|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Введение в теорию атома |
Ночник-проектор "Звездное небо, планеты", черный. 
Наклейки для поощрения "Смайлики 2". 
Мыло металлическое "Ликвидатор". . Краткие математические сведения о сферических системах. Ротатор. Уравнение Шрёдингера для одноэлектронного атома (атом водорода и водородоподобные ионы). 8.1. Краткое содержание. Шаровые координаты (r, J, j). Элемент объёма. Лапласиан в шаровых координатах. Уравнение Лапласа в сферических переменных. Роль симметрии в выборе радиальной части общего решения. Угловая часть уравнения Лапласа - уравнение Лежандра. Оператор момента импульса, его квадрат в шаровых переменных и его связь с уравнением Лежандра. Ротатор. Квантование модуля момента импульса ротатора. Операторные уравнения для момента импульса и их связь с уравнением Лежандра. Уравнение Шрёдингера для электрона в атоме водорода. Разделение переменных. Радиальная и угловая части уравнения Шрёдингера и вид общего решения. Квантование модуля и проекций момента импульса электронного вращения вокруг ядра. Квантование энергии и энергетические уровни. Пределы изменения квантовых чисел. Боровский радиус и его вероятностный смысл. Одноэлектронный гамильтониан в шаровых координатах и уравнение Шрёдингера для атома водорода (или водородоподобного иона). Разделение переменных. Атомные орбитали, их радиальные и угловые компоненты: . Квантовые числа ( ,l,m), их взаимосвязь, пределы изменения и физический смысл. Квантование энергии, модуля и проекций момента импульса электрона на атомных орбиталях. Полярные диаграммы угловых компонент АО. Раздел в значительной степени предназначен для начинающего читателя и одна из его целей – упражнения в элементарной алгебре линейных операторов. 8.2. Предварительная общая информация. Сферические переменные. Уравнение Лапласа. Атом водорода. Уравнение Шрёдингера. Разделение переменных (иллюстрации и основные формулы) Радиальная переменная r, азимутальная переменная (угол широты) J, переменная широты (угол широты) j . Квантовые числа. Шаровые координаты: Радиальная переменная r Угол широты J Угол долготы Декартовы координаты: Интервалы изменения шаровых переменных: 0&l ;r&l ;Ґ; 0&l ;J &l ;; 0&l ;j &l ;2 Интервалы изменения переменных дают возможность выявить вид полярных диаграмм угловых функций - решений операторных уравнений. Элемент объёма в шаровых переменных (см. рис.): 8.3 Лапласиан. Важное свойство лапласиана состоит в его симметрия ко взаимным перестановкам декартовых координат. Из этого свойства вытекают и приёмы решения наиболее распространённых дифференциальных уравнений в частных производных с его участием. .(8.2) Простейшее дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, в котором лапласиан играет основную роль - уравнение Лапласа. В шаровых координатах лапласиан оказывается составленным из трёх независимых компонент-операторов, каждый из которых преобразует лишь одну из трёх независимых пространственных переменных. Симметрией конкретной системы предопределяется выбор координат, в которых следует выразить лапласиан, ею определяется вид решений дифференциальных уравнений, в которых уравнение Лапласа оказывается в роли однородной части. Таковы две задачи о сферически симметричных движениях.
Первая из них о свободном вращении без потенциальной энергии. Вторая о вращении в поле центральной силы. Основная квантово-механическая модель, применяемая для исследования сферического вращения как с потенциальной энергией, так и без неё, называется РОТАТОР. Первая задача о стационарном вращении частиц с линейно распределённой массой относительно центра масс. Таковы все двухатомные молекулы, а также некоторые трёхатомные молекулы, такие как CO2, CS2. Эта задача более проста, и в ней вращение частицы свободное, т.е. совершается без потенциальной энергии (Uro =0), и единственный вклад в энергетические уровни даёт лишь кинетическая энергия вращения. В классической механике энергию такого движения можно было бы отождествить с энергией чисто тангенциального (касательного) перемещения частицы по сфере. Вторая задача о стационарном движении с потенциальной энергией в поле центральной силы. В классическом рассмотрении наряду с тангенциальной, чисто вращательной, появилась бы и радиальная компонента энергии. В атомах существенную роль играет лишь электростатическое взаимодействие, подчиняющееся закону Кулона. Силы гравитации по сравнению с ним неизмеримо мала. Для одного электрона в поле ядра с порядковым номером Z в Периодической Системе Менделеева потенциальная энергия притяжения в системе СГС равна U(r) = - ZЧe2/r. 8.4. Одноэлектронные атомы. Одноэлектронными сферически симметричными системами являются атом водорода, водородоподобные ионы (ионы, ядра которых имеют порядковые номера Z, в поле которых находится всего 1 электрон. Такие ионы образуются при Z-1 ступенчатой ионизации), а также атом позитрония, который образуется перед аннигиляцией электрон - позитронной пары в виде стационарной системы перед тем, как они аннигилируют, излучая два гамма-кванта. 8.5. Перевод лапласиана в шаровые координаты можно осуществить, следуя различным схемам. В сферических координатах лапласиан выглядит на первый взгляд довольно внушительно, но при ближайшем рассмотрении оказывается конструкцией, достаточно простой. Несложные, но довольно длительные преобразования приводят к следующему выражению: .(8.3) 8.6. Компоненты лапласиана. Для сокращения выделим в лапласиане два слагаемых - радиальное и угловое: (8.4) Угловой оператор называется оператором Лежандра. Лапласиан приобретает сжатый вид: (8.5) 8.7. Угловой оператор (оператор Лежандра) в свою очередь разделяется далее на два независимых оператора. Один действует на переменную долготы J, второй - на переменную широты j, и получается: .(8.6) Операторное уравнение для оператора Лежандра встречается в нескольких очень важных фундаментальных ситуациях. Это задачи: 1) о квантовых состояниях и энергетических уровнях ротатора - линейной молекулы, свободно вращающейся вокруг центра массы. 2) об электронном строении атома H и водородоподобных ионов. Уравнение Лапласа для сферической системы: Уравнением Лапласа называется дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка вида . В сферических переменных оно имеет вид .(8.7) .(8.8) Решения находятся по методу Фурье: для разделения переменных искомое решение представляется в виде произведения радиальной и угловой компонент функций.
8.9. Разделение переменных. Общее правило: Если в дифференциальном уравнении в частных производных можно выделить оператор, включающий несколько переменных, и привести его к аддитивной форме, придавая ему вид суммы слагаемых, определённых лишь для отдельных переменных, то исходное дифференциальное уравнение распадается на систему дифференциальных уравнений. Каждое из них и их решения определены лишь на переменных соответствующего оператора-слагаемого. Частные решения исходного дифференциального уравнения выбираются в мультипликативном виде, как произведения функций – решений отдельных уравнений системы. Этот результат сформулируем в виде краткого правила: «Оператор аддитивен-Решения мультипликативны». Этот подход встречается всюду в теории многоэлектронных систем – атомов и молекул. 8.10. Радиальная часть общего решения сферического уравнения Лапласа выбрана в виде степенной функции от радиальной переменной с показателем степени l принимающим одно из целочисленных неотрицательных значений. В этом случае соблюдается симметрия общего решения по отношению к взаимным перестановкам декартовых координат, и делается возможно построение регулярных решений (функций класса Q), которые обладают известными свойствами конечности, однозначности и непрерывности, а также могут быть и пронормированы. . (8.9) Угловые сомножители общего решения Y(J,j) называются сферическими гармониками (шаровыми функциями). Запишем уравнение Лапласа, и рассмотрим процедуру разделения переменных: .(8.10) Учитывая, что каждый из операторов активен лишь к своим переменным, получаем: .(8.11) Для разделения переменных следует слева умножить каждое из слагаемых в уравнении на функцию, обратную искомому общему решению. Эта функция равна : 8.11. Получаем равенство, обе части которого содержат независимые переменные и поэтому их обе следует приравнять постоянной величине, т.е.: .(8.12) Постоянная легко определяется из радиальной части. Угловая часть уравнения Лапласа представляет собой дифференциальное уравнение Лежандра. Это второе из двух уравнений системы вида . (8.13) 8.12. Уравнение Лежандра Это операторное уравнение на собственные функции и собственные значения. В квантовой механике таковы все уравнения для динамических переменных. Дифференциальное уравнение Лежандра с точностью до постоянного множителя совпадает с операторным уравнением на собственные значения оператора квадрата момента импульса. Напомним, что оператор момента импульса равен Возводя его в квадрат и вынося влево постоянный множитель, получаем: Заменяя декартовы координаты шаровыми и производя всю последовательность действий, находим, что слева получается оператор Лежандра: .(8.14) На этом основании решения уравнения Лежандра являются также и решениями операторного уравнения на собственные значения квадрата момента импульса. Так получается строгая формула квантования модуля и проекции момента импульса. 8.13. Квадрат модуля момента импульса определяется собственными значениями оператора Лежандра. Для сравнения представим оба выражения: . (8.15) Допустимые значения модуля момента импульса свободно вращающейся вокруг центра масс квантовой системы (ротатора) следуют из операторного уравнения (8.1
Физик Фридрих Гунт писал: "Бор в течение трех недель по понедельникам, вторникам и средам во время семинаров (а чаще значительно дольше) делал доклады по квантовой теории атома и периодической системе элементов. Говорил Бор невнятно, а мы как младшие не могли сидеть на передних скамьях среди именитых гостей, так что мы напряженно вслушивались, раскрыв рты и забывая об ужине и о требованиях наших голодных желудков. Мы, конечно, кое-что читали у Зоммерфельда о строении атома и спектральных линиях, в 1920 году и Дебай прочитал нам (в довольно прохладной неотапливаемой аудитории) лекцию о квантовой теории; но то, о чем говорил Бор, звучало совершенно по-иному, и мы чувствовали, что это было что-то очень существенное. Сегодня уже не передашь, каким ореолом было окружено это мероприятие; для нас оно было таким же выдающимся событием, как и Гёттингенские фестивали Генделя, проводившиеся в те годы". Нильс Бор обладал необычайной способностью генерировать научные идеи и оказался настолько умелым руководителем коллектива исследователей, что благодаря ему Копенгаген стал "столицей атомной физики" и Меккой для исследователей атома из всех стран
2. Ведение в курс "Основы экономической теории" (Введення в курс "Основи економiчної теорiї)
4. Введение в экономическую теорию
5. Введение в теорию диссонанса
9. Введение в популяционную и медицинскую генетику
10. Происхождение человека. Эволюция человека. Теории и гипотезы
11. Теории зарождения жизни на Земле
12. Теория Дарвина
13. Антропогенез: эволюционная теория происхождения человека
14. Введение в теплоэнергетику Дальнего Востока
15. Налоги: типы, эволюция. Теория налогообложения
16. Иск в гражданском процессе: теория и практика
Магнитная игра для путешествий "Волшебный лес". 
Папка для тетрадей "Кошечка", А4. 
Гибкий трек "Большое путешествие", 317 деталей. 17. Теория этногенеза Л.Н.Гумилева
18. Противоречивость "норманнской теории" происхождения государства у славян
19. Норманнская теория происхождения русской государственности ее апологеты и критики
21. Лекции (часть) по теории государства и права
25. Теория государства и права
26. Теория государства и права (Шпаргалка)
27. Теория Государства и Права как юридическая наука
29. Шпаргалка по теории государства и права
30. Теория государства и права. Правовой статус личности
31. Ответы к экзаменационным билетам по Теории государства и права
32. Происхождение права, теории происхождения права, понятие признаки, виды, функции, принципы
Набор "Водный Мир" №3. 
Пеленки одноразовые впитывающие TerezaMed "Normal" (60х90 см, 30 штук). 
Спрей для очистки маркерных досок, 250 мл. 33. Теория государства и права (в таблицах)
34. Теория государства и права
35. Теория государства иправа. Проблемно-тематический курс
36. Введение новых правил в орфографии в немецком языке
37. Теория и методика преподавания классического танца
41. Шпоры по Поэтике или теории литературы
42. Теория и методика русского языка (экзаменационные билеты)
43. Норманнская теория происхождения государства у славян и ее роль в российской истории
44. Краткий конспект лекций по Теории тестирования аппаратных и программных средств
45. Теория системного управления
46. Постановка лабораторной работы по теории графов
47. Теория многозадачности и многопоточности
48. Лекции по теории проектирования баз данных (БД)
Набор детской складной мебели Ника "Азбука" (КУ2). 
Магнитный лабиринт "Совенок". 
Органайзер для планшета (2 кармана), 40х35 см. 50. ПТЦА - Прикладная теория цифровых автоматов
51. Лабораторная работа №5 по "Основам теории систем" (Транспортные задачи линейного программирования)
53. Лабораторная работа №6 по "Основам теории систем" (Решение задачи о ранце методом ветвей и границ)
57. Теория вероятностей и случайных процессов
58. Основы теории систем и системный анализ
59. Теория вероятностей и математическая статистика
61. Теория графов. Задача коммивояжера
62. Шпоры по теории вероятности
63. Теория неявных функций и ее приложения
Ручка-стилус шариковая "Самая лучшая!". 
Клей ПВА, 500 грамм. 
Мультиплеер "Мамонтенок". 66. Лекции по теории преступности
67. Проблема существования человечества в свете теории Вернадского о ноосфере
68. Современные теории получения экологически чистой энергии
69. Развитие теории урока в советской дидактике периода середины 50-х - середины 60-х годов
73. Теория политики в работе Шапиро
74. Теории происхождения государства
75. Изучение теории и технологии выплавки шарикоподшипниковой стали марки ШХ4
76. Электромагнитная теория света
77. Теория Э.Фрома - опыт анализа и применения при наблюдении бытия
78. Психологические подходы к изучению теории личности и межличностных отношений
79. Психологические подходы к изучению теории личности и межличностных отношений
Таблетки для мытья посуды в посудомоечной машине "Все в одной таблетке", без фосфатов, 30 таблеток. 
Муфты-варежки для коляски Bambola (шерстяной мех + плащевка лайт), темно-синие. 
Фоторамка "Poster lux black". 81. Поварнин С.: О теории и практике спора
82. Основы гендерной теории и методологии
83. Возможность интеграции теорий на примере РЭПТ
84. Альберт Бандура: социально-когнитивная теория личности
85. А.А. Ивин "Теория аргументации"
91. Теории электрической связи: Расчет приемника, оптимальная фильтрация, эффективное кодирование
92. 6 задач по теории электрических цепей
93. Иудаизм - теория и практика расизма
94. Времяоника. Теория, которой суждено изменить жизнь человечества
95. Теория лидерства
Планшетик "Всё обо всём". 
Дополнительный набор "Магнитные истории. Времена года". 
Пенал для художника на кнопках, 20x10 см, бежевый. 97. Т.Парсонс: Аналитический реализм и понимание задач социологической теории (Доклад)
98. Введение в специальность по дисциплине: менеджмент в социальной сфере (шпаргалка)
99. Теория и практика применения метода интервью в социологии
