Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Собственные вектора и собственные значения линейного оператора

Коврик для запекания, силиконовый "Пекарь".
Коврик "Пекарь", сделанный из силикона, поможет Вам готовить вкусную и красивую выпечку. Благодаря материалу коврика, выпечка не
202 руб
Раздел: Коврики силиконовые для выпечки
Ручка "Помада".
Шариковая ручка в виде тюбика помады. Расцветка корпуса в ассортименте, без возможности выбора!
25 руб
Раздел: Оригинальные ручки
Фонарь садовый «Тюльпан».
Дачные фонари на солнечных батареях были сделаны с использованием технологии аккумулирования солнечной энергии. Уличные светильники для
106 руб
Раздел: Уличное освещение

РЕФЕРАТ &quo ;Собственные вектора и собственные значения линейного оператора&quo ; Понятие собственные векторы и собственные значения Перед тем как определить понятие собственные вектора, покажем его на наглядном примере. На рисунке 1, красным цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от синего, при деформации не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим собственному значению λ = 1. Любой вектор, параллельный красному вектору, также будет собственным, соответствующим тому же собственному значению. Множество всех таких векторов (вместе с нулевым) образует собственное подпространство. Рис. 1 Определение. Ненулевой вектор x называется собственным вектором линейного оператора , если найдется такое число λ, называемое собственным значением линейного оператора, что (x) = λ·x (1) Равенство (1) означает, что вектор x, подвергнутый действию линейного оператора, умножается на число λ. Появляется коллинеарный вектор. Среди векторов линейного векторного пространства могут существовать такие, воздействие оператора на которые переводит эти векторы в коллинеарные самим себе. Если на таких векторах построить базис, преобразования линейной алгебры значительно упростятся. Не всякий линейный оператор обладает собственными векторами. Например, в геометрической плоскости R2 оператор поворота на угол, не кратный π, не имеет ни одного собственного вектора, поскольку ни один ненулевой вектор после поворота не останется коллинеарным самому себе. Решим задачу нахождения собственных векторов оператора. Запишем равенство (1) в матричной форме: P·X = λ·XПреобразуем матричное уравнение: P·X – λ·X = 0 или (P – λ·E) X =0Матричное уравнение всегда имеет нулевое решение: X=0= Для существования ненулевых решений ранг матрицы коэффициентов должен быть меньше числа переменных r&l ; , т.е. число линейно независимых уравнений должно быть меньше числа переменных. В этом случае должно быть выполнено условие P – λ·E =0 (2) Расписав уравнение (2) относительно λ подробнее, получим P – λ·E = Раскрыв определитель, получим уравнение -й степени относительно λ: Которое называется характеристическим уравнением оператора . Корни уравнения называются характеристическими или собственными числами оператора. Множество всех собственных чисел оператора называется спектром этого оператора. Многочлен левой части уравнения называется характеристическим многочленом. Решив характеристическое уравнение, получаем собственные числа λ1, λ2, , λ . Для каждого найденного собственного значения λi найдем ненулевые векторы ядра оператора P – λi E. Именно они будут собственными векторами, соответствующими собственному значению λi. Другими словами, необходимо решить однородную систему уравнений (P – λi E) X=0. Ее общее решение дает всю совокупность собственных векторов, отвечающих λi. Общее решение однородной системы, как известно, структурировано. Оно представляет собой линейную комбинацию фундаментального набора линейно независимых решений (векторов).

Число линейно независимых векторов в фундаментальном наборе называется геометрической кратностью собственного значения λi. Вводиться также алгебраическая кратность – кратность λi как корня характеристического многочлена.Независимость собственных векторов Существование линейно независимых векторов среди собственных, отвечающих различным собственным числам λ1, λ2, , λ , определяется следующей теоремой. Собственные векторы x1, x2, , x оператора, отвечающие различным собственным значениям λ1, λ2, , λ , линейно независимы. На линейно независимых собственных векторах можно построить базис -мерного линейного векторного пространства. Замечание. Определитель матрицы P – λE (соответственно характеристический многочлен) не зависит от выбора базиса. P’ – λE = -1P – λE = -1P - λ -1E = -1P- λ E = -1 P- λ E = P- λ E Следовательно, при переходе к новому базису собственные числа сохраняются. Пример. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей P= в пространстве R2. Решение. Составим характеристическое уравнение: P – λ·E == λ2-5 λ 4=0 Из квадратного уравнения найдем собственные значения линейного оператора λ1=1, λ2=4. Чтобы найти собственные векторы, решим матричные уравнения: (P – λ1 E) X=0 и (P – λ2 E) X=0В развернутом виде и Соответствующие однородные системы: Общие решения систем: и , где с1, с2 є R Таким образом, множество собственных векторов, отвечающих собственным значениям λ1=1, λ2=4, имеет вид ; , где с1, с2 є R. Векторы a1=(1, 1), a2=(-2, 1), например, являются линейно независимыми. Они могут быть приняты в качестве нового базиса в пространстве R2. Пусть e1, e2, , e – собственные векторы линейного оператора в пространстве R , которые примем в качестве базиса. Тогда разложение векторов (e1), (e2), , (e ) по базису e1, e2, , e примет вид Отсюда следует, что aij= λi, если i=j и aij=0, если i& e;j. Поэтому в базисе, составленном из собственных векторов, матрица оператора будет иметь диагональный вид: Симметричный оператор Определение. Линейный оператор в евклидовом пространстве R называется симметричным, если для любых векторов x и y из пространства R выполняется равенство ((x), y)= (x, (y))Для того чтобы линейный оператор был симметричен, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в ортонормированном базисе была симметрична. Рассмотрим для простоты евклидово пространство R2. Пусть в ортобазисе e1, e2 заданы векторы x=(x1, x2), y=(y1, y2). Линейные операторы 1 и 2 определены своими матрицами: и . Вычислим векторы 1(x) и 2(y): , . Найдем скалярные произведения ((x), y) и (x, (y)): ((x), y)=(a11x1 a12x2) y1 (a21x1 a22x2) y2=a11y1x1 a12y1x2 a21y2x1 a22y2x2, (x, (y))= (b11y1 b12y2) x1 (b21y1 b22y2) x2=b11x1y1 b12x1y2 b21x2y1 b22x2y2.Найдем разность скалярных произведений: ((x), y) – (x, (y)) = (a11-b11) x1y1 (a21-b12) x1y2 (a12-b21) x2y1 (a22-b22) x2y2. Если для любых векторов x и y из пространства R2 равенство ((x), y) – (x, (y))=0 (3) Выполнено (необходимость), то верна система a11=b11, a21=b12, a12=b21, (4) a22=b22, и обратно: если условия (4) соблюдены для любых векторов x и y, то равенство (3) выполнено (достаточность).

Система равенств (4) означает, что 1=2=.Ортогональность собственных векторовСобственные векторы симметричного линейного оператора, соответствующие различным собственным числам, взаимо ортогональны. Пусть x и y – собственные векторы оператора , соответствующие собственным числам λ1 и λ2, причем λ1 & e; λ2. По определению симметричного оператора: ((x), y)= (x, (y)) Подставив сюда правые части равенства ((x))= λ1x, ((y))= λ1y, получим (λ1x, y)=(x, λ2y). Вынесем числа λ1 и λ2, за знак скалярного произведения, перенесем слагаемые влево и разложим на множители: (λ1 – λ2) (x, y)=0 Поскольку λ1 & e; λ2, получаем (x, y)=0, что и означает взаимную ортогональность векторов x и y. Отметим другие важные свойства симметричного оператора. Характеристическое уравнение симметричного оператора имеет только действительные корни. Если в евклидовом пространстве R задан симметричный оператор , то в R существует ортонормированный базис e1, e2, , e , составленный из собственных векторов . Если все собственные числа λ1, λ2, , λ симметричного оператора положительны, то ((x), x) &g ; 0 для любого ненулевого вектора x. Положительные матрицы Квадратная вещественная матрица A = (aij) называется положительной, если все её элементы положительны: aij &g ; 0. Теорема Перрона (частный случай теоремы Перрона-Фробениуса): Положительная квадратная матрица A имеет положительное собственное значение r, которое имеет алгебраическую кратность 1 и строго превосходит абсолютную величину любого другого собственного значения этой матрицы. Собственному значению r соответствует собственный вектор er, все координаты которого строго положительны. Вектор er – единственный собственный вектор A (с точностью до умножения на число), имеющий неотрицательные координаты. Список литературы 1. Арутюнов Ю.C. и др. Высшая.математика: Методические указания и контрольные задания (с программой) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей вузов. 3-е изд. М.: Высш. шк., 2005. 144 с. 2. Высшая математика: Программа, методические указания и контрольные задания для студентов-заочников иижеиерио-техиических специальностей сельскохозяйственных вузов. 4-е изд., перераб. М.: Высш.шк., 2005. 110 с. 3. Мироненко Е.С. Высшая математика: методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерных специальностей вузов. М.: Высш. шк., 2008. 110 с. 4. Зимина О.В. и др. Высшая математика. 2-е изд., испр. М.: Физматлит, 2009. 368 с. (Решебиик).

Именно, если имеется тройка Ф' É Н É Ф , где Ф, например, ядерно, причём А переводит Ф в Ф¢ и непрерывно, то соотношения (7) имеют место, только суммы переходят в интегралы по некоторой скалярной мере, а Е (l) теперь «проектирует» Ф в Ф¢, давая векторы из Ф¢, которые будут собственными в обобщённом смысле для А с собственным значением l. Аналогичные результаты справедливы для т. н. нормальных операторов (т. е. коммутирующих со своими сопряжёнными). Например, они верны для унитарных операторов U — таких ограниченных операторов, которые отображают всё Н на всё Н и сохраняют при этом скалярное произведение. Для них спектр SpU расположен на окружности |z | = 1, вдоль которой и производится интегрирование в аналогах формул (6). См. также Спектральный анализ линейных операторов.   5. Нелинейный функциональный анализ. Одновременно с развитием и углублением понятия пространства шло развитие и обобщение понятия функции. В конечном счёте оказалось необходимым рассматривать отображения (не обязательно линейные) одного пространства в другое (часто — в исходное)

1. Алгебраическая проблема собственных значений

2. Знаходження власних значеннь лінійого оператора

3. Собственные значения.

4. Институт собственности по гражданскому праву и его значение в становлении рыночной экономики в России

5. Государственная собственность в рыночной экономике России: роль, значения, тенденции, перспективы

6. Роль и значение государственной собственности
7. Реформы собственности и социальная дифференциация в переходный период /Украина/
8. Собственность и приватизация

9. Вещно-правовые способы защиты права собственности

10. Интеллектуальная собственность в сети Internet

11. Право собственности на квартиру и жилой дом

12. Право собственности некоммерческих организаций на жилые и нежилые помещения

13. Приобретение права собственности на движимое и недвижимое имущество, сравнительная характеристика

14. Собственность и право собственности

15. Право собственности граждан

16. Финансовая аренда и право промышленной собственности

Шар для принятия решений.
Волшебный шар для принятия решений, на русском языке. Принцип действия: для начала нужно понять, на какой вопрос вы хотите получить ответ.
448 руб
Раздел: Прочее
Блокнот в точку. Bullet Journal.
Bullet Journal — эффективная система органайзеров, в основе которой лежит чистая страница в точку. В Bullet journal нет строгих правил —
422 руб
Раздел: Блокноты художественные
Кружка "Кастет", черная.
Оригинальная керамическая кружка с ручкой в виде кастета. Металлизированное напыление. Упаковка стилизованная, качественный
382 руб
Раздел: Кружки

17. Право собственности

18. Право собственности на землю

19. Третье отделение собственной его императорского величества канцелярии

20. Право собственности граждан на жилье на Украине

21. Право собственности и другие вещные права

22. Международно-правовая охрана прав на "Промышленную собственность" (Контрольная)
23. Способы формирования муниципальной собственности: правовое регулирование и сравнительный анализ
24. Муниципальная собственность как объект муниципального управления (на примере МО “Город Архангельск”)

25. Право коллективной собственности на Украине

26. Приватизация государственной и муниципальной собственности

27. Расторжение трудового договора по инициативе работника (по собственному желанию)

28. Имена собственные в оригинале и переводе

29. Управление потоками данных в параллельных алгоритмах вычислительной линейной алгебры

30. Исследования устойчивости и качества процессов управления линейных стационарных САУ

31. Критерии устойчивости линейных систем

32. Лабораторная работа №5 по "Основам теории систем" (Транспортные задачи линейного программирования)

Стенд "Календарь природы". С карточками чисел, дней недели, месяцев и бланком дневника наблюдений.
Календарь природы — важный инструмент ознакомления детей с окружающим миром. Ежедневный учет явлений природы развивает у детей
546 руб
Раздел: Демонстрационные рамки, планшеты, таблички
Вертикальный накопитель, пластиковый, черный, ширина 240 мм, 4 отделения, органайзер.
Изготовлен из полистирола. Многосекционный поддон с 4 отделениями (шириной по 40 мм каждое) для бумаг формата А4 и вместительным
445 руб
Раздел: Подставки, лотки для бумаг, футляры
Глобус Луны диаметром 320 мм, с подсветкой.
Диаметр: 320 мм. Масштаб: 1:40000000. Материал подставки: пластик. Цвет подставки: черный. Мощность: 220 V, переключатель на шнуре; может
1338 руб
Раздел: Глобусы

33. Лабораторная работа №3 по "Основам теории систем" (Теория двойственности в задачах линейного программирования)

34. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и Зейделя

35. Контрольная работа по линейной алгебре

36. СИНГУЛЯРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ В ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧЕ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

37. Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

38. Постановка задачи линейного программирования и двойственная задача линейного программирования.
39. Моделирование значений случайных векторов
40. Итерационные методы решения систем линейных уравнений с неединственными коэффициентами

41. Преступления против собственности

42. Обратная сила закона. Теория и практика применения на примере преступлений против собственности

43. Расчет линейных цепей методом топологических графов

44. Определение линейных и угловых перемещений параметрическими измерительными преобразователями

45. Сжатие речевого сигнала на основе линейного предсказания

46. Измерение больших линейных геометрических размеров

47. Частная собственность

48. Субъекты рыночной экономики. Формы собственности в Украине

Настольная игра "Халли Галли" (Halli Galli).
Что нужно, чтобы приготовить самый лучший фруктовый салат? Конечно же, настольная игра Халли Галли (Halli Galli)! Итак, у вас есть колода
1220 руб
Раздел: Внимание, память, логика
Музыкальная игрушка "Осьминог".
Веселый "Осьминог" станет настоящим музыкальным центром для вашего малыша, в нем так много звуков! Ребенок будет с восторгом
335 руб
Раздел: Животные
Брелок оленёнок "Rike. Принцезин Лиллифи. Prinzessin Lillifee".
Брелок олененок Rike с карабином. Отличное украшение для сумки и рюкзака.
886 руб
Раздел: Детские брелоки

49. Управление собственными средствами коммерческого банка

50. Основные средства, их ремонт и реконструкция, отражение в бухгалтерском учете на предприятиях различных форм собственности

51. Формы собственности и формы предпринимательской деятельности в условиях рынка (Word`97)

52. Объекты интеллектуальной собственности

53. Создание собственного производства на предприятии оптовой торговли обувью

54. Риск в задачах линейного программирования
55. Многообразие форм собственности
56. Собственность: содержание и формы

57. Экономическая теория прав собственности и трансакционные издержки

58. О работе К.Маркса и Ф.Энгельса «Происхождение семьи, частной собственности и государства»

59. Разновидности научного стиля речи. Жанры собственно научного и научно-информативного стилей речи

60. Труд и чувство собственности (по роману М. Шолохова “Поднятая целина”)

61. Транспортная задача линейного программирования

62. Решение систем линейных алгебраических уравнений

63. Динамическое и линейное программирование

64. Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов

Чехол с поролоном, антипригарный, для гладильной доски (тефлон).
Чехол для гладильной доски антипригарный. Размер чехла: 129х48 см. Максимальный размер доски: 125х40 см. Рисунок ткани в ассортименте без
364 руб
Раздел: Чехлы для гладильной доски
Игра "Супер Твистер".
Игра "Твистер" известна по всему миру людям от мала до велика. У нее простые правила, которые будут понятны как взрослым, так и
378 руб
Раздел: Подвижные игры, твистеры
Доска магнитно-маркерная, 90x120 см.
Размер: 90х120 см. Для письма маркерами и крепления листов при помощи магнитов. Перед началом работы удалить защитную пленку. Возможность
2107 руб
Раздел: Доски магнитно-маркерные

65. Лекции по линейной алгебре (МГИЕМ)

66. Линейная Алгебра. Теория групп

67. Линейное программирование: постановка задач и графическое решение

68. Решение задач линейной оптимизации симплекс – методом

69. Линейные симметрии многогранника паросочетанийи автоморфизмы графа

70. Определение релаксационных констант в модифицированных полимерных материалах методом линейной регрессии
71. Коллизионные Вопросы в Праве Собственности
72. Оценка интеллектуальной собственности

73. Почему мы не учимся на собственных ошибках

74. Материалы по муниципальной собственности

75. O Л. В. Канторовиче и линейном программировании

76. Молодежь создаёт собственный парламент

77. Экзаменационные вопросы и билеты по линейной алгебре за весенний семестр 2001 года

78. Инвестиционная деятельность и защита интеллектуальной собственности

79. Роль и место общественных организаций в вопросах формирования сферы интеллектуальной собственности в России

80. Вещно-правовые способы защиты прав собственности

Швабра для пола "Помощница".
Использование швабры позволяет очистить любые поверхности от пыли и грязи, даже без использования химических средств. Благодаря насадке
314 руб
Раздел: Швабры и наборы
Комплект детского постельного белья "Пираты".
Постельное белье из бязи выполнено из высококачественного хлопка, что гарантирует крепкий и здоровый сон. Комплект не требует особого
1498 руб
Раздел: Детское, подростковое
Терка для моркови "по-корейски" Regent "Linea Presto".
Терка для нарезки моркови "по-корейски". Материал: нержавеющая сталь, пластик. Размер: 32,7x12,5x2,5 см.
377 руб
Раздел: Тёрки, мультитёрки

81. Плата за цитаты, или великая будущность литературной собственности, литературного товара и авторского права

82. Право собственности. Другие вещные права

83. Упрощенная защита права собственности в современной России

84. Защита права собственности в РФ

85. Есть ли альтернатива разграничению государственной собственности на землю?

86. Легко ли разграничить государственную собственность на землю?
87. Нужно ли разграничивать государственную собственность на землю?
88. Общие положения о праве собственности

89. Договор Доверительного Управления Имуществом. Специфический объект – интеллектуальная собственность

90. Интеллектуальная собственность

91. Понятие, содержание права собственности

92. Интеллектуальная собственность

93. Понятие юридического лица; понятие и виды собственности в Украине

94. Право собственности

95. Принципы, механизмы и основные направления регулирования земельных отношений. Виды и формы земельной собственности. Субъекты и объекты земельных отношений

96. Интеллектуальная собственность во Франции

Настольная композиция "Сад Дзен", 16x16x2 см.
Настольная композиция "Сад Дзен" станет необычным подарком для ценителей "заморской" Японской культуры. Время
510 руб
Раздел: Антистрессы
Ящик, 50 литров, 530x370x300 мм.
Ящик для хранения сэкономит место и поможет поддерживать идеальный порядок. Ящик без колес. Материал: пластик. Цвет: прозрачный. Объем: 50
640 руб
Раздел: Более 10 литров
Кружка "Пистолет", черная, с позолоченной ручкой.
Кружка для решительных мужчин и смелых женщин. Оригинальный дизайн позолоченной ручки, имитирующей рукоять пистолета, делает эту вещицу
629 руб
Раздел: Кружки

97. Порядок выкупа временнообязанными крестьянами в собственность усадебной оседлости

98. Кооперативная собственность

99. Создание собственного предприятия (химчистки)


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.