|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Механические колебания в дифференциальных уравнениях |
Ночник-проектор "Звездное небо, планеты", черный. 
Пакеты с замком "Extra зиплок" (гриппер), комплект 100 штук (150x200 мм). 
Гуашь "Классика", 12 цветов. Министерство образования Российской Федерации Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова РЕФЕРАТ на тему: “МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ” Выполнил: студент гр. МХТ-02 Казаков Василий Васильевич Проверила: Абрамова Ирина Михайловна Магнитогорск 2003 Содержание 1) Гармонические колебания 2) Затухающие колебания 3) Вынужденные колебания без учета сопротивления среды 4) Вынужденные колебания с учетом сопротивления среды Колебаниями называются процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например качания маятника часов, переменный электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника изменяется координата центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и сила тока. Физическая природа колебаний может быть разной, однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Рассмотрим механические колебания. Гармонические колебания. Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых изменяющаяся величина изменяется по закону синуса (косинуса). Пусть груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина которой в естественном состоянии равна . Груз слегка оттянут книзу и затем отпущен. Найдем закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха. Решение Направим ось Ох вниз по вертикальной прямой, проходящей через точку подвеса груза. Начало координат О выберем в положении равновесии груз, то есть в точке, в которой вес груза уравновешивается силой натяжения пружины. Пусть ( означает удлинение пружины в данный момент, а (ст—статическое удлинение, т.е. расстояние от конца нерастянутой пружины до положения равновесия. Тогда (=(ст х, или (-(ст=х. Дифференциальное уравнение получим из второго закона Ньютона: F=ma, где m=P/g—масса груза а—ускорение движения и F—равнодей-ствующая приложенных к грузу сил. В данном случае равнодействующая слагается из силы натяжения пружины и силы тяжести. По закону Гука сила натяжения пружины пропорциональна её удлинению: Fупр=-с(, где с – постоянный коэффициент пропорциональности называемый жесткостью пружины. Так как в положении равновесия сила равновесия сила натяжения пружины уравновешивается весом тела, то P= с(ст. Подставим в дифференциальное уравнение выражение Р и заменим (-(ст через х, получится уравнение в виде: (1) Полученное уравнение определяет так называемые свободные колебания груза. Оно называется уравнением гармонического осциллятора. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение: , соответственно этому общее решение Для выяснения физического смысла решения удобнее привести его к другой форме, введя новые произвольные постоянные. Умножив и разделив на (2) График гармонических колебаний имеет вид: Таким образом, груз совершает гармонические колебания около положения равновесия. Величину А называют амплитудой колебания, а аргумент — фазой колебания. Значение фазы при =o т.e.
величина , называется начальной фазой колебания. Величина и частота k зависят только от жесткости пружины и от массы системы. Так как с = Р/(ст = mg/(ст, то для периода можно получить также формулу: Скорость движения груза получается дифференцированием решения по : Для определения амплитуды и начальной фазы необходимо задать начальные условия. Пусть, например, в начальный момент = 0 положение груза x=x0 и скорость (=(0. Тогда Из формул для амплитуды и начальной фазы видно, что в отличие от частоты и периода собственных колебаний они зависят от начального состояния системы. При отсутствии начальной скорости ((0=0) амплитуда А=х0, а начальная фаза (=(/2 и, таким образом, Затухающие колебания. Затухающими колебаниями называются колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшают- ся. Найдем закон движения груза в условиях предыдущей задачи, но с учетом сопротивления воздуха, которое пропорционально скорости движения. Решение К силам, действующим на груз, прибавляется здесь сила сопротивления воздуха (знак минус показывает, что сила R направлена противоположно скорости (). Тогда дифференциальное уравнение движения в проекции на ось Ox имеет вид (3) Это уравнение также является линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение: (4) Характер движения целиком определяется этими корнями. Возможны три различных случая. Рассмотрим сначала случай, когда . Это неравенство имеет место, когда сопротивление среды невелико. Если положить . Тогда общее решение можно записать в виде , получим: (5) График зависимости отклонения от положения равновесия от времени имеет вид: при = 0, то можно определить А и (. Для этого находим и Разделелив обе части второго уравнения на соответствующие части первого получим то Решение (5) показывает, что имеют место затухающие колебания. Действии- тельно, амплитуда колебания зависит от времени и является монотонно убывающей функцией, причем . Период затухающих колебаний определяется по формуле Моменты времени, в которые груз получает максимальное отклонение от начала координат (положения равновесия), образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной полупериоду Т/2. Амплитуды затухающих колебаний образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем, равным . Эта величина называется декрементом затухания и обычно обозначается буквой D. Натуральный логарифм декремента l D = - пТ/2 называется логарифмическим декрементом затухания. Частота колебаний в этом случае меньше, нежели в предыдущем (), но, как и там, не зависит от начального положения груза. Если сопротивление среды велико и , получим корни (4) в виде , то оба корня отрицательны. Общее решение уравнения в этом случае имеет вид (6) Отсюда видно, что движение апериодическое и не имеет колебательного характера. Аналогичный характер будет иметь движение и в случае (7) Легко заметить, что в обоих последних случаях при . Если заданы начальные условия , а , получим В случае же, когда Вынужденные колебания без учета сопротивления среды.
Вынужденными колебаниями называют колебания, вызванные внешней периодической возмущающей силой. Пусть груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина которой в ненагруженном состоянии равна . На груз действует периодическая возмущающая сила где Q и р — постоянные. Найдем закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением среды. Решение Как и для гармонических колебаний, получаем уравнение и, кроме того, (8) Это—неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, причем однородным уравнением, соответствующим уравнению (8), является (1). Поэтому ; остается найти х. Если предположить, что , то частное решение х, нужно искать в виде , где М и — коэффициенты, подлежащие определению. Итак, Полученное таким образом частное решение (9) определяет так называемые вынужденные колебания, созданные возмущаю- щей силой . Вынужденные колебания, имеют тот же период, что и возмущающая сила, совпадают с ней по фазе (т. е. имеют одинаковую начальную фазу) при k>p, либо отличаются на (, если k
Интересно, что амплитуда колебаний в общем случае отлична от 1 и зависит от значения у(0) — при у(0)=0 она равна 1 (в нашем случае синусоида начинается со значение у(0)=-1). Подобным осциллятором может быть LC-контур или механический маятник без потерь. Рис. 7.6. Решение дифференциального уравнения идеального осциллятора 7.2.4. Дополнительные примеры решения дифференциальных уравнений второго порядка Ниже представлено решение еще двух дифференциальных уравнений второго порядка в аналитическом виде (de2a): > restart: dsolve(diff(y(x),x$2)-diff(y(x),x)=sin(x),y(x)); у(x) = -½sin(x) + ½cos(x) + ex _C1 + _C2 > de:=m*diff(y(x),x$2)-k*diff(y(x),x); > yx0:=y(0)=0,y(1)=1; ух0:= у(0) = 0, у(1) = 1 > dsolve({de,yx0},y(x)); Ряд примеров на применение дифференциальных уравнений второго порядка при решении практических математических и физических задач вы найдете в главе 11. 7.2.5. Решение систем дифференциальных уравнений Функция dsolve позволяет также решать системы дифференциальных уравнений. Для этого она записывается в виде dsolve(ODE_sys, optional_1, optional_2,...) Здесь ODE_sys — список дифференциальных уравнений, образующих систему, остальные параметры опциональные и задаются по мере необходимости
1. Уравнение гармонических колебаний точки в пространстве
2. Механические колебания в дифференциальных уравнениях
3. Механические колебания в дифференциальных уравнениях
4. Дифференциальное уравнение относительного движения механической системы
5. Информационная система учета кадров АО "Красноярское речное пароходство"
9. Международные финансовые системы и международная система учета и отчетности - билеты весна 2001
11. Международные финансовые системы и международная система учета и отчетности
12. Системы учета "стандарт-кост" и нормативного метода - основа организации управленческого учета
13. Сравнение отчета о движении денежных средств с российской системой учета и требованиями МСФО
14. Автоматизированная справочно-информационная система учета и контроля поставок на предприятии
15. Малые тела Солнечной системы
16. Система учета затрат и калькулирования себестоимости по методу "директ-костинг"
Горшок надувной для дома и авто "Baby-Krug", розовый. 
Коврик для прихожей "Ни следа". 
Набор маркеров для досок " Kores", 10 штук, 3 мм. 17. Система учета и аудита расчетов по оплате труда
18. Система учета труда на предприятии ООО "ИВА"
19. Автоматизированная система учета договоров страхования предпринимательских рисков
20. Автоматизированная система учета по подключению Интернет-сети в РУП "Белтелеком"
21. Политика информационной безопасности для системы "Учет ремонта и ТО автотранспорта"
25. "1С-Предприятие" и другие компьютерные системы учета и управления
26. Прецизионные координатные системы с линейными шаговыми двигателями
27. Дифференциальные уравнения линейных систем автоматического регулирования
28. Преобразование традиционной системы учета в управленческий учет
29. Динамическое поведение механической системы с упругими связями
30. Анализ динамического поведения механической системы
32. Информационная система учета продукции и оказания услуг в фармацевтической области
Ваза декоративная "Цветочный каприз", 10x10x24,5 см. 
Ручка гелевая "BLGP-G1-5", синяя, 0,3 мм, 3 штуки. 
Каталка детская "Mercedes-Benz SLS AMG С197" (белая). 33. Система учета основных средств на ЗАО "Маяк"
34. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера
35. Расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера
36. Устойчивость систем дифференциальных уравнений
37. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера
41. Дифференциальные уравнения
42. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения
43. Шпоры по дифференциальным уравнениям
44. Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки
45. Дифференциальные уравнения неустановившегося движения воздуха по рудничным воздуховодам
46. Численный расчет дифференциальных уравнений
47. Частные случаи дифференциальных уравнений
48. Характеристики гармонических колебаний
Шторка антимоскитная универсальная, с магнитными замками ТД7-008. 
Умные кубики. Орнаменты. 50 игр для развития интеллекта. 
Настольная игра "Кортекс". 49. Учет и аудит расчетов с поставщиками и подрядчиками на примере ОАО "ВЭЛТ-Кинескоп"
50. Учет и аудит товарных операций в розничной торговле (на примере ИП Антипов Е.А)
52. Бухгалтерский учет и аудит расчетов с покупателями и заказчиками на примере ООО "Росметалл"
53. Построение аналоговой ЭВМ для решения дифференциального уравнения шестого порядка
57. Использование дифференциальных уравнений, передаточных и частотных передаточных функций
58. Асимптотика решений дифференциальных уравнений
59. Дифференциальные уравнения
61. Матрицы. Дифференциальные уравнения
62. Решение дифференциальных уравнений
63. Решение систем дифференциальных уравнений
Шар предсказаний, 12 см. 
Качели Фея "Чарли 3 в 1". 
Вожжи - страховка для ребенка Спортбэби "Комфорт". 65. Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений
66. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом
68. Дифференциальное уравнение теплопроводимости
69. Гармонические колебания в параллельном контуре
73. Механические свойства элементов Периодической системы Менделеева
74. Особенности организации учета на малом предприятии
75. Aормирование затрат на выпуск продукции. Учет готовой продукции в системе 1С:Предприятие
76. Разработка автоматизированной системы складского учета
77. Системы линейных уравнений
78. Бухгалтерский учет в системе менеджмента
80. Управленческий учет как система управления прибылью
Плакат электронный "Говорящий Букваренок". 
Тубус - карта "План покорения МИРА", магнитная, на холодильник. 
Маркеры-кисти "Zendoodle. Edding 1340", 10 штук. 81. Эволюция системы хозяйственного учета
82. Сопротивление изменениям в системе образования
83. Автоматизированные системы контроля и учета электроэнергии
84. Роль МУП БТИ в системе государственного технического учета
85. Система периодического учета запасов и система непрерывного учета запасов
89. Учет деятельности субъекта малого предпринимательства без образования юридического лица
90. Особенности использования SCADA в системах диспетчеризации и учета
91. Дифтерия с учетом изменений сердечно-сосудистой системы
92. Персонифицированный учет в системе государственного пенсионного страхования
93. Бухгалтерский учет на малых предприятиях и анализ их хозяйственной деятельности
94. Бухгалтерский учет на предприятиях малого бизнеса
95. Бюджетирование в системе управленческого учета
96. Внедрение системы управленческого учета с одновременной легализацией торгово-импортного бизнеса
Пенал "Махаоны" (розовый). 
Набор для проведения раскопок "Dino Excavation. Динозавры" (Стегозавр и Тираннозавр). 
Электронный звуковой плакат "Космос", артикул PL-13-SPACE. 97. Интегрированная система в управленческом учете
99. Организация бухгалтерского учета на малом предприятии
100. Организация учета на предприятиях малого бизнеса
