Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Устойчивость систем дифференциальных уравнений

Мыло металлическое "Ликвидатор".
Мыло для рук «Ликвидатор» уничтожает стойкие и трудно выводимые запахи за счёт особой реакции металла с вызывающими их элементами.
197 руб
Раздел: Ванная
Брелок LED "Лампочка" классическая.
Брелок работает в двух автоматических режимах и горит в разных цветовых гаммах. Материал: металл, акрил. Для работы нужны 3 батарейки
131 руб
Раздел: Металлические брелоки
Забавная пачка денег "100 долларов".
Купюры в пачке выглядят совсем как настоящие, к тому же и банковской лентой перехвачены... Но вглядитесь внимательней, и Вы увидите
60 руб
Раздел: Прочее

Министерство образования РФ Филиал СПбГМТУ Севмашвтуз Кафедра №2 Курсовая работа по дисциплине "Специальные разделы математики" Тема: «Устойчивость систем дифференциальных уравнений» Студент: Новичков А. А. Группа: 450 Преподаватель: Панова Е. В. СодержаниеВведение. 3 1. Свойства систем дифференциальных уравнений. 4 1.1. Основные определения. 4 1.2. Траектории автономных систем. 5 1.3. Предельные множества траекторий. 6 1.4. Траектории линейных систем на плоскости. 8 1.5. Линейные однородные системы с периодическими коэффициентами. 10 2. Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений. 12 2.1. Устойчивость по Ляпунову. 12 2.2. Устойчивость линейных однородных систем. 14 2.3. Устойчивость периодических решений. 17 2.4. Классификация положений равновесия системы второго порядка. 18 2.5. Автономные системы на плоскости. Предельные циклы. 23 2.6. Устойчивость по первому приближению. 25 2.7. Экспоненциальная устойчивость. 28 3. Второй метод Ляпунова. 29 3.1. Основные определения. 29 3.2. Теоремы второго метода Ляпунова. 30 3.3. Устойчивость по первому приближению. 33 Заключение. 36 Список литературы. 37 Введение. Решения большинства дифференциальных уравнений и их систем не выражаются через элементарные функции, и в этих случаях при решении конкретных уравнений применяются приближенные методы интегрирования. Вместе тем часто бывает необходимо знать не конкретные численные решения, а особенности решений: поведение отдельных решений при изменении параметров систем, взаимное поведение решений при различных начальных данных, является ли решение периодическим, как меняется общее поведение системы при изменении параметров. Все эти вопросы изучает качественная теория дифференциальных уравнений. Одним из основных вопросов этой теории является вопрос об устойчивости решения, или движения системы, если ее трактовать как модель физической системы. Здесь важнейшим является выяснение взаимного поведения отдельных решений, незначительно отличающихся начальными условиями, то есть будут ли малые изменения начальных условий вызывать малые же изменения решений. Этот вопрос был подробно исследован А. М. Ляпуновым. Основу теории Ляпунова составляет выяснение поведения решений при асимптотическом стремлении расстояния между решениями к нулю. В данной курсовой работе излагаются основы теории Ляпунова устойчивости непрерывных гладких решений систем дифференциальных уравнений первого порядка, а именно: в главе 1 излагаются основные определения, необходимые для изучения устойчивости; в главе 2 дается понятие устойчивости решений систем в общем виде и по первому приближению; в главе 3 излагаются основы второго метода Ляпунова. 1. Свойства систем дифференциальных уравнений. 1.1. Основные определения. Пусть — непрерывные в области G ( 1)-мерного пространства скалярные функции. Определение. Совокупность уравнений (1) называется нормальной системой дифференциальных уравнений первого порядка. Ее можно записать в матричной форме, если положить Определение. Решением системы (1) на интервале (a, b) называется совокупность функций , непрерывно дифференцируемых на этом интервале, если при всех Задача Коши для системы (1) ставится следующим образом: найти решение системы, определенное в окрестности точки , которое удовлетворяет начальным условиям — заданная точка из области G.

Решение задачи Коши существует и единственно, если все функции в правых частях уравнений системы (1) непрерывно дифференцируемы по всем . Каждому решению системы (1) сопоставляется 2 геометрических объекта: интегральная кривая и траектория. Определение. Если — решение системы (1) на промежутке (a, b), то множество точек (x, , ( 1)-мерного пространства называется интегральной кривой решения, а множество точек (, -мерного пространства называется траекторией решения. Заметим, что из существования и единственности решения задачи Коши интегральные кривые не могут пересекаться или иметь общих точек, однако траектории могут пересекаться без нарушения единственности, так как начальная точка определяется 1 координатой. В частности траектория может совпадать с точкой (положение равновесия). Система (1) называется автономной, если в правые части уравнений не входит явно независимая переменная. Система (1) называется линейной, если она имеет вид: . Фундаментальной матрицей линейной однородной системы называется матричная функция ?( ), определитель которой отличен от нуля и столбцы которой являются решениями системы: . С помощью фундаментальной матрицы ?( ) общее решение системы можно записать в виде . Фундаментальная матрица, обладающая свойством . Если фундаментальная матрица, то частное решение системы записывается в виде значение решения. 1.2. Траектории автономных систем. Будем рассматривать автономную систему в векторной форме:. Автономные системы обладают тем свойством, что если , также решение уравнения (2). Отсюда в частности следует, что решение . В геометрической интерпретации эта запись означает, что если две траектории уравнения (2) имеют общую точку, то они совпадают. При этом можно заметить, что траектория вполне определяется начальной точкой . Пусть . Для того чтобы точка была положением равновесия, необходимо и достаточно, чтобы . Предположим теперь, что траектория решения не является положением равновесия, но имеет кратную точку, т. е. существуют — не положение равновесия, то . Обозначим — ?- периодическая функция. Действительно, функция , причем совпадают при всех . Применяя аналогичное рассуждение к решению и функции совпадают при этих . Таким образом, можно продолжить , при этом должно выполняться тождество — периодическая функция с наименьшим периодом. Траектория такого решения является замкнутой кривой. Из приведенного вытекает следующий результат: Каждая траектория автономного уравнения (2) принадлежит одному из следующих трех типов: 1) положение равновесия; 2) замкнутая траектория, которой соответствует периодическое решение с положительным наименьшим периодом; 3) траектория без самопересечения, которой соответствует непериодическое решение. 1.3. Предельные множества траекторий. Определение. Точка называется ?-предельной точкой траектории , если существует последовательность . Множество ? всех ?-предельных точек траектории называется ее ?- предельным множеством. Аналогично для траектории определяется понятие ?-предельной точки как предела , а также “- предельного множества. Определение. Траектория называется положительно (отрицательно) устойчивой по Лагранжу (обозн.

такой, что определена. Иными словами, если траектория всегда остается в некоторой ограниченной области фазового пространства. Можно показать, что предельное множество устойчивой по Лагранжу траектории не пусто, компактно и связно. Траектория называется устойчивой по Пуассону, если каждая ее точка является ?-предельной и ?-предельной, т. е. . Примером устойчивой по Пуассону траектории является состояние равновесия. Если же рассматривается траектория, отличная от неподвижной точки, то устойчивой по Пуассону она будет в том случае, если обладает свойством возвращаться в сколь угодно малую окрестность каждой своей точки бесконечное число раз. Поэтому устойчивыми по Пуассону будут циклы и квазипериодические траектории (суперпозиция двух периодических колебаний с несоизмеримыми частотами), а также более сложные траектории, возникающие в хаотических системах. Рассмотрим (без доказательств) некоторые свойства предельных множеств в случае = 2. 1. Предельные множества траекторий автономных систем состоят из целых траекторий. 2. Если траектория содержит по крайней мере одну свою предельную точку, то эта траектория замкнутая или представляет собой точку покоя. 3. Если траектория остается в конечной замкнутой области, не содержащей точек покоя системы, то она либо является циклом, либо спиралевидно приближается при к некоторому циклу. 4. Пусть в некоторой окрестности замкнутой траектории нет других замкнутых траекторий. Тогда все траектории, начинающиеся достаточно близко от ?, спиралевидно приближаются к ? при . Пример. Рассмотрим автономную систему при Для исследования системы удобно в фазовой плоскости ввести полярные координаты. Тогда получаем следующие уравнения для определения . Первое из этих уравнений легко интегрируется. Оно имеет решения монотонно убывают от монотонно возрастают от , то отсюда следует, что при все траектории системы образуют спирали, раскручивающиеся от окружности к бесконечно удаленной точке или к началу координат при неограниченном возрастании полярного угла. Начало координат является положением равновесия и одновременно ?-предельным множеством для всех траекторий, у которых , то ?-предельное множество траектории пусто. Окружность является замкнутой траекторией и одновременно ?-предельным множеством для всех траекторий, отличных от положения равновесия. 1.4. Траектории линейных систем на плоскости. Рассмотрим автономную линейную однородную систему (3) с постоянными коэффициентами. Будем полагать = 2 и . В этом предположении система имеет единственное положение равновесия в начале координат. С помощью линейного неособого преобразования X = SY приведем систему (3) к виду , где J — жорданова форма матрицы A. В зависимости от вида собственных чисел имеют место следующие случаи: 1) . В этом случае . Параметрические уравнения траекторий таковы: . Координатные полуоси являются траекториями, соответствующими . Картина расположения траекторий при , имеющая специальное название — узел, изображена на рис. 1а. 2) . Полученные в случае узла формулы сохраняют силу. Соответствующая геометрическая картина, называемая седлом, изображена на рис.

KombinatЈrikus topolЈgia. Budapest: Acad. kiadЈ, 1955. I. 147. Bibliogr.: 4 ref. 113. * Периодические решения систем дифференциальных уравнений, близкие к разрывным // Докл. АН СССР. 1955. Т. 102, 5. С. 889891. Совместно с Е. Ф. Мищенко. 114. То же // Тезисы докладов механико-математического факультета [МГУ]. М.: Изд-во МГУ. 1955. С. 5. Совместно с Е. Ф. Мищенко. 115. То же // Успехи мат. наук. 1955. Т. 10, вып. 3. С. 193. Совместно с Е. Ф. Мищенко. 116. On the zeros of some elementary transcendental functions // Am. Math. Soc. Trans., Ser. 2. 1955. V. 1. P. 95110. 1956 117. Grundzuge der kombinatorischen Topologie. Berlin: Dt. Verl. Wiss., 1956. 133 S. Bibliogr.: S. 128. 118. Renzoku gunron: 1. Tokyo: Iwanami Shoten, 1956. 303 p. Idem: 2. Tokyo: Iwanami Shoten, 1956. 289 p. 119. О статистическом рассмотрении динамических систем // Андронов А. А. Собрание трудов. М., 1956. С. 142160, фиг. Библиогр.: 5 назв. Совместно с А. А. Андроновым и А. А. Виттом. 120. Грубые системы // Там же. С. 183187. Библиогр.: 4 назв. Совместно с А. А. Андроновым. 121

1. Устойчивость систем дифференциальных уравнений

2. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Куты 4 порядка

3. Решение систем дифференциальных уравнений

4. Исследования устойчивости и качества процессов управления линейных стационарных САУ

5. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА

6. Исследование устойчивости и качества процессов управления линейных стационарных САУ
7. Решение систем линейных дифференциальных уравнений пятиточечным методом Адамса – Башфорта
8. Дифференциальные уравнения линейных систем автоматического регулирования

9. Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов

10. Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

11. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера

12. Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов

13. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

14. Методы алгебраических и дифференциальных уравнений для анализа и качественного исследования социально-экономических явлений (По дисциплине: Математические методы моделирования процессов управления в социальной сфере)

15. Дифференциальные уравнения

16. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью

Багетная рама "Isabelle" (золотой), 30х40 см.
Багетные рамы предназначены для оформления картин, вышивок и фотографий. Оформленное изделие всегда становится более выразительным и
651 руб
Раздел: Размер 30x40
Набор для черчения "College", 9 предметов.
В набор входит: циркуль 14 см с одной сгибаемой ножкой, циркуль - измеритель, удлинитель, кронциркуль, механический карандаш, контейнер с
539 руб
Раздел: Циркули, чертежные инструменты
Детский трехколесный велосипед Jaguar (цвет: синий).
Облегченный трехколесный велосипед с родительской ручкой, для малышей от 2 до 4 лет. Удобный, маневренный, отличная модель для получения
2500 руб
Раздел: Трехколесные

17. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

18. Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций

19. Анализ линейной стационарной цепи

20. Дифференциальные уравнения неустановившегося движения воздуха по рудничным воздуховодам

21. Численный расчет дифференциальных уравнений

22. Механические колебания в дифференциальных уравнениях
23. Дифференциальные уравнения гиперболического типа
24. Методы и алгоритмы компьютерного решения дифференциальных уравнений

25. Проектирование линейных стационарных САУ с микропроцессорными регуляторами

26. Решение дифференциальных уравнений в среде MathCAD

27. Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена

28. ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения системы дифференциальных уравнений

29. Аналитические свойства решений системы двух дифференциальных уравнений третьего порядка

30. Дифференциальные уравнения

31. Дифференциальные уравнения для электрической цепи

32. Исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей

Подушка детская "Бамбук" 40x60 см, арт. ДТ-ПСБД-4060-1.
Детская подушка "Бамбук", подушка с отстрочкой: с наполнителем из бамбукового волокна 400 г/кв.м, чехол (100% хлопок) - сатин
558 руб
Раздел: Размер 50х70 см, 40х60 см
Подгузники Moony, 4-8 кг, экономичная упаковка, 81 штука.
Максимально удобны и просты в применении. "Дышащая поверхность" подгузников обеспечивает доступ воздуха к коже ребенка, а
1423 руб
Раздел: 6-10 кг
Бумага акварельная в листах А3, 200 листов.
Нарезанные листы бумаги для акварели. Формат: А3. Количество листов: 200. Плотность: 180 г/м2. Размеры: 297х420 мм. Отсутствует красочная
1719 руб
Раздел: Папки для акварелей, рисования

33. Классификации гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных

34. Решение дифференциального уравнения первого порядка

35. Решение дифференциальных уравнений

36. Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы

37. Анализ дифференциальных уравнений

38. Применение технологии знаково-контекстного обучения во время изложения дифференциальных уравнений
39. Дифференциальное уравнение относительного движения механической системы
40. Математическая модель в пространстве состояний линейного стационарного объекта управления

41. Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций на элективном курсе по математике в старших классах общеобразовательной школы

42. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и Зейделя

43. Итерационные методы решения систем линейных уравнений с неединственными коэффициентами

44. Способы решения систем линейных уравнений

45. Модели угроз безопасности систем и способы их реализации, определение критериев уязвимости и устойчивости систем к деструктивным воздействиям, разработка методов и средств мониторинга для выявления фактов применения несанкционированных информационных возд

46. Энтропия-инфляция – индикатор устойчивости развития социальных систем. Социальные самоорганизующиеся диссипативные структуры

47. Разработка программы для решения систем линейных уравнений

48. Численные методы решения систем линейных уравнений

Детская горка, цвет: красный/желтый, скат 140 см.
Для активного летнего отдыха вам пригодится пластиковая горка Долони. Горка изготовлена из яркого пластика и украсит любую детскую комнату
2200 руб
Раздел: Горки
Магнитная игра для путешествий "Волшебный лес".
Уникальная логическая игра-головоломка для отличного времяпрепровождения и тренировки ума. Имеет компактное игровое поле с магнитными
530 руб
Раздел: Игры на магнитах
Папка для тетрадей "Кошечка", А4.
Папка для тетрадей формата A4, закрывается на молнию. Отличается вместительностью и ярким дизайном (полноцветная печать на пластике). Для
359 руб
Раздел: Папки для тетрадей

49. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

50. Поиски более рационального способа решения систем линейных уравнений с двумя переменными - методом подстановки

51. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

52. Критерии устойчивости систем

53. Анализ и оценка финансовой устойчивости предприятия на примере "СибАвтоТорг"

54. Анализ финансовой устойчивости организации (на примере ДГУ ЭПП "Вектор-БиАльгам" ГНЦ ВБ "Вектор")
55. Основные направления устойчивого развития предприятия в современных условиях (на примере ИП ЭПАМ Системз)
56. Анализ устойчивости и поддержание орбитальной структуры космической системы связи

57. Пути и способы повышения устойчивости работы РЭА

58. Гражданская оборона: устойчивость лаборатории к воздействию Электромагнитного Импульса(ЭМИ)

59. Концепция устойчивого развития

60. Лабораторная работа №5 по "Основам теории систем" (Транспортные задачи линейного программирования)

61. Лабораторная работа №3 по "Основам теории систем" (Теория двойственности в задачах линейного программирования)

62. Проверка устойчивости системы автоматического управления

63. Теория устойчивости

64. Методы решения систем линейных неравенств

Игра интерактивная "Супер магический Джинн".
Интерактивная игрушка "Супер магический Джинн" умеет без малейшего труда угадывать задуманные слова, поэтому ребенку придется
1549 руб
Раздел: Игры на ассоциации, воображение
Одеяло стеганое "Карапуз" толстое (цвет: белый).
Одеяло "Карапуз" выполнено в чистейшем белом цвете. Дополнительно по всему периметру имеется стежка для предотвращения миграции
589 руб
Раздел: Одеяла для детей
Набор овощей.
Набор овощей пригодится на кукольной кухне для варки супов. В комплект входят 8 овощей, типичных для средней полосы и русской кухни. Овощи
559 руб
Раздел: Продукты

65. Концепции устойчивого развития как выражение взаимоотношений "общество- природа"

66. Сортовая устойчивость крупноплодной садовой земляники к вредителям и болезням

67. УСТОЙЧИВОСТЬ И ИЗМЕНЧИВОСТЬ. ЗАКОНЫ РАЗВИТИЯ В СЛОЖНЫХ СИСТЕМАХ. ДЕГРАДАЦИЯ

68. Финансовая устойчивость и пути ее укрепления

69. Алгоритм анализа финансовой устойчивости предприятия

70. Менеджмент и устойчивое развитие экономики
71. Роль местных властей в создании условий для устойчивого развития малого бизнеса
72. Обеспечение устойчивости работы агропромышленного объекта в условиях чрезвычайных ситуаций

73. Что такое «устойчивое развитие» для Украины?

74. Маркетинг предприятия. Управление платежеспособностью и финансовой устойчивостью предприятия

75. Элементы теории устойчивости

76. Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

77. Линейные уравнения и неравенства

78. О теоретических положениях динамики и устойчивости бурильной колонны и способах их реализации на практике

79. Способ устойчивого решения неустойчивых задач и его алгоритм

80. Глобализация и устойчивое развитие

Клей универсальный UHU "Twist&Glue", 90 мл, арт. 38850.
Склеивает металл, бумагу, дерево, текстиль, стекло, керамику, пробку, большинство пластиков и кожу. Не подходит для ремонта кожаной
350 руб
Раздел: Универсальный
Набор детской складной мебели Ника "Хочу все знать".
В комплект входит стол и стул с мягким сиденьем. Материалы: металл окрашенный, цветная ламинированная ДСП, пластмасса. Для детей от 3 до 7
1270 руб
Раздел: Наборы детской мебели
Медицинская карта истории развития ребенка, синяя, А5, по форме 112/У.
История развития ребенка — основной медицинский документ, который ведется на каждого ребенка от рождения и до 14 лет включительно. В этот
498 руб
Раздел: Бланки, книги учета

81. Два пути устойчивого развития России

82. Проблема устойчивости личности

83. Как повысить устойчивость к болезням

84. Cчастье и устойчивое развитие

85. Обеспечение устойчивости работы агропромышленного объекта чрезвычайных ситуаций

86. Повышение устойчивости к физической нагрузке у тренированных и нетренировнных лиц под влиянием тонизирующих фитосборов
87. Оcобенности фазовой структуры диастолы сердца в свете анализа устойчивости сердечно-сосудистой системы к действию
88. Философия науки и концепция устойчивого развития

89. Определение предмета и метода проектирования устойчивого развития в системе Природа-Общество-Человек

90. Концепция устойчивого развития и проблема безопасности

91. Оценка финансовой устойчивости предприятия

92. Финансовая устойчивость предприятия: оценка и управление

93. Эко-эффективность и устойчивое развитие

94. Экологический идеал как фактор повышения устойчивости социоприродной системы

95. Об устойчивом развитии и экологических циклах

96. Устойчивое лесопользование

Портфель "Megapolis", синий.
Легкая папка-портфолио изготовлена из жесткого пластика, рассчитана на длительный срок службы. Папка служит для перевозки документов и
512 руб
Раздел: Папки-портфели, папки с наполнением
Ночник с датчиком движения "Ночной снайпер".
Маленький ночник с датчиком движения "Ночной снайпер" надежно крепится на крышку унитаза и срабатывает только при вашем
648 руб
Раздел: Ночники
Рюкзак школьный "Ever After High. Dragon Game".
Рюкзак школьный - легкий и яркий рюкзак для ученицы начальной школы. Прочная каркасная конструкция хорошо сохраняет форму, устойчиво стоит
2451 руб
Раздел: Без наполнения

97. Устойчивое развитие и высшее образование

98. Теоретические новации в обеспечении устойчивого диалога между цивилизациями

99. Экологическое образование для устойчивого развития

100. Опыт достижения устойчивого развития на территории Волжского бассейна


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.