Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Сумма делителей числа

Карабин, 6x60 мм.
Размеры: 6x60 мм. Материал: металл. Упаковка: блистер.
44 руб
Раздел: Карабины для ошейников и поводков
Ночник-проектор "Звездное небо, планеты", черный.
Оригинальный светильник-ночник-проектор. Корпус поворачивается от руки. Источник света: 1) Лампочка (от карманных фанариков); 2) Три
350 руб
Раздел: Ночники
Совок большой.
Длина 21,5 см. Расцветка в ассортименте, без возможности выбора.
21 руб
Раздел: Совки

Сумма делителей числа. Для начало приведём экспериментальный материал (который был получен с помощью программы Derive (по формуле 1.(см.ниже)): для нахождения делителей числа «a», программа делила число «a» на другие числа не превосходящие само число и если остаток от деления был равен 0, то число записывалось как делитель «a». ): Ниже приведены все делители чисел от 1 до 1000: ] ] [120, [1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120]] ] [144, [1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144]] [168, [1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 28, 42, 56, 84, 168]] [180, [1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180]] ] ] ] [192, [210, [1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210]] [216, [1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 27, 36, 54, 72, 108, 216]] ] ] ] ] [240, [1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240]] [252, [1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 12, 14, 18, 21, 28, 36, 42, 63, 84, 126, 252]] ] ] ] [264, [1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 12, 22, 24, 33, 44, 66, 88, 132, 264]] ] [270, [1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 27, 30, 45, 54, 90, 135, 270]] [280, [1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 14, 20, 28, 35, 40, 56, 70, 140, 280]] ] [288, [1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 32, 36, 48, 72, 96, 144, 288]] ] [300, [1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 50, 60, 75, 100, 150, 300]] ] ] [312, [1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 13, 24, 26, 39, 52, 78, 104, 156, 312]] [320, [1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 64, 80, 160, 320]] [324, [1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 81, 108, 162, 324]] [330, [1, 2, 3, 5, 6, 10, 11, 15, 22, 30, 33, 55, 66, 110, 165, 330]] [336, [1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 16, 21, 24, 28, 42, 48, 56, 84, 112, 168, 336]] ] ] ] ] ] ] [360, [1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360]] ] ] [378, [1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 27, 42, 54, 63, 126, 189, 378]] ] [384, [1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 64, 96, 128, 192, 384]] [390, [1, 2, 3, 5, 6, 10, 13, 15, 26, 30, 39, 65, 78, 130, 195, 390]] [396, [1, 2, 3, 4, 6, 9, 11, 12, 18, 22, 33, 36, 44, 66, 99, 132, 198, 396]] [400, [1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 40, 50, 80, 100, 200, 400]] [408, [1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 17, 24, 34, 51, 68, 102, 136, 204, 408]] ] [416, [420, [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12, 14, 15, 20, 21, 28, 30, 35, 42, 60, 70, 84, 105, 140, 210, 420]] [432, [1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 36, 48, 54, 72, 108, 144, 216, 432]] [440, [1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 20, 22, 40, 44, 55, 88, 110, 220, 440]] [444, [448, [1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 32, 56, 64, 112, 224, 448]] [450, [1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 25, 30, 45, 50, 75, 90, 150, 225, 450]] [456, [1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 19, 24, 38, 57, 76, 114, 152, 228, 456]] [460, [462, [1, 2, 3, 6, 7, 11, 14, 21, 22, 33, 42, 66, 77, 154, 231, 462]] [468, [1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 13, 18, 26, 36, 39, 52, 78, 117, 156, 234, 468]] [476, [480, [1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 32, 40, 48, 60, 80, 96, 120, 160, 240, 480]] ] ] [492, ] [500, [504, [1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 18, 21, 24, 28, 36, 42, 56, 63, 72, 84, 126, 168, 252, 504]] [510, [1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 17, 30, 34, 51, 85, 102, 170, 255, 510]] [516, [520, [1, 2, 4, 5, 8, 10, 13, 20, 26, 40, 52, 65, 104, 130, 260, 520]] ] [525, [528, [1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 12, 16, 22, 24, 33, 44, 48, 66, 88, 132, 176, 264, 528]] [532, [540, [1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 27, 30, 36, 45, 54, 60, 90, 108, 135, 180, 270, 540]] [544, [546, [1, 2, 3, 6, 7, 13, 14, 21, 26, 39, 42, 78, 91, 182, 273, 546]] [550, [552, [1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 23, 24, 46, 69, 92, 138, 184, 276, 552]] ] [560, [1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 14, 16, 20, 28, 35, 40, 56, 70, 80, 112, 140, 280, 560]] [564, [570, [1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 19, 30, 38, 57, 95, 114, 190, 285, 570]] [572, [576, [1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 32, 36, 48, 64, 72, 96, 144, 192, 288, 576]] [580, [585, [588, [1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 49, 84, 98, 147, 196, 294, 588]] [594, [1, 2, 3, 6, 9, 11, 18, 22, 27, 33, 54, 66, 99, 198, 297, 594]] [600, [1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 25, 30, 40, 50, 60, 75, 100, 120, 150, 200, 300, 600]] [608, [612, [1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 17, 18, 34, 36, 51, 68, 102, 153, 204, 306, 612]] [616, [1, 2, 4, 7, 8, 11, 14, 22, 28, 44, 56, 77, 88, 154, 308, 616]] [620, [624, [1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 13, 16, 24, 26, 39, 48, 52, 78, 104, 156, 208, 312, 624]] [630, [1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 14, 15, 18, 21, 30, 35, 42, 45, 63, 70, 90, 105, 126, 210, 315, 630]] [636, [640, [1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 64, 80, 128, 160, 320, 640]] [644, [648, [1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 27, 36, 54, 72, 81, 108, 162, 216, 324, 648]] [650, [660, [1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 15, 20, 22, 30, 33, 44, 55, 60, 66, 110, 132, 165, 220, 330, 660]] [666, [672, [1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 16, 21, 24, 28, 32, 42, 48, 56, 84, 96, 112, 168, 224, 336, 672]] [675, [680, [1, 2, 4, 5, 8, 10, 17, 20, 34, 40, 68, 85, 136, 170, 340, 680]] [684, [1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 19, 36, 38, 57, 76, 114, 171, 228, 342, 684]] [690, [1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 23, 30, 46, 69, 115, 138, 230, 345, 690]] ] [696, [1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 29, 58, 87, 116, 174, 232, 348, 696]] [700, [1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 25, 28, 35, 50, 70, 100, 140, 175, 350, 700]] [702, [1, 2, 3, 6, 9, 13, 18, 26, 27, 39, 54, 78, 117, 234, 351, 702]] [704, [1, 2, 4, 8, 11, 16, 22, 32, 44, 64, 88, 176, 352, 704]] [708, [714, [1, 2, 3, 6, 7, 14, 17, 21, 34, 42, 51, 102, 119, 238, 357, 714]] [720, [1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 48, 60, 72, 80, 90, 120, 144, 180, 240, 360, 720]] [726, [728, [1, 2, 4, 7, 8, 13, 14, 26, 28, 52, 56, 91, 104, 182, 364, 728]] [732, [735, [736, [738, [740, [744, [1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 31, 62, 93, 124, 186, 248, 372, 744]] [748, [750, [1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 125, 150, 250, 375, 750]] [756, [1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 12, 14, 18, 21, 27, 28, 36, 42, 54, 63, 84, 108, 126, 189, 252, 378, 756]] [760, [1, 2, 4, 5, 8, 10, 19, 20, 38, 40, 76, 95, 152, 190, 380, 760]] [765, [768, [1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 64, 96, 128, 192, 256, 384, 768]] [770, [1, 2, 5, 7, 10, 11, 14, 22, 35, 55, 70, 77, 110, 154, 385, 770]] [774, [780, [1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 13, 15, 20, 26, 30, 39, 52, 60, 65, 78, 130, 156, 195, 260, 390, 780]] [784, [1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 49, 56, 98, 112, 196, 392, 784]] [792, [1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 18, 22, 24, 33, 36, 44, 66, 72, 88, 99, 132, 198, 264, 396, 792]] [798, [1, 2, 3, 6, 7, 14, 19, 21, 38, 42, 57, 114, 133, 266, 399, 798]] [800, [1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50, 80, 100, 160, 200, 400, 800]] [804, [810, [1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 27, 30, 45, 54, 81, 90, 135, 162, 270, 405, 810]] [812, [816, [1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 17, 24, 34, 48, 51, 68, 102, 136, 204, 272, 408, 816]] [819, [820, [825, [828, [1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 23, 36, 46, 69, 92, 138, 207, 276, 414, 828]] [832, [1, 2, 4, 8, 13, 16, 26, 32, 52, 64, 104, 208, 416, 832]] [836, [840, [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 40, 42, 56, 60, 70, 84, 105, 120, 140, 168, 210, 280, 420, 840]] [846, [850, [852, [855, [858, [1, 2, 3, 6, 11, 13, 22, 26, 33, 39, 66, 78, 143, 286, 429, 858]] [860, [864, [1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 32, 36, 48, 54, 72, 96, 108, 144, 216, 288, 432, 864]] [868, [870, [1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 29, 30, 58, 87, 145, 174, 290, 435, 870]] [876, [880, [1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 16, 20, 22, 40, 44, 55, 80, 88, 110, 176, 220, 440, 880]] [882, [1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 49, 63, 98, 126, 147, 294, 441, 882]] [884, [888, [1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 37, 74, 111, 148, 222, 296, 444, 888]] [896, [1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 32, 56, 64, 112, 128, 224, 448, 896]] [900, [1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 25, 30, 36, 45, 50, 60, 75, 90, 100, 150, 180, 225, 300, 450, 900]] [910, [1, 2, 5, 7, 10, 13, 14, 26, 35, 65, 70, 91, 130, 182, 455, 910]] [912, [1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 19, 24, 38, 48, 57, 76, 114, 152, 228, 304, 456, 912]] [918, [1, 2, 3, 6, 9, 17, 18, 27, 34, 51, 54, 102, 153, 306, 459, 918]] [920, [1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 23, 40, 46, 92, 115, 184, 230, 460, 920]] [924, [1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 12, 14, 21, 22, 28, 33, 42, 44, 66, 77, 84, 132, 154, 231, 308, 462, 924]] [928, [930, [1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30, 31, 62, 93, 155, 186, 310, 465, 930]] [936, [1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 13, 18, 24, 26, 36, 39, 52, 72, 78, 104, 117, 156, 234, 312, 468, 936]] [940, [945, [1, 3, 5, 7, 9, 15, 21, 27, 35, 45, 63, 105, 135, 189, 315, 945]] [948, [950, [952, [1, 2, 4, 7, 8, 14, 17, 28, 34, 56, 68, 119, 136, 238, 476, 952]] [954, [960, [1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 32, 40, 48, 60, 64, 80, 96, 120, 160, 192, 240, 320, 480, 960]] [966, [1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 23, 42, 46, 69, 138, 161, 322, 483, 966]] [968, [972, [1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 81, 108, 162, 243, 324, 486, 972]] [975, [980, [1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 49, 70, 98, 140, 196, 245, 490, 980]] [984, [1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 41, 82, 123, 164, 246, 328, 492, 984]] [988, [990, [1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 11, 15, 18, 22, 30, 33, 45, 55, 66, 90, 99, 110, 165, 198, 330, 495, 990]] [992, [996, [1000, [1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500, 1000]]]Теперь несложно посчитать и сумму делителей чисел от 1 до 1000(которые тоже были получены с помощью программы Derive (по формуле 2.)

, теперь делители «a» просто складывались): Теперь посмотрим, все ли числа являются суммой делителей какого-либо числа и есть ли такие числа сумма делителей которых равна (в первых двух сотнях). Ниже приведена таблица: (на втором месте сумма делителей, а на первом число с данной суммой делителей) (т.е. нет такого числа с суммой делителей равной двум): Как мы заметили, есть такие числа, которые не являются суммой делителей ни одного числа и так же есть такие числа, которые являются суммой делителей ни одного, а нескольких чисел. Теперь посмотрим только те числа, которые являются суммой делителей ни одного, а нескольких чисел: , , , , , , , Отсюда можно сделать вывод, что нахождение числа по его сумме делителей не всегда возможно и не всегда однозначно. Теперь построим график. По оси Х расположим числа, а по оси Y их сумму делителей (числа от 1 до 1000): Посмотрим, что же у нас получилось: на графике отчётливо просматриваются несколько прямых линий, например, нижняя это – простые числа. Верхняя граница – это наиболее сложные числа (имеющие наибольшее количество делителей) - это не прямая, но и не парабола. Скорее всего, – это показательная функция (у = ах). В мемуарах Эйлера я нашел много интересных мне рассуждений(?( ) – сумма делителей числа ): Определив значение ?( ) мы ясно видим, что если p – простое, то ?(p)= p 1. ?(1)=1, а если число – составное, то ?( )>1 . Если a, b, c, d – различные простые числа, то мы видим: ?(ab)=1 a b ab=(1 a)(1 b)= ?(a)?(b) ?(abcd)= ?(a)?(b)?(c)?(d) ?(a^2)=1 a a2= Пользуясь этим: ?(aqbwcedr)= ?(aq)?(bw)?(ce)?(dr) Например ?(360), 360 = 23 32 5 => ?(23) ?(32) ?(5)=15 13 6=1170. Чтобы показать последовательность сумм делителей приведём таблицу: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 1 3 4 7 6 12 8 15 13 10 18 12 28 14 24 24 31 18 39 20 20 42 32 36 24 60 31 42 40 56 30 30 72 32 63 48 54 48 91 38 60 56 40 90 42 96 44 84 78 72 48 124 57 50 93 72 98 54 120 72 120 80 90 60 60 168 62 96 104 127 84 144 68 126 96 70 144 72 195 74 114 424 140 96 168 80 80 186 121 126 84 224 108 132 120 180 90 90 234 112 168 128 144 120 252 98 171 156 Если ?( ) обозначает член любой этой последовательности, а ?( - 1), ?( - 2), ?( - 3) предшествующие члены, то ?( ) всегда можно получить по нескольким предыдущим членам: ?( ) = ?( - 1) ?( - 2) - ?( - 5) - ?( - 7) ?( - 12) ?( - 15) - ?( - 22) - ?( – 26) ( ) Знаки « » «-» в правой части формулы попарно чередуются. Закон чисел 1, 2, 5, 7, 12, 15 ,которые мы должны вычитать из рассматриваемого числа , станет ясен если мы возьмем их разности: Числа:1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100 Разности: 1, 3, 2, 5, 3, 7, 4, 9, 5, 11, 6, 13, 7, 15, 8 В самом деле, мы имеем здесь поочередно все целые числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и нечетные 3, 5, 7,9 11 Хотя эта последовательность бесконечна, мы должны в каждом случае брать только те члены, для которых числа стоящие под знаком ?, еще положительны, и опускать ? для отрицательных чисел. Если в нашей формуле встретиться ?(0), то, поскольку его значение само по себе является неопределённым, мы должны подставить вместо ?(0) рассматриваемое число .

Примеры: ?(1) = ?(0) =1 = 1 ?(2) = ?(1) ?(0) = 1 2 = 3 ?(20) = 42 Доказательство теоремы ( ) я приводить не буду. Вообще, найти сумму всех делителей числа можно с помощью канонического разложения натурального числа (это уже было сказано выше). Сумму делителей числа обозначают ?( ). Легко найти ?( ) для небольших натуральных чисел, например ?(12) = 1 2 3 4 6 12=28(это было приведено выше). Но при достаточно больших числах отыскивание всех делителей, а тем более их суммы становится затруднительным. Совсем другое дело, если уже известно, что каноническое разложение числа таково:, для которых 0 ? ?s ? ?s, s = 1, , k. Ясно, что ?( ) представляет собой сумму всех таких чисел при различных значениях показателей ?1, ?2, ?k. Этот результат мы получим раскрыв скобки в произведении По формуле конечного числа членов геометрической прогрессии приходим к равенству . Формулу для вычисления значения функции ?( ) вывел замечательный английский математик Джон Валлис(1616 - 1703) – один из основателей и первых членов Лондонского Королевства общества (Академии наук). Он был первым из английских математиков, начавших заниматься математическим анализом. Ему принадлежат многие обозначения и термины, применяемые сейчас в математике, в частности знак ? для обозначения бесконечности. Валлис вывел удивительную формулу, представляющую число ? в виде бесконечного произведения: Д. Валлис много занимался комбинаторикой и её приложениями к теории шифров, не без основания считая себя родоначальником новой науки – криптологии (от греч. «криптос» - тайный, «логос» - наука, учение). Он был одним из лучших шифровальщиков своего времени и по поручению министра полиции Терло занимался в республиканском правительстве Кромвеля расшифровкой посланий монархических заговорщиков. С функцией ?( ) связан ряд любопытных задач. Например: 1.) Найти пару целых чисел, удовлетворяющих условию: ?(m1)=m2, ?(m2)=m1. Некоторые из них не удаётся решить даже с использованием формулы ( ). Так, например, не иначе как подбором можно найти числа, для которых ?( ) есть квадрат некоторого натурального числа. Такими числами являются 22, 66, 70, 81, 343, 1501, 4479865. Вот ещё две задачи, приведённые в 1657 г. Пьером Ферма: 1. найти такое m, для которого ?(m3) – квадрат натурального числа (Ферма нашёл не одно решение этой задачи); 2. найти такое m, для которого ?(m2) – куб натурального числа. Например, одним из решений первой задачи является m = 7, а для второй m = 43098. С помощью программы Derive, я попробовал найти ещё решения и у меня этого не получилось. (я рассматривал ?(m3) = 2, где m принимает значения от 1 до 1000, а от 1 до 5000 в 1.) и тоже самое в 2.) ) Формулы: 1. DELI ELI(m) := SELEC (MOD(m, ) = 0, , 1, m) DIME SIO (DELI ELI(m))2. SUMMADELI ELEY(m) := ? ELEME (DELI ELI(m), i) i=1

Но богатства у него несметные, и мне страшно было трудно его уломать пожертвовать тридцать тысяч франков на памятник; я обещал ему за это очередную высочайшую награду. Он очень их ценит. Деньги эти имели свою историю. Как ни противно мне было хранить частные деньги, пожертвованные на казенное дело, как будто уж Россия была так бедна, все же пришлось положить эту сумму в банк и открыть специальный счет, на который во время войны стали вноситься миллионы казенных денег, предназначенные на военные заказы. Мне, конечно, было в ту пору не до памятника, он был недостроен, но сумма продолжала числиться в бухгалтерских книгах. Тем временем неведомый мне Голицын умер. Революция лишила прожигателей русских денег за границей источников пополнения их доходов, и тогда-то вдова Голицына вспомнила о деньгах, пожертвованных на памятник в Живэ. Угрожая судом, она потребовала их возврата, и мне пришлось, по соглашению с французским правительством, вернуть ей злополучные деньги. Вторым вопросом, который очень интересовал Ностица, а главное - льстил его самолюбию, являлось его положение председателя франко-русской комиссии по радиосвязи с Россией. - Очень неприятно,- говорил он мне,- что с моим уходом эту должность будет выполнять наш морской коллега, капитан первого ранга Карцев (будущий начальник Морского корпуса), как старший тебя в чине

1. Устройство парков и внутренняя служба в них

2. Если бы я был руководителем Западно-Сибирского района

3. Два письма из "Евгения Онегина"

4. Синонимия русского и немецкого языков. Проблематика подбора, перевода и классификации синонимов на материале романа Г. Фаллады "Каждый умирает в одиночку

5. Закон, живущий в нас, называется совестью

6. "Язвы" армейско-офицерского мира и пути избавления от них. (по повести Куприна "Поединок")
7. Если разобрать компьютер
8. Операции многократной точности (операции с длинными числами)

9. Число как основное понятие математики

10. Комплексные числа

11. Практика перевода числа из одной системы счисления в другую + блок-схема алгоритма определения наименьшего числа

12. Числа Фибоначчи: технический анализ

13. Комплексные числа

14. Кровотечения, их классификация и первая медицинская помощь при них

15. Блок-схема: Вычитание чисел в форме плавающая точка, сдвиг вправо на один два разряда

16. Два типа фазовых переходов и третье начало термодинамики

Рюкзак для дошкольников "Тролли".
Рюкзачок "Тролли" детский, дошкольный, 1 отделение на завязках с верхних клапаном на липучке, 1 внутренний кармашек, узкие
465 руб
Раздел: Без наполнения
Плакат электронный "Говорящий Букваренок".
Многим детям понравится представленная оригинальная обучающая игра ''Говорящий Букваренок'', ведь она имеет несколько
429 руб
Раздел: Электронные и звуковые плакаты
Тубус - карта "План покорения МИРА", магнитная, на холодильник.
Подарок заядлому путешественнику. Вы наверняка уже знакомы со знаменитой картой мира, верхний слой которой стирается монетой по принципу
1100 руб
Раздел: Прочее

17. Пахнет ли роза, если ее никто не нюхает

18. Определение риска и эффективности каждой из стратегий развития фирмы

19. Когда и как называли корабли

20. Два подвига св. Александра Невского

21. Вирусы и средства защиты от них

22. Блюда из натуральной рубленой массы
23. Два человека - два мира. Античное представление о совершенстве
24. «Натуральная школа»

25. Две страны и два языка в поэзии и прозе И. Бродского 1972-1977 годов

26. «Книга для каждого освещает наше личное движение к истине». М.Пришвин.

27. Надо ли быть компетентным, если пишешь книгу, или "не все то золото, что блестит"

28. Что будет, если…

29. Два лейтмотива пушкинского романа в стихах “Луны при свете серебристом...”

30. "Медный Всадник": два героя

31. Два полководца

32. Обломов и Штольц: два восприятия мира (по роману И. А. Гончарова «Обломов»)

Именная кружка с надписью "Любимая мама".
Предлагаем вашему вниманию готовое решения для подарка по любому поводу – именная кружка. Кружка изготовлена из керамики, в нежной
434 руб
Раздел: Кружки
Копилка-раскраска "Лисенок".
Набор для творчества. Копилка-раскраска. Пластиковая копилка легкая, приятная на ощупь, не бьется при падении и ее легко раскрашивать. В
324 руб
Раздел: Копилки
Бумага чертежная, А4, 100 листов.
Плотность 200 г/м2. ГОСТ 597-73.
519 руб
Раздел: Папки для акварелей, рисования

33. Все прогрессы реакционны, если рушится человек

34. "Если тебе дадут линованную бумагу, пиши поперек" (По роману Р. Брэдбери "451° по Фаренгейту")

35. Сопряжённые числа

36. Дуальные числа

37. Индексные числа

38. Быстрые вычисления с целыми числами и полиномами
39. Простые числа Мерсенна. Совершенные числа
40. Чтение и запись натуральных чисел

41. Почему звезды называются именно так?

42. Алгебраические числа

43. Если у вас гипертония

44. Китайская философия здоровья, или два начала - инь и янь

45. Чем опасны вирусы и как защитить себя от них?

46. Натуральное седативное средство в психиатрии и соматической медицине

47. Пять принципов бизнеса, которые должен знать каждый менеджер

48. Необходимые правила для купцов, банкиров, комиссионеров и каждого, занимающегося каким-либо делом

Лоток (сортер), 4 отделения, вертикальный, сборный.
- предназначен для сортировки и временного хранения документов различных размеров, писем, счетов и другой документации - устойчивый на
317 руб
Раздел: Подставки, лотки для бумаг, футляры
Ручки гелевые "Пчелка", 30 цветов.
Набор гелевых ручек. Количество цветов: 30 (4 классических, 6 пастельных, 5 смешанных, 6 неоновых, 10 блестящих). Прочный пластиковый
554 руб
Раздел: Цветные
Машина "Ракетовоз АРК".
Башня стрелы поворачивается, стрела поднимается, ракета запускается при нажатии на красную кнопку, стекло кабины открывается. Размер:
331 руб
Раздел: Прочее

49. Метро Два

50. Развитие навыков самостоятельной работы у учащихся, в том числе и у малоспособных

51. Математические начала натуральной философии

52. Каждый ребенок готов к обучению

53. Два пути устойчивого развития России

54. Если вы решили открыть свое дело
55. Два начала в человеке
56. Совместимость в супружеских парах. Уровни совместимости и основные проблемы, возникающие на каждом из уровней

57. Что, если

58. Если ваш ребенок леворукий…

59. Инновации и традиции - два полюса мира образования

60. А если он "трудный"?

61. Синтез управляющего автомата операции умножения младшими разрядами вперед со сдвигом множимого над числами в форме с фиксированной точкой в формате {1,8} для автомата Мура

62. Каждый человек - бренд

63. Тора: разделение народа на два класса: работающих и обучающихся

64. Число зверя 666

Фоторамка "Poster black".
Рамка может располагаться как вертикально, так и горизонтально. Экран у рамки пластиковый. Для фотографий размером: 30х40см. Материал рамки: пластик.
332 руб
Раздел: Размер 30x40
Светильник "Плазма №5".
Размеры светильника: 22х11х11.5 см. Диаметр лампы: 11 см. Плазменный светильник в виде шара на подставке, при включении создаёт внутри
1191 руб
Раздел: Необычные светильники
Универсальная вкладка для дорожных горшков (голубой).
Вкладка для дорожных горшков подойдет для любого дорожного горшка, она хорошо ложится на сиденье, обеспечивая комфорт и удобство в
664 руб
Раздел: Прочие

65. "Натуральная" утопия

66. Ваш мужчина будет заниматься с вами любовью гораздо чаще, если...

67. У каждого века своя сексуальная культура

68. Информационная специфика деятельности или что мы называем сознанием?

69. Комплексные числа

70. Методические перспективы реализации новых технологий обучения движениям и овершенствования в них
71. Два вида науки о мышлении
72. Штирнер - Прудон: два полюса анархии

73. Два этапа в развитии капитала

74. Два основных понимания всемирной истории: унитарно-стадиальное и плюрально-циклическое

75. Два основных вида социоисторических организмов

76. Экологический кризис, два мира в философии и эко-совместимость знаний

77. Полная конвертируемость рубля за два года

78. Два Сороса

79. Повышается ли с годами соответствие между планируемой и реальной структурой расходов Федерального бюджета? В какой части (если есть) остаются наибольшие отклонения?

80. Что написано на заборе Или "Пойми меня, если сможешь!"

Бумага для офисной техники "IQ Selection", А4, 160 г/м2, 167% CIE, 250 листов.
Прекрасное качество печати на любой копировально-множительной технике, великолепное качество при двухстороннем копировании. Формат листов:
572 руб
Раздел: Формата А4 и меньше
Кошелек нагрудный Tramp средний, 14x21 см.
Легкий походный нашейный кошелек для самых необходимых документов. Удобно носить под одеждой. Тесьма для ношения на шее. Пять отделений
390 руб
Раздел: Косметички, кошельки
Каталка "Мишка".
Высота от пола до сиденья: 23 см. Размер: 29х47х43 см. Каталка выдерживает массу ребенка до 25 кг. Цвет каталки может отличаться от
759 руб
Раздел: Каталки

81. Если вы заблудились в тайге

82. Если возникнет чрезвычайная ситуация: алгоритмы поведения учащихся и студентов

83. Что делать, если обморозились на улице

84. Опасные и вредные производственные факторы и меры защиты от них

85. Если рыбы не размножаются

86. Оценка информативности признаков: два подхода, две идеологии
87. Май 9 число
88. Абсолютна величина дiсного числа

89. Антиспам. Два метода защиты от спама

90. Манипулирование с целыми числами произвольной длины

91. Константин Леонтьев о "социалистическом федерализме" в России: два сценария

92. Механики Черепановы: почему паровоз называли сухопутным пароходом?

93. Два Дон Жуана

94. Два брата — два характера, две судьбы

95. Комплексные числа

96. Сопряжённые числа

Автокресло Еду-Еду "KS-513 Lux" с вкладышем (цвет: голубой, 9-36 кг).
Автокресло разработано для детей весом от 9 до 36 кг. Группа веса 1/2/3 (ECE R44/04). Каждая деталь автокресла спроектирована должным
2977 руб
Раздел: Группа 1/2/3 (9-36 кг)
Корзина "Лягушонок", 45х45 см.
Предназначение: для игровых целей на открытом воздухе и в помещении. Материал: нейлон.
322 руб
Раздел: Корзины, контейнеры для игрушек
Набор полотенец Whitex Mimicoco "Лошадки", цвет: черный, 2 штуки.
Подарочный набор оформлен вышивкой лошадок, напоминающих имбирные пряничные фигурки. Полотенца, изготовленные из высококачественного
352 руб
Раздел: Наборы

97. Комплексные числа

98. Исторические проблемы математики. Число и арифметическое действие

99. Группы крови: минимум информации, который необходимо знать каждому

100. В каждой бочке затычка


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.