|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Задачи линейной алгебры. Понятие матрицы. Виды матриц. Операции с матрицами. Решение задач на преобразование матриц |
Пакеты с замком "Extra зиплок" (гриппер), комплект 100 штук (150x200 мм). 
Ночник-проектор "Звездное небо, планеты", черный. Министерство науки и образования Украины ДГМАРефератна тему:Задачи линейной алгебры. Понятие матрицы. Виды матриц. Операции с матрицами. Решение задач на преобразование матриц. Подготовил учащийся 1КД гр. Сергей Шрам Краматорск 2003 Задачи линейной алгебры. Понятие матрицы. Виды матриц. Операции с матрицами. Решение задач на преобразование матриц. При решении различных задач математики очень часто приходится иметь дело с таблицами чисел, называемых матрицами. С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи компьютерной графики и другие инженерные задачи. Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество п столбцов. Числа т и п называются порядками матрицы. В случае, если т = п, матрица называется квадратной, а число m = — ее порядком. В дальнейшем для записи матриц будут применяться либо сдвоенные черточки, либо круглые скобки: или Для краткого обозначения матрицы часто будет использоваться либо одна большая латинская буква (например, A), либо символ a ij , а иногда с разъяснением: А = a ij = ( a ij ), где (i = 1, 2, ., т, j=1, 2, ., ). Числа a ij , входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. В записи a ij первый индекс і означает номер строки, а второй индекс j — номер столбца. В случае квадрат-ной матрицы (1.1) вводятся понятия главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы (1.1) называется диагональ а11 а12 a идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний ее угол. Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ а 1 а( -1)2 a1 , идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.Основные операции над матрицами и их свойства. Прежде всего, договоримся считать две матрицы равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают. Перейдем к определению основных операции над матрицами. Сложение матриц. Суммой двух матриц A = a ij , где (i = 1, 2, ., т, j=1, 2, ., ) и В = b ij , где (i = 1, 2, ., т, j=1, 2, ., ) одних и тех же порядков т и п называется матрица С = c ij (і =1,2, ., т; j = 1, 2, ., п) тех же порядков т и п, элементы сij которой определяются по формуле , где (i = 1, 2, ., т, j=1, 2, ., )(1.2) Для обозначения суммы двух матриц используется запись С = А В. Операция составления суммы матриц называется их сложением. Итак, по определению: = Из определения суммы матриц, а точнее из формул (1.2) непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения веществен-ных чисел, а именно: 1) переместительным свойством: А В = В А, 2) сочетательным свойством: (A B) С = А (В С). Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы A = a ij , где (i = 1, 2, ., m, j=1, 2, ., ) на вещественное число l, называется матрица С = c ij (і =1,2, ., m; j = 1, 2, ., ), элементы которой определяются по формуле: , где (i = 1, 2, ., т, j=1, 2, ., )(1.3
) Для обозначения произведения матрицыі на число используется запись С = l A или С = А l. Операция составления произведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число. Непосредственно из формулы (1.3) ясно, что умножение матрицы на число обладает следующими свойствами: 1) сочетательным свойством относительно числового множителя: ( l m ) A = l ( m A ); 2) распределительным свойством относительно суммы матриц: l (A B) = l A l B; 3) распределительным свойством относительно суммы чисел: (l m) A = l A m A Замечание. Разностью двух матриц А и В одинаковых порядков т и п естественно назвать такую матрицу С тех же порядков т и п, которая в сумме с матрицей B дает матрицу A. Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись: С = A — В. Очень легко убедиться в том, что разность С двух матриц А и В может быть получена по правилу С = A (–1) В. Произведение матриц или перемножение матриц. Произведением матрицы A = a ij , где (i = 1, 2, ., m, j = 1, 2, ., ) имеющей порядки, соответственно равные т и , на матрицу В = b ij , где (i = 1, 2, ., , j=1, 2, ., р), имеющую порядки, соответственно равные и р, называется матрица С = c ij (і =1,2, ., m; j = 1, 2, ., р), имеющая порядки, соответственно равные т и р элементы которой определя-ются по формуле: где (i = 1, 2, ., m, j = 1, 2, ., p)(1.4) Для обозначения произведения матрицыі А на матрицу В используют запись С = А Ч В. Операция составления произведения матрицы А на матрицу В называется перемножением этих матриц. Из сформулированного выше определения вытекает, что матрицу А можно умножить не на всякую матрицу В, необходимо, чтобы число столбцов матрицы А было равно числу строк матрицы В. Формула (1.4) представляет собой правило составления элементов матрицы С, являющейся произведением матрицы А на матрицу В. Это правило можно сформулировать и словесно: элемент ci j стоящий на пвресечении і-й строки и j-го столбца матрицьі С = А В, равен сумме попарных произведений соответствующих элементов і-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В. В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка. Ч = Из формулы (1.4) вытекают следующие свойства произведения матрицы А на матри-цу В: 1) сочетательное свойство: ( А В ) С = А ( В С ); 2) распределительное относительно суммы матриц свойство: ( A B ) С = А С В С или A ( В С ) = A В А С. Вопрос о перестановочном (переместительном) свойстве произведения матрицы A на матрицу В имеет смысл ставить лишь для квадратных матриц A и В одинакового порядка. Приведем важные частные случаи матриц, для которых справедливо и переста-новочное свойство. Две матрицы для произведения которых справедливо перестановочное свойство, принято називать коммутирующими. Среди квадратных матриц выделим класс так называемых диагональных матриц, у каждой из которых элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Каждая диа-гональная матрица порядка п имеет вид D = (1.5)где d1 , d2 , , d —какие угодно числа. Легко видеть, что если все эти числа равны между собой, т. е. d1 = d2 = = d то для любой квадратной матрицы А порядка п справедливо равенство А D = D А.
Среди всех диагональных матриц (1.5) с совпадающими элементами d1 = d2 = = d = = d особо важную роль играют две матрицы. Первая из этих матриц получается при d = 1, называется единичной матрицей -го порядка и обозначается символом Е. Вторая матрица получается при d = 0, называется нулевой матрицей -го порядка и обозначается символом O. Таким образом, E = O = В силу доказанного выше А Е = Е А и А О = О А. Более того, легко показать, что А Е = Е А = А, А О = О А = 0. (1.6)Первая из формул (1.6) характеризует особую роль единичной матрицы Е, аналогичную той роли, которую играет число 1 при перемножений вещественных чисел. Что же касается особой роли нулевой матрицы О, то ее выявляет не только вторая из формул (1.7), но и элементарно проверяемое равенство А 0 = 0 А = А. В заключение заметим, что понятие нулевой матрицы можно вводить и для неквадрат-ных матриц (нулевой называют любую матрицу, все элементы которой равныї нулю).Блочные матрицы Предположим, что некоторая матрица A = a ij при помощи горизонтальных и вертикальных прямых разбита на отдельные прямоугольные клетки, каждая из которых представляет собой матрицу меньших размеров и называется блоком исходной матрицы. В таком случае возникает возможность рассмотрения исходной матрицы А как некоторой новой (так называемой б л о ч н о й) матрицыі А = A ab , элементами которой служат указанные блоки. Указанные элементы мы обозначаем большой латинской буквой, чтобы подчеркнуть, что они являются, вообще говоря, матрицами, а не числами и (как обычные числовые элементы) снабжаем двумя индексами, первый из которых указывает номер «блочной» строки, а второй — номер «блочного» столбца. Например, матрицу можно рассматривать как блочную матрицу элементами которой служат следующие блоки: Замечательным является тот факт, что основные операции с блочными матрицами совершаются по тем же правилам, по которым они совершаются с обычными числовыми матрицами, только в роли элементов выступают блоки.Понятие определителя. Рассмотрим произвольную квадратную матрицу любого порядка п: A = (1.7)С каждой такой матрицей свяжем вполне определенную численную характеристику, называемую определителем, соответствующим этой матрице. Если порядок матрицы (1.7) равен единице, то эта матрица состоит из одного элемен-та аi j определителем первого порядка соответствующим такой матрице, мы назовем величину этого элемента. Если далее порядок п матрицы (1.7) равен двум, т. е. если эта матрица имеет вид A = (1.8) то определителем второго порядка, соответствующим такой матрице, назовем число, равное а11 а22 — а12 а21 и обозначаемое одним из символов: Итак, по определению (1.9) Формула (1.9) представляет собой правило составления определителя второго порядка по элементам соответствующей ему матрицы. Словесная формулировка этого правила такова: определитель второго порядка, соответствующий матрице (1.8), равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали этой матрицы, и произведения элементов, стоящих на побочной ее диагонали. Определители второго и более высоких порядков находят широкое применение при решении систем линейных уравнений.
Иерархические деревья. Древовидные диаграммы, являющиеся наглядным средством представления условия задачи. Отдельные категории данных составляют ветви дерева. Инкубация. Период, когда человек, занятый решением задачи, не работает активно над ней. По свидетельству некоторых людей именно в этот период взятого «тайм-аута» им в голову и приходило нужное решение. Инсайт. Внезапное решение задачи. Иногда это явление называют «Ага!»-эффектом. Исходное положение. Стартовая или исходная точка задачи. Задача считается решенной, когда человек, занятый ее решением, может отыскать пути от исходной позиции к цели. Личная аналогия. Стратегия решения задачи, предложенная Гордоном (Gordon, 1961), при которой вы представляете себя непосредственным участником явления, исследуемого вами. Матрица. Прямоугольный массив чисел, который используется как средство наглядного представления задачи, содержащей отдельные категории данных. Метод деления пополам. Стратегия решения задачи, полезная при отсутствии заранее обусловленного выбора одного из возможных путей решения задач, представляющих собой последовательную цепочку
1. Основные понятия алгебры множеств
2. Основные понятия в римском праве (шпаргалка)
3. Основные понятия. Типы цивилизаций
4. Число как основное понятие математики
5. Основные понятия, предмет и система дисциплины "Правоохранительные органы"
9. Следственный осмотр: основные понятия, задачи принципы и виды следственного осмотра
10. Основные понятия словообразования
11. Иммунитет. Основные понятия
12. Конфликт: основные понятия
13. Основные понятия брэндинга
14. Основные понятия и формулы
15. Семейная терапия по Хеллингеру: основные понятия
16. Психология. Основные понятия
Мощное чистящее средство для ванной комнаты и туалета с возможностью распыления "Mitsuei", 400. 
Матрас в овальную кроватку Bambola (125x75x8 см). 
Магнитная игра для путешествий "Умные утки", арт.SGT 270 RU. 17. Основные понятия в интернет-рекламе
18. Основные понятия социологии труда
19. Социальные институты. Основные понятия
20. Развитие общества. Основные понятия
21. Основные понятия и категории социально-национальной статистики
25. Основные понятия философии даосизма
26. Экология: основные понятия
27. Бухгалтерский учет (основные понятия)
28. Инвестиции. Основные понятия и определения
29. Основные понятия недвижимости
30. Основные понятия собственности, ее виды
31. Производственный травматизм и профессиональные заболевания: основные понятия и определения
32. Элементарное мышление, или рассудочная деятельность, животных: основные понятия и методы изучения
Пробковая доска в деревянной раме MDF, 40x30 см. 
Детская горка, розовая. 
Детский шампунь-гель для волос и тела Weleda "Апельсин", 150 мл. 33. Основные понятия алгоритмического языка
35. Основные понятия и сущность финансового менеджмента
36. Управление: основные понятия, система управления, ее признаки, принципы организации деятельности
37. Основные понятие и термины, применяемые в страховании
41. Основные понятия анатомии и физиологии человека
42. Основные понятия лесной фитоценологии и биогеоценологии
43. Основные понятия современного естествознания
45. Основные понятия бухгалтерского учета
46. Арбитражный процесс: основные понятия и документы
47. Основные понятия гражданского права РФ
48. Основные понятия европейского права
Шары Ньютона "Эврика", металл (арт. 98085). 
Пленка воздушно-пузырчатая 2-х слойная, плотность 75 г/кв.м. 
Копилка-сейф пластиковая большая, красная. 49. Основные понятия и функции государства и права
50. Основные понятия наследственного права
51. Основные понятия рецидивной преступности
52. Уголовный процесс и его основные понятия
53. Основные понятия культуры речи
57. Основные понятия компьютерной графики
59. Предмет, основные понятия и структура культурологии
60. Основные понятия управления качеством
62. Основные понятия математического анализа
63. Основные понятия и направления системных исследований
64. Основные понятия менеджмента
Плакат электронный "Говорящий Букваренок". 
Тубус - карта "План покорения МИРА", магнитная, на холодильник. 
Маркеры-кисти "Zendoodle. Edding 1340", 10 штук. 65. Предмет, задачи, сущность и основные понятия управленческой психологии
66. Основные понятия педагогики
67. Формирование понятия свойств арифметических действий у младших школьников
68. Основные понятия системного анализа
69. Основные понятия психологии
73. Основные понятия грузоведения
74. Основные понятия и законы теории цепей
75. Оздоровительный туризм: основные понятия, анализ организации на мировых и отечественных курортах
76. Сущность и основные понятия системного подхода
77. Основные понятия и этапы развития философии
78. Основные понятия философии
79. Оффшоры: основные понятия и преимущества
80. Основные понятия и образы квантовой механики
Глобус Земли "Двойная карта", рельефный, с подсветкой, 420 мм. 
Точилка механическая, металлический корпус. 
Сушилка для белья напольная складная, 181х54х95 см, серая. 81. Основы теории и основные понятия процесса хроматографического разделения
82. Основные понятия институциональной экономики
83. Основные понятия статистики
84. Основные понятия статистики
85. Основные понятия экономики
89. Биосфера и человечество. Основные проблемы охраны окружающей среды и пути их решения
90. Понятие метода и методики экономического анализа, задачи
91. Алгебра матриц. Системы линейных уравнений
92. Понятие, сущность и содержание основных прав, свобод и обязанностей граждан России
93. Правовое государство. Понятие и основные черты. Правовой статус товарной и фондовой биржи
94. Основные компоненты систем управления документооборотом. Фрейм: его структура и понятие
95. Контрольная работа по линейной алгебре
96. Понятие и основные методы исследовательской фотографии
Клей для ткани UHU Textil, 19 г. 
Набор подарочный для новорождённого "Моя малышка". 
Набор керамической посуды Disney "Холодное сердце. Эльза", 3 предмета (в подарочной упаковке). 97. Понятие и основные черты тоталитаризма
98. Социальное действие и социальное взаимодействие как базовые понятия в социологии
99. Основные проблемы и понятия философии досократиков
Совок №5. 
