Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Решение иррациональных уравнений

Фонарь желаний бумажный, оранжевый.
В комплекте: фонарик, горелка. Оформление упаковки - 100% полностью на русском языке. Форма купола "перевёрнутая груша" как у
87 руб
Раздел: Небесные фонарики
Пакеты с замком "Extra зиплок" (гриппер), комплект 100 штук (150x200 мм).
Быстрозакрывающиеся пакеты с замком "зиплок" предназначены для упаковки мелких предметов, фотографий, медицинских препаратов и
148 руб
Раздел: Гермоупаковка
Гуашь "Классика", 12 цветов.
Гуашевые краски изготавливаются на основе натуральных компонентов и высококачестсвенных пигментов с добавлением консервантов, не
170 руб
Раздел: 7 и более цветов

Решение иррациональных уравнений. Реферат выполнен Верхошанской Светланой Александровной, ученицей 9”Г” класса. МОУ “Ульканская средняя общеобразовательная школа №2”. Улькан 2005 Историческая справка об иррациональных уравнениях. “Источником алгебраических иррациональностей является двузначность или многозначность задачи; ибо было бы невозможно выразить одним и тем же вычислением многие значения, удовлетворяющие одной и той же задаче, иначе, чем при помощи корней ; они же разве только в частных случаях могут быть сведены к рациональностям”. (Лейбниц Г.) Одной из конкретных причин появления математических теорий явилось открытие иррациональностей. Вначале это произошло в пределах геометрических изысканий в виде установления факта несоизмеримости двух отрезков прямой. Значение этого открытия в математике трудно переоценить. В математику, едва ли не впервые, вошла сложная теоретическая абстракция, не имеющая аналога в донаучном общечеловеческом опыте. Вероятно, самой первой иррациональностью, открытой древнегреческими математиками, было число . Можно с определённой уверенностью считать, что исходным пунктом этого открытия были попытки найти общую меру с помощью алгоритма попеременного вычитания, известного сейчас как алгоритм Евклида. Возможно также, что некоторую роль сыграла задача математической теории музыки: деление октава, приводящее к пропорции 1:п=п:2. Не последнюю роль сыграл и характерный для пифагорейской школы общий интерес к теоретико-числовым проблемам. Древние математики нашли довольно быстро логически строгое доказательство иррациональности числа  путём сведения этого доказательства к формальному противоречию. Пусть , где m и – взаимно простые числа. Тогда m2=2 2, откуда следует, что т2 чётное и, следовательно, п2 чётное. Чётно, следовательно и п. Получающееся противоречие (п не может быть одновременно и чётным и нечётным) указывает на неверность посылки, что число  рационально. Для исследования вновь открываемых квадратичных иррациональностей сразу же оказалось необходимым разрабатывать теорию делимости чисел. В самом деле, пусть , где p и g - взаимно просты, а п является произведением только первых степеней сомножителей отсюда р2=пg2. Если – простой делитель п, то р2 (а значит, и р) делится на . Следовательно, р2 делится на 2. Но в п содержится только первая степень . Значит g2 (равно как и g) делится на . Но этот результат формально противоречит предположению, что р и g взаимно просты. Вслед за иррациональностью числа  были открыты многие другие иррациональности. Так, Архит (около 428-365 до н.э.) доказал иррациональность чисел вида . Теодор из Кирены (V в. до н.э.) установил иррациональность квадратного корня из чисел 3,5,6, ,17, которые не являются полным квадратом. Теэтет (410-369 до н.э.) дал одну из первых классификаций иррациональностей. С появлением иррациональностей в древнегреческой математике возникли серьёзные трудности как в теоретико-числовом, так и в геометрическом плане. Решение иррациональных уравнений. Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называют иррациональными.

Таково, например, уравнение . При решении иррациональных уравнений полученные решения требуют проверки, потому, например, что неверное равенство при возведении в квадрат может дать верное равенство. В самом деле, неверное равенство  при возведении в квадрат даёт верное равенство 12= (-1)2, 1=1. Иногда удобнее решать иррациональные уравнения, используя равносильные переходы. Пример 1. Решим уравнение . Возведём обе части этого уравнения в квадрат и получим , откуда следует, что , т.е. . Проверим, что полученные числа являются решениями уравнения. Действительно, при подстановке их в данное уравнение получаются верные равенства:  и   Следовательно, x=3 или x=-3 – решение данного уравнения. Пример 2. Решим уравнение . Возведя в квадрат обе части уравнения, получим . После преобразований приходим к квадратному уравнению , корни которого и . Проверим, являются ли найденные числа решениями данного уравнения. При подстановке в него числа 4 получим верное равенство , т.е. 4 - решение данного уравнения. При подстановке же числа 1 получаем в правой части -1, а в левой части число 1. Следовательно, 1 не является решением уравнения; говорят, что это посторонний корень, полученный в результате принятого способа решения. Ответ: . Пример 3. Решим уравнение . Возведём обе части этого уравнения в квадрат: , откуда получаем уравнение , корни которого  и . Сразу ясно, что число -1 не является корнем данного уравнения, т.к. обе части его не определены при . При подстановке в уравнение числа 2 получаем верное равенство , следовательно, решением данного уравнения является только число 2. Пример 4. Решим уравнение . Возведя в квадрат обе части этого уравнения, получаем , , . Подстановкой убеждаемся, что число 5 не является корнем данного уравнения. Поэтому уравнение не имеет решений. Пример 5. Решим уравнение . По определению  - это такое неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению. Другими словами, уравнение равносильно системе:      Решая первое уравнение системы, равносильное уравнению , получим корни 11 и 6, но условие  выполняется только для . Поэтому данное уравнение имеет один корень . Пример 6. Решим уравнение . В отличие от рассмотренных ранее примеров данное иррациональное уравнение содержит не квадратный корень, а корень третьей степени. Поэтому для того, чтобы “избавиться от радикала”, надо возвести обе части уравнения не в квадрат, а в куб: . После преобразований получаем: Итак, , . Пример 7. Решим систему уравнений: Положив  и , приходим к системе Разложим левую часть второго уравнения на множители:  - и подставим в него из первого уравнения . Тогда получим систему, равносильную второй: Подставляя во второе уравнение значение v, найденное из первого , приходим к уравнению , т.е. . Полученное квадратное уравнение имеет два корня:  и . Соответствующие значения v таковы:  и . Переходя к переменным х и у, получаем: , т.е. , , , . Преобразование иррациональных выражений. Если знаменатель дроби содержит иррациональное выражение, то часто целесообразно избавиться от последнего. Рассмотрим некоторые типичные случаи:   Пример: При непосредственном возведении в квадрат обеих частей уравнения уравнение должно быть сначала преобразовано так, чтобы в одной части стояли только радикалы, а в другой – остальные члены исходного уравнения.

Так поступают, если радикалов в уравнении два. Если же их три, то два из них оставляют в одной части уравнения, а третий переносят в другую. Затем обе части уравнения возводят в квадрат и проводятся необходимые преобразования (приведение подобных и т.п.). Далее все члены уравнения, не содержащие радикалов, снова переносятся в одну сторону уравнения, а оставшийся радикал (теперь он будет только один!) – в другую. Полученное уравнение вновь возводят в квадрат, и в итоге получается уравнение, не содержащее радикалов. Пример. Введение новой переменной: . Решение: Обозначим , тогда Уравнение примет вид: Возведём его в квадрат: Это уравнение так же возводим в квадрат:     Проверка: полученные значения мы должны проверить в уравнении (1), так как именно оно возводилось в квадрат. Проверка показывает, что  - посторонний корень, а  - действительно корень уравнения (1). Отсюда получим:   Ответ: 0;-1. Уравнения с радикалом третьей степени. При решении уравнений, содержащих радикалы 3-й степени, бывает полезно пользоваться сложением тождествами: Пример 1. . Возведём обе части этого уравнения в 3-ю степень и воспользуемся выше приведённым тождеством: Заметим, что выражение стоящее в скобках равно 1, что следует из первоначального уравнения. Учитывая это и приводя подобные члены, получим:   Раскроем скобки, приведём подобные члены и решим квадратное уравнение. Его корни  и . Если считать (по определению), что корень нечётной степени можно извлекать и из отрицательных чисел, то оба полученных числа являются решениями исходного уравнения. Ответ: . Решение 2 Возведём две новые переменные  и , тогда , . Заметим, что . В итоге получим систему уравнений:    Используя первоначальные уравнения системы, преобразуем вторые, заменив первую скобку единицей, а вторую подставим вместо неизвестного у выражение , также полученное из первого . Приведём подобные члены, раскрыв предварительно скобки и решив полученное квадратное уравнение. Его корни  и . Вернёмся теперь к начальной подстановке и получим искомые решения: Введение нового неизвестного. Решив эти уравнения, найдём радикалы более высоких степеней, но наиболее часто использовавшийся способ их решения – введение нового(новых) неизвестного. Пример 2.   Обозначим , тогда а) Уравнение примет вид: Корень  не удовлетворяет условию   Ответ: 76. Методы решения иррациональных уравнений. Методы решения иррациональных уравнений, как правило основаны на возможности замены (с помощью некоторых преобразований) иррационального уравнения рациональным уравнением, которое либо равносильно исходному, либо является его следствием. Поэтому существуют два пути при решении иррациональных уравнений: 1) переход к выводным уравнениям (следствиям) с последующей проверкой корней; 2) переход к равносильным системам. Второй подход избавляет от подстановки полученных корней в исходное уравнение (иногда такую проверку осуществить нелегко) и, вообще говоря, является более предпочтительным. Однако если в ходе решения оказалось, что проверка полученных корней не представляет труда, то можно не выяснять источники появления посторонних корней и не переходить к равносильным системам.

И среди великих людей никого не видел и не слышал, кто бы доверял предсказаниям". Низами Арузи, придворный поэт, сам нередко выступавший как астролог, заключает приведенный рассказ следующим трезвым суждением: "Хотя предсказание по звездам -признанное искусство, уповать на него не следует, А астрологу надлежит далеко в этой вере не идти и каждое предсказание, кое он делает, поручать судьбе". В Исфахане, при дворе Малик-шаха, Омар Хайям продолжает занятия математикой. В конце 1677 года он завершает геометрический труд "Трактат об истолковании трудных положений Евклида". Математические сочинения Омара Хайяма -- их сохранилось до наших дней два (первое мы упоминали выше -- алгебраический трактат, написанный еще в шестидесятые годы) -- содержали теоретические выводы чрезвычайной важности. Впервые в истории математических дисциплин Хайям дал полную классификацию всех видов уравнений -линейных, квадратных и кубических (всего двадцать пять видов) и разработал систематическую теорию решения кубических уравнений. Именно Омару Хайяму принадлежит заслуга первой постановки вопроса о связях геометрии с алгеброй

1. Метод Рунге-Кутты четвертого порядка с автоматическим выбором шага интегрирования решения задачи Коши

2. Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений

3. Корень n-ой степени и его свойства. Иррациональные уравнения. Степень с рациональными показателем

4. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Куты 4 порядка

5. Решение нелинейного уравнения методом касательных

6. Построение решения задачи Гурса для телеграфного уравнения методом Римана
7. Приближённые методы решения алгебраического уравнения
8. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера

9. Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени

10. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге - Кутты 4 порядка

11. Методы решения уравнений в странах древнего мира

12. Приближённые методы решения алгебраического уравнения

13. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА

14. Решения смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток

15. Иррациональные уравнения и неравенства

16. Методы решения уравнений в странах древнего мира

Таблетки для посудомоечных машин "Paclan Brileo. Classic", 80 штук.
Таблетки обладают отличным моющим действием за счет входящих в состав "умных" энзимов (амилазы и протеазы). Отлично моют посуду,
592 руб
Раздел: Для посудомоечных машин
Тачка "Садовод".
Играя с тачкой «Садовод» ваш малыш сможет почувствовать себя более самостоятельным и взрослым, помогая своим родителям на даче или в
945 руб
Раздел: Садовый инвентарь
Органайзер для автомобиля "Профессионал+".
Органайзер для автомобиля станет оригинальным и недорогим подарком для любого автомобилиста. Выполненный из плотного материала, приятного
364 руб
Раздел: Прочее

17. Приближённые методы решения алгебраического уравнения

18. Решение систем линейных дифференциальных уравнений пятиточечным методом Адамса – Башфорта

19. Итерационные методы решения нелинейных уравнений

20. Нахождение корней уравнений различными методами

21. Нахождение корней уравнения методом простой итерации (ЛИСП-реализация)

22. Разработка программного обеспечения для решения уравнений с одной переменной методом Ньютона (касательных)
23. Решение систем линейных алгебраических уравнений (прямые методы)
24. Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена

25. Численное решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

26. Численные методы решения систем линейных уравнений

27. Иррациональные уравнения

28. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

29. Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений

30. Методы решения алгебраических уравнений

31. Методы решения систем линейных уравнений

32. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Антимоскитная сетка для дверного проема, 2.1x1.0 м (арт. CF84-136).
Антимоскитная сетка предназначена для размещения на дверном проеме у Вас дома или на даче. Сетка выполнена в виде занавесок, оснащена
444 руб
Раздел: Сетки противомоскитные
Игра "Русское лото", деревянное.
В состав Русского лото входят: деревянные бочонки - 90 шт, тканевый мешок, карточки из картона - 24 шт, пластмассовые жетоны - 100 шт, инструкция.
538 руб
Раздел: Лото
Бумага "Color Copy" А4, белая, 150 листов.
Плотность: 280 г/м2. В пачке 150 листов. Белизна CIE 168%. Многофункциональная матовая бумага высшего качества без покрытия для создания
680 руб
Раздел: Формата А4 и меньше

33. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

34. Методы решения уравнений линейной регрессии

35. Краткие сведения о электронных таблицах. Решение уравнения

36. Решение уравнений, систем уравнений, неравенств графически

37. Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модуль

38. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения
39. Методы алгебраических и дифференциальных уравнений для анализа и качественного исследования социально-экономических явлений (По дисциплине: Математические методы моделирования процессов управления в социальной сфере)
40. Применение графиков в решении уравнений

41. Решение смешанной задачи для уравнения

42. Решение некоторых уравнений и неравенств с параметром

43. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

44. Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций

45. Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

46. Применение свойств функций для решения уравнений

47. План урока алгебры. Тема: Значения тригонометрических функций. Решение простейших тригонометрических уравнений.

48. Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки

Вкладыши "Полянка".
Увлекательный набор "Полянка" состоит из игрового поля и 8 деталей, из которых нужно сложить фигурки. Задача малыша -
460 руб
Раздел: Рамки-вкладыши
Давайте вместе поиграем. Игры с логическими блоками Дьенеша.
Это яркое красочное пособие поможет организовать занятия с набором блоков для детей старшего дошкольного возраста. Комплект поможет
326 руб
Раздел: Прочие
Каталка "Пальма" с ручкой.
593 руб
Раздел: На палочке

49. Решение системы нелинейных уравнений

50. Применение графиков в решении уравнений

51. Решение иррациональных неравенств

52. Численное решение модельного уравнения

53. Феноменологическое обоснование формы линейного элемента шварцшильдова решения уравнений гравитационного поля ОТО

54. Построение аналоговой ЭВМ для решения дифференциального уравнения шестого порядка
55. Разработка программного обеспечения для нахождения корней биквадратного уравнения
56. Разработка программы решения системы линейных уравнений

57. Решение линейных интегральных уравнений

58. Решение системы линейных уравнений

59. ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения дифференциального уравнения n-го порядка

60. ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения системы дифференциальных уравнений

61. Аналитические свойства решений системы двух дифференциальных уравнений третьего порядка

62. Графическое решение уравнений

63. Решение алгебраического уравнения n-ой степени

64. Решение дифференциальных уравнений

Рюкзак школьный "Ever After High. Dragon Game".
Рюкзак школьный - легкий и яркий рюкзак для ученицы начальной школы. Прочная каркасная конструкция хорошо сохраняет форму, устойчиво стоит
2451 руб
Раздел: Без наполнения
Пакеты фасовочные "Paclan", 26x35 см, 1000 штук.
Производятся из пищевого полиэтилена и безвредны для человека. Сохраняют свежесть продуктов. Пакеты выпускаются разного размера, что
305 руб
Раздел: Пакеты для продуктов
Декоративная наклейка-ростомер "Ракета", арт. EZG-1001.
Размер: 40x75 см.
366 руб
Раздел: Ростомеры

65. Решение линейной системы уравнений с тремя неизвестными

66. Решение одного нелинейного уравнения

67. Решение произвольных систем линейных уравнений

68. Решение систем дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка

69. Решение уравнений с параметрами

70. Формулы, возможно неизвестные, для решений уравнения Пифагора
71. Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений
72. Методы путевого анализа и их применение к системам одновременных уравнений

73. Решение транспортной задачи методом потенциалов

74. Билеты, решения и методичка по Информатике (2.0)

75. Лабораторная работа №7 по "Основам теории систем" (Решение задачи коммивояжера методом ветвей и границ)

76. Лабораторная работа №6 по "Основам теории систем" (Решение задачи о ранце методом ветвей и границ)

77. Использование численных методов для решения дифуpов (2-го порядка) (, демонстрация применения интерполяции в среде MATHCAD-а)

78. "Уравнения математической физики", читаемым авторов на факультете "Прикладная математика" в МАИ

79. Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов

80. Синтез оптимальных уравнений

Карандаши цветные "Colorino", двухсторонние, 48 цветов.
Карандаши для рисования. В наборе: 24 разноцветных, двусторонних карандашей (48 цветов). Мягкие, но при этом очень прочные карандаши,
455 руб
Раздел: Более 24 цветов
Бумага для струйных принтеров "Lomond", 140 г/м, 100 листов, матовая, односторонняя, А4.
Изображение отпечатанное на матовой бумаге, не бликует, линии высококонтрастные, чистые тона имеют характерную бархатистую
375 руб
Раздел: Фотобумага для цветной печати
Микрофон "Караоке новогоднее".
Какая игрушка превратит любой день в праздник? Конечно, удивительный микрофон-караоке! Подпевая любимым мультяшкам, малыши смогут
301 руб
Раздел: Микрофоны

81. Методы и приемы решения задач

82. Приближенный метод решения интегралов. Метод прямоугольников (правых, средних, левых)

83. Решение задач линейной оптимизации симплекс – методом

84. Устойчивость систем дифференциальных уравнений

85. Волновые уравнения

86. Метод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов
87. Метод Алексея Юрьевича Виноградова для решения краевых задач
88. Волны в упругой среде. Волновое уравнение

89. Уравнения Максвелла. Граничные условия

90. Вывод уравнения Шредингера

91. Замечательное уравнение кинематики

92. Проблемы и методы принятия решений

93. Методы экспертных оценок при разработке и принятии управленческих решений

94. Модели и методы принятия решений

95. Анализ инвестиционной ситуации. Принятие решений по инвестиционным проектам. Методы оценки эффективности инвестиционных проектов

96. Методология и методы принятия решения

Держатель балдахина с двойным креплением (в пенале).
Крепление для балдахина состоит из двух полых трубок, которые вставляются одна в другую, верхней спирали для балдахина и двух креплений к
303 руб
Раздел: Балдахины, держатели
Пенал "Радужная коллекция", серый-лайм.
Пенал очень компактен, удобен для хранения и переноски карандашей, ручек, фломастеров, кистей. Без наполнения. Размер: 22x11x6,5 см. 1
475 руб
Раздел: Без наполнения
Одеяло байковое "Карапуз" с рисунком (цвет: бежевый).
Байковое одеяло для новорожденных детей и подростков изготовлено из 100% хлопка (натуральная байка), имеет мягкую фактуру полотна,
695 руб
Раздел: Одеяла для детей

97. Совершенствование методов проектирования кораблей и обоснование проектных решений

98. Роль теории дифференциальных уравнений в современной математике и ее приложениях

99. Дифференциальные уравнения


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.