Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Идентификация параметров осциллирующих процессов в живой природе, моделируемых дифференциальными уравнениями

Ночник-проектор "Звездное небо, планеты", черный.
Оригинальный светильник-ночник-проектор. Корпус поворачивается от руки. Источник света: 1) Лампочка (от карманных фанариков); 2) Три
350 руб
Раздел: Ночники
Забавная пачка денег "100 долларов".
Купюры в пачке выглядят совсем как настоящие, к тому же и банковской лентой перехвачены... Но вглядитесь внимательней, и Вы увидите
60 руб
Раздел: Прочее
Совок большой.
Длина 21,5 см. Расцветка в ассортименте, без возможности выбора.
21 руб
Раздел: Совки

Санкт-Петербургский Государственный Университет Реферат Идентификация параметров осциллирующих процессов в живой природе, моделируемых дифференциальными уравнениями Выполнила студентка 312гр. Варламова А.А. Проверил Токин И.Б Санкт-Петербург 2007 Оглавление Идентификация параметров в системах описываемых ОДУ 1.1 Градиентные уравнения 1.2 Уравнения в вариациях 1.3 Функционалы метода наименьших квадратов 1.4 Численное решение градиентных уравнений 1.4.1 Полиномиальные системы 1.4.2 Метод рядов Тейлора 1.4.3 Метод Рунге-Кутта 2. Модели осциллирующих процессов в живой природе 2.1 Модель Лотки 2.1.1 Осциллирующие химические реакции 2.1.2 Осцилляция популяций в системе “хищник-жертва” 2.2 Другие модели 3. Идентификация параметров модели Лотки 3.1 Дифференциальные уравнения 3.2 Постановки задачи идентификации и функционалы МНК 3.3 Как ускорить вычисления 3.4 Численный эксперимент 4. О других методах идентификации Литература Идентификация параметров в системах, описываемых ОДУ Градиентные уравнения Градиентные уравнения возникают в связи с задачей нахождения экстремумов функций многих аргументов. Важно, что эти аргументы сами могут зависеть от решений каких-то уравнений - численных, дифференциальных и иных. Мы будем использовать их для минимизации функций аргументов, за-висящих от решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрим вещественнозначную функцию аргумента , и пусть и . Тогда величина (1) то есть производная функции по направлению характеризует скорость изменения при изменении в направлении вектора . Из формулы (1) получаем: (2) где - градиент функции , а это дает: (3) (4) (5) Таким образом, вектор является направлением наискорейшего рос-та функции в точке , а вектор - это направление наискорейшего ее убывания в этой точке. Градиентной кривой функции называют кривую , , касательное направление к которой в каждой точке противоположно направлению вектора градиента , то есть сов-падает с направлением наискорейшего убывания . Это означает, что удовлетворяет дифференциальному уравнению: (6) или в координатной форме: (7) К уравнениям (6) или (7) добавляем начальные условия: (8) или в координатной форме: (9) Решение задачи Коши (6),(8) (или (7),(9)) определяет градиентную кривую проходящую через точку . Будем рассматривать это решение как век-тор-функцию аргументов и . Зададимся теперь целью найти точку локального минимума неотрицательной функции , если она существует и достаточно близка к . Если за начальное приближение для взять , то движение вдоль градиентной кривой, проходящей через (то есть движение вдоль траектории решения ) можно считать идеальным путем к точке . Если решение задачи (6),(8) существует при , то при любом та-ком получаем, что: при (11) при (12) и мы вправе ожидать, что (13) Метод градиентных уравнений нахождения локального минимума функции заключается в численном интегрировании задачи Коши (6),(8) вдоль оси до достижения точки , достаточно близкой к . Уравнения в вариациях Рассмотрим задачу Коши: (14) (15) где - параметры. В дальнейшем мы рассмотрим функционалы, зависящие от параметров через решение задачи Коши (14),(15).

Тогда градиентные уравнения будут зависеть от производных по решения задачи (14),(15), и мы должны уметь их вычислять. Дифференцируя уравнения (14), (15) по получаем, что функции (16) удовлетворяют следующей задаче Коши: (17) (18) Уравнения (17) относительно производных (16) называют уравнениями в вариациях для уравнений (14). Функционалы метода наименьших квадратов Мы не можем рассмотреть здесь все многообразие функционалов метода наименьших квадратов и ограничимся одним достаточно общим функционалом. Он соответствует следующей задаче: модель некоторого процесса описывается задачей Коши (14),(15) (такие модели, в частности, достаточно распространены в биологической кинетике), даны измерения , (19) то есть даны приближений для значений величин в моменты времени , и требуется найти параметры на основе заданного начального приближения . В методе наименьших квадратов нахождения (идентификации) параметров рассматривают функционал (20) где - фиксированные весовые коэффициенты, а - значения первых компонент решения задачи (14),(15) в точке при заданных В методе наименьших квадратов полагают, что значение , доставляющее минимум этой функции , является адекватным приближением к реальному значению параметра для принятой модели процесса. Для того, чтобы воспользоваться методом градиентных уравнений, необходимо выписать уравнения (7) для функционала (20): (21) Эти градиентные уравнения надо дополнить начальными условиями: (22) Численное решение градиентных уравнений Обратимся к функционалу , , определенному в п.1.3. Пря-мой способ нахождения приближенного значения точки , определенной по формуле (17) (то есть точки предполагаемого минимума функционала ), – это численное интегрирование градиентных уравнений (21) при начальных условиях (22). Правые части уравнений (21) зависят от неизвестных через значения функций в точках при , , . При фиксированных значениях величины могут быть получены численным интегрированием уравнений (14),(17) при начальных условиях (15),(18). Таким образом, нам надо обсудить численные методы интегрирования за-дачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Наиболее рас-пространены пошаговые методы, которые позволяют для задачи Коши , (23) , (24) отправляясь от значения , последовательно получать приближенные значения решения в точках Числа называют шагами интегрирования, а числа , - узлами таблицы или сетки численного интегрирования. Совокупность узлов называют сет-кой, а величины называют значениями решения на узлах сетки. Если то говорят о равномерной сетке или об интегрировании с постоянным шагом. Численное интегрирование градиентных уравнений, как правило, требует частой смены величины шага интегрирования. Хорошо к быстрой смене шага приспособлены явные методы Рунге-Кутта и метод рядов Тейлора. Пошаговые методы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений хорошо освещены в литературе по численному анализу (см., например, ). 1.4.1Полиномиальные системы Полиномиальной системой мы будем называть автономную систему ОДУ , (25) где - алгебраические полиномы по . Какие системы ОДУ можно свести к полиномиальным и как это делается? Начнем с примера.

Рассмотрим задачу Коши: (26) (27) Вводя дополнительные переменные (28) получаем следующую квадратичную задачу Коши: (29) (30) Теперь рассмотрим достаточно общий случай. Рассмотрим класс сис-тем ОДУ (23), правые части которых можно представить в виде: (31) где все функции , а также все функции (32) являются алгебраическими полиномами по . Любая система из сводится к полиномиальной. Действительно, если в (23),(24) ввести дополнительные переменные то: (33) (34) где все правые части (35) - алгебраические полиномы по с постоянными коэффициентами. Уравнения кинетики, как правило, либо имеют вид (25), либо могут быть сведены к такой системе введением дополнительных переменных. Поэтому важно знать какие функции удовлетворяют полиномиальным системам, или, иначе говоря, насколько богаты содержанием модели, основанные на полиномиальных системах ОДУ. Обсудим этот вопрос. Будем говорить, что скалярная функция скалярного аргумента удовлетворяет полиномиальной системе, если она является одной из компонент решения такой системы. Класс скалярных функций, удовлетворяющих полиномиальной системе назовем . За исключением некоторых теоретико-числовых функций (гамма-функция Эйлера, дзета-функция Римана и т.п.) остальные функции из известных математических справочников принадлежат классу . Этот класс замкнут относительно операций (сложение, вычитание, умножение, деление, дифференцирование, интегрирование, супер-позиция). Это означает, что если функции принадлежат , то и любая их композиция, полученная при помощи конечного числа операций , также принадлежит . 1.4.2 Метод рядов Тейлора Введем в рассмотрение оператор , сопоставляющий решению задачи Коши (23), (24) его полином Тейлора , (36) порядка . Радиус сходимости ряда обозначим . Метод рядов Тейлора решения задачи Коши (23), (24) заключается в построении таблицы приближенных значений по формулам: , , (37) где - натуральные, , , а удовлетворяют неравенствам . Для программной реализации метода рядов Тейлора необходимы алгоритмы нахождения коэффициентов Тейлора и автоматического выбора величины шага интегрирования. Нахождение коэффициентов Тейлора Рассмотрим квадратичную задачу Коши , (38) , (39) где - вещественные или комплексные постоянные, а - вещественная или комплексная переменная. Подставляя в (38) разложение Тейлора , (40) получаем: (41) Приводя подобные члены и приравнивая все коэффициенты полученного степенного ряда нулю, получаем искомые формулы: ; , , , (42) где , . Аналогичные формулы легко вывести и для общего случая полиномиальной системы степени . Оценка погрешности и выбор шага Рассмотрим полиномиальную задачу Коши: , (43) , (44) где , , , а максимальная степень полиномов (степень системы (43)) равна . Введем обозначения: , , (45) и будем предполагать, что . Теорема. Решение задачи (43), (44) голоморфно в круге и удовлетворяет там неравенствам: , (46) где , , (47) Используя эту теорему несложно построить алгоритм автоматического выбора шага в методе рядов Тейлора по заданной пользователем границе абсолютной (или относительной) погрешности. 1.4.3 Метод Рунге-Кутта Этим методам посвящено много работ, и они хорошо изложены в много-численных учебниках (см.,

Отчетливо виден разрыв в десятом веке н.э. Сведения об авторах Носовский Глеб Владимирович 1958 года рождения, кандидат физико-математических наук (МГУ, 1988), специалист в области теории вероятностей, математической статистики, теории случайных процессов, теории оптимизации, стохастических дифференциальных уравнений, компьютерного моделирования стохастических процессов. Работал в институте Космических Исследований (Москва), в Московском станко-инструментальном институте, а также в Японии, в рамках научного сотрудничества между МГУ и университетом Айзу в области компьютерной геометрии. В настоящее время работает старшим научным сотрудником на механико-математическом факультете МГУ, в лаборатории «Компьютерные методы в естественных и гуманитарных науках». Фоменко Анатолий Тимофеевич 1945 года рождения, академик Российской Академии Наук (РАН), действительный член РАЕН (Российской Академии Естественных Наук), действительный член МАН ВШ (Международной Академии Наук Высшей Школы), доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета Московского государственного университета

1. Грибы - особое царство живой природы

2. Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов

3. Методы алгебраических и дифференциальных уравнений для анализа и качественного исследования социально-экономических явлений (По дисциплине: Математические методы моделирования процессов управления в социальной сфере)

4. Параметры «черных дыр» и природа «темной материи» в двоичной модели распределения плотности вещества

5. Гармония живой природы и проблема происхождения мира

6. Место человека в системе живой природы и происхождение человека
7. Информация – гениальное изобретение живой природы
8. Свойства времени и химические процессы в природе

9. Использование метода ветвей и границ при адаптации рабочей нагрузки к параметрам вычислительного процесса

10. Воспитание любви к живой природе на уроках литературного чтения, посвящённых творчеству Паустовского

11. Формирование динамических представлений об изменениях в живой природе у старших дошкольников

12. Идентификация параметра зазора при регулировании положения

13. Основные параметры технологических процессов

14. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера

15. Расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера

16. Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

Органайзер для зубных щеток "EasyStore", бело-голубой (большой).
Этот универсальный органайзер для большой семьи был создан с учётом всех особенностей хранения средств для поддержания гигиены полости
1450 руб
Раздел: Подставки, футляры для зубных щеток
Качели детские деревянные "Гномик".
Качели можно использовать как на улице, так и в помещении. Нейлоновые веревки крепятся с помощью удобных колец и с легкостью выдерживают
469 руб
Раздел: Качели, кресла-качалки, шезлонги
Стул детский Ника "СТУ3" складной, мягкий (рисунок: машинки).
Особенности: - стул складной; - предназначен для детей от 3 до 7 лет; - металлический каркас; - на ножках стула установлены пластмассовые
562 руб
Раздел: Стульчики

17. Устойчивость систем дифференциальных уравнений

18. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера

19. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге - Кутты 4 порядка

20. Дифференциальные уравнения

21. Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов

22. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА
23. Устойчивость систем дифференциальных уравнений
24. Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций

25. Дифференциальные уравнения неустановившегося движения воздуха по рудничным воздуховодам

26. Численный расчет дифференциальных уравнений

27. Механические колебания в дифференциальных уравнениях

28. Решение систем линейных дифференциальных уравнений пятиточечным методом Адамса – Башфорта

29. Методы и алгоритмы компьютерного решения дифференциальных уравнений

30. Разработка программы поиска решения системы дифференциальных уравнений двумя методами: Рунге-Кутта и Рунге-Кутта-Мерсона

31. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

32. ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения системы дифференциальных уравнений

Набор для проведения раскопок "Dino Excavation. Динозавры" (Стегозавр и Тираннозавр).
Набор "Стегозавр и Тираннозавр" из серии Dino Excavation создан специально для детей, интересующихся палеонтологией. В комплекте
355 руб
Раздел: Археологические опыты
Электронный звуковой плакат "Космос", артикул PL-13-SPACE.
Электронный звуковой плакат в увлекательной и доступной форме расскажет ребенку о космосе и космических объектах на русском и английском
794 руб
Раздел: Электронные и звуковые плакаты
Набор салатниц "Loraine", 10 предметов.
Форма: круглая. Материал: стекло, пластик. Цвет салатниц: прозрачный, рисунок. Диаметр: 17 см, 14 см, 12,5 см, 10,5 см, 9 см. Объем: 1,1
368 руб
Раздел: Наборы

33. Использование дифференциальных уравнений, передаточных и частотных передаточных функций

34. Асимптотика решений дифференциальных уравнений

35. Дифференциальные уравнения

36. Дифференциальные уравнения линейных систем автоматического регулирования

37. Классификации гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных

38. Решение дифференциального уравнения первого порядка
39. Решение дифференциальных уравнений
40. Решение систем дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка

41. Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений

42. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом

43. Дифференциальное уравнение теплопроводимости

44. Методика обучения анализу и сравнению объектов и явлений природы в процессе проведения экскурсий на уроках природоведения

45. Природа внимания и его роль в педагогическом процессе

46. Природа процесса принятия решения

47. Природа процесса принятия решений в управлении.

48. Диоксины - фундаментальный фактор техногенного загрязнения живой и неживой природы

Ящик хозяйственный, 30 литров.
Материал: пластик. Размер: 470х370х245 мм. Объем: 30 л. Цвет товара в ассортименте, без возможности выбора.
544 руб
Раздел: Более 10 литров
Паркинг 4-уровневый с дорогой и автомобилями, красный.
В набор входит: лифт с подъемным механизмом, светофор, дорожные знаки, заправка, машинки. Размер паркинга в собранном виде: 84,5х84,5х61
2167 руб
Раздел: Многоуровневые парковки
Карандаши цветные, 24 цвета.
Цветные карандаши в картонной коробке. Прочный грифель. Яркие цвета. Мягкое письмо и ровное закрашивание. Материал корпуса: дерево. Форма
324 руб
Раздел: 13-24 цвета

49. Права живой и неживой природы

50. Природа и проявление геотектонических процессов: сейсмическая и вулканическая активность

51. Живой воздух природы и его использование в медицине

52. Самоорганизация в живой и неживой природе

53. Биотропные параметры магнитных полей. Влияние естественных электромагнитных полей на живые организмы и механизмы воздействия

54. Разработка функциональной схемы, алгоритма процесса идентификации плоских деталей произвольной формы акустической локационной системы
55. Развитие детей в процессе ознакомления с природой
56. Развитие словаря дошкольников в процессе ознакомления детей с природой

57. Реальные рабочие тела – вода и водяной пар. Параметры и функции состояния водяного пара. Термодинамические процессы с водяным паром

58. Закономерности процесса формования электродов на основе оксида меди и влияние параметров процесса на эксплуатационные характеристики литиевых источников тока

59. Физическая природа комет

60. Применение фильтра Калмана в задаче идентификации отказов двигателей стабилизации космического аппарата

61. Роль микроэлементов в обменных процессах растений и на накоплении ими биологически активных веществ (Реферат (обзор литературы) () WinWord 97)

62. Общая характеристика процесса научения

63. Биологическая роль гидролиза в процессах жизнедеятельности организма

64. Разработка основных биотехнологических процессов производства и системы управления качеством липидных косметических препаратов (на примере тоников для проблемной кожи)

Подгузники Libero Newborn, 24 штуки, 0-2,5 кг.
Первые в жизни подгузники для малыша должны быть особенно мягкими и комфортными. Подгузники "Libero Newborn" специально созданы
345 руб
Раздел: 0-5 кг
Фломастеры "Jungle Innovation" на подставке, 12 цветов.
Чернила легко смываются с рук и одежды. Эти фломастеры идеальны для раскрашивания, поскольку они долговечны, их краски насыщенны, хорошего
343 руб
Раздел: 7-12 цветов
Карандаши акварельные "Mondeluz", 24 цвета.
Акварельные карандаши применяются в живописи, рисовании, работе в смешанных техниках. Совмещают в себе свойства цветного карандаша и
384 руб
Раздел: Акварельные

65. Гражданская Оборона. Расчет параметров ядерного взрыва

66. Понятие о волнении. Процесс возникновения развития и затухания ветровых волн

67. Охрана природы Республики Коми

68. Методы и модели демографических процессов

69. Опасные геологические процессы на городских территориях

70. Бюджетное устройство и бюджетный процесс РФ
71. Государственное стимулирование инвестиционного процесса: опыт США и Юго-Восточной Азии
72. Адвокат в уголовном процессе

73. Природа и система административного права

74. Участники арбитражного процесса

75. Письменные доказательства в арбитражном процессе

76. Участники арбитражного процесса: классификация, права и обязанности, характеристика правового положения. Представительство в арбитражном процессе

77. Гражданский процесс

78. Гражданский процесс (Контрольная)

79. Гражданский процесс (Контрольная)

80. Доказательства в гражданском процессе

Набор чернографитных карандашей для правшей STABILO EASYgraph, 2 штуки.
Первые трехгранные чернографитные карандаши, специально разработанные для левшей и для правшей. Твердость - HB. Карандаши позволяют
347 руб
Раздел: Чернографитные
Фломастеры. CARIOCA, 36 цветов.
Количество цветов: 36. Толщина корпуса: стандартная. Длина корпуса с колпачком: 146 мм. Форма корпуса: круглая. Тип наконечника:
379 руб
Раздел: Более 24 цветов
Шкатулка Jardin D'Ete "Розовая глазурь", 11x10x8 см.
Шкатулка Jardin D’ete превосходно подойдет для хранения украшений. Она исполнена из стекла и металла. Шкатулка сочетает в себе
1077 руб
Раздел: Шкатулки для украшений

81. Прокурор в гражданском процессе

82. Шпаргалка по гражданскому процессу

83. Представительство в гражданском процессе

84. Лица, участвующие в процессе

85. Письменные доказательства в системе доказательств гражданского процесса

86. Инквизиционный процесс. Формальная система доказательств
87. Процесс становления системы революционных трибуналов РСФСР
88. Бюджетный процесс в Украине

89. Избирательная система РФ (избирательное право, виды избирательных систем, избирательный процесс)

90. Уголовный процесс зарубежных стран

91. Процесс законотворчества и его стадии в России

92. Законодательство о защите природы

93. Бионика - наука изучающая строение живых существ для целей техники

94. Киберпанк жив или "исчезновение реальности"

95. Структура и организация учебного процесса в средневековом университете (Болонья, Париж, Прага)

96. Роль техники и технологии в процессе развития культуры

Настольная игра «Пороховая бочка».
В игре могут принять участие 2 или 4 ребёнка. Поместите пирата на его бочку так, чтобы зажать выталкивающий механизм и по очереди
490 руб
Раздел: Игры на ловкость
Настольная игра "Скоростные колпачки".
Игра на ловкость рук и остроту глаза. Способствует развитию зрительно-моторной координации движений, концентрации внимания и зрительного
635 руб
Раздел: Игры на ловкость
Игра интерактивная "Супер магический Джинн".
Интерактивная игрушка "Супер магический Джинн" умеет без малейшего труда угадывать задуманные слова, поэтому ребенку придется
1549 руб
Раздел: Игры на ассоциации, воображение

97. Природа зла в человеке (на основе произведений писателей XIX века)

98. Культура, природа, человек. Проблемы и пути их решения

99. В.Г. Распутин "Живи и помни"


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.