Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Поверхности второго порядка

Гуашь "Классика", 12 цветов.
Гуашевые краски изготавливаются на основе натуральных компонентов и высококачестсвенных пигментов с добавлением консервантов, не
170 руб
Раздел: 7 и более цветов
Карабин, 6x60 мм.
Размеры: 6x60 мм. Материал: металл. Упаковка: блистер.
44 руб
Раздел: Карабины для ошейников и поводков
Крючки с поводками Mikado SSH Fudo "SB Chinu", №4BN, поводок 0,22 мм.
Качественные Японские крючки с лопаткой. Крючки с поводками – готовы к ловле. Высшего качества, исключительно острые японские крючки,
58 руб
Раздел: Размер от №1 до №10

Содержание. . Понятие поверхности второго порядка. 1. Инварианты уравнения поверхности второго порядка. . Классификация поверхностей второго порядка. 1. Классификация центральных поверхностей. ( 1°. Эллипсоид. ( 2°. Однополостный гиперболоид. ( 3°. Двуполостный гиперболоид. ( 4°. Конус второго порядка. 2. Классификация нецентральных поверхностей. ( 1°. Эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид. ( 2°. Параболический цилиндр• Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям.1. Эллипсоид. 2. Гиперболоиды. ( 1°. Однополостный гиперболоид. ( 2°. Двуполостный гиперболоид. 3. Параболоиды. ( 1°. Эллиптический параболоид. ( 2°. Гиперболический параболоид. 4. Конус и цилиндры второго порядка. ( 1°. Конус второго порядка. ( 2°. Эллиптический цилиндр. ( 3°. Гиперболический цилиндр. ( 4°. Параболический цилиндр. Список использованной литературы. 1. «Аналитическая геометрия» В.А. Ильин, Э.Г. Позняк § 1. Понятие поверхности второго порядка. Поверхность второго порядка - геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида a11х2 а22у2 a33z2 2a12xy 2a23уz 2a13xz 2а14 x 2а24у 2а34z а44 = 0 (1) в котором по крайней мере один из коэффициентов a11 , а22 , a33 , a12 , a23 , a13 отличен от нуля. Уравнение (1) мы будем называть общим уравнением поверхности второго порядка. Очевидно, поверхность второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект, не меняется, если от данной декартовой прямоугольной системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Отметим, что исходное уравнение (1) и уравнение, полученное после преобразования координат, алгебраически эквивалентны.1. Инварианты уравнения поверхности второго порядка. Справедливо следующее утверждение.являются инвариантами уравнения (1) поверхности второго-порядка относительно преобразований декартовой системы координат. Доказательство этого утверждения приведено в выпуске «Линейная алгебра» настоящего курса. § 2. Классификация поверхностей второго порядка 1. Классификация центральных поверхностей. Пусть S — центральная поверхность второго порядка. Перенесем начало координат в центр этой поверхности, а затем произведем стандартное упрощение уравнения этой поверхности. В результате указанных операций уравнение поверхности примет видa11х2 а22у2 a33z2 а44 = 0 (2) Так как инвариант I3 для центральной поверхности отличен от ноля и его значение, вычисленное для уравнения (2) , равно a11 • а22 • a33 , то коэффициенты a11 ,а22 , a33 удовлетворяют условию : Возможны следующие случаи :( 1°. Коэффициенты a11 ,а22 , a33 одного знака, а коэффициент а44 отличен от нуля. В этом случае поверхность S называется эллипсоидом. Если коэффициенты a11 ,а22 , a33 , а44 одного знака, то левая часть (2) ни при каких значениях х, у, z не обращается в нуль, т. е. уравнению поверхности S не удовлетворяют координаты никакой точки. В этом случае поверхность S называется мнимым эллипсоидом. Если знак коэффициентов a11 ,а22 , a33 противоположен знаку коэффициента а44 , то поверхность S называется вещественным эллипсоидом.

В дальнейшем термином «эллипсоид» мы будем называть лишь вещественный эллипсоид. Обычно уравнение эллипсоида записывают в канонической форме. Очевидно, числа положительны. Обозначим эти числа соответственно а2, b2, с2. После несложных преобразований уравнение эллипсоида (2) можно записать в следующей форме:Уравнение (3) называется каноническим уравнением эллипсоида. Если эллипсоид задан своим каноническим уравнением (3), то оси Ох, Оу и Оz. называются его главными осями. ( 2°. Из четырех коэффициентов a11 ,а22 , a33 , а44 два одного знака, а два других—противоположного. В этом случае поверхность S называется однополостным гиперболоидом. Обычно уравнение однополостного гиперболоида записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности, a11 > 0, а22 > 0, a33 < 0, а44 < 0. Тогда числа положительны. Обозначим эти числа соответственно а2, b2, с2. После несложных преобразований уравнение (2) однополостного гиперболоида можно записать в следующей форме:Уравнение (4) называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида. Если однополостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением (4), то оси Ох, Оу и Oz называются его главными осями. ( 3°. Знак одного из первых трех коэффициентов a11 ,а22 , a33 , а44 противоположен знаку остальных коэффициентов. В этом случае поверхность S называется двуполостным гиперболоидом. Запишем уравнение двуполостного гиперболоида в канонической форме. Пусть, ради определенности, a11 < 0, а22 < 0, a33 > 0, а44 < 0. Тогда : Обозначим эти числа соответственно через a2, b2, с2. Поcли несложных преобразований уравнение (2) двуполостного гиперболоида можно записать в следующей форме:Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида. Если двуполостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением, то оси Ох, Оу и Оz называются его главными осями. ( 4°. Коэффициент а44 равен нулю. В этом случае поверхность S называется конусом второго порядка. Если коэффициенты a11 , а22 , a33 одного знака, то левая часть (2) обращается в нуль (а44 = 0) лишь для х=у=z=0, т. е. уравнению поверхности S удовлетворяют координаты только едной точки. В этом случае поверхность S называется мнимым конусом второго порядка. Если коэффициенты a11 , а22 , a33 имеют разные знаки, то поверхность S является вещественным конусом второго порядка. Обычно уравнение вещественного конуса второго порядка записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности,a11 > o, а22 > 0, a33 < 0. Обозначимсоответственно через а2, b2, с2. Тогда уравнение (2) можно записать в виде Уравнение (6) называется каноническим уравнением вещественного конуса второго порядка. 2. Классификация нецентральных поверхностей второго порядка. Пусть S — нецентральная поверхность второго порядка, т. е. поверхность, для которой инвариант I3 равен нулю. Произведем стандартное упрощение уравнения этой поверхности. В результате уравнение поверхности примет вид aґ11хґ2 аґ22уґ2 aґ33zґ2 2аґ14 xґ 2аґ24уґ 2аґ34zґ аґ44 = 0 (7) для системы координат Oxґyґzґ Так как инвариант I3 = 0 и его значение, вычисленное для уравнения (7) , равно aґ11 • аґ22 • aґ33 , то один или два из коэффициентов aґ11 , аґ22 , aґ33 равны нулю.

В соответствии с этим рассмотрим следующие возможные случаи. ( 1°. Один из коэффициентов aґ11 , аґ22 , aґ33 равен нулю. Ради определенности будем считать, что aґ33 = 0 (если равен нулю какой-либо другой из указанных коэффициентов, то можно перейти к рассматриваемому случаю путем переименования осей координат). Перейдем от координат х', у', z' к новым координатам х, у, z по формулам Подставляя х', у' и z', найденные из (8), в левую часть (7) и заменяя затем aґ11 на a11 , аґ22 на а22 , аґ34 на p и аґ44 на q , получим следующее уравнение поверхности S в новой системе координат Oxyz :a11х2 а22у2 2pz q = 0 (9) 1) Пусть р = 0, q = 0. Поверхность S распадается на пару плоскостейПри этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки a11 и а22 одинаковы, и вещественными, если знаки a11 и а22 различны. 2) Пусть р = 0, q ? 0. Уравнение (9) принимает видa11х2 а22у2 q = 0 (10)Известно, что уравнение (10) является уравнением цилиндра с образующими, параллельными оси Оz. При этом если a11 , а22 , q имеют одинаковый знак, то левая часть (10) отлична от нуля для любых х и y, т. е. цилиндр будет мнимым. Если же среди коэффициентов a11 , а22 , q имеются коэффициенты разных знаков, то цилиндр будет вещественным. Отметим, что в случае, когда a11 и а22 имеют одинаковые знаки, a q — противоположный, то величиныположительны. Обозначая их соответственно через а2 и b2, мы приведем уравнение (10) к видуТаким образом, в отмеченном случае мы имеем эллиптический цилиндр. В случае, a11 и а22 имеют различные знаки, мы получим гиперболический цилиндр. Легко убедиться, что уравнение гиперболического цилиндра может быть приведено к виду 3) Пусть р?0. Произведем параллельный перенос системы координат, выбирая новое начало в точке с координатами(0, 0, ).При этом оставим старые обозначения координат х, у, z. Очевидно, для того чтобы получить уравнение поверхности S в новой системе координат, достаточно заменить в уравнении (9) Получим следующее уравнение:a11х2 а22у2 2pz = 0 (13) Уравнение (13) определяет так называемые параболоиды. Причем если a11 и а22 имеют одинаковый знак, то параболоид называется эллиптическим. Обычно уравнение эллиптического параболоида записывают в канонической форме:Уравнение (14) легко получается из (13). Если a11 и а22 имеют разные знаки, то параболоид называется гиперболическим. Каноническое уравнение гиперболического параболоида имеет видЭто уравнение также легко может быть получено из (13). ( 2°. Два из коэффициентов aґ11 , аґ22 , aґ33 равны нулю. Ради определенности будем считать, что aґ11 = 0 и аґ22 = 0 Перейдем от х,', у', z' к. новым координатам х, у, z по формулам :Подставляя х', у' и z' , найденные из (16) в левую часть (7) и заменяя затем aґ33 на a33 , aґ14 на р , aґ24 на q и aґ44 на r , получим следующее уравнение поверхности S в новой системе координат Охуz : a33 z2 2px 2qy r = 0 (17) 1) Пусть р=0, q=0. Поверхность S распадается на пару параллельных плоскостей При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки a33 и r одинаковы, и вещественными, если знаки a33 и r различны, причем при r = 0 эти плоскости сливаются в одну.

Гиперболоиды Гиперболо'иды (от греч. hyperbole — гипербола и eidos — вид), незамкнутые центральные поверхности (второго порядка). Различают два вида Г.: однополостный Г. (рис. 1) и двуполостный Г. (рис. 2). Они представляют собой два типа из общего числа пяти основных типов поверхностей второго порядка и в пересечении со всевозможными плоскостями дают все конические сечения — эллипс, гиперболу и параболу, а также пары прямых (в случае однополостного Г.). Г. неограниченно приближается к конической поверхности (т. н. асимптотическому конусу). Однополостный Г. представляет собой линейчатую поверхность. В надлежащей системе координат (см. рис. 1, 2) уравнения Г. имеют вид:   x2/a2+y2/b2—z2/c2 = 1 (однополостный),   х2/а2+у2/b2—z2/c2 = —1 (двуполостный). Рис. 2. Двуполостный гиперболоид. Рис. 1. Однополостный гиперболоид. Гиперборейская платформа Гиперборе'йская платфо'рма (от греч. hyperboreios — находящийся на крайнем севере), гипотетическая докембрийская континентальная платформа, располагавшаяся в области современного Северного Ледовитого океана к С. от Новосибирских островов, о

1. Исследование кривых и поверхностей второго порядка

2. Собственные значения.

3. Кривые и поверхности второго порядка

4. Задача на собственные значения для вырождающегося уравнения смешанного типа

5. Алгебраическая проблема собственных значений

6. Кривые второго порядка
7. Кривые и поверхности второго порядка
8. Вычисление характеристических многочленов, собственных значений и собственных векторов

9. Расчет частотных характеристик активного фильтра второго порядка на операционном усилителе

10. Расчет частотных характеристик активного фильтра второго порядка на операционном усилителе

11. Локальная и нелокальная задачи для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта

12. Разработка программы на языке LISP для построения кривых Серпинского i-го порядка

13. Замечательные кривые в математике. Прямая, окружность, циклоида, кривая кратчайшего спуска, спираль Архимеда, лемниската, Т. Барианшона, Т. Паскаля

14. Поверхности 2-го порядка

15. Разработка программы для построения кривых Серпинского i-го порядка

16. Собственный капитал и его значение в деятельности банка

Принцессы. 5 часов активной игры. Более 400 наклеек!. Ватт Фиона
Все девчонки очень любят наряжаться! А еще они с удовольствием поют и танцуют. Им нравится путешествовать, узнавать что-то новое и вообще
346 руб
Раздел: Альбомы, коллекции наклеек
Дневник в комплекте с пеналом "Джинс", цвет обложки синий.
Формат: А5+ (210х160 мм). Количество листов: 48. Внутренний блок: белый офсет 70 г/м2, печать в 1 краску. Способ скрепления:
354 руб
Раздел: Для старших классов
Пазл-рамка "Где чей домик?", дерево (2 слоя).
Вкладыши в игре сложной формы и поэтому, подбирать для них места на доске, занятие не самое простое. Для начала можно не вынимать животных
380 руб
Раздел: Рамки-вкладыши

17. Виды права собственности в зависимости от числа собственников. Индивидуальная (персональная) и общая собственность

18. Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

19. Решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Комплексные числа

20. Отношения собственности: содержание, формы и их значение в рыночной экономике

21. Проект "Глобалстар". Геодезические спутники /ERS-1,ERS-2/

22. Теоретическое значение антропологии
23. Значение сна и сновидений. Предупреждение нарушений сна
24. Кораллы. Разнообразие и значение

25. Роль и значение машиностроительного комплекса в структуре народного хозяйства России

26. Значение газа и перспективы развития газовой отрасли в Казахстане

27. Коллекторские свойства нефтеносных пластов. Их значение при определении запасов месторождения

28. Реформы собственности и социальная дифференциация в переходный период /Украина/

29. Административная ответственность за нарушение порядка государственного управления и правил охраны здоровья. Органы, уполномоченные рассматривать дела об административных правонарушениях

30. Интеллектуальная собственность в России

31. Гражданское, наследственное и право собственности по Судебникам 1497 и 1550 гг. Различия этих судебников в других отраслях права, кроме гражданского, наследственного и права собственности

32. Интеллектуальная собственность в сети Internet

Мешок для обуви, цвет серый (арт. OM-846-5/1).
Объемный мешок для обуви, одно отделение, боковой карман на молнии, дополнительная ручка-петля, лямки из репсовой стропы. Вместимость:
379 руб
Раздел: Сумки для обуви
Планшет для акварели "Белая роза", 20 листов, А3.
Специальная бумага предназначена для рисования акварелью. Не деформируется при намачивании. Формат: А3. Количество листов: 20. Внутренний
318 руб
Раздел: Папки для акварелей, рисования
Мелки восковые супер мягкие в пластиковом держателе, 6 цветов.
Мелки восковые супер мягкие в пластиковом держателе. Количество цветов: 6. Возраст: с 3 лет.
324 руб
Раздел: Восковые

33. Нормы ГК, которые определяют особенности порядка заключения договоров по недвижимости

34. Право собственности на квартиру и жилой дом

35. Право собственности некоммерческих организаций на жилые и нежилые помещения

36. Приобретение права собственности на движимое и недвижимое имущество, сравнительная характеристика

37. Собственность и право собственности

38. Гражданско-правовые способы защиты права собственности и ограниченных вещных прав
39. Право собственности на автомобиль
40. Право собственности и другие вещные права

41. Право собственности

42. Право собственности на землю

43. Значение разделов Польского государства 1772, 1793, 1794 годов

44. Судебная реформа в XIX веке и ее прогрессивное значение

45. Движение декабристов. Причины, характер движения. Судьба и значение движения

46. Соборное Уложение 1649 г. и его значение

47. Правовая система России во 2-й половине XlX - начале ХХ вв. Судебная реформа

48. Интеллект как собственность

Ковш для ванны "Flipper", с лейкой, мятный.
Ковшик для купания и мытья головы Flipper в виде дельфина превратит каждое купание вашего малыша в веселую игру! Мягкий край из
406 руб
Раздел: Ковшики
Настольная игра "Спящие королевы".
Проснитесь и играйте! Королева Роз, Королева Тортов и десять их ближайших подруг заснули, поддавшись сонным чарам и именно вам предстоит
606 руб
Раздел: Карточные игры
Настольная игра "Морской бой для детей" (арт. Ин-1761).
Традиционная настольная игра для всей семьи теперь в новом исполнении! Двум капитанам предстоит сразиться на безбрежной глади океана. Тот,
396 руб
Раздел: Классические игры

49. Интеллектуальная собственность во Франции

50. Субъекты рыночной экономики. Формы собственности в Украине

51. Современные проблемы юрисдикционного иммунитета государства и его собственности в международном частном праве

52. Способы формирования муниципальной собственности: правовое регулирование и сравнительный анализ

53. Муниципальная собственность как объект муниципального управления (на примере МО “Город Архангельск”)

54. Структура, содержание и значение общей части Налогового кодекса России
55. Право интеллектуальной собственности
56. 1. Документы первичного учёта в органах МВД, прокуратуре и судах. 2. Динамические ряды и их виды

57. Приватизация государственной и муниципальной собственности

58. Римское право, его значение в истории правового развития человечества и в современной юриспруденции

59. Значение, цели, задачи и основные принципы трудового права

60. Расторжение трудового договора по инициативе работника (по собственному желанию)

61. Значение института несостоятельности (банкротства)

62. Пословицы, поговорки английского языка. Их значение, употребление и русские эквиваленты

63. История математики

64. Культура: особенности и значение, взгляды и понятия

Экспресс-скульптор "Эврика", малый.
Настоящее искусство в Ваших руках! Экспресс-скульптор - это не только стимулятор творческих способностей, но и точечный
448 руб
Раздел: Антистрессы
Защитная накидка на автокресло "Зверята".
Защитная накидка на автокресло. Карман на молнии. Два кармана на липучке. Материал: текстиль. Размер: 44х69,5 см.
318 руб
Раздел: Прочее
Мешок для обуви "Space".
Мешок для обуви с увеличенными габаритами со светоотражающими элементами. Мешок изготовлен из износо- и морозостойкого водоотталкивающего
380 руб
Раздел: Сумки для обуви

65. Русское юродство как феномен культуры, его национальное значение

66. Математика в Элладе. Фалес Милетский

67. Падежи: второй родительный и предложный. Функции и значения

68. 1. Початк граматичнох традицiх 2. Теоретичне пiдгрунтя кодифiкаторнох галицьких мовознавцiв 3. Специфiка наукового пiзнання лiтературнох мови

69. Значення творчості Т. Г. Шевченка (Значение творчества Тараса Григорьевича Шевченко)

70. Конспект критических материалов. Русская литература 2-й четверти XIX века
71. Билеты по литературе (2 курс 2 семестр, 2004г.)
72. Художественная деталь, ее роль и значение в произведениях прозы Н. В. Гоголя, И. С. Тургенева, Ф. М. Достоевского

73. Математик И.Г. Петровский

74. Японо-Советско-Германские отношения перед 2 мировой войной

75. Великое посольство и его значение

76. Немецкие парашютисты: создание, формирование, подготовка, оснащение и участие в боевых действиях (немецкие ВДВ во 2-й мировой войне)

77. Земельная собственность и фермерское движение в США в 19 веке

78. Концепция Л.Н. Гумилева "Этногенез и биосфера земли" и ее значение в развитии философии истории

79. Значение в отечественной историографии и истории трудов Василия Осиповича Ключевского

80. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера

Подушка для автокресел, детская "Roxy" от 1 до 3 лет.
Детские подушки-рогалики обеспечивают комфортный сон в автомобильном путешествии. Удобная форма рогалика поддерживает шею и не позволяет
391 руб
Раздел: Дорожные пледы, подушки
Магнитные истории "Мир вокруг".
Детская магнитная игра "Мир вокруг" поможет в большом кругу друзей весело провести время. Она заключается в следующем – ребенку
499 руб
Раздел: Игры на магнитах
Карандаши цветные "Kores", 24 цвета, с точилкой.
Цветные карандаши имеют насыщенные цвета. Шестигранная форма корпуса снижает усталость и придает дополнительный комфорт. Мягкий грифель.
396 руб
Раздел: 13-24 цвета

81. Процессор для ограниченного набора команд /2 (4)

82. Значение логики

83. Билеты, решения и методичка по Информатике (2.0)

84. Сравнение операционных систем /DOS, UNIX, OS (2, WINDOWS/ (Write)

85. Организация файловых систем в OS (2 (WinWord)

86. Лабораторная работа №2 по "Основам теории систем" (Решение задач линейного программирования симплекс-методом. Варианты разрешимости задач линейного программирования)
87. Основы математики
88. Дискретная математика

89. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Куты 4 порядка

90. Математика для института

91. Дискретная математика: "Графы"

92. Расчетно-графическая работа по специальным главам математики

93. Математика (Шпаргалка)

94. Выдающиеся личности в математике

95. Шпаргалки по математике (логарифмы, тригонометрия) (Шпаргалка)

96. Все необходимые формулы по математике (Шпаргалка)

Логическая игра "IQ-ХоХо", арт. SG 444 RU.
Заполните игровое поле десятью двухсторонними деталями головоломки, располагая Х и О в определённой последовательности. Выполните все 120
525 руб
Раздел: Игры логические
Шары для сухого бассейна, 100 штук.
Шары для сухого бассейна упакованы в тубус, что удобно для хранения и переноски. Количество шаров 100 штук вполне хватит для детской ванны
1037 руб
Раздел: Шары для бассейна
Мягкий пол универсальный, синий, 60x60 см (4 детали).
4 детали - 1,5 кв.м. Пол идет в комплекте с кромками.
1080 руб
Раздел: Прочие

97. Расчетная работа по дискретной математике

98. Гениальные математики Бернулли

99. Содержание и значение математической символики

100. Отношение сознания к материи: математика и объективная реальность


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.