Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Компьютеры, Программирование Компьютеры, Программирование     Программное обеспечение Программное обеспечение

Геометрические задачи на олимпиадах по информатике

Фонарь желаний бумажный, оранжевый.
В комплекте: фонарик, горелка. Оформление упаковки - 100% полностью на русском языке. Форма купола "перевёрнутая груша" как у
87 руб
Раздел: Небесные фонарики
Крючки с поводками Mikado SSH Fudo "SB Chinu", №4BN, поводок 0,22 мм.
Качественные Японские крючки с лопаткой. Крючки с поводками – готовы к ловле. Высшего качества, исключительно острые японские крючки,
58 руб
Раздел: Размер от №1 до №10
Ночник-проектор "Звездное небо и планеты", фиолетовый.
Оригинальный светильник - ночник - проектор. Корпус поворачивается от руки. Источник света: 1) Лампочка (от карманных фонариков) 2) Три
330 руб
Раздел: Ночники

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины» Математический факультет Кафедра МПМРеферат Геометрические задачи на олимпиадах по информатике Исполнитель: Студентка группы М-31 Селиванцова А.Ю. Научный руководитель: Канд. физ-мат. наук, доцент Лебедева М.Т.Гомель 2007 СодержаниеВведение 1. Основные формулы и алгоритмы 2. Численное решение геометрических задач 3. Различные задачи Заключение Литература ВведениеНа большинстве многих областных олимпиадах по информатике по крайней мере одна из задач связана с геометрическими понятиями. Причем сформулированы они чаще всего в терминах вычислительной геометрии и описание таких объектов как прямая, отрезок, окружность, треугольник и т.д. производится путем задания координат точек, характеризующих эти объекты, в той или иной системе координат. Прежде, чем мы перейдем к рассмотрению этого класса олимпиадных задач, перечислим элементарные подзадачи (иногда это просто формулы из курса математики), на решение которых обычно опираются решения задач вычислительной геометрии. 1. Основные формулы и алгоритмыБольшинство из перечисленных задач либо не требуют пояснений, либо приведены в . Напомним лишь наиболее важные из них. Причем основным инструментом для построения наиболее простых формул во многих задачах вычислительной геометрии является векторное произведение. Поэтому рассмотрение начнем с вопросов, с ним связанных. Косое произведение в задачах вычислительной геометрии Под косым произведением векторов p1 и p2 с декартовыми координатами (x1, y1) и (x2, y2) можно понимать ориентированную площадь параллелограмма, образованного точками (0,0), (x1, y1), (x2, y2), (x1 x2, y1 y2), которая равна p1ґp2 = –p2ґp1= x1y2 – x2y1 (задача 5.5). Косое произведение напрямую связано с понятием векторного произведения (но в отличие от последнего это скаляр). Поэтому в литературе по вычислительной геометрии иногда используется именно ито понятие. По-другому косое произведение как и векторное обозначается . Если два вектора провести из общей начальной точки, то их косое произведение больше нуля, если угол между первым и вторым вектором ориентирован также как угол между первым и вторым базисными векторами и меньше нуля — в противном случае. Косое произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они коллинеарны (сонаправлены или противоположно направлены). В задаче 3.2 проверить наличие пересечения у двух отрезков (а зачастую нас интересует лишь сам факт пересечения) несложно именно с использованием косого произведения. Пусть первый отрезок задан точками p1 и p2, а второй — p3 и p4 (также обозначаются вектора с соответствующими координатами). Обозначим xmax1 и xmi 1 — максимальную и минимальную из первых координат первого отрезка, xmax2 и xmi 2 — то же для второго отрезка. Для второй координаты аналогично имеем ymax1, ymi 1, ymax2 и ymi 2. Упомянутые отрезки пересекаются тогда, когда а) пересекаются ограничивающие их прямоугольники, т.е. xmax1 і xmi 2, xmax2 і xmi 1, ymax1 і ymi 2 и ymax2 і ymi 1; б) косые произведения (p3 – p1)ґ(p2 – p1) и (p4 – p1)ґ(p2 – p1) имеют разный знак, точнее Ј 0; в) Ј 0.

Последние два условия означают, что концы одного отрезка лежат по разные стороны от прямой, которой принадлежит другой отрезок. Первое же условие исключает из специального рассмотрения случай равенства нулю всех четырех косых произведений, при котором отрезки лежат на одной прямой и могут как пересекаться, так и нет. Площадь треугольника (задача 6.3) равна половине модуля косого произведения двух векторов, образованных любыми двумя его сторонами. Тогда расстояние от точки C до прямой, заданной координатами точек A и B (задача 4.2), можно подсчитать как отношение модуля косого произведения векторов CA и CB к длине отрезка AB (данная формула следует из двух способов вычисления площади треугольника). Площадь произвольного многоугольника с вершинами p0, p1, , p -1, перечисленными в порядке его обхода против часовой стрелки, (задача 6.4) можно вычислить как сумму ориентированных площадей треугольников, образованных векторами pi и pi 1, i = 0, , – 1; i 1 вычисляется по модулю . Выпуклость многоугольника (задача 6.2) с вершинами p0, p1, , p -1, перечисленными в порядке его обхода, легко проверить с помощью сравнения знаков косого произведения пар векторов (pi 1 – pi) и (pi 2 – pi 1), i = 0, , – 1; i 1 и i 2 вычисляются по модулю . В случае выпуклого многоугольника знаки у всех указанных произведений совпадают (если мы знаем направление обхода, то знак косых произведений для выпуклого многоугольника определен: при обходе по часовой стрелке произведения отрицательны, а против часовой стрелки — положительны). На этом способы полезного применения косого произведения отнюдь не исчерпаны. Выпуклая оболочка множества точек плоскости Задача состоит в том, чтобы перечислить все точки, принадлежащие границе выпуклой оболочки заданного множества точек, в порядке ее обхода, например, против часовой стрелки (в некоторых задачах требуется перечислить только угловые точки). Для эффективного решения этой задачи существует несколько различных алгоритмов (см. ). Приведем наиболее простую реализацию одного из них — алгоритма Джарвиса. {следующий абзац проиллюстрировать рисунком из номера 16/2000, стр. 11} Перечисление точек искомой границы выпуклого многоугольника начнем с правой нижней точки, которая заведомо принадлежит границе выпуклой оболочки. Обозначим ее координаты (x0, y0). Следующей, при указанном порядке обхода, будет точка (x1, y1), для которой угол между осью OX и вектором (x0, y0) (x1, y1) минимален. Если таких точек несколько, то угловой в многоугольнике станет точка, для которой длина вектора (x0, y0) (x1, y1) максимальна, а следующей точкой, принадлежащей выпуклой оболочке — та, длина вектора у которой минимальна (таким образом наш выбор будет зависеть от конкретной постановки задачи). Для нахождения следующей точки значения углов между векторами вычислять необязательно. Мы опять можем воспользоваться понятием знака векторного произведения. Пусть, далее, мы уже нашли i ю вершину выпуклой оболочки (xi, yi). Тогда, (i 1)-я точка есть такая точка, еще не вошедшая в выпуклую оболочку, для которой угол между вектором (xi 1, yi 1) (xi, yi) и вектором (xi, yi) (xi 1, yi 1) минимален, при минимальной длине вектора (xi, yi) (xi 1, yi 1) среди всех векторов с таким углом.

Заметим, что для всех остальных точек (x, y), вектор (xi, yi) (x, y) будет лежать вне угла, образованного указанными векторами, левее него. Тогда векторное произведение (xi 1 – xi)(y – yi) – (yi 1 – yi)(x – xi) і 0, для любой точки (x, y), еще не вошедшей в границу выпуклой оболочки. Следовательно, мы можем сначала считать следующей, (i 1) ой, любую, еще не вошедшую в выпуклую оболочку, точку, а затем, вычисляем указанное выражение для остальных “свободных” точек (х, y). Если для одной из них (xi 1 – xi)(y – yi) – (yi 1 – yi)(x – xi) &l ; 0, считаем следующей ее и продолжаем проверку остальных точек (аналогично алгоритму поиска минимального элемента в массиве). Если же значение выражения равно 0, то сравниваем квадраты длин векторов, а именно (xi 1 – xi)2 (yi 1 – yi)2 и (x – xi)2 (y – yi)2. Таким образом, при решении данной задачи в случае изначально целочисленных координат мы полностью можем избежать применения вещественной арифметики, а, следовательно, избавиться от потери точности вычислений. В противном случае, в решение могут быть включены “лишние” точки, близкие к границе выпуклой оболочки или не учтены некоторые из “нужных” точек. Сложность данного алгоритма составит O(k ), где k — количество точек в выпуклой оболочке, в худшем случае равное . Существуют алгоритмы решения этой задачи, основанные на предварительной сортировке точек исходного множества, например, по значению угла в полярной системе координат с центром в одной из точек выпуклой оболочки, с вычислительной сложностью O( log ) (алгоритм Грехема). То есть наиболее трудоемкой задачей оказывается именно сортировка исходных точек. Приведем программу решения данной задачи алгоритмом Джарвиса: var a, b: array of record x,y:i eger; f:boolea e d; mi , m, j, k, : i eger; begi readl ( ); for i:=1 o do begi read(a.f:=false e d; {ищем нижнюю правую точку} m:=1; for i:=2 o do if a.y) a d (a.f:= rue; k:=1; repea mi :=1; {ищем первую еще свободную точку} while a.f do i c(mi ); {ищем очередную вершину выпуклой оболочки} for j:=1 o do if ( o a.x-b.y)&l ;0) he mi :=j else if ( o a.x-b.x) sqr(a.y-b:=a {записана очередная вершина} u il mi =m; {пока ломаная не замкнется} for j:=1 o k do {печать результата} wri el (b.y); e d.Приведем примеры задач, при решении которых используется построение выпуклой оболочки. Задача 1. Стена. (В англоязычном варианте задача предлагалась на студенческих командных соревнованиях по программированию в Санкт-Петербурге в 2001 г.) Однажды жадный король приказал своему архитектору построить стену вокруг дворца. Король был настолько жадный, что не стал слушать предложения архитектора о построении стены совершенной формы. Вместо этого король приказал потратить на строительство стены определенной высоты и произвольной формы (не обязательно в виде ломаной!!!) как можно меньше кирпичей, но потребовал, чтобы стена отстояла от дворца не меньше, чем на L футов. В случае невыполнения условия или перерасхода средств архитектор может лишиться головы. Ваша задача помочь бедному архитектору. Ваша задача написать программу, которая определит минимально возможную длину стены, которой можно окружить дворец и при этом выполнить все требования короля.

Такие уравнения появились в конце 18 в. Неоднократно рассматривались сами по себе и в связи с решением геометрических задач, а позднее — в связи с различными приложениями, прежде всего к теории регулирования. Построение систематической теории Д. у. с о. а. было начато в 50-х гг. 20 в., а уже с 60-х гг. эта теория представляет собой значительный отдел математического анализа.   Наиболее хорошо изучены линейные однородные автономные (т. е. с постоянными коэффициентами и постоянными отклонениями аргумента) Д. у. с о. а.; к таким уравнениям относится, например, (1). Здесь имеется достаточно полная система решений вида х = eрt, причём для отыскания р получается трансцендентное характеристическое уравнение вида Р (р) = 0, где Р (р) — сумма членов вида Apm еap, m ³ 0 — целое [например, для (1) имеем Р (р) º р - ае-tp]. Это уравнение имеет, вообще говоря, бесконечное число комплексных корней. Прочие решения рассматриваемого Д. у. с о. а. разлагаются в ряды по указанным простейшим решениям, и поэтому об основных свойствах совокупности решений, в частности об их устойчивости, можно судить по расположению нулей функции Р (р).   Важнейший и наиболее изученный класс Д. у. с о. а. образуют дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, в которых старшая производная от искомой функции при каком-либо значении аргумента определяется через саму эту функцию и её младшие производные, взятые при меньших либо равных значениях аргумента

1. Информатика и вычислительная техника

2. Cостязания по информатике (олимпиады)

3. Произведение С.Жижека - Кукла и карлик: христианство между ересью и бунтом

4. Основы информатики и вычислительной техники

5. Различия между растительной и животной клеткой (11 класс) (Шпаргалка)

6. Коллективное использование произведений
7. Историко-правовой анализ Закона СССР "о разграничении полномочий между СССР и субъектами федерации"
8. Правовая информатика

9. Теоретические аспекты между бюджетами всех уровней с помощью деятельности Федерального Казначейства

10. Сохранение национальной окраски при переводе художественных произведений

11. Основные лексические и грамматические различия между британским и американским вариантом английского языка

12. Трагическая роль русского народа в произведении А.С. Пушкина "Борис Годунов", в опере М.П. Мусоргского "Борис Годунов" и картине В.И. Сурикова "Боярыня Морозова"

13. Аппарат произведения печати. Элементы книги

14. Суд над Иисусом Христом в различных литературных произведениях

15. Смысл названия произведения Салтыкова-Щедрина "История одного города"

16. Рецензия на произведение Александра Исаевича Солженицына "Один день Ивана Денисовича"

Магнитофончик "Мульти-пульти".
С магнитофончиком "Мульти-пульти" можно устроить настоящую дискотеку! Слушай 16 песенок ("Весёлая карусель",
340 руб
Раздел: Прочие
Папка для чертежей и рисунков, А2.
Толщина 1,3 мм. Размер - А2 (640x470 мм). 1 отделение. Материал - пластик. 2 ручки. Закрывается на молнию. Цвет в ассортименте, без
537 руб
Раздел: Папки для акварелей, рисования
Набор детской посуды "Принцесса", 3 предмета.
Набор посуды для детей включает в себя три предмета: суповую тарелку, обеденную тарелку и кружку. Набор упакован в красочную, подарочную
397 руб
Раздел: Наборы для кормления

17. Поэтика цвета в произведениях Сергеева-Ценского

18. Синтаксические конструкции с простыми сравнительными формами прилагательных, наречий и слов категории состояния на примере произведения О. Э. Мандельштама

19. Сатира в произведениях Чехова и Салтыкова-Щедрина

20. А.П. Чехов и его произведения: "Унтер Пришибей", "Палата N6", "Дом с мезонином"

21. Дьяволиада в произведениях М.А. Булгакова

22. Индивидуалистический бунт Родиона Раскольникова и Ивана Карамазова (по произведениям Ф.М. Достоевского)
23. Литературные критики о произведениях А.С. Пушкина
24. П.А. Кропоткин "Справедливость и нравственность" (с биографией и библиографией произведений)

25. Проблема истории в художественных произведениях А.С. Пушкина

26. Тайны произведения Пушкина

27. Тема деревни в произведениях "Пелагея" Ф.А. Абрамова и "Знак беды" В.В. Быкова

28. Эволюция чувства свободы (по произведениям Пушкина)

29. Философия любви в произведениях русской литературы XIX-XX века

30. Вечное и "вещное" в произведении И.А.Бунина "Господин из Сан-Франциско"

31. Гражданская война в произведениях А.А. Фадеева "Разгром", И.Э. Бабеля "Конармия", М.А. Булгакова "Дни Турбиных"

32. Индейские реалии в произведении Г. У. Лонгфелло "Песнь о Гайавате"

Настольная игра "Сумасшедший лабиринт".
Логическая, веселая и азартная игра нацелена на развитие внимания, ловкости и скорости мысли. Игроки в постоянном напряжении, передвигая
1990 руб
Раздел: Игры-ходилки с фишками
Набор детской складной мебели "Первоклашка. Осень".
В комплект входит стол-парта и стул с мягким сиденьем, пенал. Металлический каркас. Столешница облицована пленкой с тематическими
1637 руб
Раздел: Наборы детской мебели
Счеты детские "Умный жираф".
Счеты - это не только первый математический прибор, но и увлекательная игра. Пусть ребенок отсчитает столько косточек на счетах, сколько у
377 руб
Раздел: Счетные наборы, веера

33. Истоки зла в мире и человеке в восприятии Шекспира по произведениям "Макбет", "Король Лир", "Гамлет"

34. Партизанское движение в произведение Л. Н. Толстого "Война и мир"

35. Тема чести в произведениях русских писателей 19 века

36. Тема войны и нравственности в произведениях современных писателей

37. «… и в мой жестокий век восславил я свободу…» тема вольности в произведениях А. С. Пушкина

38. Русский народ как идеал Л. Толстого (по "Исповеди", художественным произведениям и публицистике)
39. Российское чиновничество в произведениях А.П. Чехова
40. Гражданская война в произведениях русских писателей ХХ века

41. Мир обывателей в произведениях Салтыкова-Щедрина.

42. Роль человека в произведениях о Великой Отечественной войне

43. Своеобразие пейзажа в произведениях М.А. Шолохова

44. Художественная деталь, ее роль и значение в произведениях прозы Н. В. Гоголя, И. С. Тургенева, Ф. М. Достоевского

45. Традиции Чехова и Салтыкова-Щедрина в произведениях Зощенко

46. Роль России и ее место в мировой цивилизации в произведениях русской литературы 18-20 вв.

47. Методы изучения музыкальных произведений крупной формы в старших классах общеобразовательной школы

48. Начальный этап работы над музыкальным произведением

Умные кубики. Контуры. 50 игр для развития интеллекта.
IQ-кубики "Контуры" - универсальный набор интеллектуальных игр для дошкольников. IQ-кубики помогают развивать моторную и
306 руб
Раздел: Развивающие игры с кубиками
Тетрадь на резинке "Elements", В5, 120 листов, клетка, синяя.
Тетрадь общая на резинке. Формат: В5. Количество листов: 120 в клетку. Бумага: офсет. Цвет обложки: синий.
401 руб
Раздел: Прочие
Горка детская большая (2 м).
Горка предназначена для игры на свежем воздухе или в игровой комнате. Есть возможность подключить воду. Игрушка выполнена из качественного
8450 руб
Раздел: Горки

49. Политические отношения между Испанией и Латинской Америкой в конце 70-х - начале 80-х годов

50. Выдающиеся отечественные и зарубежные учёные, внёсшие существенный вклад в развитие и становление информатики

51. Нахождение кратчайшего маршрута между двумя городами по существующей сети дорог

52. Замечательные имена в информатике

53. Отчет по производственной практике в Вычислительном центре УГМТУ (Компьютерные сети. Классификация компьютерных сетей)

54. Вычислительные сети и телекоммуникации. Интернет провайдер: Magelan
55. Информатика
56. Кабельная магистраль связи между городами Тамбов и Владимир

57. Оптимальное управление вычислениями в распределенных вычислительных системах на основе графа потоков данных

58. Управление потоками данных в параллельных алгоритмах вычислительной линейной алгебры

59. Проектирование локальной вычислительной сети

60. Разработка локальной вычислительной сети

61. Учебно-лабораторный комплекс по удаленному администрированию цифровых телефонных станций с использованием локально-вычислительной сети

62. Разработка вычислительного устройства, состоящего из двух взаимозаменяемых частей: операционного автомата и управляющего автомата

63. Разработка вычислительного устройства

64. Новейшие достижения в информатике

Комплект детского постельного белья в кроватку "Амели" (цвет: вишневый/белый).
Комплекты детского постельного белья AmaroBaby выполнены из натурального и гипоаллергенного материала, мягкого и приятного на ощупь.
2825 руб
Раздел: Комплекты в кроватку
Автомобиль-каталка "Премиум-2".
Большой автомобиль-каталка может не только катать малыша, но и перевозить "грузы". Особенно пригодится он в песочнице, где так
1461 руб
Раздел: Каталки
Карандаши цветные "Jumbo natur", 24 цвета, 24 штуки.
Утолщенный корпус. Имеют специально обработанную поверхность корпуса, без покраски.
532 руб
Раздел: 13-24 цвета

65. Вычислительная техника в управлении на примере управления международных связей ВГУЭС

66. Вычислительные машины и системы

67. Вычислительные системы и микропроцессорная техника

68. История вычислительной техники: четвертое поколение

69. Многопроцессорный вычислительный комплекс на основе коммутационной матрицы с симметричной обработкой заданий всеми процессорами

70. Техническое обслуживание средств вычислительной техники и компьютерных систем
71. Информация, информатика, базы данных. Периферийные устройства
72. Информатика

73. Экономическая Информатика

74. Социальная информатика

75. Билеты, решения и методичка по Информатике (2.0)

76. Лекции по высокоуровневым методам информатики и программированию

77. Расчетная работа по дисциплине "Информатика" (создание шаблона "Пояснительная записка")

78. Задания по информатике

79. Ответы к экзаменационным билетам по Информатике. 2001-2002 год

80. Пояснительная записка к выполнению расчетной работы по дисциплине "информатика"

Швабра для пола "Бахрома".
Использование швабры позволяет очистить любые поверхности от пыли и грязи, даже без использования химических средств. Благодаря насадке
328 руб
Раздел: Швабры и наборы
Подушка для сидения "Подушка-сидушка про", с "памятью".
С помощью нашей подушки для сидения "с памятью" "Подушка-сидушка про" Вы гарантированно сможете улучшить свою осанку и
872 руб
Раздел: Полезные мелочи
Мульти-плеер "Ладушки".
В этом мультиплеере 20 потешек и песенок для самых маленьких: 1. «Кошкин дом» 2. «Антошка» 3. «Баю-баюшки-баю» 4. «Каравай» 5 «Ножки,
314 руб
Раздел: Смартфоны, мультиплееры

81. Разработка отказоустойчивой операционной системы реального времени для вычислительных систем с максимальным рангом отказоустойчивости

82. Предмет правовая информатика

83. Геометрия. Цилиндр и конус

84. Геометрия

85. Аксиоматический метод. Логическое строение геометрии

86. Билеты по аналитической геометрии
87. Геометрия Лобачевского
88. Ответы для програмированного контроля по начертательной геометрии...

89. Экзанаменационные билеты по геометрии за 9 класс

90. Билеты по геометрии для 9 класса (2002г.)

91. Вычислительные методы алгебры (лекции)

92. Справочник по геометрии (7-9 класс)

93. Некоторые дополнительные вычислительные методы

94. Билеты за 9 класс по геометрии

95. Ретроспективный cанитарно – эпидемиологический анализ по определению связи между заболеваемостью населения ОКИ и факторами внешней среды по эпидемиологически значимым объектам (с использованием статистического метода ранговой корреляции ) за 2000 –2002 г

96. Война и экология. Конфликт между природой и человеком в период военных столкновений

Стиральный порошок Lion "Blue Diamond", 900 грамм.
Высокоэкономичный стиральный порошок предназначен для ручной и автоматической стирки белья из хлопка, синтетики и смешанных
344 руб
Раздел: Стиральные порошки
Медицинская карта истории развития ребенка, красная, А5, по форме 112/У.
История развития ребенка — основной медицинский документ, который ведется на каждого ребенка от рождения и до 14 лет включительно. В этот
498 руб
Раздел: Бланки, книги учета
Светильник "Плазма №6".
Размеры светильника: 24х14х11 см. Размеры упаковки 26х17х18 см. Диаметр лампы: 14 см. Плазменный светильник в виде шара на подставке при
1482 руб
Раздел: Необычные светильники

97. Обучение информатике по опорным сигналам

98. Проблемы обучения информатики в школе

99. Чтение художественных произведений в начальной школе


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.