Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный

Крючки с поводками Mikado SSH Fudo "SB Chinu", №4BN, поводок 0,22 мм.
Качественные Японские крючки с лопаткой. Крючки с поводками – готовы к ловле. Высшего качества, исключительно острые японские крючки,
58 руб
Раздел: Размер от №1 до №10
Браслет светоотражающий, самофиксирующийся, желтый.
Изготовлены из влагостойкого и грязестойкого материала, сохраняющего свои свойства в любых погодных условиях. Легкость крепления позволяет
66 руб
Раздел: Прочее
Ночник-проектор "Звездное небо и планеты", фиолетовый.
Оригинальный светильник - ночник - проектор. Корпус поворачивается от руки. Источник света: 1) Лампочка (от карманных фонариков) 2) Три
330 руб
Раздел: Ночники

Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный Кравченко Арсений Борисович, ученик 9”Д” класса, Ермолицкий Алексей Александрович, ученик 9”Д” класса Технологическая гимназия №13 г. Минска Минск 2004 Общая теоретическая часть Пусть X и Y - два произвольных численных множества. Элементы этих множеств будем обозначать х и у соответственно и будем называть переменными. Определение. Числовой функцией, определенной на множестве Х и принимающей значения во множестве Y, называется соответствие (правило, закон), которое каждому х из множества Х сопоставляет одно и только одно значение у из множества Y. Переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у – зависимой переменной. Говорят также, что переменная у является функцией от переменной х. Значения зависимой переменной называют значениями функции. Введенное понятие числовой функции является частным случаем общего понятия функции как соответствия между элементами двух или более произвольных множеств. Пусть Х и Y – два произвольных множества. Определение. Функцией, определенной на множестве Х и принимающей значения во множестве Y, называется соответствие, соотносящее с каждым элементом множества Х один и только один элемент из множества Y. Определение. Задать функцию – это значит указать область ее определения и соответствие (правило), при помощи которого по данному значению независимой переменной находятся соответствующие ему значения функции. С понятием функции связаны два способа решения уравнений: графический и функциональный. Частным случаем функционального метода является метод функциональной, или универсальной подстановки. Определение. Решить данное уравнение – значит найти множество всех его корней (решений). Множество корней (решений) может быть пустым, конечным или бесконечным. В следующих главах теоретического раздела мы разберем вышеописанные способы решения уравнений, а в разделе «Практикум» покажем их применение в различных ситуациях. Графический метод. На практике для построения графика некоторых функций составляют таблицу значений функции для некоторых значений аргумента, затем наносят соответствующие точки на координатную плоскость и последовательно соединяют их линией. При этом предполагается, что точки достаточно точно показывают ход изменения функции. Определение. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек {x, f(x) x D (f)} координатной плоскости. Заметим, что так как функция f сопоставляет каждому x  D(f) одно число f(x), то график функции f пересекается любой прямой, параллельной оси ординат, не более, чем в одной точке. И наоборот: всякое непустое множество точек плоскости, имеющее со всякой прямой, параллельной оси ординат, не более одной общей точки, является графиком некоторой функции. Не всякое множество точек координатной плоскости является графиком какой-либо функции. Например, множество точек окружности не может быть графиком функции, поскольку значению абсциссы внутри окружности, соответствует два значения ординаты. В общем случае уравнение с одной переменой х можно записать в виде f(x)=g(x),  где f(x) и g(x) – некоторые функции.

Функция f(x) является левой частью, а g(x) – правой частью уравнения. Тогда для решения уравнения необходимо построить в одной системе координат графики функций f(x) и g(x). Абсциссы точек пересечения будут являться решениями данного уравнения. Заметим, что так как функция f сопоставляет каждому x  D(f) одно число f(x), то график функции f пересекается любой прямой, параллельной оси ординат, не более, чем в одной точке. И наоборот: всякое непустое множество точек плоскости, имеющее со всякой прямой, параллельной оси ординат, не более одной общей точки, является графиком некоторой функции. Данный метод может использоваться не только для одиночных уравнений, но и для их систем, а также неравенств. В случае с системами необходимо находить не только абсциссы, но и ординаты (если графики функций f(x) и g(x) пересекаются в точке А (х1, у1), то решением системы будет х=х1, у=у1). При решении неравенств ответом будет совокупность абсцисс, при которых график функции f(x) находится выше или ниже (в зависимости от условия) графика функции g(x). Функциональный метод Не всякое уравнение вида f(x)=g(x) в результате преобразований может быть приведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого подходят обычные методы решения. В таких случаях имеет смысл использовать такие свойства функций f(x) и g(x) как монотонность, ограниченность, четность, периодичность и др. Так, если одна из функций возрастает, а другая убывает на определенном промежутке, то уравнение f(x) = g(x) не может иметь более одного корня, который, в принципе, можно найти подбором. Далее, если функция f(x) ограничена сверху, а функция g(x) – снизу так, что f(x)мах=А g(x)мi =A, то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнений Также при использовании функционального метода рационально использовать некоторые теоремы, приведенные ниже. Для их доказательства и использования необходимы следующие уравнения общего вида:  f(x)=x    (1)    (2) Теорема 1. Корни уравнения (1) являются корнями уравнения (2). Теорема 2. Если f(x) – возрастающая функция на интервале a&l ;f(x)&l ;b, то на данном интервале уравнения (1) и (2) равносильны. Если f(x) – убывающая функция на интервале a&l ;f(x)&l ;b, - нечетное, то на данном интервале уравнения (1) и (2) равносильны. Из последней теоремы вытекают следствие, также используемое в решениях: Следствие 1. Если f(x) возрастает на всей своей области определения, то на данном интервале уравнения (1) и (2) равносильны. Если f(x) убывает на всей своей области определения, - нечетное, то на данном интервале уравнения (1) и (2) равносильны. Теорема 3. Если в уравнении f(x)=g(x) при любом допустимом х выполнются условия f(x)≥a, g(x)≤a, где а – некоторое действительное число, то дано уравнение равносильно системе Следствие 2. Если в уравнении f(x) g(x)=a b при любом допустимом х f(x)≤a, g(x)≤b, то данное уравнение равносильно системе Функциональный метод решения уравнений часто используется в комбинации с графическим, так как оба эти метода основаны на одних свойствах функций. Иногда комбинацию этих методов называют графоаналитическим методом.

Метод функциональной подстановки Частным случаем функционального метода является метод функциональной подстановки – самый, пожалуй, распространенный метод решения сложных задач математики. Суть метода состоит в введении новой переменной y=ƒ(x), применение которой приводит к более простому выражению. Отдельным случаем функциональной подстановки является тригонометрическая подстановка. Тригонометрическое уравнение вида R(si kx, cos x, gmx, c glx) = 0          (3) где R – рациональная функция, k, ,m,lÎZ, с помощью тригонометрических формул двойного и тройного аргумента, а также формул сложения можно свести к рациональному уравнению уравнению относительно аргументов si x, cosx, gx, c gx, после чего уравнение (3) может быть сведено к рациональному уравнению относительно = g(x/2) c помощью формул универсальной тригонометрической подстановки                     2 g(x/2)               1- g²(x/2)                si x=                cosx=                     1 g²(x/2)              1 g²(x/2) (4)                    2 g(x/2)                 1- g²(x/2)                gx=                 c gx=                    1- g²(x/2)                2 g(x/2) Следует отметить, что применение формул (4) может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку g(x/2) не определен в точках x=π 2πk, kÎZ, поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы x=π 2πk, kÎZ корнями исходного уравнения. Практикум si x √2-si ²x si x√2-si ²x = 3 Данное уравнение рационально решать методом функциональной подстановки. Пусть u = si x и v = √2-si ²x . Так как –1≤u≤1 и v≥1, то u v≥0.              Кроме того, имеем u² v² =2. В таком случае из уравнения получаем систему уравнений u v uv = 3 u² v² =2 Пусть теперь r = u v и s=uv, тогда из системы уравнений следует r s = 3 r² - 2s = 2 Отсюда с учетом того, что r≥0, получаем r = 2 и s = 1. Следовательно, имеет место u v = 2 uv = 1 u = v = 1 Поскольку, u = si x и u = 1, то si x = 1 и x = π/2 2πk, kÎZ Ответ: x = π/2 2πk, kÎZ cos=x2 1 Данное уравнение рационально решать функциональным методом. x2 1≥1   => cos=1                        x=0 Ответ: х=0 5si x-5 gx            4(1-cosx)=0  si x gx Данное уравнении рационально решать методом фунциональной подстановки. Так как gx не определен при x = π/2 πk, kÎZ, а si x gx=0 при x = πk, kÎZ, то углы x = πk/2, kÎZ не входят в ОДЗ уравнения. Используем формулы тангенса половинного угла и обозначим = g(x/2), при этом по условию задачи ≠0;±1, тогда получим     2          2 5         -                 1 ²       1- ²           1- ²                     4  1-       =0    2          2             1 ²                      1 ²       1- ² Так как ≠0;±1, то данное уравнение равносильно уравнению       8 ² -5 ²       = 0 &oacu e;-5-5 ² 8 = 0      1 ² откуда = ±√3/5,. Следовательно, x = ±2arc g√3/5 2πk, kÎZ Ответ: x = ±2arc g√3/5 2πk, kÎZ Данное уравнение рационально решать методом функциональной подстановки.

Существует полная аналогия между ролью конечных разностей в теории функций дискретного аргумента и ролью производных в теории функций непрерывного аргумента; конечные разности являются удобным аппаратом при построении ряда разделов численного анализа: интерполирование функций, численное дифференцирование и интегрирование, численные методы решения дифференциальных уравнений.   Например, для приближённого решения дифференциального уравнения (обыкновенного или с частными производными) часто заменяют входящие в него производные соответствующими разностями, деленными на степени разностей аргументов, и решают полученное таким способом разностное уравнение (одномерное или многомерное).   Важный раздел К. р. и. посвящен решению разностных уравнений вида F [x,(f (x),..., Dn f (x)] = 0           (1) задаче, во многом сходной с решением дифференциальных уравнений n- го порядка. Обычно уравнение (1) записывают в виде Ф [х, f (x), f (x1 ),..., f (xn ) ] = 0, выражая разности через соответствующие значения функции. Особенно простой случай представляет линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами: f (x+n) + a1 f (x+n-1) +... + an f (x) = 0, где a1 ,..., an — постоянные числа

1. Построение решения задачи Гурса для телеграфного уравнения методом Римана

2. Метод замены неизвестного при решении алгебраических уравнений

3. Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций

4. Выбор методов и моделей принятия решений в управлении инвестиционным процессом на региональном уровне

5. Методы экономического обоснования принимаемых решений по выходу на внешний рынок

6. Методы и модели принятия решений
7. План урока алгебры. Тема: Значения тригонометрических функций. Решение простейших тригонометрических уравнений.
8. Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток

9. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и Зейделя

10. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА

11. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера

12. Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени

13. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге - Кутты 4 порядка

14. Построение приближенного решения нелинейного уравнения методом Ван-дер-Поля

15. Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных

16. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток

Рюкзак для школы и офиса "SpeedWay 2", 46x32x19 см, серо-оранжевый.
Рюкзак для школы и офиса с отделением для ноутбука с диагональю до 15,6”. 3 больших отделения. 1 передний карман для мелких предметов. 2
1092 руб
Раздел: Без наполнения
Фломастеры утолщенные "Jumbo", 36 цветов.
Фломастеры, вентилируемый колпачок, утолщенный трехгранный корпус. В наборе: 36 цветов.
829 руб
Раздел: Более 24 цветов
Ящик с ключевым замком, синий.
Размер (ВхШхГ) - 90х240х300 мм. Надежный корпус с удобной ручкой. Съемный лоток из ударопрочного пластика с 9 отделениями. Изготовлен из
1424 руб
Раздел: Прочее

17. Метод решения уравнений Ньютона - Рафсона

18. Методы решения уравнений в странах древнего мира

19. Приближённые методы решения алгебраического уравнения

20. Решение систем линейных дифференциальных уравнений пятиточечным методом Адамса – Башфорта

21. Итерационные методы решения нелинейных уравнений

22. Разработка программного обеспечения для решения уравнений с одной переменной методом Ньютона (касательных)
23. Решение систем линейных алгебраических уравнений (прямые методы)
24. Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена

25. Численное решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

26. Численные методы решения систем линейных уравнений

27. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

28. Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений

29. Методы решения алгебраических уравнений

30. Поиски более рационального способа решения систем линейных уравнений с двумя переменными - методом подстановки

31. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений

32. Методы оптимизации при решении уравнений

Корзина "Плетенка" с крышкой, (350x290x175) (бежевый).
Материал: пластик. Ширина: 29 см. Длина: 35 см. Высота: 17,5 см. Цвет: бежевый.
303 руб
Раздел: Корзины для стеллажей
Сковорода-гриль чугунная, со съемной деревянной ручкой, 25x25х4 см (квадратная).
Размеры: 25х25х4 см. Размер рабочей поверхности: 23х23х2 см. Чугунная литая сковорода-гриль со съемной ненагревающейся деревянной ручкой,
620 руб
Раздел: Сковороды гриль
Мотоцикл-каталка 2-х колесный, полицейский.
Мотоцикл каталка обязательно станет любимой игрушкой Вашего малыша. Большое удовольствие доставляет ребенку самостоятельно оттолкнувшись
1700 руб
Раздел: Каталки

33. Решение транспортной задачи методом потенциалов

34. Билеты, решения и методичка по Информатике (2.0)

35. Система поддержки принятия маркетинговых решений в торговом предприятии на основе методов Data Mining

36. Лабораторная работа №2 по "Основам теории систем" (Решение задач линейного программирования симплекс-методом. Варианты разрешимости задач линейного программирования)

37. Решение задач - методы спуска

38. Решение уравнений, систем уравнений, неравенств графически
39. Решение уравнений в целых числах
40. Методы и приемы решения задач

41. Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модуль

42. Решение транспортной задачи методом потенциалов

43. Метод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов

44. Решение задач на построение сечений в многогранниках методом следов

45. Система поддержки принятия маркетинговых решений в торговом предприятии на основе методов Data Mining

46. Методология и методы принятия решения

47. Сущность и методы принятия управленческих решений

48. Современные методы решения экологических проблем на предприятии (на примере ООО "Волготрансгаз" - дочерней структуры ОАО "ГАЗПРОМ")

Ванная комната "Конфетти".
Набор мебели для кукольной комнаты подойдет для кукол размером до 30 см. Комплектность: коврик большой, коврик, флакон - 2 штуки, пробка к
878 руб
Раздел: Ванные комнаты
Антипригарный коврик, многоразовый, 33x40 см.
Антипригарный коврик используется для выпечки кондитерских и хлебобулочных изделий, приготовления пиццы, запекания мяса и рыбы без
311 руб
Раздел: Коврики силиконовые для выпечки
Штора для ванной "Рыжий кот", арт. SC-РЕ09.
Штора для ванной Рыжий кот SC-РЕ09 изготовлена из 100% полиэстера с тефлоновой пропиткой. Материал ценится за свою устойчивость ко
364 руб
Раздел: Занавески

49. Методология и методы принятия решения

50. Совершенствование методов проектирования кораблей и обоснование проектных решений

51. Применение графиков в решении уравнений

52. Виды тригонометрических уравнений

53. Методы решения некорректно поставленных задач

54. Решение задач линейной оптимизации симплекс – методом
55. Способы решения систем линейных уравнений
56. Численное решение модельного уравнения диссипации, конвекции и кинетики

57. Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

58. Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств

59. Математические модели и методы обоснования управленческих решений и сферы их применения в практике управления

60. Модели и методы принятия решения

61. Волновое уравнение не имеет единственного решения

62. Обучение общим методам решения задач

63. Кинезиология как Метод решения психологических проблем

64. Решение задачи методами линейного, целочисленного, нелинейного и динамического программирования.

Набор самоклеящихся листов пористой резины, А4, 10 цветов, толщина 2 мм (10 листов).
Самоклеящаяся пористая резина для творчества. Плотные листы, насыщенные цвета. Прочный клейкий слой. Легко принимает форму. Предназначена
323 руб
Раздел: Прочее
Набор доктора в чемодане.
В наборе: шприц, шапочка из картона, очки, грелка, коробочка "Витамины", бейдж, градусник, лупа, 2 пинцета, ножницы - 2 штуки,
310 руб
Раздел: Наборы доктора
Глобус физический, 210 мм.
На карту глобуса нанесены страны, границы, города, континенты, моря, океаны, глубины и другая полезная информация. Подставка глобуса
346 руб
Раздел: Глобусы

65. Методы анализа управленческих решений

66. Применение новейших экономико-математических методов для решения задач

67. Методы решения задач

68. Решение системы нелинейных уравнений

69. Методы поиска технических решений

70. Применение графиков в решении уравнений
71. Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром
72. Модели и методы решения проблемы выбора в условиях неопределенности

73. Классификация методов разработки и принятия управленческих решений

74. Автоматизация решения систем линейных алгебраических уравнений

75. Модели и методы принятия решения

76. Принятие решений методом анализа иерархий

77. Разработка программы решения системы линейных уравнений

78. Решение задач линейного программирования симплекс методом

79. Решение задачи линейного программирования графическим методом

80. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Подушка "Волк Забивака", 30x33 см.
Этот обаятельный, улыбчивый символ Чемпионата мира по футболу ещё и сувенир в память о событии мирового масштаба на всю жизнь! Уже
471 руб
Раздел: Брелоки, магниты, сувениры
Таблетки для посудомоечных машин BIOMIO "BIO-TOTAL" с эфирным маслом эвкалипта, 30 штук.
Экологичные таблетки для посудомоечной машины 7-в-1 "BioMio" эффективно и деликатно, с заботой о посуде, удаляют самые стойкие
502 руб
Раздел: Для посудомоечных машин
Набор контейнеров для хранения грудного молока и детского питания "Happy Baby", 6 штук.
Специальные контейнеры для хранения молока и питания позволяют сохранять ценные питательные элементы сцеженного грудного молока, в том
350 руб
Раздел: Молокоотсосы, аксессуары

81. Решение прикладных задач численными методами

82. Решение уравнений средствами Excel

83. Симплекс метод решения задачи линейного программирования

84. ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения системы алгебраических уравнений

85. Графический метод решения задач линейного программирования

86. Методы принятия решений в маркетинге
87. Аналитические свойства решений системы двух дифференциальных уравнений третьего порядка
88. Асимптотика решений дифференциальных уравнений

89. Действительные числа. Иррациональные и тригонометрический уравнения

90. Логические задачи и методы их решения

91. Решение алгебраического уравнения n-ой степени

92. Решение дифференциальных уравнений

93. Решение задачи линейного программирования симплексным методом

94. Решение линейной системы уравнений с тремя неизвестными

95. Решение одного нелинейного уравнения

96. Решение произвольных систем линейных уравнений

Полка на ванну.
Материал: полипропилен. Размер: 300x70x680 мм. Максимальная нагрузка: 80 кг. В ассортименте без возможности выбора.
469 руб
Раздел: Решетки, сиденья для ванны
Антимоскитная сетка "Лето" для дверного проема, 2.1x1.0 м.
Антимоскитная сетка предназначена для размещения на дверном проеме у Вас дома или на даче. Сетка выполнена в виде занавесок, оснащена
579 руб
Раздел: Сетки противомоскитные
Доска пробковая, с алюминиевой рамой, 60x45 см.
Доска выполнена из пробки высокого качества, имеет регулируемые элементы крепления, алюминиевая рамка соединяется пластиковыми уголками.
681 руб
Раздел: Демонстрационные рамки, планшеты, таблички

97. Решение систем дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка

98. Решение уравнений с параметрами

99. Формулы, возможно неизвестные, для решений уравнения Пифагора


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.