Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Компьютеры, Программирование Компьютеры, Программирование

Нахождение корней уравнения методом Ньютона (ЛИСП-реализация)

Крючки с поводками Mikado SSH Fudo "SB Chinu", №4BN, поводок 0,22 мм.
Качественные Японские крючки с лопаткой. Крючки с поводками – готовы к ловле. Высшего качества, исключительно острые японские крючки,
58 руб
Раздел: Размер от №1 до №10
Пакеты с замком "Extra зиплок" (гриппер), комплект 100 штук (150x200 мм).
Быстрозакрывающиеся пакеты с замком "зиплок" предназначены для упаковки мелких предметов, фотографий, медицинских препаратов и
148 руб
Раздел: Гермоупаковка
Горшок торфяной для цветов.
Рекомендуются для выращивания крупной рассады различных овощных и цветочных, а также для укоренения саженцев декоративных, плодовых и
7 руб
Раздел: Горшки, ящики для рассады

СОДЕРЖАНИЕ Введение 1. Постановка задачи 2. Математические и алгоритмические основы решения задачи 2.1 Описание метода 2.2 Недостатки метода 3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи 4. Программная реализация решения задачи 5. Пример выполнения программы Заключение Список использованных источников и литературы ВВЕДЕНИЕ Метод Ньютона (также известный как метод касательных)— это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643—1727), под именем которого и обрёл свою известность. Метод был описан Исааком Ньютоном в рукописи De a alysi per aequa io es umero ermi orum i fi i as (лат.Об анализе уравнениями бесконечных рядов), адресованной в 1669 году Барроу, и в работе De me odis fluxio um e serierum i fi i arum (лат.Метод флюксий и бесконечные ряды) или Geome ria a aly ica (лат.Аналитическая геометрия) в собраниях трудов Ньютона, которая была написана в 1671 году. В своих работах Ньютон вводит такие понятия, как разложение функции в ряд, бесконечно малые и флюксии (производные в нынешнем понимании). Указанные работы были изданы значительно позднее: первая вышла в свет в 1711 году благодаря Уильяму Джонсону, вторая была издана Джоном Кользоном в 1736 году уже после смерти создателя. Однако описание метода существенно отличалось от его нынешнего изложения: Ньютон применял свой метод исключительно к полиномам. Он вычислял не последовательные приближения x , а последовательность полиномов и в результате получал приближённое решение x. Впервые метод был опубликован в трактате Алгебра Джона Валлиса в 1685 году, по просьбе которого он был кратко описан самим Ньютоном. В 1690 году Джозеф Рафсон опубликовал упрощённое описание в работе A alysis aequa io um u iversalis (лат.Общий анализ уравнений). Рафсон рассматривал метод Ньютона как чисто алгебраический и ограничил его применение полиномами, однако при этом он описал метод на основе последовательных приближений x вместо более трудной для понимания последовательности полиномов, использованной Ньютоном. Наконец, в 1740 году метод Ньютона был описан Томасом Симпсоном как итеративный метод первого порядка решения нелинейных уравнений с использованием производной в том виде, в котором он излагается здесь. В той же публикации Симпсон обобщил метод на случай системы из двух уравнений и отметил, что метод Ньютона также может быть применён для решения задач оптимизации путём нахождения нуля производной или градиента. В 1879 году Артур Кэли в работе he ew o -Fourier imagi ary problem (англ. Проблема комплексных чисел Ньютона-Фурье) был первым, кто отметил трудности в обобщении метода Ньютона на случай мнимых корней полиномов степени выше второй и комплексных начальных приближений. Эта работа открыла путь к изучению теории фракталов. Целью данной курсовой работы является Лисп – реализация нахождения корней уравнения методом Ньютона. 1. Постановка задачи Дано уравнение: . Требуется решить это уравнение, точнее, найти один из его корней (предполагается, что корень существует).

Предполагается, что F(X) непрерывна и дифференцируема на отрезке . Входным параметром алгоритма, кроме функции F(X), является также начальное приближение - некоторое X0, от которого алгоритм начинает идти. Пусть уже вычислено Xi, вычислим Xi 1 следующим образом. Проведём касательную к графику функции F(X) в точке X = Xi, и найдём точку пересечения этой касательной с осью абсцисс. Xi 1 положим равным найденной точке, и повторим весь процесс с начала. Нетрудно получить следующее выражение: Xi 1 = Xi - F(Xi) / F'(Xi) Интуитивно ясно, что если функция F(X) достаточно &quo ;хорошая&quo ;, а Xi находится достаточно близко от корня, то Xi 1 будет находиться ещё ближе к искомому корню. Пример 1. Требуется найти корень уравнения , с точностью . Производная функции равна . Возьмем за начальную точку , тогда -9.716215; 5.74015; 3.401863; -2.277028; 1.085197; 0.766033; 0.739241. Таким образом, корень уравнения равен 0.739241. Пример 2. Найдем корень уравнения функции методом Ньютона cosx = x3. Эта задача может быть представлена как задача нахождения нуля функции f(x) = cosx &mi us; x3. Имеем выражение для производной . Так как для всех x и x3 &g ; 1 для x &g ; 1, очевидно, что решение лежит между 0 и 1. Возьмём в качестве начального приближения значение x0= 0.5, тогда: 1.112141; 0.90967; 0.867263; 0.865477; 0.865474033111; 0.865474033102. Таким образом, корень уравнения функции cosx = x3 равен 0.86547403. Пример 3. Требуется найти корень уравнения , с точностью . Производная функции равна . Возьмем за начальную точку , тогда -2.3; -2.034615; -2.000579; -2.0. Таким образом, корень уравнения равен -2. 2. Математические и алгоритмические основы решения задачи 2.1 Описание метода Пусть корень x уравнения отделен на отрезке , причем и непрерывны и сохраняют определенные знаки при . Если на некотором произвольном шаге найдено приближенное значение корня , то можно уточнить это значение по методу Ньютона. Положим ,(1) где считаем малой величиной. Применяя формулу Тейлора, получим: . Следовательно, . Внеся эту поправку в формулу (1), найдем следующее (по порядку) приближение корня .(2) Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене дуги кривой касательной, проведенной в некоторой точке кривой. В самом деле, положим для определенности, что при и (рисунок 1). Выберем, например, , для которого . Проведем касательную к кривой в точке B0 с координатами . Рисунок 1. Геометрически показан метод Ньютона В качестве первого приближения корня x возьмем абсциссу точки пересечения касательной с осью Ox. Через точку снова проведем касательную, абсцисса точки пересечения которой даст второе приближение корня x и т.д. Формулу для уточнения корня можно получить из прямоугольного треугольника , образованного касательной, проведенной в точке B0, осью абсцисс и перпендикуляром, восстановленным из точки . Имеем . Так как угол  образован касательной и осью абсцисс, его тангенс численно равен величине производной, вычисленной в точке, соответствующей абсциссе точки касания, т.е. . Тогда или для любого шага . В качестве начальной точки можно принять либо один из концов отрезка , либо точку внутри этого интервала.

В первом случае рекомендуется выбирать ту границу, где выполняется условие , т.е. функция и ее вторая производная в точке должны быть одного знака. В качестве простейших условий окончания процедуры уточнения корня рекомендуется выполнение условия . Как следует из последнего неравенства, требуется при расчете запоминать три значения аргумента . В практических инженерных расчетах часто применяют сравнение аргументов на текущей и предыдущей итерациях: . При составлении программы решения уравнения методом Ньютона следует организовать многократный расчет приближений для корня . Если удается получить аналитическое выражение для производной, то ее вычисление, а также вычисление можно оформить в виде функций. 2.2 Недостатки метода Пусть . Тогда . Возьмём нуль в качестве начального приближения. Первая итерация даст в качестве приближения единицу. В свою очередь, вторая снова даст нуль. Метод зациклится, и решение не будет найдено. В общем случае построение последовательности приближений может быть очень запутанным. Рисунок 2. Иллюстрация расхождения метода Ньютона, примененного к функции с начальным приближением в точке Если производная не непрерывна в точке корня, то метод может расходиться в любой окрестности корня. Если не существует вторая производная в точке корня, то скорость сходимости метода может быть заметно снижена. Если производная в точке корня равна нулю, то скорость сходимости не будет квадратичной, а сам метод может преждевременно прекратить поиск, и дать неверное для заданной точности приближение. Пусть . Тогда и следовательно . Таким образом сходимость метода не квадратичная, а линейная, хотя функция всюду бесконечно дифференцируема. 3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи Функциональные модели и блок-схемы решения задачи представлены на рисунке 3, 4. Условные обозначения: FU C , FX – функция; DFU C , DFDX – производная функции; A – рабочая переменная; S AR , X0 – начальное значение; PRES, E –точность вычисления. Рисунок 3 – Функциональная модель решения задачи для поиска корня уравнения методом Ньютона Рисунок 4 – Блок-схема решения задачи для функции EW OM 4. Программная реализация решения задачи Файл FU C IO . x (Пример 1) ;ФУНКЦИЯ COSX - X3 (DEFU F(X) (- (COS X) ( X X X)) ) ;ПРОИЗВОДНАЯ -si x-3x2 (DEFU DFDX (X) (- ( -1 (SI X)) ( 3 X X)) ) (SE Q X0 0.5) (SE Q E 0.0001) Файл FU C IO . x (Пример 2) ;ФУНКЦИЯ x-cosx (DEFU F(X) (- X (COS X)) ) ;ПРОИЗВОДНАЯ 1 si x (DEFU DFDX (X) ( 1 (SI X)) ) (SE Q X0 -1) (SE Q E 0.0001) Файл FU C IO . x (Пример 3) ;ФУНКЦИЯ X2 2X (DEFU F(X) ( ( X X) ( 2 X)) ) ;ПРОИЗВОДНАЯ 2X 2 (DEFU DFDX (X) ( 2 ( 2 X)) ) (SE Q X0 -2.3) (SE Q E 0.0001) Файл EW O . x ;ПОДГРУЖАЕМ ФУНКЦИЮ (LOAD &quo ;D: FU C IO . X &quo ; ) ;РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА НЬЮТОНА (DEFU EW OM (S AR PRES FU C DFU C ) ;ОБЯВЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ (DECLARE (SPECIAL X)) (DECLARE (SPECIAL A)) ;ЗАДАЕМ НАЧАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ (SE Q X S AR ) (SE Q A (/ (FU CALL FU C X) (FU CALL DFU C X))) (LOOP (SE Q X (- X A)) (SE Q A (/ (FU CALL FU C X) (FU CALL DFU C X))) ;ЕСЛИ ДОСТИГЛИ ТРЕБУЕМОЙ ТОЧНОСТИ ВЫХОДИМ ИЗ ЦИКЛА (IF (&l ;= (ABS A) PRES) (RE UR X)) ) ) ;ОТКРЫВАЕМ ФАЙЛ (SE Q OU PU S REAM (OPE &quo ;D: KORE .

Таким путём удаётся исследовать степень гладкости, выпуклость и вогнутость, возрастание и убывание функций, их экстремумы, найти их асимптоты, точки перегиба (см. Перегиба точка), вычислить кривизну кривой, выяснить характер её особых точек и т.д. Например, условие f' (x) > 0 влечёт за собой (строгое) возрастание функции у = f (x), а условие f" (x) > 0 — её (строгую) выпуклость. Все точки экстремума дифференцируемой функции, принадлежащие внутренности её области определения, находятся среди корней уравнения f' (x) = 0.   Исследование функций при помощи производных составляет основное приложение Д. и. Кроме того, Д. и. позволяет вычислять различного рода пределы функций, в частности пределы вида 0/0 и ¥/¥ (см. Неопределённое выражение, Лопиталя правило). Д. и. особенно удобно для исследования элементарных функций, т.к. в этом случае их производные выписываются в явной форме.   Д. и. функций многих переменных. Методы Д. и. применяются для изучения функций нескольких переменных. Для функции двух независимых переменных z = f (х, у) частной производной по х называется производная этой функции по х при постоянном у

1. Методы информационного поиска

2. Методы вывода человека из бытовой депрессии с использованием общеизвестных направлений и методов научной психологии

3. Метод решения уравнений Ньютона - Рафсона

4. Нахождение корней уравнения методом простой итерации (ЛИСП-реализация)

5. Разработка программного обеспечения для решения уравнений с одной переменной методом Ньютона (касательных)

6. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона
7. Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений
8. Корень n-ой степени и его свойства. Иррациональные уравнения. Степень с рациональными показателем

9. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Куты 4 порядка

10. Расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера

11. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА

12. Приближённые методы решения алгебраического уравнения

13. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера

14. Итерационные методы решения систем линейных уравнений с неединственными коэффициентами

15. Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени

16. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге - Кутты 4 порядка

Доска пробковая "Premium", 60x90, алюминиевая рамка.
Доска пробковая с качественным покрытием, в элегантной рамке из алюминиевого профиля. Изготовлены c использованием наполнителя Softboard,
1054 руб
Раздел: Прочее
Кресло детское мягкое "Принцесса".
Элегантное кресло для детской комнаты, выполненное с использованием вышивальной техники, которое гармонично дополнит интерьер девочки и
1462 руб
Раздел: Качели, кресла-качалки, шезлонги
Бейдж с рулеткой, 54x90 мм.
Пластиковый держатель для 2 магнитных пропусков, с рулеткой. Рулетка вытягивается на 60 см. Размер: 54x90 мм.
420 руб
Раздел: Бейджи, держатели, этикетки

17. Методы решения уравнений в странах древнего мира

18. Приближённые методы решения алгебраического уравнения

19. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА

20. Решения смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток

21. Методы решения уравнений в странах древнего мира

22. Методы решения уравнений, содержащих параметр
23. Метод касательных решения нелинейных уравнений
24. Метод касательных. Решения нелинейных уравнений. Паскаль 7.0

25. Итерационные методы решения нелинейных уравнений

26. Проект программного модуля для нахождения корня уравнения

27. Решение систем линейных алгебраических уравнений (прямые методы)

28. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса

29. Численное решение системы линейных уравнений с помощью метода исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу

30. Исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей

31. Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений

32. Метод замены неизвестного при решении алгебраических уравнений

Тетрадь на резинке "Elements", А5, 120 листов, клетка, зеленая.
Тетрадь общая на резинке. Формат: А5. Количество листов: 120, в клетку. Бумага: офсет. Цвет обложки: зеленый.
328 руб
Раздел: Прочие
Фломастеры "Замок", 24 цвета.
Количество цветов: 24. Профиль корпуса: круглый корпус. Вид фломастеров: стандартные.
379 руб
Раздел: 13-24 цвета
Настольная игра "Set" (Сет).
Настольная игра «Сет» состоит из 81 карты. На картах нарисованы простые фигуры, обладающие четырьмя характеристиками. Игрокам нужно
754 руб
Раздел: Карточные игры

33. Методы решения алгебраических уравнений

34. Методы решения систем линейных уравнений

35. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

36. Методы оптимизации при решении уравнений

37. Методы решения уравнений линейной регрессии

38. Поиск культурных корней Американцев (Looking for cultural roots of Americans)
39. Разработка программного обеспечения решения нелинейных уравнений
40. Дифференцированные уравнения

41. НАХОЖДЕНИЕ ВСЕХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО МНОГОЧЛЕНА МЕТОДОМ ДЕЛЕНИЯ ОТРЕЗКА ПОПОЛАМ (БИСЕКЦИИ) И МЕТОДОМ ХОРД И КАСАТЕЛЬНЫХ С УКАЗАННОЙ ТОЧНОСТЬЮ И УЧЕТОМ ВОЗМОЖНОЙ КРАТНОСТИ КОРНЕЙ

42. Решение уравнений, систем уравнений, неравенств графически

43. Иррациональные уравнения

44. Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

45. Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модуль

46. Устойчивость систем дифференциальных уравнений

47. Квадратные уравнения

48. О преобразовании дифференциальных систем уравнений в случае сингулярных пучков матриц

Коврик массажный "Микс лес".
Массажные коврики представляют собой отдельные модули, которые соединяются между собой по принципу "пазл". Массажные элементы,
1296 руб
Раздел: Коврики
Набор утолщенных фломастеров (24 цвета).
Яркие цвета. Проветриваемый и защищенный от деформации колпачок. Помогают научиться координировать движения рук.Толщина стержня 5
603 руб
Раздел: 13-24 цвета
Подушка "Green Line. Бамбук", 70х70 см.
Удобные и практичные постельные принадлежности, изготовленные с применением ткани нового поколения из микрофиламентных нитей Ultratex и
788 руб
Раздел: Размер 70х70 см

49. Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения

50. Кинетическое уравнение Больцмана

51. Уравнения Максвелла. Граничные условия

52. Вывод уравнения Шредингера

53. Замечательное уравнение кинематики

54. Вычисление интеграла методом Ньютона-Котеса (теория и программа на Паскале)
55. Роль теории дифференциальных уравнений в современной математике и ее приложениях
56. Решение систем линейных алгебраических уравнений

57. Дифференциальные уравнения

58. Виды тригонометрических уравнений

59. Рациональные уравнения и неравенства

60. Дифференциальные уравнения

61. Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов

62. Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса

63. Об алгебраических уравнениях высших степеней

64. Приближенное решение уравнений

Чехол-органайзер для спинки авто "Happy Baby".
Чехол-органайзер – аксессуар, просто незаменимый во время поездок на автомобиле, благодаря множеству вместительных карманов. Помимо
699 руб
Раздел: Прочее
Детская горка, цвет: красный/желтый, скат 140 см.
Для активного летнего отдыха вам пригодится пластиковая горка Долони. Горка изготовлена из яркого пластика и украсит любую детскую комнату
2200 руб
Раздел: Горки
Магнитная игра для путешествий "Волшебный лес".
Уникальная логическая игра-головоломка для отличного времяпрепровождения и тренировки ума. Имеет компактное игровое поле с магнитными
530 руб
Раздел: Игры на магнитах

65. Решение некоторых уравнений и неравенств с параметром

66. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

67. Уравнения с параметрами

68. Численное решение модельного уравнения диссипации, конвекции и кинетики

69. Новое уравнение теплопроводности

70. Задача на собственные значения для вырождающегося уравнения смешанного типа
71. Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)
72. Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств

73. Линейные уравнения и неравенства

74. Уравнения Курамото-Цузуки

75. Уравнение Дирака

76. План урока алгебры. Тема: Значения тригонометрических функций. Решение простейших тригонометрических уравнений.

77. Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки

78. Кинетическое уравнение Больцмана.

79. Волны в упругой среде. Волновое уравнение

80. Уравнение прибыли с одним неизвестным

Лоток для кухни раздвижной, 30(50,5)х42,5x6,5 см.
Для хранения столовых приборов. Беречь от огня (t -40+100 C). Срок годности не ограничен. Размер: 30(50,5)х42,5x6,5 см
561 руб
Раздел: Лотки для столовых приборов
Папка-сумка "Тролли", А4.
Папка текстильная формованная из вспененного полимера. Формат: А4. Лицевая сторона с выдавленными элементами 3D.
481 руб
Раздел: Папки-портфели, папки с наполнением
Фигурка декоративная "Колокольчик", 6x10 см.
Осторожно, хрупкое изделие! Материал: металл, австрийские кристаллы. Размер: 6x10 см. Товар не подлежит обязательной сертификации.
358 руб
Раздел: Миниатюры

81. Составление уравнений окислительно-восстановительных реакций

82. Гидрохимический, атмохимический и биогеохимические методы поисков

83. Метод касательных (метод Ньютона)

84. Решение системы нелинейных уравнений

85. Методы поиска технических решений

86. Линейные диофантовы уравнения
87. Нахождение всех действительных корней алгебраического многочлена методом деления отрезка пополам (бисекции)
88. Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

89. Операторные уравнения

90. Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

91. Гипотетическое построение систем уравнений полевой теории стационарных явлений электромагнетизма

92. Численное решение модельного уравнения

93. Уравнения Курамото-Цузуки

94. Дифференциальные уравнения гиперболического типа

95. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

96. Аксиоматическое построение основных уравнений теории реального электромагнитного поля

Мантоварка алюминиевая, 3 сетки, 6 л.
Мантоварка, алюминиевая, 3-х уровневая. Размеры: длина - 28 см, ширина - 29 см. Мантоварка имеет 3 съемные сетки. Пригодна для
1019 руб
Раздел: Скороварки, пароварки, мантоварки
Набор цветных карандашей "Noris Club", 36 цветов.
Детские цветные карандаши в картонной коробке. Серия «Noris Club» предназначена для использования детьми. Специальное защитное белое
566 руб
Раздел: Более 24 цветов
Набор фруктов.
Фрукты выглядят почти как настоящие. Их в наборе 8 штук - ананас (длина 12 см), гроздь винограда (10 см), лимон (8 см), груша (длина 9
537 руб
Раздел: Продукты

97. Уравнение постоянного поля ионных токов

98. Автоматизация решения систем линейных алгебраических уравнений

99. Методы поиска информации в Интернете

100. определение внешних спецификаций уравнений


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.