|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Математическая статистика |
Забавная пачка "5000 дублей". 
Коврик для запекания, силиконовый "Пекарь". 
Горшок торфяной для цветов. ИДА Кривой Рог IBM Частное Учебное Заведение Институт Делового Администрирования Priva e Educa io al I s i u io I s i u e of Busi ess Ma agme Кафедра информационных систем и высшей математики Математическая cтатистика ” Конспект лекций ? для специальностей УА, ФК 1995 © Г.И. Корнилов ? ? 1997 ? Введение в курс1 Основные определения Несмотря на многообразие используемых в литературе определений термина “статистика”, суть большинства из них сводится к тому, что статистикой чаще всего называют науку, изучающую методы сбора и обработки фактов и данных в области человеческой деятельности и природных явлений. В нашем курсе, который можно считать введением в курс “Экономическая статистика”, речь будет идти о так называемой прикладной статистике, ( т.е. только о сущности специальных методов сбора, обработки и анализа информации и, кроме того, о практических приемах выполнения связанных с этим расчетов. Великому американскому сатирику О’Генри принадлежит ироническое определение статистики: “Есть три вида лжи ( просто ложь, ложь злостная и статистика!”. Попробуем разобраться в причинах, побудивших написать эти слова. Практически всему живому на земле присуще воспринимать окружающую среду как непрерывную последовательность фактов, событий. Этим же свойством обладают и люди, с той лишь разницей, что только им дано анализировать поступающую информацию и (хотя и не всем из них это удается) делать выводы из такого анализа и учитывать их в своей сознательной деятельности. Поэтому можно смело утверждать, что во все времена, все люди занимались и занимаются статистическими “исследованиями”, даже не зная иногда такого слова ( “статистика”. Все наши наблюдения над окружающем нас миром можно условно разделить на два класса: ( наблюдения за фактами ( событиями, которые могут произойти или не произойти; ( наблюдения за физическими величинами, значения которых в момент наблюдения могут быть различными. И атеист и верующий в бога человек, скорее всего, согласятся с несколько необычным заявлением ( в окружающем нас мире происходят только случайные события, а наблюдаемые нами значения всех показателей внешней среды являются случайными величинами (далее везде – СВ) . Более того, далее будет показано, что иногда можно использовать только одно понятие ( случайное событие. Не задерживаясь на раскрытии философской сущности термина “случайность” (вполне достаточно обычное, житейское представление), обратимся к чрезвычайно важному понятию ( вероятность. Этот термин обычно используют по отношению к событию и определяют числом (от 0 до 1), выражающим степень нашей уверенности в том, что данное событие произойдет. События с вероятностью 0 называют невозможными, а события с вероятностью 1 ( достоверными (хотя это уже – неслучайные, детерминированные события). Иногда в прикладной статистике приходится иметь дело с так называемыми редкими (маловероятными) событиями. К ним принято относить события, значение вероятности которых не превышает определенного уровня, чаще всего – 0.05 или 5 %. В тех случаях, когда профессионалу(статистику приходится иметь дело со случайными величинами, последние часто делят на две разновидности: ( дискретные СВ, которые могут принимать только конкретные, заранее оговоренные значения (например, ( значения чисел на верхней грани брошенной игральной кости или порядковые значения текущего месяца); ( непрерывные СВ (чаще всего ( значения некоторых физических величин: веса, расстояния, температуры и т.п
.), которые по законам природы могут принимать любые значения, хотя бы и в некотором интервале.2 Вероятности случайных событий Итак, основным “показателем” любого события (факта) А является численная величина его вероятности P(A), которая может принимать значения в диапазоне ( в зависимости от того, насколько это событие случайно. Такое, смысловое, определение вероятности не дает, однако, возможности указать путь для вычисления ее значения. Поэтому необходимо иметь и другое, отвечающее требованиям практической работы, определение термина “вероятность”. Это определение можно дать на основании житейского опыта и обычного здравого смысла. Если мы интересуемся событием A, то, скорее всего, можем наблюдать, фиксировать факты его появления. Потребность в понятии вероятности и ее вычисления возникнет, очевидно, только тогда, когда мы наблюдаем это событие не каждый раз, либо осознаем, что оно может произойти, а может не произойти. И в том и другом случае полезно использовать понятие частоты появления события fA ( как отношения числа случаев его появления (благоприятных исходов или частостей) к общему числу наблюдений. Интуиция подсказывает, что частота наступления случайного события зависит не только от степени случайности самого события. Если мы наблюдали за событием всего пять раз и в трех случаях это событие произошло, то мало кто примет значение вероятности такого события равным 0.6 или 60 %. Скорее всего, особенно в случаях необходимости принятия каких–то важных, дорогостоящих решений любой из нас продолжит наблюдения. Здравый смысл подсказывает нам, что уж если в 100 наблюдениях событие произошло 14 раз, то мы можем с куда большей уверенностью полагать его вероятность равной 14 % . Таким образом, мы (конечно же, ( не первые) сформулировали второе определение понятия вероятности события ( как предела, к которому стремится частота наблюдения за событием при непрерывном увеличении числа наблюдений. Теория вероятностей, специальный раздел математики, доказывает существование такого предела и сходимость частоты к вероятности при стремлении числа наблюдений к бесконечности. Это положение носит название центральной предельной теоремы или закона больших чисел. Итак, первый ответ на вопрос ( как найти вероятность события, у нас уже есть. Надо проводить эксперимент и устанавливать частоту наблюдений, которая тем точнее даст нам вероятность, чем больше наблюдений мы имеем. Ну, а как быть, если эксперимент невозможен (дорог, опасен или меняет суть процессов, которые нас интересуют)? Иными словами, нет ли другого пути вычисления вероятности событий, без проведения экспериментов? Такой путь есть, хотя, как ни парадоксально, он все равно основан на опыте, опыте жизни, опыте логических рассуждений. Вряд ли кто либо будет производить эксперименты, подбрасывая несколько сотен или тысячу раз симметричную монетку, чтобы выяснить вероятность появления герба при одном бросании! Вы будете совершенно правы, если без эксперимента найдете вероятность выпадения цифры 6 на симметричной игральной кости и т.д., и т.п. Этот путь называется статистическим моделированием – использованием схемы случайных событий и с успехом используется во многих приложениях теоретической и прикладной статистики.
Продемонстрируем этот путь, рассматривая вопрос о вероятностях случайных величин дальше. Обозначим величину вероятности того, что событие A не произойдет. Тогда из определения вероятности через частоту наступления события следует, что P(A) = 1, {1–1} что полезно читать так ( вероятность того, что событие произойдет или не произойдет, равна 100 %, поскольку третьего варианта попросту нет. Подобные логические рассуждения приведут нас к более общей формуле ( сложения вероятностей. Пусть некоторое случайное событие может произойти только в одном из 5 вариантов, т.е. пусть имеется система из трех несовместимых событий A, B и C . Тогда очевидно, что: P(A) P(B) P(C) = 1; {1–2} и столь же простые рассуждения приведут к выражению для вероятности наступления одного из двух несовместимых событий (например, A или B): P(A(B) = P(A) P(B); {1–3} или одного из трех: P(A(B(C) = P(A) P(B) P(C); {1-4} и так далее. Рассмотрим чуть более сложный пример. Пусть нам надо найти вероятность события C, заключающегося в том, что при подбрасывании двух разных монет мы получим герб на первой (событие A) и на второй (событие B). Здесь речь идет о совместном наступлении двух независимых событий, т.е. нас интересует вероятность P(C) = P(A( B). И здесь метод построения схемы событий оказывается чудесным помощником ( можно достаточно просто доказать, что P(A(B) =P(A)(P(B). {1-5} Конечно же, формулы {1-4} и {1-5} годятся для любого количества событий: лишь бы они были несовместными в первом случае и независимыми во втором. Наконец, возникают ситуации, когда случайные события оказываются взаимно зависимыми. В этих случаях приходится различать условные вероятности: P(A / B) – вероятность A при условии, что B уже произошло; P(A / ) – вероятность A при условии, что B не произошло, называя P(A) безусловной или полной вероятностью события A . Выясним вначале связь безусловной вероятности события с условными. Так как событие A может произойти только в двух, взаимоисключающих вариантах, то, в соответствии с {1–3} получается, что P(A) = P(A/B)(P(B) P(A/)( P() часто называют апостериорными (“a pos eriopri” – после того, как ), а безусловную вероятность P(A) – априорной (“a priori” – до того, как ). Очевидно, что если первым считается событие B и оно уже произошло, то теперь наступление события A уже не зависит от B и поэтому вероятность того, что произойдут оба события составит P(A(B) = P(A/B)(P(B). {1–7} Так как события взаимозависимы, то можно повторить наши выводы и получить P(B) = P(B/A)(P(A) P(B/); {1–8} а также P(A(B) = P(B/A)(P(A). {1–9} Мы доказали так называемую теорему Байеса P(A/B)(P(B) = P(B/A)(P(B); {1–10} – весьма важное средство анализа, особенно в области проверки гипотез и решения вопросов управления на базе методов прикладной статистики. Подведем некоторые итоги рассмотрения вопроса о вероятностях случайных событий. У нас имеются только две возможности узнать что либо о величине вероятности случайного события A: ( применить метод статистического моделирования ( построить схему данного случайного события и (если у нас есть основания считать, что мы правильно ее строим) и найти значение вероятности прямым расчетом; ( применить метод статистического испытания ( наблюдать за появлением события и затем по частоте его появления оценить вероятность.
Но любая наука может трактовать только о воспроизводимых повторяющихся явлениях. Поэтому теория всеобщего эволюционного развития оказывается состоятельной только в том единственном случае, если Вселенная оказывается принципиально немыслимой без жизни и без разума. Другими словами, если вдруг в результате какой-то случайной космической (или техногенной) катастрофы жизнь на Земле погибает, она обязана возродиться. Пусть даже и в какой-то другой области материального мира. Вариантом этого тезиса является либо утверждение того, что ни жизнь, ни разум не могут быть уникальным явлением во Вселенной, либо утверждение принципиальной бессмертности жизни и разума. Однако законы математической статистики показывают, что в случае гибели жизни ее возрождение практически исключено. Поэтому они и в самом деле серьезно компрометируют эволюционное учение, но все же не так прямолинейно, как это обычно представляется его критикам. Допущение же принципиальной бессмертности жизни и разума заводит нас слишком далеко, впрочем, мы еще будем говорить об этом
1. Теория вероятности и математическая статистика
3. Теория вероятностей и математическая статистика
4. Математика и математическое образование в современном мире
10. Вероятностные процессы и математическая статистика в автоматизированных системах
12. Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики
13. Теория вероятностей и математическая статистика
14. Теория вероятности и математическая статистика
15. Теория вероятности и математическая статистика. Задачи
Статуэтка "Мисс кокетливость", 10x9x29 см. 
Кружка "Вязанная", синяя. 
Набор детской посуды "Морские животные" (3 предмета). 17. Методы математической статистики, использующиеся в педагогических экспериментах
19. Математическое моделирование биосинтеза продуктов метаболизма
20. Экономическая сказка-реферат "НДС - вражья морда" или просто "Сказка про НДС"
21. Математические методы и модели в конституционно-правовом исследовании
25. Разработка математической модели и ПО для задач составления расписания
26. Решение математических задач в среде Excel
27. Математическая кунсткамера /кое-что из истории геометрии/
28. Математическое моделирование прыжка с трамплина
29. Математические методы в организации транспортного процесса
30. Лабораторные работы по экономико-математическому моделированию
31. Шпаргалки по математическому анализу для 1-го семестра в МАИ
32. Система хищник-жертва: экологические и математические аспекты
Кастрюля со стеклянной крышкой, 4 л. 
Ручка перьевая "Golden Prestige", синяя, 0,8 мм, корпус хром/золото. 
Поильник-непроливайка "Малыши и малышки", со сменным носиком (с 4 месяцев), 150 мл. 33. Математическое моделирование электропривода
34. Субъект преступления ("подновлённая" версия реферата 6762)
36. Особенности интеллекта учеников специализированных классов (гуманитарного и математического)
37. Реферат по технологии приготовления пищи "Венгерская кухня"
41. Физико-математические основа радиоэлектронных систем
42. Несколько рефератов по Исламу
43. Ответы на билеты за 10 класс для школ с физико математическим уклоном
44. Математические модели естествознания
45. Математическая гипотеза в неклассической физике
46. Природа математических абстракций
47. Анализ проблем использования математических моделей для снижения уровня неопределенности принятия УР
48. Математическое моделирование экономических систем
Детский велосипед Jaguar трехколесный (цвет: синий). 
Вешалка для одежды напольная, раздвижная ТД-00017. 
Смываемые фломастеры "Супер чисто", 12 штук. 50. Математические модели в программе логического проектирования
51. Роль математических методов в экономическом исследовании
52. Экономико-математическое моделирование транспортных процессов
53. Конспект лекций по курсу ЭММ (Экономико-математические методы и модели)
57. Реферат по книге Н. Цеда Дух самурая - дух Японии
58. Реферат по теме “Человек на войне”
59. Реферат по биографии Виктора Гюго
60. Как писать математические тексты
61. История становления и развития математического моделирова-ния
62. Математические суждения и умозаключения
Пенал школьный "Pixie Crew" с силиконовой панелью для картинок (чёрный). 
Кулинарный набор "Mayer & Boch", 17 предметов. 
Экспресс-скульптор "Эврика", большой. 66. Билеты по математическому анализу
67. Лекции по математическому анализу
68. Математическая модель взаимодействия подсистем производства сельхозпродуктов в районных АПК
73. Математический строй музыки
74. Метод математической индукции
75. План чтения лекции по учебной дисциплине «Математические методы»
76. Практикум по предмету Математические методы и модели
77. Уравнения математической физики
78. Шпоры по математическому анализу
79. О полноте систем упражнений по математическому анализу
80. Математическое моделирование потребностей регионов в педагогических кадрах
Точилка электрическая Attache Selection, 220 В. 
Карандаши цветные, 24 цвета. 
Подгузники "Солнце и Луна. Нежное прикосновение", размер: 3/M (4-9 кг), 60 штук. 81. Элементы математической логики
82. Математическое моделирование в медицине
83. Реферат - Физиология (Транспорт веществ через биологические мембраны)
89. Математическое моделирование в физике XIX века
90. Экзаменационные билеты по предмету: Уравнения математической физики за весенний семестр 2001 года
92. Развитие элементарных математических представлений у детей 4-5 лет в свете современных требований
93. Математическая логика в младших классах
94. Развитие математических способностей младших школьников в классах коррекции
96. Ментальный аналог КПД паровоза или Математическая модель человеческой уверенности
Магнитные Пифагорики №1. 
Противомоскитная сетка, 100х220 см, бежевая. 
Фломастеры утолщенные "Jumbo", 24 цвета. 97. Господствующие стили математического мышления
98. Взаимосвязь математических способностей и уровня тревожности
99. Математическая модель человеческой уверенности
100. Элементы учебных математических исследований в начальной школе
