Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Инверсия и ее применение

Совок №5.
Длина совка: 22 см. Цвет в ассортименте, без возможности выбора.
18 руб
Раздел: Совки
Наклейки для поощрения "Смайлики 2".
Набор для поощрения на самоклеящейся бумаге. Формат 95х160 мм.
19 руб
Раздел: Наклейки для оценивания, поощрения
Брелок LED "Лампочка" классическая.
Брелок работает в двух автоматических режимах и горит в разных цветовых гаммах. Материал: металл, акрил. Для работы нужны 3 батарейки
131 руб
Раздел: Металлические брелоки

Введение & bsp; В геометрии основную роль играют различные преобразования фигур. В школе подробно изучаются движения и гомотетии, а также их приложения. Важной особенностью этих преобразований является сохранение ими природы простейших геометрических образов: прямые преобразуются в прямые, а окружности – в окружности. Инверсия представляет собой более сложное преобразование геометрических фигур, при котором прямые уже могут переходить в окружности и наоборот. Такой подход позволяет дать в применении к задачам элементарной геометрии единообразную методику изучения. Это, прежде всего, относится к задачам на построение и к теории пучков окружностей. Следует отметить, что рассмотрение указанных разделов элементарной геометрии без применения инверсии связано с привлечением разнообразных, большей частью довольно искусственных построений, носящих частный характер. Кроме указанных приложений, инверсия применяется также в пограничных вопросах элементарной геометрии и так называемой высшей геометрии. В данной работе и рассматривается преобразование, называемое инверсией. Применение преобразования инверсии при решении задач на построение и доказательство позволяет решить ряд задач, которые трудно решить с помощью других методов решения подобных задач. Впервые стали изучать это преобразование в 30-х годах прошлого века. Способ решения задач, который рассматривается в данной работе, называется методом инверсии, или методом обратных радиусов, или методом обращения. Этот метод является мощнейшим среди методов решения задач на построение, которые могут сыграть серьезную роль в математической подготовке школьника, ведь ни один вид задач не дает, пожалуй, столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащихся как геометрические задачи на построение. Дана дипломная работа посвящена преобразованию инверсии и ее применению в решении задач на построение. Для удобства изложения материал разбит на две главы. В первой главе подробно изучается преобразование инверсии: рассматриваются основные свойства инверсии. Во второй главе рассматривается применение инверсии к решению задач на построение, отдельно рассматривается задача Аполлония и вспомогательные задачи, применяемые к решению этой задачи. В конце второй главы в работе представлено приложение, в котором предложено решение некоторых задач, решаемых с помощью инверсии. Работа включает в себя также введение, заключение и список используемой литературы. 1. Инверсия как преобразование плоскости 1.1 Определение инверсии. Построение инверсных точек. Пусть на плоскости дана некоторая окружность щ (О, R) (рис. 1) Рис. 1 Пусть, далее, Р – произвольная точка плоскости, отличная от точки О. Сопоставим ей точку Рґ, которая удовлетворяла бы двум условиям: точка Рґ лежит на луче ОР; ОР ОРґ = R2. Такую точку Рґ мы называем инверсной или обратной точке Р относительно окружности щ. Окружность щ называется базисной окружностью инверсии, ее центр – центром инверсии, а радиус – радиусом инверсии. Преобразование, при котором каждой точке некоторой фигуры ставится в соответствие инверсная ей точка, называется инверсией, а фигура, образованная всеми точками, инверсными точками данной фигуры, называется инверсной по отношению к данной фигуре.

Обратим внимание на то, что при R = 1 ОРґ= 1/ОР, так что ели точка Р инверсна точке Рґ, то расстояния ОР и ОРґ являются взаимно обратными числами. С этим связано то, что точку Рґ называют обратной точке Р, а рассматриваемое преобразование называется преобразованием обратных радиусов (расстояний), или же обращением. Рассмотрим построение инверсных точек: 1 случай. Если точка Р Є (О,Р ), то Рґ= Р (совпадают). 2 случай. Пусть точка Р вне базисной окружности. Построение. 1.& bsp;& bsp;& bsp;& bsp; щ (О, R) и Р – данная точка. 2.& bsp;& bsp;& bsp;& bsp; РК – касательная к окружности щ. К Є щ. 3.& bsp;& bsp;& bsp;& bsp; КРґ┴ОР, Рґ Є ОР, Рґ - инверсна точке Р. (рис 2). Рис. 2. Доказательство. Рассмотрим подобные треугольники ОРК и ОКРґ. Из подобия следует: =  или ОР ОРґ = R2 . Точка Рґ Є ОР (по построению). 3 случай. Точка Р – внутри базисной окружности. Тогда построение выполняем в обратом порядке. Построение. 1.& bsp;& bsp;& bsp;& bsp; щ (О, R) и Р – данная точка. 2.& bsp;& bsp;& bsp;& bsp; РК┴ОР, К Є щ. 3.& bsp;& bsp;& bsp;& bsp; КР – касательная к окружности. 1.2 Свойства инверсии Прежде, чем рассмотреть свойства инверсии, установим одну простую лемму, которая играет существенную роль при изучении свойств инверсии. Лемма. Пусть инверсия ц переводит точки А и В соответственно в точки Аґ и Вґ (предполагается, что точки А и В отличны от точки О и бесконечно удаленной точки и, кроме того, точки О, А, В не лежат на одном луче с началом в точке О). Тогда треугольники ОАВ и ОАґВґ подобны и ∟ОАВ= ∟ОВґАґ, ∟ОВА= ∟ОАґВґ. Доказательство: У треугольников ОАВ и ОАґВґ (рис.3) имеется общий угол, а стороны, заключающие этот угол, пропорциональны. Действительно, так как ОАОАґ = ОВОВґ = r2, то  = . Отсюда следует, что треугольники ОАВ и ОАґВґ подобны. Рис 3. Но так как против пропорциональных сторон в подобных тре6угольниках лежат равные углы, то из соотношения  =  следует равенство соответствующих углов: ∟ОАВ= ∟ОВґАґ, ∟ОВА= ∟ОАґВґ. Лемма доказана. Теорема 1. Инверсия ц переводит любую прямую, проходящую через центр инверсии, саму на себя, т. е. прямая, проходящая через центр инверсии, есть инвариантная фигура. Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает из определения инверсии. Теорема 2. Инверсия ц преобразует прямую, не проходящую через центр инверсии О, в окружность, проходящую через точку О. Доказательство: Пусть l – прямая, не проходящая через центр инверсии – точку О. Опустим из точки О перпендикуляр на прямую l , и пусть он пересекает l в точке М (рис 4). Пусть Мґ образ точки М относительно инверсии ц. Точка Мґ, очевидно, лежит на луче ОМ. На прямой l рассмотрим произвольную точку X, отличную от бесконечно удаленной точки О ∞. Пусть Xґ - образ Х относительно инверсии ц. Тогда по лемме 1 имеем ∟ОXґМґ = ∟ОМХ = . Поэтому точка Xґ лежит на окружности К, построенной на отрезке ОМґ как на диаметре. Так как точка Х взята на прямой l произвольно, то образ прямой l при инверсии ц представляет собой совокупность точек l′, расположенную на окружности К.

Рис. 4 Докажем теперь, что множество точек l′ совпадает с окружностью К. прежде всего отметим, что точка О принадлежит множеству l′. Это вытекает из того, что прямая l проходит через бесконечно удаленную точку О ∞, а эту точку инверсия ц переводит в точку О. Пусть теперь Y – произвольная точка окружности К. Луч ОY пересекает прямую l в некоторой точке Z. Так как точки Y и Z лежат на одном луче ОZ, то нам нужно лишь проверить, что выполняется соотношение ОY = . По построению треугольники ОYМґ и ОМZ (рис 4) подобны. Поэтому  = . Отсюда ОY =  = . Итак, доказано, что точка Y есть образ точки Z при инверсии ц. Теорема доказана. Построение, проведенное в доказательстве теоремы 2, дает способ построения образа заданной прямой относительно инверсии ц с помощью циркуля и линейки. Из центра инверсии – точки О – опускаем перпендикуляр ОМ (рис 4) на прямую l. Строим точку Мґ, являющуюся образом точки М (при этом приходится строить отрезок длиной, равной r2/ОМ). Образ прямой l относительно инверсии – окружность lґ - строится на отрезке ОМґ как на диаметре. Теорема 3. Инверсия ц преобразует окружность, проходящую через центр инверсии О, в прямую, не проходящую через точку О. Доказательство этой теоремы вытекает из доказательства теоремы 2. Теорема 4. Инверсия ц преобразует окружность, не проходящую через центр инверсии О, в некоторую окружность, также не проходящую через центр инверсии. Доказательство: пусть К – окружность, не проходящая через центр инверсии О. Через точку О проведем прямую g так, чтобы она пересекала окружность К по диаметру АВ (рис 5). Рис 5. Пусть Аґ и Вґ - образы точек А и В относительно инверсии ц, Х – произвольная точка окружности К и Хґ - ее образ. По лемме 1 треугольники ОХА и ОХґАґ подобны и потому ∟ОАґХґ = ∟ОХА; аналогично треугольники ОХВ и ОХґВґ подобны и, следовательно, ∟ОВґХґ = ∟ОХВ. Так как ∟АґХґВґ = ∟ОВґХґ - ∟ОАґХґ = ∟ОХВ - ∟ОХА = ∟АХВ = , то отсюда вытекает, что отрезок АґВґ из точки Хґ виден под углом  и, стало быть, точка Хґ лежит на окружности S, построенной на отрезке АґВґ как на диаметре. Поскольку точка Х на окружности К была выбрана произвольно, то Кґ - образ окружности К при инверсии ц – расположен на окружности S. Пусть Y – произвольная точка окружности S и Z – точка на луче ОY такая, что ОZ = . Очевидно, что точка Z переводится инверсией ц в точку Y. Далее, из соотношений ОА ОАґ = r2 ОВ ОВґ = r2 ОZ OY = r2 и леммы 1 вытекает, что ∟AZB = ∟OZB - ∟OZA = ∟OB′Y - ∟OA′Y =∟A′YB′ = . Следовательно, что точка Z лежит на окружности К. отсюда вытекает, что фигуры S и Кґ совпадают. Так как по построению концы диаметра окружности К – точки А, В – отличны от точки О, то окружность Кґ не проходит через точку О. Построения , приведенные выше, дают возможность строить образ окружностей при инверсии с помощью циркуля и линейки. Рассмотрим этот вопрос более подробно. а) Окружность не проходит через центр инверсии. В этом случае проводим из точки О луч, который пересекает окружность К по диаметру АВ, для точек А и В строим их образы Аґ и Вґ.

Среди газовых лазеров выделяются гелий-неоновый лазер и лазер на смеси углекислого газа, азота и гелия (СО2 — лазер), которые могут работать, как в импульсном, так и в непрерывном режимах. С помощью гелий-неонового лазера получены световые колебания очень высокой стабильности (~ 10–13) и высокой монохроматичности (Dn = 1 гц при частоте 1014 гц). Хотя кпд этого лазера крайне невелик (0,01%), именно высокая монохроматичность и направленность его излучения (обусловленные, в частности, однородностью его активной среды) сделали этот лазер незаменимым при всякого рода юстировочных и нивелировочных работах. Мощный СО2 — лазер (К. Пател, 1964, США) генерирует инфракрасное излучение (l = 10,6 мкм). Его кпд, достигающий 30%, превосходит кпд всех существующих лазеров, работающих при комнатной температуре. Особенно перспективен газодинамический лазер на СО2. С его помощью можно получить в непрерывном режиме мощность в десятки квт. Монохроматичность, направленность и высокая мощность делают его весьма перспективным для целого ряда технологических применений.   В полупроводниковых лазерах инверсия достигается главным образом при инжекции носителей тока через электронно-дырочный переход соответствующим образом легированного полупроводника

1. Основные подходы к оценке стоимости бизнеса и перспективы их применения к решению задач управления инновационными предприятиями

2. Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам Дирихле

3. Применение подобия к решению задач

4. Применение спектральной сейсморазведки для решения задач инженерной геологии

5. Расчет экономической эффективности применения ПЭВМ для решения задачи

6. Применение методов экономической статистики при решении задач
7. Применение линейного программирования для решения задач оптимизации
8. Формирование структуры электронного учебника и решение задач на ней

9. Лабораторная работа №2 по "Основам теории систем" (Решение задач линейного программирования симплекс-методом. Варианты разрешимости задач линейного программирования)

10. Решение задач - методы спуска

11. Построение решения задачи Гурса для телеграфного уравнения методом Римана

12. Решение задач линейного программирования

13. Решение задач линейной оптимизации симплекс – методом

14. Решение задач на построение сечений в многогранниках методом следов

15. Возможности радиолокационного тренажера NMS-90 и его использование для решения задач расхождения судов в условиях ограниченной видимости

16. Формулы для решения задач по экономике предприятия

Вакуумные пакеты с вешалкой 3 штуки: 70х105 см (2 штуки), 70х145 см (1 штука).
Характеристики: - уменьшают объём мягких предметов в 3-4 раза; - надежно защищают вещи от моли, грязи и сырости; - очень износоустойчивы и
529 руб
Раздел: Вакуумные пакеты
Набор "My Little Pony", 3 предмета.
Набор посуды в подарочной упаковке. Кружка 250 мл. Салатник 13 см. Тарелка 19,5 см.
578 руб
Раздел: Наборы для кормления
Логическая игра "Лабиринт".
781 руб
Раздел: Сортеры, логические игрушки

17. Решение задач линейной оптимизации симплекс – методом

18. Решение задач с помощью ортогонального проектирования

19. О методике решения задач на относительность движения при изучении основ кинематики в 9 классе общеобразовательной школы

20. Построения коллектива с акцентом на решение задач или на поддержание отношений в нем

21. Пример решения задачи по механике

22. Влияние использования схем, чертежей, иллюстраций на формирование ЗУН при обучении младших школьников решению задач на движение
23. Пути повышения эффективности обучения решению задач
24. Психодиагностические методики исследования личности и ее свойств

25. Решение задач транспортного типа методом потенциалов

26. Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки

27. Решение задач по химии

28. Модель процесса принятия решения покупателем и ее составляющие

29. Материя, ее свойства и виды

30. Методы решения задач

31. Решение задачи о кратчайшем маршруте

32. Построение математических моделей при решении задач оптимизации

Подставка для колец "Кошка", 12 см.
Регулярно удалять пыль сухой, мягкой тканью. Материал: металл (сплав цинка с покрытием золотой краской), стекло. Высота: 12 см. Товар не
365 руб
Раздел: Подставки для украшений
Ручка перьевая "Velvet Prestige", синяя, 0,8 мм, корпус хром/золото.
Перьевая ручка "Velvet Prestige". Цвет корпуса: хром/золото. Материал корпуса: металл. Материал пера: иридий. Пишущий узел: 0,8 мм.
404 руб
Раздел: Металлические ручки
Накидка Ritmix RAO-1317.
Материал: ПВХ. Размеры: 82 x 50 см. Варианты исполнения по цвету: прозрачный.
303 руб
Раздел: Прочее

33. Стимулирование математической деятельности младших школьников в процессе поиска решения задач с дробями

34. Решение задач по бухгалтерскому учету и аудиту

35. Особенности решения задач по трудовому, гражданскому, уголовному праву

36. Примеры решения задач по уголовному процессу

37. Алгоритмы численного решения задач

38. Примеры решения задач по программированию
39. Разработка формата хранения данных программ и решение задач
40. Решение задач исследования операций

41. Решение задач линейного программирования

42. Решение задач методом северо-западного угла, рапределительного, минимального и максимального элемента по строке

43. Решение задач нелинейного программирования

44. Решение задач оформление экономической документации

45. Решение задач с помощью ЭВМ

46. Решение задачи оптимального управления

47. Решение задачи с помощью программ Mathcad и Matlab

48. Решение задачи с помощью программ Mathcad и Matlab

Спрей для очистки маркерных досок, 250 мл.
Спреи для очистки маркерных досок предназначены для очистки маркерных досок после окончания работы с ними. Порой недостаточно использовать
320 руб
Раздел: Аксессуары для досок
Шампунь детский "Bubchen", 400 мл.
Детский шампунь моет особенно бережно и предотвращает сухость кожи головы. Волосы легко расчесываются и приобретают шелковистый блеск.
436 руб
Раздел: Шампуни
Доска магнитно-маркерная, 60х90 см.
Доски имеют магнитную полимерную поверхность. Алюминиевая рамка соединяется пластиковыми уголками, имеет регулируемые элементы крепления,
1648 руб
Раздел: Доски магнитно-маркерные

49. Решение задачи с помощью программ Mathcad и Matlab

50. Экспертная система для решения задачи о коммивояжере

51. Алгоритм решения задач

52. Задачи линейной алгебры. Понятие матрицы. Виды матриц. Операции с матрицами. Решение задач на преобразование матриц

53. Использование моделирования в обучении решению задач в 5 классе

54. Решение задач по курсу статистики
55. Решение задачи линейного программирования симплексным методом
56. Методика обучения решению задач на построение сечений многогранников в 10-11 классах

57. Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение

58. Решение задач на уроках химии

59. Решение задач по теплотехнике

60. Решение задач по сопротивлению материалов

61. Момент силы. Пара сил и ее свойства

62. Примеры решения задач по курсу химии

63. Методика решения задач по теоретическим основам химической технологии

64. Примеры решения задач по статистике

Планшетик "Кто самый умный?".
Этот говорящий планшетик – прекрасный подарок для маленьких эрудитов! 200 умных вопросов, 20 игровых тем, 3 уровня – играй и узнавай много
445 руб
Раздел: Планшеты и компьютеры
Одеяло байковое жаккардовое "Карапуз" (цвет: бежевый).
Жаккардовое одеяло для новорожденных и детей изготовлено из 100% хлопка (натуральная байка). Двухсторонняя расцветка. Одеяло имеет мягкую
565 руб
Раздел: Одеяла для детей
На золотом крыльце...Карточки с заданиями к палочкам Кюизенера.
Набор игр с цветными счетными палочками Кюизенера. В состав набора входят два блока иллюстративного материала к играм и упражнениям. 1
373 руб
Раздел: Счетные наборы, веера

65. Решение задач по статистике фирм

66. Экономическая статистика России: решение задач

67. Использование линейного программирования для решения задач оптимизации

68. Особенности решения задач в эконометрике

69. Решение задач по эконометрике

70. Решение задач прогнозирования с помощью статистического пакета SPSS
71. Решение задачи линейного программирования симплекс-методом
72. Решения задач линейного программирования геометрическим методом

73. Применение свойств функций для решения уравнений

74. Опыт применения сейсморазведки ОГТ для решения инженерно-геологических задач

75. Применение встроенных функций табличного редактора excel для решения прикладных статистических задач

76. Помехи и их классификация. Задача обнаружения и методика ее решения

77. Применение неравенств при решении олимпиадных задач

78. Применение линейного программирования для решения экономических задач (оптимизация прибыли)

79. Философские основы кибернетики и методология ее применения в военном деле

80. Задачи по семейному праву /условие-вопрос-решение/

Сумка-чехол транспортная для коляски-трость.
Сумка-чехол понадобится Вам, когда Вы отправитесь в поездку, полностью сохранит чистоту в автомобиле и обеспечит защиту одежды от
492 руб
Раздел: Дождевики, чехлы для колясок
Статуэтка "Мальчик на лошадке", 10 см.
Материал: фарфор. Регулярно удалять пыль или мыть тёплой водой. Товар не подлежит обязательной сертификации.
436 руб
Раздел: Миниатюры
Точилка "Eagle", синяя.
Работает от батареек 4 батарейки размера АА. Безопасна в использовании. Подходит для карандашей до 8 мм в диаметре. Стальное лезвие. В
325 руб
Раздел: Точилки

81. Разработка схемы топологии локальной корпоративной сети, описание ее технических характеристик и решаемых задач

82. 10 задач с решениями программированием на Паскале

83. Графы. решение практических задач с использованием графов (С++)

84. Применение двойных интегралов к задачам механики и геометрии

85. Решение оптимизационной задачи линейного программирования

86. Применение фильтра Калмана в задаче идентификации отказов двигателей стабилизации космического аппарата
87. Графы. решение практических задач с использованием графов (С++)
88. Задача по травматологии с решением

89. Исследование аспектов применения атомной энергии для решения проблем энергоснабжения районов Крайнего Севера

90. Сегнетоэлектрики, их свойства и применение

91. Предмет психологии, ее задачи и методы

92. Решение обратной задачи вихретокового контроля

93. Задачи (с решениями) по сопромату

94. Порох, его свойства и применение

95. Свойства, применение и получение полиметилметакрилата

96. Маркетинг: решение исследовательских задач

Рюкзак универсальный с отделением для ноутбука "Омега", розовый, 32 литра, 49x35x18 см.
Рюкзак универсальный с отделением для ноутбука. 2 основных отделения, 4 дополнительных кармана. Формоустойчивая спинка. Водоотталкивающая
1364 руб
Раздел: Без наполнения
Кастрюля со стеклянной крышкой, 4 л.
Объем: 4 л. Диаметр: 20 см. Глубина: 12,5 см. Толщина стенок: 0,5 мм. Кастрюля из высококачественной нержавеющей стали класса
811 руб
Раздел: От 3,1 до 5 литров
Ручка перьевая "Golden Prestige", синяя, 0,8 мм, корпус хром/золото.
Перьевая ручка Golden Prestige. Цвет корпуса: хром/золото. Материал корпуса: металл. Материал пера: иридий. К данной ручке подходят
410 руб
Раздел: VIP-ручки

97. Овладение методикой построения экономико-математических моделей, решение конкретных задач по стратегическому планированию и прогнозированию

98. Решение творческих задач методом блочных альтернативных сетей: объектно-ориентированные представления

99. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.