Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Проективная геометрия

Пакеты с замком "Extra зиплок" (гриппер), комплект 100 штук (150x200 мм).
Быстрозакрывающиеся пакеты с замком "зиплок" предназначены для упаковки мелких предметов, фотографий, медицинских препаратов и
148 руб
Раздел: Гермоупаковка
Ночник-проектор "Звездное небо и планеты", фиолетовый.
Оригинальный светильник - ночник - проектор. Корпус поворачивается от руки. Источник света: 1) Лампочка (от карманных фонариков) 2) Три
330 руб
Раздел: Ночники
Ночник-проектор "Звездное небо, планеты", черный.
Оригинальный светильник-ночник-проектор. Корпус поворачивается от руки. Источник света: 1) Лампочка (от карманных фанариков); 2) Три
350 руб
Раздел: Ночники

Проективная геометрия развилась и выделилась в особую ветвь геометрических знаний в первые десятилетия 19 века. Источником этого явились потребности графики и архитектуры, развитие теории изображений в перспективе. Так, французский геометр Понселе одним из первых выделил особые свойства геометрических фигур, названные им проективными.Что это за свойства? Пусть F- произвольная фигура в некоторой плоскости a , b - какая - либо другая плоскость, т.О - произвольная точка пространства, не принадлежащая ни одной плоскости (a и b). Точка, отсоединенная с любой точкой М фигуры F, определяет прямую (ОМ), пересекающую плоскость b в некоторой точке М/, которую мы будем называть проекцией точки М (на плоскости b из центра О). Проекции всех точек фигуры F на плоскость b составят некоторую фигуру F/, которая называется проекцией фигуры F. Операция, с помощью которой в данной задаче из фигуры F получена фигура F/ носит название центрального проектирования из точки О. Если изменить положение точки О и плоскости b мы получим бесконечное множество фигур(или иначе говоря, центральных проекций фигуры F), которые в чем-то будут похожи на фигуру F, но в чем-то и отличаться. Например, проектируя правильный треугольник, получим тоже треугольник, но произвольной формы. Проектируя окружность, можем получить эллипс или параболу, или даже гиперболу. При таком проектировании не сохраняются метрические характеристики фигур (длина, площадь и т. д. ). Какие же свойства сохраняются? Они обычно называются инвариантами преобразования, каковым в данном случае является преобразование проектирования. Именно эти свойства фигур, инвариантные по отношению к такому проектированию, Понселе назвал проективными свойствами, а предмет, их изучающий- проективной геометрией.Примеры инвариантных свойств. 1) Если фигура или объект - прямая, то после проектирования получим также прямую. 2) Если фигура F- коническое сечение, т.е. описывается квадратичной формой a11x2 a22y2 a12xy a13x a23y a33 =0, то проекцией точек на коническом сечении лягут также на некоторое коническое сечение. Таким образом, отдельные виды конических сечений (окружности, эллипсы, параболы, гиперболы) в проективной геометрии не отличаются - в отличие от аффинной, например, где эллипс всегда перейдет в эллипс. Важной предпосылкой превращения проективной геометрии в самостоятельную дисциплину, было введение в употребление бесконечно удаленных геометрических элементов. Займемся их определением. Пусть А - произвольная точка пространства и a - прямая, не проходящая через точку А. Проведем плоскость a через точку А и прямую а. Рассмотрим всевозможные прямые, проходящие через точку А и лежащие в плоскости a (рис.2). Установим соответствие между прямыми пучка, проходящего через А и точками на прямой а. Например, лучу m соответствует точка M. Очевидно, что какую бы точку на прямой a мы ни выбрали, ей всегда соответствует определенный луч. Однако, нельзя утверждать, что любому лучу соответствует точка прямой a. Действительно, возьмем луч a/ , соответствующей точки на a мы не найдем. Таким образом, соответствие между лучами пучка и точками прямой a не является взаимно однозначными.

Это не всегда удобно при операциях проектирования. Чтобы устранить это неудобно, условимся считать параллельные прямые, пересекающими на бесконечности. Тогда луч а/ из пучка А, параллельный а, будет иметь на этой прямой соответствующую точку ,но не обычную ,а называемую бесконечно удаленной точкой. Это новый геометрический объект. Все параллельные друг другу прямые в плоскости a имеют одну общую бесконечно удаленную точку, поэтому систему параллельных прямых называют пучком с бесконечно удаленным центром (рис.3). Бесконечно удаленные точки непараллельных прямых в плоскости считаются различными. Таким образом, каждая плоскость содержит бесконечно много различных бесконечно удаленных точек. Совокупность всех бесконечно удаленных точек плоскости называется бесконечно удаленной прямой. Таким образом, каждая плоскость содержит одну бесконечно удаленную прямую. Вполне логично совокупность всех бесконечно удаленных прямых назвать бесконечно удаленной плоскостью. Выводы: множество объектов обычного евклидова пространства дополняется новыми элементами: 1) К множеству точек каждой прямой добавляется одна бесконечно удаленная точка; 2) К множеству прямых каждой плоскости добавляется одна бесконечно удаленная прямая; 3) К множеству всех плоскостей пространства R3 добавляется бесконечно удаленная плоскость. Определение: прямая дополненная бесконечно удаленной точкой называется проективной прямой. Проективную прямую следует представлять в виде замкнутой линии. Плоскость, дополненная бесконечно удаленной прямой называется проективной плоскостью. Пространство, дополненное бесконечно удаленной плоскостью называется проективным пространством. Термин бесконечности иногда употребляется и в обычной, элементарной геометрии (например, что параллельные прямые сходятся в бесконечности),но это лишь словесное выражение, в проективной же геометрии бесконечно удаленные элементы играют такую же роль, как и обыкновенные геометрические образы. В обычной геометрии большую роль играет изучение метрических свойств фигур (длины, площади, углы, объемы). В проективной, процесс измерения теряет смысл, т. к например, один конец отрезка может оказаться в бесконечности. Таким образом, метрические свойства фигур не являются проективными свойствами. Проективная геометрия, как и любая другая, строится на некоторой системе аксиом. Все аксиомы разбиты на три группы:1.Аксиомы связи:Кратко сформулируем их, учтя, что теперь в понятие любого объекта включается бесконечно удаленные элементы. 1. Какие бы ни были две точки А и В всегда существует прямая, проходящая через них. 2. Какие бы ни были две различные точки А и В, существует не более одной прямой, проходящей через них. 3. На каждой прямой имеется не менее трех точек. Существует по крайней мере 3 точки, не лежащие на одной прямой. 4. Через каждые три точки А, B, C не лежащие на одной прямой, проходит некоторая плоскость a . На каждой плоскости имеется не менее одной точки. 5. Через каждые три точки А, B, C не лежащие на одной прямой, проходит не более одной плоскости. 6. Если две точки А и В прямой а лежат в плоскости a , то каждая точка прямой а лежит в плоскости a .

7. Если две плоскости a и b имеют общую точку А, то они имеют еще по крайней мере одну общую точку. 8. Имеется не менее четырех точек, не лежащих на одной плоскости. 9. Каждые две прямые, расположенные в одной плоскости имеют общую точку. Эти аксиомы повторяют аксиомы обычной евклидовой геометрии за исключением пункта 1.9, которого там нет.2.Аксиомы порядка: В элементарной геометрии в основу определения порядка следования точек на прямой заложено понятие о расположении точки между двумя другими точками. Т. е. если есть две точки А и В то обязательно найдется точка С на прямой А В, лежащая между А и В. Такой порядок расположения точек является основой введения координат точек на прямой (в дальнейшем на плоскости и в пространстве), т.е. позволяет сделать отображение взаимного расположения точек на множество действительных чисел, ввести единицу измерения. В проективной геометрии прямая есть замкнутая в бесконечности линия, поэтому нельзя в определение порядка положить принцип: что при заданных А и В найдется точка С между ними, определяющая порядок следования точек на прямой как А, В, C. И все-таки, какое-то определение порядка точек на проективной прямой необходимо сделать хотя бы для введения ней системы координат, определения проекции фигур в вычислительной геометрии или машинной графике. На прямой в обычной евклидовой геометрии положение точек можно было характеризовать одним числом, одной координатой, отсчитываемой в некотором масштабе от точки, принятой за ноль. Так как в проективной геометрии бесконечно удаленная точка является равноправной с любой другой точкой, то уже невозможно одним числом представить координату этой бесконечно удаленной точки. Здесь уже, на проективной прямой исходят из рассмотрения взаимного расположения двух пар точек. Пусть A и B, C и D две пары точек, расположенные на проективной прямой (рис.5). Тогда чтобы совместить точку C с другой точкой своей пары, т.е. CD мы при движении ее по прямой обязательно встретимся в какой-то момент с т. A или т. B. Аналогично, чтобы совместить B с A, при движении точки B она когда-нибудь совпадет с C или D. В таком случае говорят, что пара точек A и B разделяет пару точек C и D. На этом основаны аксиомы порядка и введения координат на проективной прямой. 1. Каковы бы ни были три различные точки A, B, C произвольной прямой U, на этой прямой существует такая точка D, что пара A, B разделяет пару C, D. 2. Если пара A, B разделяет пару C, D; пара C, D разделяет пару A, B. 3. Каковы бы ни были четыре различные точки A, B, C, D прямой из них могут быть всегда единственным образом составлены две раздельные пары. Аксиомы 2.4, 2.5 касаются взаимного расположения пяти точек. Если пары С,D и C, E разделяют A, B, то D E не разделяет A, В (рис.6). Если C, D и C, E не разделяют A, B, то D, E не разделяет A, B (рис.7). 6. Пусть A, B и C, D две пары точек прямой U, A/, B/ и C/, D/ их проекции из какого угодно центра на произвольную другую прямую U/. Тогда если пары A, B и C, D разделяют друг друга, то пары A/, B/ и C/, D/ тоже разделяют друг друга. Таким образом, разделенность двух пар точек есть свойство, инвариантное относительно проектирования.

Представьте такой случай. Вы оставили две свои подписи, причём совершенно несхожие (вторую вы вольно или невольно исказили до неузнаваемости). И тут же рядом ваша подпись, сделанная другим лицом. Она как две капли воды напоминает первую из ваших двух. Но это для неопытного глаза. Если по определённым правилам, почерпнутым из арсенала проективной геометрии, сопоставить эти подписи попарно и провести прямые через соответствующие константные точки обеих подписей, то линии пересекаются «кучно» — почти все в одном месте. Это если обе подписи, пусть даже непохожие, принадлежат вам. Зато если вторая подпись не ваша, хотя и похожа на неё, линии широко разбегутся, образовав множество далёких друг от друга пересечений. — Помилуйте, но при чём здесь графология?! — возмутится читатель, чаша терпения которого переполнилась. — Всё, что до сих пор говорилось, относится к почерковедению, которое давно и успешно применяется в советской криминалистике. Его ценность никто и не подвергал сомнению. А ведь графология претендует на то, чтобы — подумать только! — по почерку определять характерные особенности личности самого пишущего

1. Различные подходы к определению проективной плоскости

2. Проективный метод исследования потребителя

3. Проективные методики в психодиагностике

4. Проективная геометрия

5. Використання проективних методик у діяльності практичного психолога

6. Проективные методики при изучении личности
7. Проективные методы психодиагностики мотивов
8. Рисуночно-проективные методики

9. Сорбционные свойства мха по отношению к микроорганизмам и тяжелым металлам

10. Алмаз. Уникальный камень - уникальные свойства

11. Горгий и горгианские фигуры

12. Номинативные свойства мнгозначного глагола to carry

13. Детерминантные свойства русского языка на фонетическом уровне

14. Дидактические свойства глобальной информационно-коммуникационной сети Интернет

15. Вычисление площади сложной фигуры методом имитационного моделирования (Windows)

16. Общие свойства приложений Office Pro 2000

Сортер-матрешка "Волшебный куб".
Деревянный сортер-матрешка представляет собой развивающий комплекс для детишек возрастом от 3 лет. Игра состоит из 5 кубов различной
568 руб
Раздел: Сортеры, логические игрушки
Пазл-ваза "Поющие птицы в летнем саду", 160 элементов.
Ваза-пазл – это трехмерный пазл в виде вазы. Оригинальный дизайн; идеальная сцепка деталей; специальная колба для воды;
587 руб
Раздел: Прочие
Набор детской посуды "Ангел".
Набор посуды детский "Ангел". В комплекте 3 предмета: - тарелка суповая диаметром 15 см, - тарелка обеденная диаметром 17,5
397 руб
Раздел: Наборы для кормления

17. Корень n-ой степени и его свойства. Иррациональные уравнения. Степень с рациональными показателем

18. Краткая методичка по логике

19. Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией

20. Исследование свойств прямоугольного тетраэдра

21. Технология производства низина. Антибиотические свойства низина

22. Строение, свойства и биологическая роль витаминов В-12 и В-15
23. Лечебные свойства чёрного перца
24. Почвы, их происхождение, свойства и их роль в жизни

25. Потребительские свойства сыров и формирование их в процессе производства

26. Арсенид индия. Свойства, применение. Особенности получения эпитаксиальных пленок

27. Свойства машиностроительных материалов

28. Сегнетоэлектрики, их свойства и применение

29. Хлопковое волокно: его свойства и классификация

30. 2. Особенности свойств резин как конструкционного материала

31. Эксплуатационные свойства автомобиля

32. Психологические черты, свойства и качества личности, необходимые для профессиональной деятельности социальному работнику

Пенал школьный "Космос".
Пенал школьный с откидной планкой, без наполнения. Одно отделение, эластичные держатели для канцелярских принадлежностей, в прозрачном
460 руб
Раздел: Без наполнения
Маркеры для досок, 12 цветов.
Маркеры для досок идеальны для использования дома и в детских учреждениях. Количество цветов: 12 ярких и сочных цветов. Надписи и рисунки
503 руб
Раздел: Для досок
Набор линеров "Kores", 0,4 мм, 10 цветов.
Линеры имеют эргономичную зону обхвата. Толщина линии письма - 0,4 мм. Набор содержит 10 цветов. Входящие в набор цвета:
424 руб
Раздел: Капиллярные

33. Основные общепсихологические свойства деятельности

34. Логика (Контрольная)

35. Логика (Контрольная)

36. Расчёт элементов эмиттерно-связанной логике

37. Логико-методологические аспекты технического знания

38. ЛОГИКА
39. Психологические черты, свойства и качества личности, необходимые для профессиональной деятельности социальному работнику
40. Свойства газов

41. Структура и свойство материалов (из конспекта лекций)

42. Свойства сплавов кремний-германий и перспективы Si1-xGex производства

43. Свойства жидкостей

44. Свойства жидкостей

45. Основные принципы диалектической и формальной логики и их содержание

46. Сравнение основных законов мышления в формальной логике

47. Материя и ее основные свойства (Контрольная)

48. Рене Декарт и его трактат "Правила для руководства ума"

Доска пробковая "Premium", деревянная рамка, 120x90.
Изготовлена c использованием наполнителя Softboard, что придает дополнительную прочность в процессе перевозки и хранения, а также
1559 руб
Раздел: Прочее
Мешок для обуви "Animal Planet. Бабочки", 41x33 см, розовый.
Мешок для обуви, с дополнительным карманом на молнии. Размер: 41х33 см. Цвет: розовый.
325 руб
Раздел: Сумки для обуви
Копилка, 12,5 см.
Копилка поможет Вам наконец-то собрать требуемую сумму для покупки долгожданной вещицы.
586 руб
Раздел: Копилки

49. Ответы на вопросы по логике

50. Рене Декарт и его трактат "Правила для руководства ума"

51. Аристотель - основатель науки Логики

52. Влияние математики на философию и логику

53. Свойства и получение ксантогенатов целлюлозы

54. Металлы. Свойства металлов
55. Влияние технологических добавок на структуру и свойства резин
56. Порох, его свойства и применение

57. Инертные газы: история открытия, свойства, применение

58. Свойства и структура воды

59. Физико-химические свойства нефтей Тюменского региона

60. Необычные свойства обычной воды

61. Свойства, применение и получение полиметилметакрилата

62. Метилцеллюлоза и карбоксиметилцеллюлоза: свойства растворов и пленок

63. Механические свойства элементов Периодической системы Менделеева

64. Реологические свойства САН и АБС пластиков

Подставка для ножей, 11x22 см, лавандовый.
Размеры: 11х22 см. Материал корпуса: пластик. Внутренняя часть: полипропиленовое волокно. Цвет: лавандовый. Предназначена для безопасного
628 руб
Раздел: Подставки для ножей
Наклейка зеркальная "Бабочки", 30x40 см.
Стильные оригинальные зеркальные наклейки прекрасно дополнят интерьер вашего дома, наполнив его светом и радостью. Декорирование интерьера
351 руб
Раздел: Интерьерные наклейки
Глобус детский зоогеографический, 210 мм.
Глобус детский зоогеографический, на пластиковой подставке. Диаметр: 210 мм.
374 руб
Раздел: Глобусы

65. Товароведная характеристика ассортимента и потребительских свойств пушно-меховых товаров

66. Содержание и логика развития управления

67. Ф.Ф. Сидоренко. Логика (пособие с задачами и упражнениями)

68. Логика сталинизма

69. Логика в судебной практике

70. Федот Кадушкин — трагическая фигура своего времени (по роману И. Акулова «Касьян Остудный»)
71. Логика русского языка
72. Вариант билетов по логике

73. Законы логики

74. Контрольная по логике в задачах

75. Контрольная работа по логике (УниВД)

76. Логика - популярное пособие с задачами

77. Логика вопросов и ответов

78. Логика контрольная 5

79. Логика контрольная 7

80. Логика умозаключения

Счеты детские "Умный жираф".
Счеты - это не только первый математический прибор, но и увлекательная игра. Пусть ребенок отсчитает столько косточек на счетах, сколько у
377 руб
Раздел: Счетные наборы, веера
Шкатулка для рукоделия "Сундучок", 18x13x8 см, арт. 80863.
Такая шкатулка послужит оригинальным, а главное, практичным подарком, в котором замечательно сочетаются внешний вид и функциональность.
627 руб
Раздел: Шкатулки для рукоделия
Точилка механическая "Classic", черная.
Цветной пластиковый корпус с прозрачным контейнером, объемный контейнер для стружки, стальные самозатачивающиеся ножки. Цвет корпуса - черный!
317 руб
Раздел: Точилки

81. Логико-методологические дефекты в структуре закона права

82. Шпаргалка по логике

83. Логика

84. Линии на плоскости

85. Свойства интегралов

86. Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры
87. Исследование свойств прямоугольного тетраэдра
88. Минимизация функций алгебры логики

89. Сравнительный анализ алгоритмов построения выпуклой оболочки на плоскости

90. Акустические свойства полупроводников

91. Геометрические свойства равнобедренных треугольников

92. Формирование логико-информационных и речевых коммуникативных умений студента в процессе изучения математики

93. Некоторые свойства многогранника. Задачи о P-медиане

94. Элементы математической логики

95. Целебные свойства соков

96. Свойства скелетной мышцы

Набор "Стучалка", 6 гвоздиков.
Игрушка стучалка имеет вид скамейки, в которой забиты шесть разноцветных гвоздей. Все части набора деревянные, что не дает малышу
409 руб
Раздел: Стучалки, гвозди-перевертыши
Детское подвесное кресло Polini "Кокон" (цвет: оранжевый).
Подвесные детские качели яркого цвета создадут ощущение собственного укромного уголка. Надежные крепления кресла обеспечат безопасность
1225 руб
Раздел: Качели, кресла-качалки, шезлонги
Клей для дерева "Момент Столяр. ПВА Универсальный", 750 грамм.
Клей используется для склеивания, ремонта и изготовления изделий из различных видов дерева, а также ДСП, фанеры, картона и т.п. Клей
388 руб
Раздел: Для дерева

97. Бальнеологические свойства минеральных вод бассейна р. Налычева

98. Литература - Гигиена (ГИГИЕНИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ВОЗДУШНОЙ СРЕДЫ)

99. Литература - Гигиена (Гигиеническое значение, состав, свойства атмосферного

100. Анализ ассортимента и потребительских свойств стеклянной посуды


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.