|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений |
Фонарь садовый «Тюльпан». 
Коврик для запекания, силиконовый "Пекарь". Кафедра: Автоматика и информационные технологии&quo ;ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ&quo ;Екатеринбург 2006 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИОдной из самых распространенных и важных задач вычислительной математики является решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):a11 x1 a12 x2 a1 x = b1 a21 x1 a22 x2 a21 x = b2 . . a 1 x1 a 1 x2 a x = b ,или в векторно-матричном виде:Ax = B, (1) где а11 а12 .а1 а21 а22 - . а2 А = . а 1 а 2 . a b1 b2 B = b x1 x2 x = x Итерационные методы решения СЛАУ используются для решения СЛАУ большой размерности с разреженными матрицами, а также для уточнения решения СЛАУ, полученного с помощью прямого метода. Формулировка и применение итерационных методов требует определенных знаний и определенного опыта. Выбор эффективного итерационного метода решения конкретной задачи существенно зависит от ее характерных свойств и от архитектуры вычислительной машины, на которой будет решаться задача. Поэтому никаких общих правил выбора наилучшего итерационного метода решения не существует. Метод простой итерации приведен здесь как иллюстрация действия механизма вычисления решения на основе итерационной процедуры. Суть метода состоит в следующем. От системы уравнений вида Ах = в (2) переходят к системе уравненийx=Dх С (3)Например, от системы уравненийа11х1 а12х2 а13х3=в1 а21х1 а22х2 а23х3=в2 (4) а31х1 а32х2 а33х3=в3можно перейти к виду (3), выразив из первого уравнения х1, из второго - х2, из третьего - х3:х1= - а12/а11х2 - а13/а11х3 в1/а11 х2= - а21/а22х1 - а23/а22х3 в2/а22 (5) х3= - а31/а33х1 - а32/а33х2 в3/а33Приведение исходной системы уравнений в виду (3) можно осуществить различными способами. Например, в СЛАУ (4) из первого уравнения можно выразить х2, из второго - х1, из третьего - х3 и, переставив уравнения для сохранения порядка следования переменных в векторе решения х, снова прийти к виду (3). Естественно, что матрица D и вектор с будут уже иными. Возможны и другие способы преобразования исходных уравнений. После преобразования (2) к виду (3) назначается нулевое приближение решения х (0): х1 (0) х (0) = х2 (0) х3 (0).Если приблизительно известны значения хi вектора решения х, то они выбираются в качестве нулевого приближения, если нет, то в качестве вектора х (0) выбирается любой вектор, например х (0) =С. Первый шаг итерационного процесса состоит в вычислении приближения х (1):х (1) = Dx (0) С.Например, назначив х (0) и подставив его в систему уравнений (3), получим:х1 (1) = - а12/а11х (0) - а13/а11х3 (0) в1/а11 х2 (1) = - а21/а22х1 (0) - а23/а22х3 (0) в2/а22 х3 (0) = - а31/а33х1 (0) - а32/а33х2 (0) в3/а33.Далее вычисляем:х (2) = Dx (1) C х (к) =Dх (к-1) Си т.д. Достаточное условие сходимости метода итерации заключается в следующем, если норма матрицы D (обозначается ║D║) меньше 1, то система уравнений (3) имеет единственное решение х и итерации сходятся к этому решению со скоростью геометрической прогрессии Иными словами, если║D║&l ;1, (6) то ℓim ║х (к) - х ║= 0 к→&i fi ;и выполняется тождествох =Dх С.В
качестве нормы матрицы D используются нормы ║D║1 или║D║&i fi ;: ║D║1 = max ∑ dij , j i=1 ║D║&i fi ;= max ∑ dij . i j=1 Аналогично вводятся нормы вектора х: ║х║1 = ∑ хi i=1 ║х║&i fi ;= max xi . iИз условия сходимости (6) ясно, что не всякое преобразование исходной системы (2) к виду (3) позволит получить решение уравнения на основе итерационного процесса, а только такое, которое обеспечит выполнение условия ║D║&l ;1. Важно иметь в виду, что при выполнении этого условия итерационный процесс сходится для любого начального приближения х (0) и выбор х (0) =С диктуется просто соображениями удобства назначения х (0). Если задана допустимая погрешность вычислений &Del a;, то для оценки погрешности к - го приближения широко используется следующее неравенство:║х (к) - х ║≤║D║ ∕ (1-║D║) •║х (к) - х (к-1) ║&l ;&Del a; (7)Из этого неравенства следует критерий окончания итерационного процесса║х (к) - х (к-1) ║ &l ; (1-║ D║) •∆ ∕ ║D║ (8)Каждый раз при вычислении очередного приближения х (k) проверяется выполнение неравенства (8). Выполнение неравенства (8) означает выполнение неравенства║х (к) - х ║ &l ; ∆и, следовательно, прекращение итерационного процесса. ЗАДАНИЕ НА ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫПроверить выполнение условия сходимости итерационного процесса. Найти решение СЛАУ, задавая различные значения вектора начального приближения к решению x (0) и фиксируя количество итераций, необходимых для достижения решения с заданной точностью. Построить графики xi (k), i=1, решения в зависимости от номера итерации k. Варианты заданий к теме &quo ;Решение СЛАУ методом итераций&quo ; № варианта D C 1 0.23 -0.04 0.21 -0.18 1.24 0.45 -0.23 0.06 0.00 -0.88 0.26 0.34 -0.11 0.00 0.62 0.05 -0.26 0.34 -0.12 -1.17 2 0.21 0.12 -0.34 -0.15 -0.64 0.34 -0.08 0.17 -0.18 1.42 0.16 0.34 0.15 -0.31 -0.42 0.12 -0.25 -0.08 0.25 0.83 3 0.32 -0.18 0.02 0.21 1.83 0.16 0.12 -0.14 0.27 0.65 0.37 0.27 -0.02 -0.24 2.23 0.12 0.21 -0.18 0.25 -0.13 4 0.42 -0.52 0.03 0.00 0.44 0.31 -0.25 -0.36 0.00 1.42 0.10 0.08 -0.14 -0.24 -0.83 0.15 -0.35 -0.18 0.00 -1.42 5 0.18 -0.34 -0.12 0.15 -1.33 0.11 0.23 -0.45 0.32 0.84 0.05 -0.12 0.14 -0.18 -1.16 0.12 0.08 0.06 0.00 0.57 6 0.13 0.23 -0.44 -0.05 2.13 0.24 0.00 -0.31 0.15 -0.18 0.06 0.15 0.00 -0.23 1.44 0.52 -0.08 -0.05 0.00 2.42 7 0.17 0.31 -0.18 0.22 -1.71 -0.21 0.00 0.33 0.22 0.62 0.32 -0.18 0.05 -0.19 -0.89 0.12 0.28 -0.14 0.00 0.94 8 0.13 0.27 -0.22 -0.18 1.21 -0.21 0.00 -0.35 0.18 -0.33 0.12 0.13 -0.33 0.10 -0.48 0.33 -0.05 0.05 -0.28 -0.17 Варианты заданий к теме &quo ;Решение СЛАУ методом итераций&quo ; № варианта D C 9 0.19 -0.07 0.38 -0.21 -0.81 -0.22 0.08 0.11 0.33 -0.64 0.51 -0.07 0.09 -0.11 1.71 0.33 -0.41 0.00 0.00 -1.21 10 0.00 0.22 -0.11 0.31 2.70 0.38 0.00 -0.12 0.22 -1.50 0.11 0.23 0.00 -0.51 1.20 0.17 -0.21 0.31 0.00 -0.17 11 0.07 -0.08 0.11 -0.18 -0.51 0.18 0.52 0.00 0.21 1.17 0.13 0.31 0.00 -0.21 -1.0
2 0.08 0.00 -0.33 0.28 -0.28 12 0.05 -0.06 -0.12 0.14 -2.17 0.04 -0.12 0.68 0.11 1.40 0.34 0.06 -0.06 0.44 -2.10 0.11 0.12 0.00 -0.03 -0.80 13 0.08 -0.03 0.00 -0.04 -1.20 0.00 0.51 0.27 -0.08 0.81 0.33 -0.37 0.00 0.21 -0.92 0.11 0.00 0.03 0.58 0.17 14 0.12 -0.23 0.25 -0.16 1.24 0.14 0.34 -0.18 0.24 -0.89 0.33 0.03 0.48 -0.32 1.15 0.12 -0.05 0.00 0.15 -0.57 15 0.23 -0.14 0.06 -0.12 1.21 0.12 0.00 0.32 -0.18 -0.72 0.08 -0.12 0.23 0.32 -0.58 0.25 0.22 0.14 0.00 1.60 16 0.14 0.23 0.18 0.17 -1.42 0.12 -0.14 0.08 0.09 -0.83 0.16 0.24 0.00 -0.35 1.21 0.23 -0.08 0.55 0.25 0.65 Варианты заданий к теме &quo ;Решение СЛАУ методом итераций&quo ; № варианта D C 17 0.24 0.21 0.06 -0.34 1.42 0.05 0.00 0.32 0.12 -0.57 0.35 -0.27 0.00 -0.05 0.68 0.12 -0.43 0.34 -0.21 -2.14 18 0.17 0.27 -0.13 -0.11 -1.42 0.13 -0.12 0.09 -0.06 0.48 0.11 0.05 -0.02 0.12 -2.34 0.13 0.18 0.24 0.43 0.72 19 0.00 0.28 -0.17 0.06 0.21 0.52 0.00 0.12 0.17 -1.17 0.17 -0.18 0.21 0.00 -0.81 0.11 0.22 0.03 0.05 0.72 20 0.15 0.05 -0.08 0.14 -0.48 0.32 -0.43 -0.12 0.11 1.24 0.17 0.06 -0.08 0.12 1.15 0.21 -0.16 0.36 0.00 -0.88 21 0.00 0.52 0.08 0.13 -0.22 0.07 -0.38 -0.05 0.41 1.80 0.04 0.42 0.11 -0.07 -1.30 0.17 0.18 -0.13 0.19 0.33 22 0.00 0.17 -0.33 0.18 -1.20 0.00 0.18 0.43 -0.08 0.33 0.22 0.18 0.21 0.07 0.48 0.08 0.07 0.71 0.04 -1.20 23 0.01 0.02 -0.62 0.08 -1.30 0.03 0.28 0.33 -0.07 1.10 0.09 0.13 0.42 0.28 -1.70 0.19 -0.23 0.08 0.37 1.50 24 0.03 -0.05 0.22 -0.33 0.43 0.22 0.55 -0.88 0.07 -1.80 0.33 0.13 -0.08 -0.05 -0.80 0.08 0.17 0.29 0.33 1.70 Варианты заданий к теме &quo ;Решение СЛАУ методом итераций&quo ; № варианта D C 25 0.13 0.22 -0.33 0.07 0.11 0.00 0.45 -0.23 0.07 -0.33 0.11 0.00 -0.08 0.78 0.85 0.08 0.09 0.33 0.21 -1.70 26 0.32 -0.16 -0.08 0.15 2.42 0.16 -0.23 0.11 -0.21 1.43 0.05 -0.08 0.00 0.34 -0.16 0.12 0.14 -0.18 0.06 1.62 27 0.00 0.08 -0.23 0.32 1.34 0.16 -0.23 0.18 0.16 -2.33 0.15 0.12 0.32 -0.18 0.34 0.25 0.21 -0.16 0.03 0.63 28 0.06 0.18 0.33 0.16 2.33 0.32 0.00 0.23 -0.35 -1.12 0.16 -0.08 0.00 -0.12 0.43 0.09 0.22 -0.13 0.00 0.83 29 0.00 0.34 0.23 -0.06 1.42 0.11 -0.23 -0.18 0.36 -0.66 0.23 -0.12 0.16 -0.35 1.08 0.12 0.12 -0.43 0.18 1.72 30 0.32 -0.23 0.41 -0.06 0.67 0.18 0.12 -0.33 0.00 -0.88 0.12 0.32 -0.35 0.67 -0.18 0.05 -0.11 0.09 -0.12 1.44 Список литературы Вержбицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов. - М.: Высш. шк., 2002. - 840с. Волков Е.А. Численные методы: Учебное пособие. - 3-е изд., испр. - СПб: Лань, 2004. - 248с. Кетков Ю.Л. MA LAB 6: программирование численных методов. - СПб.: БВХ-Петербург, 2004. - 672с. Турчак Л.И. Основы численных методов: Учебное пособие. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит., 1987. - 320с. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ: Методические указания к лабораторной работе по дисциплине &quo ;Вычислительная математика&quo ;/сост. И.А. Селиванова. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2006. - 12 с. Указания предназначены для студентов всех форм обучения специальности 230101 - &quo ;Вычислительные машины, комплексы, системы и сети&quo ; и бакалавров направления 230100 - &quo ;Информатика и вычислительная техника&quo ;.
Для определения скоростей какой-либо точки строят диаграмму изменения пути этой точки по времени, используя данные, полученные при определении положений звеньев, а затем, применяя графическое дифференцирование, строят диаграмму изменения скорости по времени (см. Графические вычисления ). Это метод наиболее простой, однако характеризуется небольшой точностью. Метод планов скоростей применим для плоских и пространственных механизмов. При построении планов скоростей используют соотношения между векторами скоростей различных точек механизма. Точность метода планов скоростей, как и всякого графического метода, ограничена, поэтому при исследовании механизмов, для которых требуется повышенная точность кинематического расчёта, предпочтительно применение аналитических методов, которые всегда можно свести к системе линейных уравнений. Ускорения точек механизма определяют по планам ускорений и аналитическим методом (решение систем линейных уравнений). Метод кинематических диаграмм для определения ускорений, как правило, не применяется, так как его точность зависит от точности графического дифференцирования, предварительно построенной диаграммы изменения скорости по времени, т. е. при решении, возможно, накопление ошибок
1. Численное решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
2. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и Зейделя
3. Решение систем линейных алгебраических уравнений (прямые методы)
4. Автоматизация решения систем линейных алгебраических уравнений
5. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса
9. Решение системы линейных уравнений
10. Исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей
11. Методы решения систем линейных уравнений
12. Методы решения систем линейных неравенств
13. Графический метод решения задач линейного программирования
14. Графический метод и симплекс-метод решения задач линейного программирования
15. Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени
16. Приближённые методы решения алгебраического уравнения
Клей ПВА, 500 грамм. 
Мультиплеер "Мамонтенок". 
Переносная люлька-кокон "Кошки на белом". 18. Методы решения алгебраических уравнений
20. Методы решения уравнений линейной регрессии
21. Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток
26. Метод решения уравнений Ньютона - Рафсона
27. Методы решения уравнений в странах древнего мира
28. Разработка программы для решения систем линейных уравнений
29. Решение задачи линейного программирования графическим методом
31. Решение алгебраического уравнения n-ой степени
32. Система линейных уравнений
Кровать для кукол деревянная (большая). 
Средство для посудомоечных машин биоразлагаемое "Synergetic", концентрированное, 5 л. 
Конструктор "Кукольный домик". 34. Решение задачи линейного программирования симплекс-методом
35. Решения задач линейного программирования геометрическим методом
36. Решение задач линейного программирования
37. Решение задачи линейного программирования
41. Обучение общим методам решения задач
43. Модели и методы решения проблемы выбора в условиях неопределенности
45. Решение задач линейного программирования
47. Поиск нулей функции. Итерационные методы
48. Систематизация и обобщение знаний учащихся по теме "Алгебраические уравнения" в 9 классе
Пазл "Киты", 66 деталей. 
Дождевик Bambola, ПВХ. 
Карандаши цветные "Jumbo", двухсторонние, 24 цвета. 49. Эвристические методы решения творческих задач
50. Метод и система в философии Гегеля. Философия Гегеля как классика первой половины XIX столетия
51. Графическое решение задачи линейного программирования в экономике
52. Методы решения транспортных задач
53. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера
57. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера
59. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге - Кутты 4 порядка
60. Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных
61. Решение задачи методами линейного, целочисленного, нелинейного и динамического программирования.
62. Метод касательных решения нелинейных уравнений
63. Метод касательных. Решения нелинейных уравнений. Паскаль 7.0
64. Методы и алгоритмы компьютерного решения дифференциальных уравнений
Коврик массажный "Микс ежики" от 5 лет. 
Игра "Моя первая монополия". 
Трамвай. 65. Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена
66. Методы оптимизации при решении уравнений
67. Решение транспортной задачи методом потенциалов
69. Методы приобретения знаний в интеллектуальных системах
73. Лабораторная работа №6 по "Основам теории систем" (Решение задачи о ранце методом ветвей и границ)
76. Метод последовательных уступок (Теория принятия решений)
77. Решение уравнений в целых числах
78. Методы и приемы решения задач
79. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения
80. Метод Алексея Юрьевича Виноградова для решения краевых задач
Карандаши металлик, трехгранные, 12 цветов. 
Рюкзак детский "Pixie Crew" с силиконовой панелью для картинок (розовый, цветной горох). 81. Проект создания системы поддержки принятия решений оперативно-дежурной службы милиции
82. Расчет линейных цепей методом топологических графов
83. Система уравнений Максвелла в сплошной среде. Граничные условия
84. Методология и методы принятия решения
85. Сущность и методы принятия управленческих решений
89. Совершенствование методов проектирования кораблей и обоснование проектных решений
91. Уравнения и способы их решения
92. Приближенное решение уравнений
93. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения
95. Решение иррациональных уравнений
96. Линейные уравнения и неравенства
Чехол стеганый сменный "Нордтекс" (для подушки 70х70 см), на молнии. 
Светильник настольный Лючия "Верона", 552, 60 Вт, Е14 (бежево-серый). 
Рюкзачок "Олень". 97. Новый, высокоточный метод диагностики инфекций мочеполовой системы
98. Сердечно сосудистая система, нетрадиционные методы лечения по Лазареву, диагностика
Совок №5. 
Флаг "Россия", шёлк, 90х135 см. 
