена)

43. Теория государства и права (ТГП) в таблице

44. Теория государства и права (шпаргалки)

45. Теория и методика преподавания классического танца

46. Антропогенез: эволюционная теория происхождения человека

47. Проблемы теории культуры в отечественной философии (А. Ф. Лосев, М. К. Мамардашвили)

48. Шпоры по Поэтике или теории литературы

Кино-хлопушка.
Реальная кино-хлопушка. Материалы: мдф, фанера. Качественная трафаретная окраска.
418 руб
Раздел: Прочее
Папка для тетрадей "Чемпионат мира по футболу 2018. Талисман", красная, А4.
Формат: А4. Застежка: молния.
365 руб
Раздел: Канцтовары, хобби
Набор из 6 фигурок "Дикие животные Севера", арт. PH020406A15.
Этот набор игрушечных животных будет очень кстати, когда мальчик решит устроить импровизированный заповедник. В комплект входят 6 фигурок
396 руб
Раздел: Дикие животные

49. Теория и методика русского языка (экзаменационные билеты)

50. Норманнская теория происхождения государства у славян и ее роль в российской истории

51. Краткий конспект лекций по Теории тестирования аппаратных и программных средств

52. Теория системного управления

53. Постановка лабораторной работы по теории графов

54. Теория многозадачности и многопоточности
55. Лекции по теории проектирования баз данных (БД)
56. Теория автоматов (Разработать автомата для сложения в коде 8421 в обратном коде в формате с фиксированной запятой)

57. ПТЦА - Прикладная теория цифровых автоматов

58. Лабораторная работа №5 по "Основам теории систем" (Транспортные задачи линейного программирования)

59. Лабораторная работа №2 по "Основам теории систем" (Решение задач линейного программирования симплекс-методом. Варианты разрешимости задач линейного программирования)

60. Терминология теории систем (автоматизированные и автоматические системы)

61. Математичекие основы теории систем: анализ сигнального графа и синтез комбинационных схем

62. Теория вероятности и математическая статистика

63. Теория случайных функций

64. Теория игр и принятие решений

Настольная игра "На память".
Следите за тем, в каком порядке загораются кнопки, а затем правильно повторите последовательность загоравшихся цветов! Отличная игра,
310 руб
Раздел: Прочие
Коляска для кукол "Лили".
4-х колесная коляска. Материал: высококачественная пластмасса. Возраст: с 3 лет. Размер: 27,5х36,5х49 см. Вес коляски: 600
380 руб
Раздел: Коляски прогулочные, трости
Шкатулка, 36x26x18 см (арт. 3871-RT-64).
Шкатулка очень удобна в использовании, и к тому же станет украшением вашего домашнего интерьера! Модель: 64. Оформление корпуса: ткань,
2717 руб
Раздел: Шкатулки для рукоделия

65. Теория графов и её применение

66. Счётные множества

67. Теория информации

68. Теория графов. Задача коммивояжера

69. Шпоры по теории вероятности

70. Теория неявных функций и ее приложения
71. Продвинутые методы Ганемана. LМ-потенции: теория и практика
72. Лекции по теории преступности

73. Обратная сила закона. Теория и практика применения на примере преступлений против собственности

74. Суть теории биосферы В.И. Вернадского

75. Теории обучения в высшей школе

76. Психологические теории эмоций

77. Теория и методика воспитания (шпаргалка)

78. Теория международных отношений

79. Теория мертвой страны

80. Теория политических решений

Пелёнка-кокон для мальчика "Карапуз" на липучке.
Пеленка-кокон для пеленания с удлиненными краями, оснащенными липучками. Дарит чувство комфорта и безопасности новорожденному малышу,
419 руб
Раздел: Пелёнки
Занимательная пирамидка большая.
Эта пирамидка станет для ребенка хорошей игрушкой для игр в песочнице и для игр в воде. Предназначение пирамидки состоит в том, чтобы
329 руб
Раздел: Пластиковые
Набор ковриков "Kamalak Tekstil" для ванной, 50х50 см и 50x80 см (коричневый).
Ковры-паласы выполнены из полипропилена. Ковры обладают хорошими показателями теплостойкости и шумоизоляции. Являются гипоаллергенными. За
607 руб
Раздел: Коврики

81. Теории деформационного упрочнения монокристаллов

82. Основы теории надежности

83. Гидродинамическая теория смазки и ее возможности для расчета и анализа работы подшипников двигателя внутреннего сгорания

84. Теории о несуществовании загробного бытия

85. Культурологическая и психосексуальная теория Фрейда

86. Ортодоксальность теории З. Фрейда
87. Основные теории мотивации
88. Основные понятия в теории функциональных систем Анохина

89. Бихевиоризм. Теория личности Берреса Фредерика Скиннера

90. Теория личности Зигмунда Фрейда

91. Экзистенциальный анализ. История, теория и методология практики

92. Изучение теории личности и межличностных отношений

93. Теория социально-психологического тренинга

94. Теория лжи

95. Теория установки Узнадзе

96. Основы теории цепей

Глобус Звездного неба диаметром 320 мм.
Диаметр: 320 мм. Масштаб: 1:40000000. Материал подставки: пластик. Цвет подставки: черный. Шар выполнен из толстого пластика, имеет один
1007 руб
Раздел: Глобусы
Набор детской складной мебели "Веселая азбука".
Детский комплект складной мебели подходит для кормления, игр и обучения. Поверхность столешницы ламинированная с нанесением ярких
1629 руб
Раздел: Наборы детской мебели
Набор мебели для кухни "Коллекция".
Прекрасный набор кухонной мебели: стильный шкаф с необходимой техникой, раковиной, барной стойкой и холодильник. В набор так же входит
963 руб
Раздел: Кухни, столовые

97. Теории электрической связи: Расчет приемника, оптимальная фильтрация, эффективное кодирование

98. 6 задач по теории электрических цепей

99. Иудаизм - теория и практика расизма


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.