Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Прямая Эйлера

Пакеты с замком "Extra зиплок" (гриппер), комплект 100 штук (150x200 мм).
Быстрозакрывающиеся пакеты с замком "зиплок" предназначены для упаковки мелких предметов, фотографий, медицинских препаратов и
148 руб
Раздел: Гермоупаковка
Ручка "Помада".
Шариковая ручка в виде тюбика помады. Расцветка корпуса в ассортименте, без возможности выбора!
25 руб
Раздел: Оригинальные ручки
Браслет светоотражающий, самофиксирующийся, желтый.
Изготовлены из влагостойкого и грязестойкого материала, сохраняющего свои свойства в любых погодных условиях. Легкость крепления позволяет
66 руб
Раздел: Прочее

г. Зеленогорск школа № 175 Экзаменационный реферат по геометрии. Прямая Эйлера.Выполнил: Неймиллер Андрей Викторович, 11 «В» класс.Рецензент: учитель математики Небесная Валентина Ивановна 2000 год Рецензия. Дата: Рецензент: < Небесная В.И. > Вступление. Свойства треугольника были хорошо изучены еще древними греками. В знаменитых «Началах» Евклида доказывается, что центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Архимед, определяя положение центра тяжести однородной треугольной пластинки, установил, что он лежит на каждой из трех медиан. Точку пересечения медиан треугольника называют центром тяжести или центроидом треугольника. Позднее было доказано, что три высоты треугольника также пересекаются в одной точке, которая называется его ортоцентром. Закономерность в расположении этих трех замечательных точек треугольника – центра O описанной окружности, центроида G, ортоцентра H – впервые обнаружил знаменитый математик Леонард Эйлер (1707-1783). Рассмотрим сначала один частный случай: прямоугольный треугольник ABC (рис.1). Середина O гипотенузы AB является центром описанной около него окружности. Центроид G делит медиану CO в отношении 1:2, считая от вершины C. Катеты AC и BC являются высотами треугольника, поэтому вершина C прямого угла совпадает с ортоцентром H треугольника. Таким образом, точки O,G,H лежат на одной прямой, причем OH=3OG. Пользуясь методом координат, Эйлер доказал, что такая же связь существует между тремя указанными точками любого треугольника. Мы докажем этот факт с помощью векторов. -1- Деление отрезка в данном отношении. Пусть A,B,O – данные точки плоскости, и известно, чтоточка G делит отрезок AB в отношении k: ------- = k (рис.2). Выразим вектор OG через векторы OA и OB. Для этого подставим в равенство AG=k GB выражения всех векторов через OG, OA и OB: OG-OA=k(OB- OG). Решая это уравнение относительно OG, получим: OG= ------------- . (1)Например, если G – середина отрезка AB, то k=1 и OG= -- (OA OB). Теорема о пересечении медиан треугольника в одной точке. Здесь мы попутно получим одно векторное равенство, которое понадобится нам в дальнейшем. Теорема 1. Медианы треугольника АВС пересекаются в одной точке G и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины, причем 3PG=PA PB PC, (2) где P – любая точка плоскости или пространства. Доказательство. Возьмем на медиане CD треугольника ABC точку G, определяемую соотношением CG : GD =2:1 (рис. 3). -2- Согласно формуле (1), PG = -------------, PD = -- (PA PB),откуда PG = -- (PA PB PC).Вычисляя вектор PG’ с концом в точке G’, делящей любую из двух других медиан треугольника в отношении 2:1 (считая от вершины), мы получим то же самое выражение: PG’= -- (PA PB PC),Поэтому PG’=PG, и точка G’ совпадает с точкой G. Следовательно, все три медианы треугольника пересекаются в одной точке G, определяемой соотношением (2). Теорема о высотах произвольного треугольника. Теорема 2. Высоты треугольника АВС пересекаются в одной точке Н, причем OH= OA OB OC, (3) где О – центр окружности описанной около треугольника.

Доказательство. Пусть АВС – треугольник, отличный от прямоугольного (рис.4). -3- Найдем сумму векторов OA и OB. Для этого построим точку M, симметричную О относительно стороны AB, тогда OM = OA OB. Затем построим точку Н, для которой OH = OM OC = OA OB OC, и докажем, что точка H и есть ортоцентр треугольника АВС. Действительно, по построению прямые CH и OM параллельны, OM – серединный перпендикуляр к отрезку АВ, следовательно, прямая СН также перпендикулярна к прямой AB, и точка H лежит на высоте треугольника ABC, проведенной из вершины C. Если повторить построение, начиная с векторов OA и OC, то получится та же точка H, но те же рассуждения показывают, что теперь точка H лежит на высоте треугольника, проведенной из вершины B. Аналогично получим, что точка H лежит на высоте, проведенной из вершины A. Следовательно, высоты треугольника ABC пересекаются в точке H, определяемой соотношением (3). Легко проверить, что теорема 2 справедлива и для прямоугольного треугольника. Прямая Эйлера. Из доказанных теорем 1 и 2 вытекает интересующее нас свойство замечательных точек треугольника. Теорема 3. Центр О описанной окружности, центроид G и ортоцентр H любого треугольника лежат на одной прямой, причем точка G лежит между точками О и Н и OG:GH = 1:2. Доказательство. По теореме 1 3OG = OA OB OC. Сравнивая это равенство с равенством (3), получим OH = 3OG. Следовательно, векторы OH и OG, имеющие общее начало O, расположены на одной прямой и OG : GH = 1 : 2. Прямая, на которой лежат точки O, G и H, называется прямой Эйлера. В стереометрии простейший многогранник – тетраэдр играет ту же роль, что и треугольник в планиметрии. Свойства треугольника и тетраэдра во многом схожи. Попробуем распространить свойство замечательных точек треугольника на тетраэдр. -4- Сфера, описанная около тетраэдра. Известно, что около всякого тетраэдра можно описать сферу, её центр O лежит на перпендикулярах к граням тетраэдра, восстановленных в центрах окружностей, описанных около граней. Медианы тетраэдра. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противоположной грани, называется медианой тетраэдра. Свойства медиан тетраэдра аналогичны свойствам медиан треугольника. Теорема 4. Четыре медианы тетраэдра ABCD пересекаются в одной точке G, которая делит каждую из них в отношении 3:1, считая от вершины тетраэдра, причем 4PG = PA PB PC PD, (4) где P – любая точка пространства. Доказательство. Возьмем на медиане DG’тетраэдра ABCD точку G, определяемую соотношением DG : GG’ = 3 : 1 (рис 5). Согласно формуле (1), PG = ---------------. Учитывая, что центроид G’ треугольника ABC удовлетворяет соотношению 3PG = PA PB PC, получим PG = -- (PA PB PC PD). Вычисляя вектор PG’’ с концом в точке G’’, делящей любую из трех других медиан тетраэдра в отношении 3 : 1 (считая от вершины), получим то же самое выражение. А это означает, что все четыре медианы тетраэдра пересекаются в одной точке G, удовлетворяющей соотношению (4). Точка G, называется -5- центром тяжести (или центроидом) тетраэдра. Высоты тетраэдра. Высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. По аналогии можно предположить, что высоты любого тетраэдра также пересекаются в одной точке.

Однако это не так. Для примера рассмотрим тетраэдр ABCD с прямым двугранным углом при ребре AB, в котором AC = BC, но AD = BD (рис. 6). Высоты CE и DF тетраэдра лежат соответственно в гранях ABC и ABD, но точка E – середина AB, а F – нет. Если бы длины ребер DA и DB были равны, то основания E и F совпадали бы, но две другие высоты тетраэдра не могут проходить через точку E. Таким образом, даже две высоты тетраэдра могут не иметь общей точки. Тем не менее существуют и тетраэдры, все четыре высоты которых пересекаются в одной точке. Таким будет, например, тетраэдр ABCD с прямыми плоскими углами при вершине D. Ребра DA, DB и DC являются его высотами, а вершина D – ортоцентром (точкой пересечения всех четырех высот). Попробуем найти все тетраэдры, у которых высоты пересекаются в одной точке. Пусть высоты тетраэдра ABCD, проведенные из вершин C и D, пересекаются в точке H -6- (рис. 7). Тогда CH’ AB и DH’’ AB, т.е. прямая AB перпендикулярна к двум пересекающимся прямым лежащим в плоскости CDH, следовательно, AB BC. Аналогично доказывается, что если две другие высоты тетраэдра ABCD проходят через ту же точку H, то AC BD и AD BC. Итак, если все высоты тетраэдра пересекаются в одной точке, то противоположные ребра тетраэдра взаимно перпендикулярны. Такой тетраэдр называется ортоцентрическим. Теорема 5. Четыре высоты ортоцентрического тетраэдра ABCD пересекается в одной точке H, причем если O – центр сферы, описанной около тетраэдра, то OH = ---(OA OB OC OD). (5) Доказательство. Пусть ABCD – ортоцентрический тетраэдр, DG’ – его медиана, DH’ – его высота (рис.8). Тогда G’ центроид, а H’- ортоцентр треугольника ABC, причем точки O’(центр окружности, описанной около треугольника ABC), G’ и H’ лежат на одной прямой. Заметим, что центр O сферы, описанной около тетраэдра ABCD, лежит на перпендикуляре к плоскости треугольника ABC, восстановленном в точке O’. Будем доказывать теорему тем же способом, что и теорему 2 для треугольника: строить разными способами точку H, удовлетворяющую соотношению (5). Вначале сложим векторы OA, OB и OC: OM = OA OB OC. По теореме 1 OG’ = -- (OA OB OC), поэтому OM = 3OG’ -7- или G’M = 2OG’. Точки O’,G’,H’, лежат на прямой Эйлера треугольника ABC, причем H’G’ = 2G’O’. Следовательно, H’M=H’G’ G’M’=2(G’O’ OG’)=2(OG’ G’O’)=2OO’. Отсюда вытекает, что прямые H’M и OO’ параллельны, а так как прямая OO’ перпендикулярна к плоскости ABC, то и прямая H’M перпендикулярна к этой плоскости. Следовательно, точка M’ лежит на прямой DH’ (если точки O и O’ совпадают, то точки M и H’ тоже совпадают). Пусть теперь OH= --- (OM OD)= ---(OA OB OC OD). Из левого равенства следует, что точка H является серединой отрезка DM, т.е. точка H лежит на DH’ тетраэдра. Аналогично строится точка : O =OA OB OD и та же точка H: OH= --(O OC) и доказывается, что точка H лежит на высоте тетраэдра, проведенной из вершины C, и т.д. Следовательно, высоты ортоцентрического тетраэдра пересекаются в одной точке H, определяемой соотношением (5). Прямая Эйлера тетраэдра. Теорема 6. Центр О описанной сферы, центроид G и ортоцентр Н ортоцентрического тетраэдра ABCD лежат на одной прямой, причем точки О и Н симметричны относительно точки G.

Закон величин действия: изменение движения пропорционально приложенной действующей силе и происходит по той прямой линии, по которой действует сила. III. Закон противодействий: всякому действию соответствует противодействие равное и противоположное, то есть, действия двух тел одно на другое всегда равны и направлены противоположно. Эта книга Ньютона и открытое им же, одновременно с Лейбницем, дифференциальное и интегральное исчисление дали сильный толчок дальнейшему развитию М. Яков и Даниил Бернулли, Клеро, Эйлер и многие другие ученые исследовали целый ряд механических задач первостепенной важности. Недоставало принципа, связующего динамику со статикою. Этот принцип найден был Даламбером и изложен в его «Traite de Dynamique», появившейся в 1743 г. Свобода движения тел и точек бывает иногда стеснена известного рода условиями, состоящими, например, в том, что точка может двигаться только по известной поверхности; такая поверхность или вообще все, что стесняет движение, называется связью. Связи оказывают некоторые сопротивления реакции на точку или систему точек

1. Прямые и косвенные налоги, применяемые в налогооблажении

2. Сравнение эффективности методов сортировки массивов: Метод прямого выбора и метод сортировки с помощью дерева

3. Рак прямой кишки

4. Установка для статической балансировки роторов методом прямого измерения статического момента

5. Прямой цикл Карно. Тепловая изоляция

6. Мотивация и стратегия прямого инвестирования в конкурентной среде
7. Однозначные и многозначные слова. Прямое и переносное значения слова
8. Прямая реклама и система Public Relations как элементы маркетинга

9. Применение теоремы Эйлера к некоторым задачам

10. Анатомия прямой кишки

11. Онкология (рак прямой кишки 2)

12. Свищи прямой кишки

13. Выпадение прямой кишки

14. Онкология (рак прямой кишки)

15. Прямые испанские инвестиции в экономику России

16. Прямые и косвенные налоги, применяемые в налогообложении

Рюкзачок дошкольный "Щенячий патруль", 23х19х8 см.
Легкий и компактный дошкольный рюкзачок - это красивый и удобный аксессуар для вашего ребенка. В его внутреннем отделении на молнии легко
693 руб
Раздел: Без наполнения
Набор посуды "Щенячий патруль", 3 предмета.
Посуда подходит для мытья в посудомоечной машине и использования в микроволновой печи. Яркая посуда с любимыми героями порадует малыша и
578 руб
Раздел: Наборы для кормления
Кукла-балерина.
Кукла-балерина "Принцессы Диснея" очень любит танцевать! Поэтому она нарядилась в специальный костюм с пышной юбочкой-пачкой,
541 руб
Раздел: Куклы-модели, современные

17. Высшая юридическая сила и прямое действие конституции

18. Оценка эффективности рекламы при организации прямых продаж

19. Прямая почтовая реклама

20. Метод прямого наблюдения

21. Жакет прямого силуэта

22. Использование прямого преднамеренного внушения в бодрствующем состоянии в методике воспитания физических качеств
23. Прямые зарубежные инвестиции
24. Препятствие на пути прямых инвестиций: антимонопольное законодательство или несовершенство налоговой системы

25. Формы прямого волеизъявления в системе местного самоуправления

26. Прямое лазерное гравирование обычных и гильзовых флексографских форм

27. Урок-семінар у 8 класі з геометрії на тему "Перетин прямої і кола" /Укр./

28. Прямая и обратная мозговая атака

29. Методология изучения темы «Признаки параллельности прямых

30. Прямой цикл Карно и тепловая изоляция

31. Структурирование сделок прямого частного инвестирования в России

32. Прямые инвестиции в банковскую систему России

Стиральный порошок с ферментами "Top Home", 900 г.
Порошок устраняет самые трудновыводимые и застарелые пищевые и технические пятна и убивает бактерии, делая белье идеально чистым.
353 руб
Раздел: Стиральные порошки
Кружка "Гольф", с ручками.
Оригинальная керамическая кружка.
592 руб
Раздел: Оригинальная посуда
Настольная игра "Пирог в лицо".
Пирог в лицо - это оригинальная игра, которая станет изюминкой любой вечеринки не только для детей, но и взрослых! Использовать можно не
910 руб
Раздел: Игры на ловкость

33. Переоборудование зернового комбайна РМС-10 Дон 1500 на прямое комбайнирование зерновых культур в ООО "Нива" Терновского района

34. Регулирующий клапан прямого действия

35. Работа журналиста в прямом эфире на примере программ "Город сегодня" и "Как жить будем"

36. Контроллер прямого доступа к памяти

37. Прямой метод вращения векового определителя

38. Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера
39. Оцінка результату і похибки прямих вимірювань
40. Системы связи с прямым расширением спектра

41. Міжнародне маркетингове середовище і його складові частини. Порівняльна характеристика прямого і непрямого експорту як стратегії виходу фірми на зовнішній ринок

42. Средства рекламы, их классификация, особенности выбора: печатная реклама, теле- и радио реклама, прямая почтовая рассылка, наружная реклама, кино- и видео-реклама

43. Прямой маркетинг

44. Место прямой в начертательной геометрии

45. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений

46. Неопухолевые заболевания прямой кишки

47. Полип анального отдела прямой кишки

48. Прямая кишка: аномалия развития, повреждения и заболевания

Обложки для переплета, А4, пластик, 150 мкм, прозрачные, 100 шт..
Прозрачные обложки для переплета из прочного, износостойкого пластика. Обложки придадут документам эстетичный внешний вид и защитят от
511 руб
Раздел: Прочее
Отделитель косточек вишни "Mayer & Boch", 1,5 л, механический (арт. 25985).
Когда вам захочется приготовить вишневый пирог или варенья вишневое без косточек, вы стараетесь выделить больше времени, так как оно уйдет
477 руб
Раздел: Прочее
Сковорода-сотейник алюминиевая с антипригарным покрытием "Alpenkok" AK-1007/28N "Brown Marble", 28.
Диаметр: 28 см. Высота: 7,5 см. Толщина дна: 4 мм. Сковорода-сотейник из литого алюминия. Высококачественное внутреннее антипригарное
856 руб
Раздел: Сковороды с антипригарным покрытием

49. Рак прямой кишки: течение и клиническая классификация

50. Діагностика міжнародного економічного середовища. Характеристика сутності і форм прямого інвестування як стратегії виходу фірми на міжнародний ринок

51. Прямой импорт в Республике Беларусь

52. Роль прямых иностранных инвестиций для экономики стран постсоветского пространства

53. Дослідження особливостей залежності заряду перемикання від прямого струму для епітаксіальних p-i-n структур різних типів та розмірів

54. Анализ окупаемости инвестиционного проекта по налаживанию прямых продаж IT-оборудования
55. Податок на прибуток підприємств у системі прямого оподаткування, зміни у оподаткуванні юридичних осіб
56. Прямі податки з підприємств у системі фінансового регулювання ринкових відносин

57. Прямое налогообложение в бюджетной системе Российской Федерации

58. Прямые и косвенные методы регулирования цен на промышленную продукцию

59. Прямые налоги

60. Прямые налоги в РФ и перспективы их развития

61. Регулювання прямих іноземних інвестицій

62. Методы прямого измерения интеллектуального капитала

63. Расчет коэффициента корреляции между притоком прямых иностранных инвестиций и темпами экономического роста на примере Великобритании и Венгрии

64. Экономическое обоснование выпуска и расчет себестоимости аппарата многоканальной электростимуляции для лечения заболеваний прямой кишки

Фляжка сувенирная "На здоровье!", 270 мл.
Фляжка сувенирная. Объём: 270 мл. Материал: металл.
408 руб
Раздел: Фляжки сувенирные
Настольная игра "Баскетбол".
Настольная игра «Баскетбол» развивает моторику и быстроту реакции. Размер игры: 37х19х18 см. Возраст: 3+.
1171 руб
Раздел: Настольный баскетбол, бильярд, боулинг
Бусы-прорезыватели "Фруктовый микс".
Детские бусы-прорезыватели "Фруктовый микс" из серии "Мамины помощники" сделают процесс появления первых молочных
380 руб
Раздел: Пластмассовые

65. Применение фильтра Калмана в задаче идентификации отказов двигателей стабилизации космического аппарата

66. Контрольные вопросы для самопроверки (темы: "Предмет и задачи экономической географии" и другие)

67. Основные задачи сферы государственного регулирования

68. Задачи, система и функции органов юстиции Российской Федерации

69. Задачи, основные функции и система ОВД

70. Задачи сводки и основное ее содержание
71. Стороны в гражданском процессе
72. Международная организация труда- создание, структура, задачи и организация её работы

73. Цели, задачи и структура Федерального закона № 122-ФЗ

74. Решение задач по курсу "семейное право"

75. Трудовой договор (контракт): понятие, стороны и содержание

76. Значение, цели, задачи и основные принципы трудового права

77. Азиатская модель – сильные стороны

78. Решение транспортной задачи методом потенциалов

79. Разработка схемы топологии локальной корпоративной сети, описание ее технических характеристик и решаемых задач

80. Задачи графических преобразований в приложениях моделирования с использованием ЭВМ

Горшок эмалированный с крышкой, 1,5 л.
Горшок эмалированный, с крышкой. Объем: 1,5 литра.
359 руб
Раздел: Горшки обычные
Кружка "Лучший Папа", с рисунком.
Качественные керамические кружки с оригинальным рисунком, выполненным в процессе производства (подглазурное нанесение). Упаковка: белый
372 руб
Раздел: Кружки
Кондиционер для белья "Mitsuei", с ароматом белых цветов, 2 л.
Кондиционер для белья придает невероятную мягкость вашим вещам. Идеально подходит для всех видов ткани, даже для деликатных, таких как
371 руб
Раздел: Ополаскиватели, кондиционеры

81. По решению прикладных задач на языке FRED

82. Чего не может компьютер, или Труднорешаемые задачи

83. Разработка математической модели и ПО для задач составления расписания

84. Решение математических задач в среде Excel

85. Учебник по языку C++ в задачах и примерах

86. Учебник по языку Basic в задачах и примерах
87. Графы. решение практических задач с использованием графов (С++)
88. Отчет по практическим занятиям по курсу прикладные задачи программирования на тему Windows, Microsoft Word и Microsoft Excel

89. Лабораторная работа №5 по "Основам теории систем" (Транспортные задачи линейного программирования)

90. Лабораторная работа №3 по "Основам теории систем" (Теория двойственности в задачах линейного программирования)

91. Лабораторная работа №6 по "Основам теории систем" (Решение задачи о ранце методом ветвей и границ)

92. Решение задач - методы спуска

93. Применение двойных интегралов к задачам механики и геометрии

94. Расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера

95. Задача коммивояжера

96. Решение оптимизационной задачи линейного программирования

Развивающая доска "Пицца", 54 элемента, 5 слоев.
Деревянная доска "Пицца" - это увлекательный игровой набор для развития мелкой моторики, воображения и усидчивости Вашего
807 руб
Раздел: Продукты
Концентрат Gardex "Extreme", для защиты дачного участка от клещей, 50 мл.
Концентрат для защиты дачного участка от клещей. Для обработки приусадебных, дачных и садовых участков. Надежно защищает от иксодовых
370 руб
Раздел: Аэрозоль, спрей
Развивающий центр "Мультикуб", 7 игр на каждой стороне.
Это настоящий многофункциональный игровой центр! На каждой стороне куба - разные развивающие игры. На двух сторонах расположены сортеры -
1890 руб
Раздел: Сортеры, логические игрушки

97. Методы и приемы решения задач

98. Задачи Пятого Турнира Юных Математиков

99. Постановка задачи линейного программирования и двойственная задача линейного программирования.


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.