Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений

Ручка "Шприц", желтая.
Необычная ручка в виде шприца. Состоит из пластикового корпуса с нанесением мерной шкалы. Внутри находится жидкость желтого цвета,
31 руб
Раздел: Оригинальные ручки
Карабин, 6x60 мм.
Размеры: 6x60 мм. Материал: металл. Упаковка: блистер.
44 руб
Раздел: Карабины для ошейников и поводков
Чашка "Неваляшка".
Ваши дети во время приёма пищи вечно проливают что-то на ковёр и пол, пачкают руки, а Вы потом тратите уйму времени на выведение пятен с
222 руб
Раздел: Тарелки

Кафедра: АСОИиУ Лабораторная Работа На тему: НАХОЖДЕНИЕ КОРНЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Москва, 2008 год НАХОЖДЕНИЕ КОРНЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ 1. Постановка задачи Пусть задана функция , непрерывная вместе со своими несколькими производными. Требуется найти все или некоторые вещественные корни уравнения .(1) Данная задача распадается на несколько подзадач. Во-первых, необходимо определить количество корней, исследовать их характер и расположение. Во-вторых, найти приближенные значения корней. В-третьих, выбрать из них интересующие нас корни и вычислить их с требуемой точностью e. Первая и вторая задачи решаются, как правило, аналитическими или графическими методами. В случае, когда ищутся только вещественные корни уравнения (1), полезно составить таблицу значений функции . Если в двух соседних узлах таблицы функция имеет разные знаки, то между этими узлами лежит нечетное число корней уравнения (по меньшей мере, один). Если эти узлы близки, то, скорее всего, корень между ними только один. Найденные приближенные значения корней можно уточнить с помощью различных итерационных методов. Рассмотрим три метода: 1) метод дихотомиии (или деление отрезка пополам); 2) метод простой итерации и 3) метод Ньютона. 2. Методы решения задачи 2.1 Метод деления отpезка пополам Наиболее простым методом, позволяющим найти корень нелинейного уравнения (1), является метод половинного деления. Пусть на отрезке задана непрерывная функция Если значения функции на концах отрезка имеют разные знаки, т.е. то это означает, что внутри данного отрезка находится нечетное число корней. Пусть для определенности корень один. Суть метода состоит в сокращении на каждой итерации вдвое длины отрезка. Находим середину отрезка (см. рис. 1) Вычисляем значение функции и выбираем тот отрезок, на котором функция меняет свой знак. Новый отрезок вновь делим пополам. И этот процесс продолжаем до тех пор, пока длина отрезка не сравняется с наперед заданной погрешностью вычисления корня e. Построение нескольких последовательных приближений по формуле (3) приведено на рисунке 1. Итак, алгоритм метода дихотомии: 1. Задать отрезок и погрешность e. 2. Если f(a) и f(b) имеют одинаковые знаки, выдать сообщение о невозможности отыскания корня и остановиться. Рис.1. Метод деления отрезка пополам для решения уравнения вида f(х)=0. 3. В противном случае вычислить c=(a b)/2 4. Если f(a) и f(c) имеют разные знаки, положить b=c, в противном случае a=c. 5. Если длина нового отрезка , то вычислить значение корня c=(a b)/2 и остановиться, в противном случае перейти к шагу 3. Так как за шагов длина отрезка сокращается в 2 раз, то заданная погрешность отыскания корня e будет достигнута за итераций. Как видно, скорость сходимости мала, но к достоинствам метода относятся простота и безусловная сходимость итерационного процесса. Если отрезок содержит больше одного корня (но нечетное число), то всегда будет найден какой-нибудь один. Замечание. Для определения интервала, в котором лежит корень, необходим дополнительный анализ функции , основанный либо на аналитических оценках, либо на использование графического способа решения.

Можно также организовать перебор значений функции в различных точках, пока не встретится условие знакопеременности функции 2.2 Метод простой итерации При использовании этого метода исходное нелинейное уравнение (1) необходимо переписать в виде (2) Обозначим корень этого уравнения C . Пусть известно начальное приближение корня . Подставляя это значение в правую часть уравнения (2), получаем новое приближение и т.д. Для ( 1)- шага получим следующее приближение (3) Таким образом, по формуле (3) получаем последовательность С0, С1, ,С 1, которая стремиться к корню С при ®Ґ. Итерационный процесс прекращается, если результаты двух последовательных итераций близки, т. е. выполняется условие (4) Исследуем условие и скорость сходимости числовой последовательности {C } при ®Ґ. Напомним определение скорости сходимости. Последовательность {C }, сходящаяся к пределу С , имеет скорость сходимости порядка a, если при ®Ґ выполняется условие (5) Допустим, что имеет непрерывную производную, тогда погрешность на ( 1)-м итерационном шаге e 1=C 1-C =g(C )-g(C ) можно представить в виде ряда e 1 » C 1 – C = gў(C ) (C -C ) ј@ gў(C ) e ј Таким образом, получаем, что при выполнении условия зgў(C ) з&l ; 1(6) последовательность (3) будет сходиться к корню с линейной скоростью a=1. Условие (6) является условием сходимости метода простой итерации. Очевидно, что успех метода зависит от того, насколько удачно выбрана функция . Например, для извлечения квадратного корня, т. е. решения уравнения вида x =a2, можно положить x=g1(x)=a/x(7а) или x=g2(x)=(x a/x)/2.(7б) Нетрудно показать, что Ѕg1'(C)Ѕ=1, Ѕg2'(C)Ѕ&l ;1. Таким образом, первый процесс (7а) вообще не сходится, а второй (7б) сходится при любом начальном приближении С0 &g ;0. Рис. 2. Графическая интерпретация метода простых итераций для решения уравнения вида x=g(х). Построение нескольких последовательных приближений по формуле (3) С0, С1, , С = C приведено на рисунке 2. 2.3 Метод Ньютона В литературе этот метод часто называют методом касательных, а также методом линеаризации. Выбираем начальное приближение С0. Допустим, что отклонение С0 от истинного значения корня С мало, тогда, разлагая f(C ) в ряд Тейлора в точке С0 , получим f(C ) = f(C0) f ў(C0) (C -C0) ј(8) Если f ў(C0) № 0 , то в (8) можно ограничится линейными по DC =C-C0 членами. Учитывая, что f(C )=0, из (9) можно найти следующее приближение для корня C1 = C0 – f (C0) / fў(C0) или для ( 1)-го приближения C 1= C – f (C ) / f ў(C )(9) Для окончания итерационного процесса можно использовать одно из двух условий зC 1 – C з&l ; e или зf(C 1) з&l ; e. Исследование сходимости метода Ньютона проводится аналогично предыдущему случаю. Самостоятельно получить, что при выполнении условия Ѕf ''(C)/2f'(C)Ѕ&l ;1. метод Ньютона имеет квадратичную скорость сходимости (). Рис. 3. Графическая интерпретация метода Ньютона для решения уравнения вида f(х)=0. Построение нескольких последовательных приближений по формуле (9) С0, С1, , С = C приведено на рисунке 3. Задание 1. Для заданной функции f(x) определите число вещественных корней уравнения f(x)=0, место их расположения и приближенные значения (постройте график или распечатайте таблицу значений).

Вычислите один из найденных корней (любой) с точностью e=0,5 10-3. Для вычислений используйте метод деления отрезка пополам (определите число итераций), а затем этот же корень найдите с помощью метода Ньютона (также определив число итерационных шагов). Сравните полученные результаты. Варианты заданий 1. x3 –3x2 6x – 5 = 0 2. x 3 si x –12x-1=0 3. x3 –3x2 –14x – 8 = 0 4. 3x cos x 1 =0 5. x2 4si x –1 = 0 6. 4x –l x = 5 7. x6 –3x2 x – 1 = 0 8. x3 – 0.1x2 0.3x –0.6 = 0 9. 10. ( x -1)3 0.5ex = 0 11. 12. x5 –3x2 1 = 0 13. x3 –4x2 –10x –10 = 014. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. x 4- 2.9x3 0.1x2 5.8x - 4.2=0 25. x4 2.83x3- 4.5x2-64x-20=0 26. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Постановка задачи Пусть требуется решить систему нелинейных уравнений: (1) Прямых методов решения системы (1) не существует. Лишь в отдельных случаях эту систему можно решить непосредственно. Например, для случая двух уравнений иногда удаётся выразить одну неизвестную переменную через другую и таким образом свести задачу к решению одного нелинейного уравнения относительно одного неизвестного. Систему уравнений (1) можно кратко записать в векторном виде: . (2) Уравнение (2) может иметь один или несколько корней в области определения D. Требуется установить существование корней уравнения и найти приближённые значения этих корней. Для нахождения корней обычно применяют итерационные методы, в которых принципиальное значение имеет выбор начального приближения. Начальное приближение иногда известно из физических соображений. В случае двух неизвестных начальное приближение можно найти графически: построить на плоскости (x1, x2) кривые f1(x1, x2)=0 и f2(x1, x2)=0 и найти точки их пересечения. Для трех и более переменных (а также для комплексных корней) удовлетворительных способов подбора начального приближения нет. Рассмотрим два основных итерационных метода решения системы уравнений (1), (2) - метод простой итерации и метод Ньютона. 2. Методы решения системы нелинейных уравнений 2.1.Метод простой итерации Представим систему (1) в виде (3) или в векторной форме: (4) Алгоритм метода простой итерации состоит в следующем. Выберем некоторое нулевое приближение Следующее приближение находим по формулам: или более подробно: (5) Итерационный процесс (5) продолжается до тех пор, пока изменения всех неизвестных в двух последовательных итерациях не станут малыми, т.е. На практике часто вместо последнего условия используют неравенство: (6) где - среднеквадратичная норма -мерного вектора , т.е. При использовании данного метода успех во многом определяется удачным выбором начального приближения : оно должно быть достаточно близким к истинному решению. В противном случае итерационный процесс может не сойтись. Если процесс сходится, то его скорость сходимости является линейной. 2.2. Метод Ньютона В переводной литературе можно встретить название метод Ньютона-Рафсона. Этот метод обладает гораздо более быстрой сходимостью, чем метод простой итерации. Пусть известно некоторое приближение к корню , так что Тогда исходную систему (2) можно записать следующим образом: Разлагая уравнение (7) в ряд Тейлора в окрестности точки и ограничиваясь линейными членами по отклонению , получим: , или в координатной форме: (8) Систему (8) можно переписать в виде: (9) Полученная система (9) является системой линейных алгебраических уравнений относительно приращений .

Для определения минимума функции двух переменных вычисляются частные производные этой функции по каждому из оцениваемых параметров и приравниваются к нулю. Результатом данной процедуры будет стационарная система уравнений для функции (2): . Если разделить обе части каждого уравнения системы на (-2), раскрыть скобки и привести подобные члены, то получим систему нормальных уравнений для функции регрессии вида yi=b0+b1xi: Если решить данную систему нормальных уравнений, то мы получим искомые оценки неизвестных коэффициентов модели регрессии b0 и b1: где Pсреднее значение зависимой переменной; Pсреднее значение независимой переменной; Pсреднее арифметическое значение произведения зависимой и независимой переменных; Pдисперсия независимой переменной; Gcov (x, y) ковариация между зависимой и независимой переменными. Таким образом, явный вид решения системы нормальных уравнений может быть записан следующим образом: 14. Оценка коэффициентов модели парной регрессии с помощью выборочного коэффициента регрессии Помимо метода наименьших квадратов, с помощью которого в большинстве случаев определяются неизвестные параметры модели регрессии, в случае линейной модели парной регрессии осуществим иной подход к решению данной проблемы

1. Нахождение корней уравнения методом Ньютона (ЛИСП-реализация)

2. Проект программного модуля для нахождения корня уравнения

3. Методы нахождения корней полиномов

4. Итерационные методы решения систем линейных уравнений с неединственными коэффициентами

5. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге - Кутты 4 порядка

6. Палеогеография и методы восстановления условий накопления осадков
7. Разработка программы поиска решения системы дифференциальных уравнений двумя методами: Рунге-Кутта и Рунге-Кутта-Мерсона
8. Численное решение системы линейных уравнений с помощью метода исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу

9. Украина в условиях десталинизации (1956-1964): социально-экономическое развитие. Попытки преодоления административно-командных методов управления и их неудачи

10. Методы подобия и моделирования с привлечением физических уравнений

11. Поиски более рационального способа решения систем линейных уравнений с двумя переменными - методом подстановки

12. Экономические методы управления условиями труда в системе повышения качества продукции

13. Способы решения систем линейных уравнений

14. Вредоносные программы, классификация. Методы защиты

15. Разработка программы решения системы линейных уравнений

16. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Набор для черчения "College", 9 предметов.
В набор входит: циркуль 14 см с одной сгибаемой ножкой, циркуль - измеритель, удлинитель, кронциркуль, механический карандаш, контейнер с
539 руб
Раздел: Циркули, чертежные инструменты
Детский трехколесный велосипед Jaguar (цвет: синий).
Облегченный трехколесный велосипед с родительской ручкой, для малышей от 2 до 4 лет. Удобный, маневренный, отличная модель для получения
2500 руб
Раздел: Трехколесные
Карандаши с разноцветным грифелем "Magic", 5 штук.
Карандаши с разноцветным грифелем. Диаметр: 10 мм. В комплекте: 5 штук.
427 руб
Раздел: До 6 цветов

17. ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения системы алгебраических уравнений

18. Метод простых итераций с попеременно чередующимся шагом

19. Решение произвольных систем линейных уравнений

20. Решение систем дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка

21. НАХОЖДЕНИЕ ВСЕХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО МНОГОЧЛЕНА МЕТОДОМ ДЕЛЕНИЯ ОТРЕЗКА ПОПОЛАМ (БИСЕКЦИИ) И МЕТОДОМ ХОРД И КАСАТЕЛЬНЫХ С УКАЗАННОЙ ТОЧНОСТЬЮ И УЧЕТОМ ВОЗМОЖНОЙ КРАТНОСТИ КОРНЕЙ

22. Нахождение всех действительных корней алгебраического многочлена методом деления отрезка пополам (бисекции)
23. Вычисление корней нелинейного уравнения
24. Вычисление корней нелинейного уравнения

25. Метод касательных решения нелинейных уравнений

26. Итерационные методы решения нелинейных уравнений

27. Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена

28. Нелинейное уравнение и интервал изоляции корня

29. Разработка программного обеспечения решения нелинейных уравнений

30. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и Зейделя

31. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА

32. Приближённые методы решения алгебраического уравнения

Карандаши цветные "Nuance", 24 цвета.
Карандаши цветные. Пластиковый трехгранный корпус. Диаметр грифеля: 3 мм. В наборе: 24 цвета.
404 руб
Раздел: 13-24 цвета
Мягкий пол универсальный, желтый, 30x30 см (9 деталей).
Данный вид напольного покрытия прекрасно совмещается с мягкими полами 60х60 см и ковриком-пазлом «Классики». 9 деталей - 1 кв.м. Пол идет
754 руб
Раздел: Прочие
Статуэтка "Римская богиня счастья и удачи - Фортуна", 20 см, арт. 127548.
Статуэтка "Римская богиня счастья и удачи - Фортуна" - это отличный вариант подарка. Красивый продуманный дизайн и высокое
696 руб
Раздел: Статуэтки интерьерные

33. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера

34. Новый метод «дополнительных краевых условий» Алексея Юрьевича Виноградова для краевых задач

35. Учет амортизации ОС и методы ее начисления в условиях рынка

36. Статистические методы анализа финансового состояния предприятия в условиях рынка

37. Методы решения уравнений в странах древнего мира

38. Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных
39. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток
40. Методы квантования систем с нелинейной геометрией фазового пространства

41. Окружение и локализация корня нелинейной функции действительной переменной

42. Решение задачи методами линейного, целочисленного, нелинейного и динамического программирования.

43. Методы оценки финансового состояния предприятия в современных условиях.

44. Решение системы нелинейных уравнений

45. Индустриализация:стратегия, условия и методы

46. Приближенное вычисление корней в уравнения

47. Приближённые методы решения алгебраического уравнения

48. Решение систем линейных дифференциальных уравнений пятиточечным методом Адамса – Башфорта

Набор из 2 мягких ракеток с мячом, арт. Т59921.
Набор для игр с мячом и круглыми, мягкими, ярко оформленными ракетками "батут" оценят, как взрослые, так и дети. Игра с такими
353 руб
Раздел: Ловушки мячей, кэтчбол, огоспорт
Бумага для струйных принтеров "Lomond", 220 г/м, 50 листов, матовая, двухсторонняя, А4.
Изображение отпечатанное на матовой бумаге, не бликует, линии высококонтрастные, чистые тона имеют характерную бархатистую глубину.
355 руб
Раздел: Фотобумага для цветной печати
Пресс для формирования котлет с начинкой "От шефа" 3 в 1.
Мечтаете примерить на себя роль настоящего шеф-повара? Хотите, чтобы Ваши блюда искренне хвалили? С прессом для формирования котлет
328 руб
Раздел: Прочее

49. Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы

50. Комплексный метод оценивания дополнительных аудиторских рисков, возникающих в условиях компьютерной обработки данных, на основе современных информационных технологий

51. Латентная преступность и методы её выявления в современных условиях

52. Разработка программного обеспечения для решения уравнений с одной переменной методом Ньютона (касательных)

53. Численное решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

54. Методы исследования нелинейных систем
55. Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений
56. Решение одного нелинейного уравнения

57. Методы решения алгебраических уравнений

58. Методы оптимизации при решении уравнений

59. Методы и принципы регулирования социально-трудовых отношений на предприятиях в условиях кризиса

60. Формы и методы материального стимулирования труда в рыночных условиях. Теория и практический опыт

61. Методы коррекции с использованием лепки в условиях специальной коррекционной школы

62. Использование методов сказкотерапии в условиях семейного воспитания

63. Методы профилактики наркомании и токсикомании в условиях общеобразовательной школы

64. Методы оценки бизнеса в условиях слияния и поглощения

Перчатки одноразовые "Paclan", латексные, размер S, 100 штук.
Прочные эластичные перчатки из латекса, предназначены для полной защиты рук во время уборки, приготовления пищи. Перчатки легко
492 руб
Раздел: Перчатки
Кружка фарфоровая "FIFA 2018. Забивака. Удар!", 400 мл.
Объем: 400 мл. Материал: фарфор.
358 руб
Раздел: Кружки, посуда
Шампунь-гель детский "Weleda" для волос и тела (с календулой), 200 мл.
Бережно очищает и ухаживает за чувствительной кожей и волосами малышей, деликатно удаляет молочные корочки. Не вызывает раздражения
754 руб
Раздел: Гели, мыло

65. Расчет стоимости исследования скважины методом нейтрон нейтронного каротажа по тепловым нейтронам (ННК-Т) в условиях ОУГР ОАО "Башнефтегеофизика"

66. Методы путевого анализа и их применение к системам одновременных уравнений

67. Метод конечных элементов

68. Изучение миксомицетов среднего Урала, выращенных методом влажных камер

69. Методы исследования в цитологии

70. Влияние цитокинина на рост и развитие проростков пшеницы в зависимости от условий минерального питания
71. МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ ЭВОЛЮЦИИ ЧЕЛОВЕКА
72. Методологическое значение сравнительного метода в зоологических исследованиях

73. Метод радиоавтографии в биологии

74. Мсб /БТР/ в наступлении на подготовленную оборону противника /ФРГ/ с ходу во втором эшелоне полка в условиях применения противником СДМ

75. Марш в особых условиях

76. Зажигательные смеси, состав, средства применения и доставки, вызываемые повреждения, методы лечения и защиты

77. Обеспечение работы с/х предприятия в условиях радиактивного заражения (WinWord)

78. Статистика населения. Методы анализа динамики и численности и структуры населения

79. Гамма – каротаж. Физические основы метода

80. Метод Бокового каротажа

Ножницы "Pigeon" для ногтей новорожденных.
Ножницы для ногтей новорожденных "Pigeon" благодаря маленьким закругленным и тонким лезвиям, позволяют подстригать ногти малыша
721 руб
Раздел: Маникюрные наборы детские
Точилка механическая "Classic", синяя.
Цветной пластиковый корпус с прозрачным контейнером, объемный контейнер для стружки, стальные самозатачивающиеся ножки. Размеры: 91x88x4 мм.
317 руб
Раздел: Точилки
Карандаши металлик, трехгранные, 12 цветов.
Карандаши цветные металлик. Трехгранные. Удобно точить. Прочный грифель. Количество цветов: 12. В ассортименте, без возможности выбора.
324 руб
Раздел: 7-12 цветов

81. Добыча золота методами геотехнологии

82. Государственное регулирование экономики: формы и методы

83. Налоги с населения и их роль в условиях перехода к рынку

84. Основні методи боротьби з інфляцією

85. Предмет, метод, источники Административного права

86. Методы осуществления государственной власти
87. Понятие, виды и условия действительности гражданско-правовых сделок
88. Метод гражданско правового регулирования

89. Улучшение жилищно-коммунальных условий

90. Развитие России в условиях формирования рыночных отношений

91. Формы и методы государственного регулирования экономики в Казахстане

92. Фирма в условиях чистой монополии

93. Правила признания и исполнения решений судов одного государства на территории другого государства и проект договора международной купли-продажи товаров (на условиях F Инкотермс)

94. Пенсии за выслугу лет. Условия назначения

95. Задачи по семейному праву /условие-вопрос-решение/

96. Общие условия производства по делам о нарушении таможенных правил и их рассмотрения

Точилка электрическая "Power TX", 2 отверстия.
Настольная точилка для чернографитовых и цветных карандашей. Прочный пластиковый корпус. Съёмный контейнер для стружки. Работает на 4
523 руб
Раздел: Точилки
Детский велосипед Jaguar трехколесный (цвет: оранжевый).
Детский трехколесный велосипед колясочного типа, для малышей от 10 месяцев до 3 лет. Модель с удлиненной рамой, что позволяет подобрать
1440 руб
Раздел: Трехколесные
Антискользящий резиновый коврик для ванны "Roxy-kids", 35x76 см, белый.
Резиновый коврик с отверстиями ROXY-KIDS создан специально для детей и призван обеспечить комфортное и безопасное купание в ванне. Мягкие
529 руб
Раздел: Горки, приспособления для купания

97. Методы комплексной оценки хозяйственно-финансовой деятельности

98. Цикл-метод обучения. (Методика преподавания эстонского языка)

99. Эффективные методы изучения иностранных языков


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.