|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции |
Гуашь "Классика", 12 цветов. 
Наклейки для поощрения "Смайлики 2". 
Ночник-проектор "Звездное небо, планеты", черный. МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРА(НИ УЖГОРОДСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ІНСТИТУТ ІЕП ФАКУЛЬТЕТ ІНФОРМАТИКИ КАФЕДРА ФІЗИКО – МАТЕМАТИЧНИХ ДИСЦИПЛІН КУРСОВА РОБОТА Тема: Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції. Студента 2-го курсу Ресенчука Станіслава. Науковий керівник доцент Лавер О. Г. УЖГОРОД – 1998 р. Зміст Вступ. 3 Формули прямокутників і трапеції. 4 Параболічне інтерполювання. 6 Дроблення проміжку. 9 Залишковий член формули прямокутників. 11 Залишковий член формули трапеції. 13 Залишковий член формули Сімпсона. 14 Додаток 1. 17 Додаток 2. 20 Висновки. 22 Література. 23 Вступ. Багато задач науки і техніки приводять до проблеми обчислення інтегралів, але не всі інтеграли піддаються обчисленню. В даній роботі разглядається питання наближеного обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції. Зокрема, виводяться формули наближеного обчислення прямокутників, формула трапецій а також формула Сімпсона. Формули прямокутників і трапеції. Нехай треба обчислити значення визначеного інтегралу неперервна функція. Існує багато прикладів обчислення подібних інтегралів, або за допомогою первістної, якщо вона виражається в скінченному вигляді, або ж – минуя первістну – за допомогою різних прийомів, як правило, штучних. Потрібно відмітити, однак, що всім цим вичерпується вузький клас интегралів; за його межами зазвичай вдаються до різних методів наближеного обчислення. В даній роботі можно ознайомитися з основними із цих методів, в яких наближені формули для інтегралів складаються по деякому числу значень підінтегральної функції, обчислених для ряду (зазвичай рівновіддалених) значень незалежної змінної. Перші формули, які сюди відносяться, простіші всього отримуються із геометричних міркувань. Витлумачуючи визначений інтеграл як площу деякої фігури, яка обмежена кривою , ми і ставимо перед собою задачу знаходження цієї площі. Перш за все, вдруге використовуючі ту думку, яка привела нас до самого поняття о визначеном інтегралі, можно розбити усю фігуру (мал. 1) на смуги, скажемо однієї і той же ширини , а потім кожну смугу наближено замінити прямокутником, за висоту якого прийнята будь-яка із його ординат. Це приводе нас до формули . Тут шукана площа криволінійної фігури замінюється площею деякої ступенчатої фігури, яка складається із прямокутників (або ж, можно сказати, що визначений інтеграл замінюється інтегральною сумою). Ця наближена формула і називається формулою прямокутників. якщо відповідну середню ординату , то формула перепишеться у вигляді . (1) Надалі, кажучи про формулу прямокутників, ми будемо мати на увазі якраз цю формулу. Геометричні міркування природньо приводять і до другої, часто використовуваємій наближеній формулі. Замінивши дану криву вписаною в неї ламаною, з вершинами у точках . Тоді наша криволінійна фігура заміниться іншою, яка складається із ряду трапецій (рис2.). Якщо, як і раніш рахувати, щопроміжок разбитий на рівні частини, то площі цих трапецій будуть Мал. 2 Додаючи, прийдемо до нової наближеної формули . (2) Це так звана формула трапецій. Можно показати, що при зростанні до нескінченності похибка формули прямокутників і формули трапецій нескінченно зменьшується.
Таким чином, при достатньо великому обидві ці формули відтворюють шукане значення з довільним рівнем точності. Параболічне інтерполювання. Для наближеного обчислення інтеграла (близьким( до неї многочленом Можно сказати, що тут – при обрахуванні площі – дана (крива( - го порядку( (3), в зв(язку з чим цем процес отримав назву параболічного интерполювання. Сам вибір інтерполюючуго многочлена частіше всього виконують наступним чином. У проміжку і підбирають многочлен його значення співпадало зі значенням функції визначається однозначно, і його вираз даеться інтерполяціонною формулою Лагранжа: При інтерполюванні виходить лінійний, відносно значень вираз, коефіцієнти якого вже не залежать від цих значень. Вирахувавши коефіціенти раз і назавжди, можно їх використовувати для будь-якої функції . В найпростішому випадку, при , де , скажемо, середня: (4) Геометрично – площа криволінійної фігури замінюється тут площадью прямокутника з висотою, яка рівна середній її ординаті. При замінюється лінійною функцією и (5)і, як легко обчислити, На цей раз площа криволінійної фігури замінюється площею трапеції: замість кривої береться хорда, яка зполучає її кінці. Менш тривіальний результат отримаємо взявши , то інтерполяційний многочлен (7) За допомогою легкого обчислення вираховуємо . Таким чином, приходимо до наближеної формули . Тут площа фігури під даною кривою замінюється площею фігури, яка обмежена звичайною параболою (з вертикальною віссю), що проходить через крайні і середню точки кривої. Збільшуя степінь інтерполяційного многочлена, тобто проводя параболу (3) через все більше число даної кривої, можно розраховувати отримати більшу точність. Но більш практичним виявляється інший шлях, якій грунтується на поєднанні ідеї параболічного інтерполювання із ідеєю дроблення. Дроблення проміжку. При обчисленні інтегралу можно зроботи так. Розіб(ємо спочатку проміжок ,в зв(язку з чим, шуканий інтеграл постане у вигляді суми (9) Тепер же до кожного із цих проміжків застосуємо параболічне інтерполювання, тобто станемо обчислювати інтеграли (9) по одній із наближених формул – (4), (6), (8). Легко збагнути, що виходячи із формул (4) або (6), ми таким шляхом знов отримаємо вже відомі нам формули прямокутників і трапецій, (1) и (2). Застосуємо тепер до інтегралів (9) формулу (8), при цьому для стислості положимо, як і вище, , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Зрештою, додаючи почленно ці равенства, прийдемо до формули (10) Вона носит назву формули Сімпсона ( h. Simpso ); цією формулою користуються для наближенного обчислення інтегралів частіші, аніж формулами прямокутников і трапецій, бо она – при тих же затратах – дає зазвичай більш точний результат. Залишковий член формули прямокутників. Почнемо з формули (4). Припустимо, що у проміжку має неперервні похідні перших двох порядків. Тогді, розкладая (по формулі Тейлора) за степенями двочлена аж до його квадрату, будемо мати для всіх значень та . Якщо проінтегрувати цю рівність у проміжку від , то другий член зправа зникне, бо , так, що залишковий член формули (4), який поновлює її точність має вигляд , відповідно найменьше та найбільше значення неперервної функції і коростуючись тим, що другий множник підінтегрального виразу на змінює знака, за узагальненою теоремою про середне можемо написати .
По відомій властивості неперервної функції, знайдеться в . (12) Якщо зараз розділити проміжок рівних частин, то для кожного часткового проміжку . Додавнши ці равенства (при ) почленно отримаємо при звичайних скорочених позначеннях і є залишковий член формули прямокутників (1). Так як вираз , то і він представляє одне із значень функції (13). При зростанні . Залишковий член формули трапеції. Займемось тепер формулою (6) при попередніх здогатках відносно функції . Скориставшись інтерполяційною формулою Лагранжа із залишковим членом можемо написати , знайдемо . Розмірковуючи, як і вище, і користуючись тим, що другий множник підінтегральної функції і тут не змінює знака, знайдемо . Нарешті, для випадку ділення проміжку на (14). Таким є залишковий член формули трапецій (2). При зростанні . Ми бачемо, що застосування формули трапецій приводить до похибки того ж порядку, що і для формули прямокутників. Залишковий член формули Сімпсона. Звернемося, нарешті до формули (8). Можно було б, аналогічно тому, як це було зроблено тількі що, знов скористатись формулою Лагранжа з залишковим членом і покласти (15). Но ми стикаємося тут з таким станом речей, а саме, проінтегрувавши рівність (15), ми не змогли б спростити інтегральний вираз для додаткового члену за допомогою теореми про середне, бо вираз в підінтегральній функції вже змінює знак на проміжку ,яким би не було число приймає одні і тіж значення, що і функція так, щоб і похідна цього виразу при . Таким чином, при цьому значенні ми маємо не що інше, як інтерполяційний многчлен Эрміта, який відповідаї простим вузлам . Скориставшись формулою Эрміта з залишковим членом – в пропушенні існування для функції похідних до четвертого порядку включно – отримаємо: . Тепер проінтегрувавши цю равність від так як неперервною, то, як і в попередніх випадках, залишковий член формули (8) ,користуючись тим, що другий множник в підінтергальному виразі не змінює знака, можно підставити в такому вигляді розділити на рівних частин, то – для формули Сімпсона (10) – отримаємо залишковий член у вигляді цей вираз зменьшується приблизно як ; таким чином, формула Симпсона дійсно більш вигідна, ніж попередні дві формули. Додаток 1. Текст программи для автоматичного обчислення інтегралів на мові програмування QBASIC:'Тут описуються сталі e = 2.718281828459045# pi = 3.141592653589793# 'Тут задається від під інтегральної функції DEF f y# (x#) = e(x# (2 DEF f coef# (i#) = (i# MOD 2) 2 2 DEF f xi# (i#) = a# i# h# DEF f xis# (i#) = a# i# h# / 2 DEF f xic# (i#) = a# i# h# h# / 2 DEF f xir# (i#) = a# i# h# h# / 2 CLS'Тут вводяться межі інтегрування та 'кількість проміжків I PU «Введіть нижню межу інтегрування » a# I PU «Введіть верхню межу інтегрування » b# I PU «Введіть кількість проміжків » # 'Тут обчислюється крок h# = (b# - a#) / # 'Тут обчислюється наближене значення 'інтеграла за методом Сімпсона i eg# = 0 FOR i# = 1 O ((2 #) - 1) i eg# = i eg# f coef#(i#) f y#(f xis#(i#)) EX i eg# = i eg# f y#(a#) f y#(b#) i eg# = i eg# (h# / 6) PRI "Simpso = "; i eg# 'Тут обчислюється наближене значення 'інтеграла за методом трапецій i eg# = 0 FOR i# = 1 O ( # - 1) i eg# = i eg# f y#(f xi#(i#)) EX i eg# = i eg# (f y#(a#) f y#(b#)) / 2 i eg# = i eg# h# PRI ( rapeze = (; i eg# 'Тут обчислюється наближене значення 'інтеграла за методом лівих прямокутників i eg# = 0 FOR i# = 0 O ( # - 1) i eg# = i eg# f y#(f xi#(i#)) EX i eg# = i eg# h# PRI "L Rec a gle = "; i eg#'Тут обчислюється наближене значення 'інтеграла за методом центральних прямокутників i eg# = 0 FOR i# = 0 O # i eg# = i eg# f y#(f xic#(i#)) EX i eg# = i eg# h# PRI "C Rec a gle = "; i eg# 'Тут обчислюється наближене значення 'інтеграла за методом правих прямокутників i eg# = 0 FOR i# = 1 O # i eg# = i eg# f y#(f xir#(i#)) EX i eg# = i eg# h# PRI "R Rec a gle = "; i eg# Додаток 2.Д
Паркер отказывается даже предположить, кто мог стоять за этой "нечестной игрой". Эд Паркер Сам Блок позволяет себе высказать некоторые догадки но поводу смерти Ли, предполагая, что Ли мог "сделать" мастер боевых искусств, разгневанный его экстравагантным образом жизни, его проповедованием Джиг Кун До в ущерб другим стилям или тем, что Ли предал гласности и использовал тщательно скрываемые секреты кунг-фу. Возможно, пишет Блок, Ли отомстил шаолиньский монах или ниндзя (член древнего клана убийц). Или возможно Ли был убит "ударом отсроченной смерти", нанесенным мастером малоизвестного "искусства вибрирующей ладони", представители которого могут обращать внутреннюю энергию в вибрации и, накладывая ладонь на жертву, обрекать ее на смерть в определенный час, который может наступить через два месяца иди десять лет с момента прикосновения. В лучшем случае все эти теории - плод воображения, и сам Блок, кажется, настроен довольно скептически, хотя у Ли действительно было много врагов. Ли был человеком с золотым ударом (по ассоциации с романом Яна Флеминга "Человек с золотым пистолетом", в центре которого стоит феноменальный стрелок - прим. пер.), во всем, что касалось боевых искусств, он обладал волшебным прикосновением Мидаса (по греческой мифологии - царь, превращавший в золото все, к чему прикасался - прим. пер.), и успех неотступно следовал за ним до самой могилы
1. Вычисление определённого интеграла с помощью метода трапеций на компьютере
2. Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева
3. Вычисления определенного интеграла с помощью ф. – лы Симпсона на компьютере
4. Применение квадратурной формулы Чебышева для вычисления определенного интеграла
5. Вычисление определенного интеграла
9. Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке
11. Приближенное вычисление определенных интегралов
12. Создание функциональной модели вычисления минимума заданной функции методом парабол
14. Вычисление интегралов методом Монте-Карло
15. Вычисление определенных интегралов. Квадратурные формулы
16. Структура и функции клеточного ядра
Фигурка "Zabivaka Classic", 8 штук, 6 см. 
Планшет для пастелей "Калейдоскоп", A3, 20 листов. 
Доска магнитно-маркерная, 60x90 см. 17. Эпифиз и его гормональные функции
18. Функции белков в организме
19. Функции ГЛИИ
20. Обзор средств для автоматизации геодезических вычислений
21. Нормативное регулирование перемещения через таможенную границу транспортных средств
25. Референдум и его социальная функция
26. Задачи, система и функции органов юстиции Российской Федерации
28. Функции государства: налогообложение и взимание налогов
29. Понятие налога, налогового права, его система, их функции
31. Возникновение и развитие, понятие и признаки права. Понятие правосознания, основные функции, виды
32. Право: понятие, признаки, виды, функции, принципы
Набор цветных карандашей "Noris Club", 36 цветов. 
Набор фруктов. 
Игрушка-подушка "Жираф", 32 см. 33. Государство: понятие, признаки, формы правления и функции
35. Происхождение права, теории происхождения права, понятие признаки, виды, функции, принципы
36. Гарантии прав профсоюзных объединений при осуществлении ими своих функций
37. Синтаксические функции герундия в испанском языке. Проблема атрибутивного герундия
41. Поэзия природы: средства изобразительности и функции
42. Типы и функции обращений в лирике А. Блока
43. Реализация функций языка в ФЗ "О прокуратуре РФ"
46. Удалённый доступ к частной сети через Интернет с помощь технологии VPN
47. Вычисление площади сложной фигуры методом имитационного моделирования (Windows)
48. Построение функции предшествования по заданной КС-грамматике
Мягкий пол универсальный, коричневый, 33x33 см (9 деталей). 
Светильник "Лампочка на веревке", синий. 
Трехколесный велосипед Funny Jaguar Lexus Racer Trike (цвет: серебро). 52. Экстремумы функций многих переменных
57. Гамма функции
58. Вычисление корней нелинейного уравнения
59. Численное интегрирование определённых интегралов
60. Исследование элементарных функций
61. Теория неявных функций и ее приложения
62. Пищеварительный тракт и его основные функции
64. Мышцы: начало, место прикрепления, функция
Конструктор "Юный конструктор № 2" в чемодане. 
Копилка-гиря "Стопудовй хит". 
Бальзам для волос "Natura Siberica" Легкое расчесывание, 250 мл. 65. О некоторых показателях опорной функции стопы у детей
66. Понятие и характер нотариальных функций
67. Экологические функции правоохранительных органов
68. Уголовно-исполнительное право в системе права, его предмет, функции и система
69. Транспорт веществ через биологические мембраны
73. Эмоции: функции и особенности их проявления
74. ВЕДУЩИЕ ФУНКЦИИ И СТРУКТУРА ПРОЦЕССА ОБУЧЕНИЯ
75. Что такое конфликт? Природа, типы и функции
76. Управление ДПЛА через ретранслятор
77. Сущность и функции религии
78. Сущность, структура и функции семьи
79. Социология как наука. Предмет и функции социологии
80. Социальные ограничения: содержание, структура, функции
Набор шариков, диаметр: 5 см, 200 штук. 
Универсальная вкладка для дорожных горшков (зеленый). 
Лампа-ночник из цветных блоков "Семицветик". 82. Эвристические функции законов сохранения
83. Что такое философия, ее предназначение, социальные функции и роль в жизни человека
84. Социальные ограничения: содержание, структура, функции
89. Сущность банка, его функции и их развитие на современном этапе
90. Центральный банк и его функции
91. Центральный Банк РФ и его функции
92. Центральные банки и их функции
93. Формы и базовые функции кредита
94. Фондовые биржи и их функции (Контрольная)
95. Теория стоимости. Закон стоимости и его функции
96. Функции и структура валютного рынка
Защитные шторки для автомобиля на присосках Chicco Safe "Паравозик", с сумкой в комплекте, 2. 
Магнит "FIFA 2018. Забивака с флагом". 
Подарочный набор "Покер", арт. 42443.
