|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Компьютеры, Программирование Программное обеспечение
Дифференцирование, интегрирование, вычисление пределов, сумм, рядов функций и математических выражений в системе Maple |
Мыло металлическое "Ликвидатор". 
Ручка "Помада". 
Ночник-проектор "Звездное небо, планеты", черный. Кафедра: Информационные Технологии Лабораторная Работа На тему: ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ, ИНТЕГРИРОВАНИЕ, ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ, СУММ, РЯДОВ ФУНКЦИЙ И МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ. Москва, 2008 год ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ, ИНТЕГРИРОВАНИЕ, ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ, СУММ, РЯДОВ ФУНКЦИЙ И МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ Цели работы: · знать команды, используемые при вычислении обыкновенных и частных производных аналитического выражения по одной или нескольким переменным в системе вычислений Maple; · знать команды, используемые при интегрировании аналитических выражений в системе вычислений Maple; · знать команды, используемые при вычислении пределов, сумм, рядов функций в системе вычислений Maple; · уметь применять указанные команды для решения математических задач. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Дифференцирование выражений Команды diff ( ) и Diff ( ) предназначены для вычисления обыкновенных и частных производных аналитического выражения по одной или нескольким переменным. Вторая команда является отложенной командой, которая не вычисляет производную от выражения, а просто отображает математическую запись взятия производной. Результат действия отложенной команды можно присвоить переменной Maple, а в дальнейшем при помощи команды value ( ) вычислить результат этой отложенной команды. Отложенная форма команды удобна, когда необходимо видеть, какие операции были сделаны для получения нужного выражения. Кроме этой команды еще целый ряд команд имеют отложенную форму, информацию о которых можно получить в Справке. Синтаксис команды дифференцирования следующий: diff (выражение, переменная 1, переменная 2, ., переменная ); diff (выражение, ); В результате выполнения любой из приведенных команд будет вычислена частная производная -гo порядка от заданного первым параметром выражения по заданным переменным. При вычислении производных высокого порядка можно использовать оператор последовательности $, который позволяет проще и нагляднее задать производную. Например, для вычисления третьей производной функции f (х) по переменной х можно использовать команду diff (f (х) , х, х, х), в которой три раза указано дифференцирование по переменной х, или применить в команде дифференцирования оператор последовательности х$3, что упрощает и делает более наглядным задание третьей производной: diff (f (х) , х$3). Пример 1. Вычисление производных. &g ; s:=x^3 cos(x) y^2 l (si (x)); &g ; diff(s,x); &g ; diff(s,x$2); &g ; diff(s,x,y); &g ; fs:=Diff(s,x); &g ; q:=sqr (fs); &g ; value(%); Последние три команды показывают использование отложенной формы команды дифференцирования. 2. Интегрирование выражений Команда i ( ) имеет отложенную форму I ( ) и осуществляет интегрирование выражений по заданной переменной. Эта команда вычисляет неопределенный интеграл от выражения (при этом, правда, в ответе не будет никакой постоянной интегрирования) используя следующий синтаксис: i (выражение, переменная); Определенный интеграл вычисляется при следующем синтаксисе команды: i (выражение, переменная = a.b); где a и b являются пределами интегрирования, причем эти пределы могут быть и аналитическими выражениями.
Пример 2. Интегрирование функций. &g ; f:=x^2 cos(k x); &g ; i (f,x); &g ; i (f,x=0.1); &g ; I (f,x=0.Pi); &g ; value(%); Для символьного вычисления определенного интеграла существуют две опции, управляющие обработкой разрывов подынтегральной функции. Эти опции задаются третьим параметром в командах i ( ) и I ( ). По умолчанию команда интегрирования проверяет выражение на непрерывность в области интегрирования и вычисляет интеграл как сумму отдельных определенных интегралов на промежутках непрерывности функции. Опция `co i uous` отключает этот режим и вычисляет интеграл как разность значений первообразной подынтегральной функции в точке начала и конца промежутка интегрирования. Еще одна опция `CauchyPri cipalValue` вычисляет несобственные интегралы первого и второго рода в смысле главного значения Коши. Если Maple не находит замкнутую форму выражения для определенного интеграла, то команда интегрирования возвращает вызов самой себя (в области вывода печатается математическая запись вычисления интеграла, как при обращении к отложенной команде интегрирования). В таких случаях можно вычислить значение определенного интеграла численным способом с помощью команды evalf ( ). Синтаксис при этом следующий: evalf( i (f,x=a. .b) ) ; evalf ( I (f,x=a. .b) ) ; evalf (I (f ,x=a. .b), digi s, flag); Параметр digi s позволяет задать число значащих цифр при вычислениях приближенного значения интеграла (по умолчанию это число равно числу значащих цифр, определенных значением системной константы Digi s). При численном интегрировании по умолчанию используется квадратурная формула Кленшо-Куртиса (Cle shaw-Cur is). Если в подынтегральном выражении встречается сингулярность, то применяется специальная методика символьного анализа для ее разрешения. Для задач с неустранимыми сингулярностями используется адаптивный метод двойных экспоненциальных квадратур. Параметр flag позволяет явно задать метод численного интегрирования. Он может принимать значения, представленные в табл. 1. Таблица 1. Значения параметра flag при численном интегрировании. Значение Смысл Ccquad Применяется только квадратура Кленшо-Куртиса без вызова процедуры обработки сингулярности Dexp Применяется адаптивный метод двойных экспоненциальных квадратур crule Применяется метод квадратурной формулы Ньютона-Котеса, являющийся методом фиксированного порядка, и не эффективен для высоких точностей (Digi s &g ; 15) Пример 3 помогает освоиться с использованием вышеприведенной методики. Пример 3. Численное интегрирование функций. &g ; i (si (x) l (x),x=0.1); &g ; evalf(i (si (x) l (x),x=0.1)); &g ; &g ; &g ; Первый интеграл примера 3 вычисляется в аналитическом виде, но представляется через значение специальной функции интегральный косинус. Для получения ответа в виде десятичного числа применяется алгоритм численного интегрирования. Здесь же показано использование отложенной формы команды интегрирования для более удобного представления ответа. Численное интегрирование даже функций, внешний вид которых представляется не достаточно сложным, может потребовать значительного времени.
Если будет казаться, что Maple завис (а такое случается), то надо следить за изменением времени в правой части строки состояния. Если оно изменяется, то просто следует дождаться завершения интегрирования. В системе Maple имеется набор команд для полного исследования функций: limi ( ) – для отыскания предела функции, sum ( ) – для нахождения всевозможных конечных сумм, series ( ) – для разложения функций в ряды Тейлора, Маклорена и Лорана, ex rema ( ) – для исследования экстремумов функций как одной, так многих переменных, mi imize ( ) и maximize ( ) – для поиска минимума и максимума функции на заданном промежутке. Описание всех этих и других команд можно, естественно, найти в Справке Maple. 3. Пределы. Для нахождения предела выражения или функции в Maple используется команда limi (параметр 1, параметр 2). Первый параметр – выражение, второй параметр — имя переменной, приравненное значению переменной в точке предела. Необязательный третий параметр – направление предела. Если направление не задано, вычисляется стандартный двусторонний предел. Если предел не существует, в качестве ответа возвращается сообщение &quo ;u defi ed&quo ;. Если Maple не способен вычислить предел (однако он может существовать), возвращается невыполненная команда. &g ; limi (cos(x)/x,x=Pi/2); &g ; limi ((-x^2 x 1)/(x 4),x=i fi i y); &g ; limi ( a (x),x=Pi/2); В большом количестве случаев выражение, которое не имеет двустороннего предела, имеет односторонний предел: limi ( a (x),x=Pi/2,lef ); limi ( a (x),x=Pi/2,righ ); limi ((1 a/x)^x,x=i fi i y); В команде limi ( ) может присутствовать также необязательная опция complex или real в качестве третьего параметра аргумента. Эта опция определяет, в комплексной или действительной области вычисляется предел. Задачи для самостоятельного решения. 1. Найти производную: 1.1. ;1.7. ; 1.2. ;1.8. ; 1.3. ;1.9.; 1.4. ;1.10. ; 1.5. ;1.11. ; 1.6. ;1.12. ; 1.13. . 2. Найти интеграл: 2.1. ,2.7. , 2.2. ,2.8. при , 2.3. ,2.9. , 2.4. ,2.10. при , 2.5. , 2.11. при при , 2.6. ,2.12. , 2.13. . 3. Найти следующие пределы: 3.1. ; 3.2. ; 3.3. ; 3.4. ; 3.5. ; 3.6. ; 3.7. ; 3.8. ; 3.9. ; 3.10. ; 3.11. ; 3.12. ; 3.13. . Варианты заданий. . 1.1; 2.1; 3.1;. 1.9; 2.9; 3.9; . 1.2; 2.2; 3.2;. 1.10; 2.10; 3.10; . 1.3; 2.3; 3.3;. 1.11; 2.11; 3.11; . 1.4; 2.4; 3.4;. 1.12; 2.12; 3.12; . 1.5; 2.5; 3.5;. 1.13; 2.13; 3.13; . 1.6; 2.6; 3.6;. 1.1; 2.2; 3.3; . 1.7; 2.7; 3.7;. 1.13; 2.12; 3.11. . 1.8; 2.8; 3.8; Контрольные вопросы. 1. Команда diff ( ), ее предназначение и синтаксис. 2. Команда i ( ), ее предназначение и синтаксис. 3. Отложенные формы команд diff ( ) и i ( ). 4. Формирование производных высокого порядка с помощью оператора последовательности $. 5. Как вычислить значение определенного интеграла численным способом? 6. Назначение параметра digi s в команде evalf ( ). 7. Назначение параметра flag в команде evalf ( ). 8. Команда limi ( ), ее предназначение и синтаксис. Литература 1. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Введение в Maple. Математический пакет для всех. – М.: Мир, 1997. – 208 с. 2. Дьяконов В.П. Математическая система Maple V.
И, в-третьих, это возможность быстрого преобразования строковых выражений ввода в естественные математические формулы. Рис. 1.22. Примеры применения инертных функций Имена таких функций начинаются с большой буквы и функции выводят математическое выражение в естественной математической нотации. С помощью ряда функций, например evalf, можно вычислить математическое выражение, полученное инертной функцией. На рис. 1.22 внизу дан пример такого вычисления для предела функции sin(x)/x. Обратите внимание на еще один пример вывода контекстного меню для строки вывода. Теперь остановимся на преобразовании исполняемых выражений ввода на Maple-языке в обычные математические формулы. Для этого достаточно, выделив входное выражение, нажать первую кнопку контекстной панели (со знаком «х») — соответствующее выражение тут же приобретет вид обычной математической формулы. На рис. 1.23 показаны примеры вычислений интеграла при его задании в строках ввода в виде текстового выражения и в обычной математической нотации. Рис. 1.23. Примеры вычислений интеграла при его задании в текстовой и математической нотации Таким образом, всегда можно получить формульное представление входных выражений
1. Ряд распределения, функция распределения
2. 1. Документы первичного учёта в органах МВД, прокуратуре и судах. 2. Динамические ряды и их виды
3. Литература как вид искусства. Место литературы в ряду других искусств
4. Ряд Фурье
5. Реакции электрофильного замещения в ароматическом ряду
9. Ряды
10. Центральная предельная теорема и ее доказательство через ряды Тейлора
12. Верхние торговые ряды на Красной площади в Москве
13. Предельные, или насыщенные, углеводороды ряда метана (алканы, или парафины)
14. Политогенез, "гомологические ряды" и нелинейные модели социальной эволюции
15. Ряды динамики
16. Анализ денежных потоков на базе отчета о движении денежных средств (опыт ряда европейских стран)
Фляжка сувенирная "На здоровье!", 270 мл. 
Настольная игра "Баскетбол". 
Бусы-прорезыватели "Фруктовый микс". 17. Особенности аналитических задач и построение рядов в правовой статистике
18. Ряды
19. Охотный ряд
20. Что сокрыто за нотным рядом?
21. Ряд вугреподібні (Anguilliformes)
25. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление
26. Оценивание смещения статистики взаимной спектральной плотности многомерного временного ряда
27. Вычисление пределов функций, производных и интегралов
30. Фармацевтический анализ антибиотиков пенецилинового ряда.
31. Образование в России и в ряде зарубежных стран в конце ХХ века. Болонская конвенция
32. Зависимость продолжительности жизни населения от ряда внешних факторов
Подарочный набор, 21x16x4 см, арт. 140304. 
Ночник с проектором "Звездочка". 
Машина-каталка "Авторалли", цвет: розовый. 33. История фирмы и модельный ряд "Сааб"
34. Аналитические показатели ряда динамики в изучении развития рынка
35. Методы анализа основной тенденции развития в рядах динамики
37. Построение статистический рядов
41. Ряды динамки
42. Экстраполяция в рядах динамики и метод прогнозирования
43. Анализ рядов распределения
44. Методы анализа основной тенденции (тренда) в рядах динамики
45. Анализ показателей ряда динамики
46. Компоненты временных рядов
47. Структура и функции клеточного ядра
48. Эпифиз и его гормональные функции
Органайзер для планшета (2 кармана), 40х35 см. 
Вожжи (поводок детский) "Baby BUM" № 3 (с ручкой и подмышечными валиками). 
Копилка-раскраска "Зайчик". 49. Функции белков в организме
50. Функции ГЛИИ
51. Добыча нефти компанией Guff Oil International за пределами США
52. Налоги: эволюция, определения и формы. Принципы налоговой политики и функции налогов
53. Защитная функция адвокатуры как правовая традиция
57. Задачи, система и функции органов юстиции Российской Федерации
59. Функции государства: налогообложение и взимание налогов
60. Понятие налога, налогового права, его система, их функции
61. Структура налоговых органов РФ права, обязанности и функции
62. Возникновение и развитие, понятие и признаки права. Понятие правосознания, основные функции, виды
63. Понятие, классификация и содержание основных функций государства
Папка для тетрадей "Кошечка", А4. 
Гибкий трек "Большое путешествие", 317 деталей. 
Контейнер универсальный, 4 выдвижные секции, большой. 65. Феодальное государство (экономическая основа, сущность, механизм, функции и формы)
66. Структура и функции государственного аппарата
67. Деньги и их функции(MONEY)
68. Культура, её структура и функции
69. Культура, ее функции, субъекты
73. Есть ли пределы развития и миниатюризации компьютеров?
75. Построение функции предшествования по заданной КС-грамматике
76. Специальные функции архиватора RAR
77. Исследование наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами
78. Экстремумы функций многих переменных
80. Построение графика функции различными методами (самостоятельная работа учащихся)
Набор ковриков "Kamalak Tekstil" для ванной, 50х50 см и 50x80 см (фиолетовый). 
Фоторамка на 11 фотографий С31-021 Alparaisa "Family", коричневый, 47x53,5 см. 81. Гамма функции
84. Теория неявных функций и ее приложения
85. Иммунная система. Строение, состав, функции и др.
90. Надзорные функции прокуратуры
91. Уголовно-исполнительное право в системе права, его предмет, функции и система
92. Берегозащитные сооружения их значения, и модернизация в пределах г.Сочи
93. Дифференцированный подход в обучении основным движениям (для детей 6-го года жизни)
94. Партии, роль и функции в обществе
96. Синапсы (строение, структура, функции)
Мебель для кукол "Спальня Конфетти". 
Трехколесный велосипед Funny Jaguar Lexus Trike Original Volt (цвет: синий). 
Фоторамка Crystocraft "Бабочка", 10x19 см. 98. Высшие психические функции
Портфель "Attache", A4, серый. 
