|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Устойчивость систем дифференциальных уравнений |
Мыло металлическое "Ликвидатор". 
Брелок LED "Лампочка" классическая. 
Забавная пачка денег "100 долларов". Министерство образования РФ Филиал СПбГМТУ Севмашвтуз Кафедра №2 Курсовая работа по дисциплине "Специальные разделы математики" Тема: «Устойчивость систем дифференциальных уравнений» Студент: Новичков А. А. Группа: 450 Преподаватель: Панова Е. В. СодержаниеВведение. 3 1. Свойства систем дифференциальных уравнений. 4 1.1. Основные определения. 4 1.2. Траектории автономных систем. 5 1.3. Предельные множества траекторий. 6 1.4. Траектории линейных систем на плоскости. 8 1.5. Линейные однородные системы с периодическими коэффициентами. 10 2. Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений. 12 2.1. Устойчивость по Ляпунову. 12 2.2. Устойчивость линейных однородных систем. 14 2.3. Устойчивость периодических решений. 17 2.4. Классификация положений равновесия системы второго порядка. 18 2.5. Автономные системы на плоскости. Предельные циклы. 23 2.6. Устойчивость по первому приближению. 25 2.7. Экспоненциальная устойчивость. 28 3. Второй метод Ляпунова. 29 3.1. Основные определения. 29 3.2. Теоремы второго метода Ляпунова. 30 3.3. Устойчивость по первому приближению. 33 Заключение. 36 Список литературы. 37 Введение. Решения большинства дифференциальных уравнений и их систем не выражаются через элементарные функции, и в этих случаях при решении конкретных уравнений применяются приближенные методы интегрирования. Вместе тем часто бывает необходимо знать не конкретные численные решения, а особенности решений: поведение отдельных решений при изменении параметров систем, взаимное поведение решений при различных начальных данных, является ли решение периодическим, как меняется общее поведение системы при изменении параметров. Все эти вопросы изучает качественная теория дифференциальных уравнений. Одним из основных вопросов этой теории является вопрос об устойчивости решения, или движения системы, если ее трактовать как модель физической системы. Здесь важнейшим является выяснение взаимного поведения отдельных решений, незначительно отличающихся начальными условиями, то есть будут ли малые изменения начальных условий вызывать малые же изменения решений. Этот вопрос был подробно исследован А. М. Ляпуновым. Основу теории Ляпунова составляет выяснение поведения решений при асимптотическом стремлении расстояния между решениями к нулю. В данной курсовой работе излагаются основы теории Ляпунова устойчивости непрерывных гладких решений систем дифференциальных уравнений первого порядка, а именно: в главе 1 излагаются основные определения, необходимые для изучения устойчивости; в главе 2 дается понятие устойчивости решений систем в общем виде и по первому приближению; в главе 3 излагаются основы второго метода Ляпунова. 1. Свойства систем дифференциальных уравнений. 1.1. Основные определения. Пусть — непрерывные в области G ( 1)-мерного пространства скалярные функции. Определение. Совокупность уравнений (1) называется нормальной системой дифференциальных уравнений первого порядка. Ее можно записать в матричной форме, если положить Определение. Решением системы (1) на интервале (a, b) называется совокупность функций , непрерывно дифференцируемых на этом интервале, если при всех Задача Коши для системы (1) ставится следующим образом: найти решение системы, определенное в окрестности точки , которое удовлетворяет начальным условиям — заданная точка из области G.
Решение задачи Коши существует и единственно, если все функции в правых частях уравнений системы (1) непрерывно дифференцируемы по всем . Каждому решению системы (1) сопоставляется 2 геометрических объекта: интегральная кривая и траектория. Определение. Если — решение системы (1) на промежутке (a, b), то множество точек (x, , ( 1)-мерного пространства называется интегральной кривой решения, а множество точек (, -мерного пространства называется траекторией решения. Заметим, что из существования и единственности решения задачи Коши интегральные кривые не могут пересекаться или иметь общих точек, однако траектории могут пересекаться без нарушения единственности, так как начальная точка определяется 1 координатой. В частности траектория может совпадать с точкой (положение равновесия). Система (1) называется автономной, если в правые части уравнений не входит явно независимая переменная. Система (1) называется линейной, если она имеет вид: . Фундаментальной матрицей линейной однородной системы называется матричная функция ?( ), определитель которой отличен от нуля и столбцы которой являются решениями системы: . С помощью фундаментальной матрицы ?( ) общее решение системы можно записать в виде . Фундаментальная матрица, обладающая свойством . Если фундаментальная матрица, то частное решение системы записывается в виде значение решения. 1.2. Траектории автономных систем. Будем рассматривать автономную систему в векторной форме:. Автономные системы обладают тем свойством, что если , также решение уравнения (2). Отсюда в частности следует, что решение . В геометрической интерпретации эта запись означает, что если две траектории уравнения (2) имеют общую точку, то они совпадают. При этом можно заметить, что траектория вполне определяется начальной точкой . Пусть . Для того чтобы точка была положением равновесия, необходимо и достаточно, чтобы . Предположим теперь, что траектория решения не является положением равновесия, но имеет кратную точку, т. е. существуют — не положение равновесия, то . Обозначим — ?- периодическая функция. Действительно, функция , причем совпадают при всех . Применяя аналогичное рассуждение к решению и функции совпадают при этих . Таким образом, можно продолжить , при этом должно выполняться тождество — периодическая функция с наименьшим периодом. Траектория такого решения является замкнутой кривой. Из приведенного вытекает следующий результат: Каждая траектория автономного уравнения (2) принадлежит одному из следующих трех типов: 1) положение равновесия; 2) замкнутая траектория, которой соответствует периодическое решение с положительным наименьшим периодом; 3) траектория без самопересечения, которой соответствует непериодическое решение. 1.3. Предельные множества траекторий. Определение. Точка называется ?-предельной точкой траектории , если существует последовательность . Множество ? всех ?-предельных точек траектории называется ее ?- предельным множеством. Аналогично для траектории определяется понятие ?-предельной точки как предела , а также “- предельного множества. Определение. Траектория называется положительно (отрицательно) устойчивой по Лагранжу (обозн.
такой, что определена. Иными словами, если траектория всегда остается в некоторой ограниченной области фазового пространства. Можно показать, что предельное множество устойчивой по Лагранжу траектории не пусто, компактно и связно. Траектория называется устойчивой по Пуассону, если каждая ее точка является ?-предельной и ?-предельной, т. е. . Примером устойчивой по Пуассону траектории является состояние равновесия. Если же рассматривается траектория, отличная от неподвижной точки, то устойчивой по Пуассону она будет в том случае, если обладает свойством возвращаться в сколь угодно малую окрестность каждой своей точки бесконечное число раз. Поэтому устойчивыми по Пуассону будут циклы и квазипериодические траектории (суперпозиция двух периодических колебаний с несоизмеримыми частотами), а также более сложные траектории, возникающие в хаотических системах. Рассмотрим (без доказательств) некоторые свойства предельных множеств в случае = 2. 1. Предельные множества траекторий автономных систем состоят из целых траекторий. 2. Если траектория содержит по крайней мере одну свою предельную точку, то эта траектория замкнутая или представляет собой точку покоя. 3. Если траектория остается в конечной замкнутой области, не содержащей точек покоя системы, то она либо является циклом, либо спиралевидно приближается при к некоторому циклу. 4. Пусть в некоторой окрестности замкнутой траектории нет других замкнутых траекторий. Тогда все траектории, начинающиеся достаточно близко от ?, спиралевидно приближаются к ? при . Пример. Рассмотрим автономную систему при Для исследования системы удобно в фазовой плоскости ввести полярные координаты. Тогда получаем следующие уравнения для определения . Первое из этих уравнений легко интегрируется. Оно имеет решения монотонно убывают от монотонно возрастают от , то отсюда следует, что при все траектории системы образуют спирали, раскручивающиеся от окружности к бесконечно удаленной точке или к началу координат при неограниченном возрастании полярного угла. Начало координат является положением равновесия и одновременно ?-предельным множеством для всех траекторий, у которых , то ?-предельное множество траектории пусто. Окружность является замкнутой траекторией и одновременно ?-предельным множеством для всех траекторий, отличных от положения равновесия. 1.4. Траектории линейных систем на плоскости. Рассмотрим автономную линейную однородную систему (3) с постоянными коэффициентами. Будем полагать = 2 и . В этом предположении система имеет единственное положение равновесия в начале координат. С помощью линейного неособого преобразования X = SY приведем систему (3) к виду , где J — жорданова форма матрицы A. В зависимости от вида собственных чисел имеют место следующие случаи: 1) . В этом случае . Параметрические уравнения траекторий таковы: . Координатные полуоси являются траекториями, соответствующими . Картина расположения траекторий при , имеющая специальное название — узел, изображена на рис. 1а. 2) . Полученные в случае узла формулы сохраняют силу. Соответствующая геометрическая картина, называемая седлом, изображена на рис.
KombinatЈrikus topolЈgia. Budapest: Acad. kiadЈ, 1955. I. 147. Bibliogr.: 4 ref. 113. * Периодические решения систем дифференциальных уравнений, близкие к разрывным // Докл. АН СССР. 1955. Т. 102, 5. С. 889891. Совместно с Е. Ф. Мищенко. 114. То же // Тезисы докладов механико-математического факультета [МГУ]. М.: Изд-во МГУ. 1955. С. 5. Совместно с Е. Ф. Мищенко. 115. То же // Успехи мат. наук. 1955. Т. 10, вып. 3. С. 193. Совместно с Е. Ф. Мищенко. 116. On the zeros of some elementary transcendental functions // Am. Math. Soc. Trans., Ser. 2. 1955. V. 1. P. 95110. 1956 117. Grundzuge der kombinatorischen Topologie. Berlin: Dt. Verl. Wiss., 1956. 133 S. Bibliogr.: S. 128. 118. Renzoku gunron: 1. Tokyo: Iwanami Shoten, 1956. 303 p. Idem: 2. Tokyo: Iwanami Shoten, 1956. 289 p. 119. О статистическом рассмотрении динамических систем // Андронов А. А. Собрание трудов. М., 1956. С. 142160, фиг. Библиогр.: 5 назв. Совместно с А. А. Андроновым и А. А. Виттом. 120. Грубые системы // Там же. С. 183187. Библиогр.: 4 назв. Совместно с А. А. Андроновым. 121
1. Устойчивость систем дифференциальных уравнений
2. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Куты 4 порядка
3. Решение систем дифференциальных уравнений
4. Исследования устойчивости и качества процессов управления линейных стационарных САУ
5. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА
9. Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов
10. Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем
11. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера
12. Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов
13. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения
15. Дифференциальные уравнения
16. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью
Багетная рама "Isabelle" (золотой), 30х40 см. 
Набор для черчения "College", 9 предметов. 
Детский трехколесный велосипед Jaguar (цвет: синий). 17. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения
19. Анализ линейной стационарной цепи
20. Дифференциальные уравнения неустановившегося движения воздуха по рудничным воздуховодам
21. Численный расчет дифференциальных уравнений
25. Проектирование линейных стационарных САУ с микропроцессорными регуляторами
26. Решение дифференциальных уравнений в среде MathCAD
27. Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена
29. Аналитические свойства решений системы двух дифференциальных уравнений третьего порядка
30. Дифференциальные уравнения
31. Дифференциальные уравнения для электрической цепи
32. Исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей
Подушка детская "Бамбук" 40x60 см, арт. ДТ-ПСБД-4060-1. 
Подгузники Moony, 4-8 кг, экономичная упаковка, 81 штука. 
Бумага акварельная в листах А3, 200 листов. 33. Классификации гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных
34. Решение дифференциального уравнения первого порядка
35. Решение дифференциальных уравнений
36. Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы
37. Анализ дифференциальных уравнений
42. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и Зейделя
43. Итерационные методы решения систем линейных уравнений с неединственными коэффициентами
44. Способы решения систем линейных уравнений
47. Разработка программы для решения систем линейных уравнений
48. Численные методы решения систем линейных уравнений
Детская горка, цвет: красный/желтый, скат 140 см. 
Магнитная игра для путешествий "Волшебный лес". 
Папка для тетрадей "Кошечка", А4. 49. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
51. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений
52. Критерии устойчивости систем
53. Анализ и оценка финансовой устойчивости предприятия на примере "СибАвтоТорг"
57. Пути и способы повышения устойчивости работы РЭА
58. Гражданская оборона: устойчивость лаборатории к воздействию Электромагнитного Импульса(ЭМИ)
59. Концепция устойчивого развития
60. Лабораторная работа №5 по "Основам теории систем" (Транспортные задачи линейного программирования)
62. Проверка устойчивости системы автоматического управления
64. Методы решения систем линейных неравенств
Игра интерактивная "Супер магический Джинн". 
Одеяло стеганое "Карапуз" толстое (цвет: белый). 
Набор овощей. 65. Концепции устойчивого развития как выражение взаимоотношений "общество- природа"
66. Сортовая устойчивость крупноплодной садовой земляники к вредителям и болезням
67. УСТОЙЧИВОСТЬ И ИЗМЕНЧИВОСТЬ. ЗАКОНЫ РАЗВИТИЯ В СЛОЖНЫХ СИСТЕМАХ. ДЕГРАДАЦИЯ
68. Финансовая устойчивость и пути ее укрепления
69. Алгоритм анализа финансовой устойчивости предприятия
73. Что такое «устойчивое развитие» для Украины?
74. Маркетинг предприятия. Управление платежеспособностью и финансовой устойчивостью предприятия
75. Элементы теории устойчивости
76. Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)
77. Линейные уравнения и неравенства
79. Способ устойчивого решения неустойчивых задач и его алгоритм
80. Глобализация и устойчивое развитие
Клей универсальный UHU "Twist&Glue", 90 мл, арт. 38850. 
Набор детской складной мебели Ника "Хочу все знать". 
Медицинская карта истории развития ребенка, синяя, А5, по форме 112/У. 81. Два пути устойчивого развития России
82. Проблема устойчивости личности
83. Как повысить устойчивость к болезням
84. Cчастье и устойчивое развитие
85. Обеспечение устойчивости работы агропромышленного объекта чрезвычайных ситуаций
89. Определение предмета и метода проектирования устойчивого развития в системе Природа-Общество-Человек
90. Концепция устойчивого развития и проблема безопасности
91. Оценка финансовой устойчивости предприятия
92. Финансовая устойчивость предприятия: оценка и управление
93. Эко-эффективность и устойчивое развитие
94. Экологический идеал как фактор повышения устойчивости социоприродной системы
95. Об устойчивом развитии и экологических циклах
96. Устойчивое лесопользование
Портфель "Megapolis", синий. 
Ночник с датчиком движения "Ночной снайпер". 
Рюкзак школьный "Ever After High. Dragon Game". 97. Устойчивое развитие и высшее образование
98. Теоретические новации в обеспечении устойчивого диалога между цивилизациями
99. Экологическое образование для устойчивого развития
100. Опыт достижения устойчивого развития на территории Волжского бассейна
