|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Собственные вектора и собственные значения линейного оператора |
Коврик для запекания, силиконовый "Пекарь". 
Ручка "Помада". 
Фонарь садовый «Тюльпан». РЕФЕРАТ &quo ;Собственные вектора и собственные значения линейного оператора&quo ; Понятие собственные векторы и собственные значения Перед тем как определить понятие собственные вектора, покажем его на наглядном примере. На рисунке 1, красным цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от синего, при деформации не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим собственному значению λ = 1. Любой вектор, параллельный красному вектору, также будет собственным, соответствующим тому же собственному значению. Множество всех таких векторов (вместе с нулевым) образует собственное подпространство. Рис. 1 Определение. Ненулевой вектор x называется собственным вектором линейного оператора , если найдется такое число λ, называемое собственным значением линейного оператора, что (x) = λ·x (1) Равенство (1) означает, что вектор x, подвергнутый действию линейного оператора, умножается на число λ. Появляется коллинеарный вектор. Среди векторов линейного векторного пространства могут существовать такие, воздействие оператора на которые переводит эти векторы в коллинеарные самим себе. Если на таких векторах построить базис, преобразования линейной алгебры значительно упростятся. Не всякий линейный оператор обладает собственными векторами. Например, в геометрической плоскости R2 оператор поворота на угол, не кратный π, не имеет ни одного собственного вектора, поскольку ни один ненулевой вектор после поворота не останется коллинеарным самому себе. Решим задачу нахождения собственных векторов оператора. Запишем равенство (1) в матричной форме: P·X = λ·XПреобразуем матричное уравнение: P·X – λ·X = 0 или (P – λ·E) X =0Матричное уравнение всегда имеет нулевое решение: X=0= Для существования ненулевых решений ранг матрицы коэффициентов должен быть меньше числа переменных r&l ; , т.е. число линейно независимых уравнений должно быть меньше числа переменных. В этом случае должно быть выполнено условие P – λ·E =0 (2) Расписав уравнение (2) относительно λ подробнее, получим P – λ·E = Раскрыв определитель, получим уравнение -й степени относительно λ: Которое называется характеристическим уравнением оператора . Корни уравнения называются характеристическими или собственными числами оператора. Множество всех собственных чисел оператора называется спектром этого оператора. Многочлен левой части уравнения называется характеристическим многочленом. Решив характеристическое уравнение, получаем собственные числа λ1, λ2, , λ . Для каждого найденного собственного значения λi найдем ненулевые векторы ядра оператора P – λi E. Именно они будут собственными векторами, соответствующими собственному значению λi. Другими словами, необходимо решить однородную систему уравнений (P – λi E) X=0. Ее общее решение дает всю совокупность собственных векторов, отвечающих λi. Общее решение однородной системы, как известно, структурировано. Оно представляет собой линейную комбинацию фундаментального набора линейно независимых решений (векторов).
Число линейно независимых векторов в фундаментальном наборе называется геометрической кратностью собственного значения λi. Вводиться также алгебраическая кратность – кратность λi как корня характеристического многочлена.Независимость собственных векторов Существование линейно независимых векторов среди собственных, отвечающих различным собственным числам λ1, λ2, , λ , определяется следующей теоремой. Собственные векторы x1, x2, , x оператора, отвечающие различным собственным значениям λ1, λ2, , λ , линейно независимы. На линейно независимых собственных векторах можно построить базис -мерного линейного векторного пространства. Замечание. Определитель матрицы P – λE (соответственно характеристический многочлен) не зависит от выбора базиса. P’ – λE = -1P – λE = -1P - λ -1E = -1P- λ E = -1 P- λ E = P- λ E Следовательно, при переходе к новому базису собственные числа сохраняются. Пример. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей P= в пространстве R2. Решение. Составим характеристическое уравнение: P – λ·E == λ2-5 λ 4=0 Из квадратного уравнения найдем собственные значения линейного оператора λ1=1, λ2=4. Чтобы найти собственные векторы, решим матричные уравнения: (P – λ1 E) X=0 и (P – λ2 E) X=0В развернутом виде и Соответствующие однородные системы: Общие решения систем: и , где с1, с2 є R Таким образом, множество собственных векторов, отвечающих собственным значениям λ1=1, λ2=4, имеет вид ; , где с1, с2 є R. Векторы a1=(1, 1), a2=(-2, 1), например, являются линейно независимыми. Они могут быть приняты в качестве нового базиса в пространстве R2. Пусть e1, e2, , e – собственные векторы линейного оператора в пространстве R , которые примем в качестве базиса. Тогда разложение векторов (e1), (e2), , (e ) по базису e1, e2, , e примет вид Отсюда следует, что aij= λi, если i=j и aij=0, если i& e;j. Поэтому в базисе, составленном из собственных векторов, матрица оператора будет иметь диагональный вид: Симметричный оператор Определение. Линейный оператор в евклидовом пространстве R называется симметричным, если для любых векторов x и y из пространства R выполняется равенство ((x), y)= (x, (y))Для того чтобы линейный оператор был симметричен, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в ортонормированном базисе была симметрична. Рассмотрим для простоты евклидово пространство R2. Пусть в ортобазисе e1, e2 заданы векторы x=(x1, x2), y=(y1, y2). Линейные операторы 1 и 2 определены своими матрицами: и . Вычислим векторы 1(x) и 2(y): , . Найдем скалярные произведения ((x), y) и (x, (y)): ((x), y)=(a11x1 a12x2) y1 (a21x1 a22x2) y2=a11y1x1 a12y1x2 a21y2x1 a22y2x2, (x, (y))= (b11y1 b12y2) x1 (b21y1 b22y2) x2=b11x1y1 b12x1y2 b21x2y1 b22x2y2.Найдем разность скалярных произведений: ((x), y) – (x, (y)) = (a11-b11) x1y1 (a21-b12) x1y2 (a12-b21) x2y1 (a22-b22) x2y2. Если для любых векторов x и y из пространства R2 равенство ((x), y) – (x, (y))=0 (3) Выполнено (необходимость), то верна система a11=b11, a21=b12, a12=b21, (4) a22=b22, и обратно: если условия (4) соблюдены для любых векторов x и y, то равенство (3) выполнено (достаточность).
Система равенств (4) означает, что 1=2=.Ортогональность собственных векторовСобственные векторы симметричного линейного оператора, соответствующие различным собственным числам, взаимо ортогональны. Пусть x и y – собственные векторы оператора , соответствующие собственным числам λ1 и λ2, причем λ1 & e; λ2. По определению симметричного оператора: ((x), y)= (x, (y)) Подставив сюда правые части равенства ((x))= λ1x, ((y))= λ1y, получим (λ1x, y)=(x, λ2y). Вынесем числа λ1 и λ2, за знак скалярного произведения, перенесем слагаемые влево и разложим на множители: (λ1 – λ2) (x, y)=0 Поскольку λ1 & e; λ2, получаем (x, y)=0, что и означает взаимную ортогональность векторов x и y. Отметим другие важные свойства симметричного оператора. Характеристическое уравнение симметричного оператора имеет только действительные корни. Если в евклидовом пространстве R задан симметричный оператор , то в R существует ортонормированный базис e1, e2, , e , составленный из собственных векторов . Если все собственные числа λ1, λ2, , λ симметричного оператора положительны, то ((x), x) &g ; 0 для любого ненулевого вектора x. Положительные матрицы Квадратная вещественная матрица A = (aij) называется положительной, если все её элементы положительны: aij &g ; 0. Теорема Перрона (частный случай теоремы Перрона-Фробениуса): Положительная квадратная матрица A имеет положительное собственное значение r, которое имеет алгебраическую кратность 1 и строго превосходит абсолютную величину любого другого собственного значения этой матрицы. Собственному значению r соответствует собственный вектор er, все координаты которого строго положительны. Вектор er – единственный собственный вектор A (с точностью до умножения на число), имеющий неотрицательные координаты. Список литературы 1. Арутюнов Ю.C. и др. Высшая.математика: Методические указания и контрольные задания (с программой) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей вузов. 3-е изд. М.: Высш. шк., 2005. 144 с. 2. Высшая математика: Программа, методические указания и контрольные задания для студентов-заочников иижеиерио-техиических специальностей сельскохозяйственных вузов. 4-е изд., перераб. М.: Высш.шк., 2005. 110 с. 3. Мироненко Е.С. Высшая математика: методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерных специальностей вузов. М.: Высш. шк., 2008. 110 с. 4. Зимина О.В. и др. Высшая математика. 2-е изд., испр. М.: Физматлит, 2009. 368 с. (Решебиик).
Именно, если имеется тройка Ф' É Н É Ф , где Ф, например, ядерно, причём А переводит Ф в Ф¢ и непрерывно, то соотношения (7) имеют место, только суммы переходят в интегралы по некоторой скалярной мере, а Е (l) теперь «проектирует» Ф в Ф¢, давая векторы из Ф¢, которые будут собственными в обобщённом смысле для А с собственным значением l. Аналогичные результаты справедливы для т. н. нормальных операторов (т. е. коммутирующих со своими сопряжёнными). Например, они верны для унитарных операторов U — таких ограниченных операторов, которые отображают всё Н на всё Н и сохраняют при этом скалярное произведение. Для них спектр SpU расположен на окружности |z | = 1, вдоль которой и производится интегрирование в аналогах формул (6). См. также Спектральный анализ линейных операторов. 5. Нелинейный функциональный анализ. Одновременно с развитием и углублением понятия пространства шло развитие и обобщение понятия функции. В конечном счёте оказалось необходимым рассматривать отображения (не обязательно линейные) одного пространства в другое (часто — в исходное)
1. Алгебраическая проблема собственных значений
2. Знаходження власних значеннь лінійого оператора
5. Государственная собственность в рыночной экономике России: роль, значения, тенденции, перспективы
9. Вещно-правовые способы защиты права собственности
10. Интеллектуальная собственность в сети Internet
11. Право собственности на квартиру и жилой дом
12. Право собственности некоммерческих организаций на жилые и нежилые помещения
13. Приобретение права собственности на движимое и недвижимое имущество, сравнительная характеристика
14. Собственность и право собственности
15. Право собственности граждан
16. Финансовая аренда и право промышленной собственности
Шар для принятия решений. 
Блокнот в точку. Bullet Journal. 
Кружка "Кастет", черная. 18. Право собственности на землю
19. Третье отделение собственной его императорского величества канцелярии
20. Право собственности граждан на жилье на Украине
21. Право собственности и другие вещные права
25. Право коллективной собственности на Украине
26. Приватизация государственной и муниципальной собственности
27. Расторжение трудового договора по инициативе работника (по собственному желанию)
28. Имена собственные в оригинале и переводе
29. Управление потоками данных в параллельных алгоритмах вычислительной линейной алгебры
30. Исследования устойчивости и качества процессов управления линейных стационарных САУ
31. Критерии устойчивости линейных систем
32. Лабораторная работа №5 по "Основам теории систем" (Транспортные задачи линейного программирования)
Стенд "Календарь природы". С карточками чисел, дней недели, месяцев и бланком дневника наблюдений. 
Вертикальный накопитель, пластиковый, черный, ширина 240 мм, 4 отделения, органайзер. 
Глобус Луны диаметром 320 мм, с подсветкой. 34. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и Зейделя
35. Контрольная работа по линейной алгебре
36. СИНГУЛЯРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ В ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧЕ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
37. Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами
41. Преступления против собственности
42. Обратная сила закона. Теория и практика применения на примере преступлений против собственности
43. Расчет линейных цепей методом топологических графов
44. Определение линейных и угловых перемещений параметрическими измерительными преобразователями
45. Сжатие речевого сигнала на основе линейного предсказания
46. Измерение больших линейных геометрических размеров
48. Субъекты рыночной экономики. Формы собственности в Украине
Настольная игра "Халли Галли" (Halli Galli). 
Музыкальная игрушка "Осьминог". 
Брелок оленёнок "Rike. Принцезин Лиллифи. Prinzessin Lillifee". 49. Управление собственными средствами коммерческого банка
51. Формы собственности и формы предпринимательской деятельности в условиях рынка (Word`97)
52. Объекты интеллектуальной собственности
53. Создание собственного производства на предприятии оптовой торговли обувью
57. Экономическая теория прав собственности и трансакционные издержки
58. О работе К.Маркса и Ф.Энгельса «Происхождение семьи, частной собственности и государства»
59. Разновидности научного стиля речи. Жанры собственно научного и научно-информативного стилей речи
60. Труд и чувство собственности (по роману М. Шолохова “Поднятая целина”)
61. Транспортная задача линейного программирования
62. Решение систем линейных алгебраических уравнений
63. Динамическое и линейное программирование
64. Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов
Чехол с поролоном, антипригарный, для гладильной доски (тефлон). 
Игра "Супер Твистер". 
Доска магнитно-маркерная, 90x120 см. 65. Лекции по линейной алгебре (МГИЕМ)
66. Линейная Алгебра. Теория групп
67. Линейное программирование: постановка задач и графическое решение
68. Решение задач линейной оптимизации симплекс – методом
69. Линейные симметрии многогранника паросочетанийи автоморфизмы графа
73. Почему мы не учимся на собственных ошибках
74. Материалы по муниципальной собственности
75. O Л. В. Канторовиче и линейном программировании
76. Молодежь создаёт собственный парламент
77. Экзаменационные вопросы и билеты по линейной алгебре за весенний семестр 2001 года
78. Инвестиционная деятельность и защита интеллектуальной собственности
80. Вещно-правовые способы защиты прав собственности
Швабра для пола "Помощница". 
Комплект детского постельного белья "Пираты". 
Терка для моркови "по-корейски" Regent "Linea Presto". 82. Право собственности. Другие вещные права
83. Упрощенная защита права собственности в современной России
84. Защита права собственности в РФ
85. Есть ли альтернатива разграничению государственной собственности на землю?
89. Договор Доверительного Управления Имуществом. Специфический объект – интеллектуальная собственность
90. Интеллектуальная собственность
91. Понятие, содержание права собственности
92. Интеллектуальная собственность
93. Понятие юридического лица; понятие и виды собственности в Украине
96. Интеллектуальная собственность во Франции
Настольная композиция "Сад Дзен", 16x16x2 см. 
Ящик, 50 литров, 530x370x300 мм. 
Кружка "Пистолет", черная, с позолоченной ручкой. 97. Порядок выкупа временнообязанными крестьянами в собственность усадебной оседлости
98. Кооперативная собственность
99. Создание собственного предприятия (химчистки)
