Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Ночник-проектор "Звездное небо и планеты", фиолетовый.
Оригинальный светильник - ночник - проектор. Корпус поворачивается от руки. Источник света: 1) Лампочка (от карманных фонариков) 2) Три
330 руб
Раздел: Ночники
Коврик для запекания, силиконовый "Пекарь".
Коврик "Пекарь", сделанный из силикона, поможет Вам готовить вкусную и красивую выпечку. Благодаря материалу коврика, выпечка не
202 руб
Раздел: Коврики силиконовые для выпечки
Ночник-проектор "Звездное небо, планеты", черный.
Оригинальный светильник-ночник-проектор. Корпус поворачивается от руки. Источник света: 1) Лампочка (от карманных фанариков); 2) Три
350 руб
Раздел: Ночники

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г.В.Плеханова (технический университет)А.П. Господариков, Г.А. Колтон, С.А. ХачатрянРяды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениеУчебно-методическое пособиеСАНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2005 УДК 512 517.2 (075.80) ББК 22.161.5 Г723Учебно-методическое пособие дает возможность получить практические навыки анализа функций с помощью разложения в ряд Фурье или представления интегралом Фурье и предназначено для самостоятельной работы студентов дневной и заочной форм обучения специальностей. В пособии рассмотрены основные вопросы операционного исчисления и широкий класс технических задач с применением основ операционного исчисления. Научный редактор проф. А.П. Господариков Рецензенты: кафедра высшей математики № 1 Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета; доктор физ.-мат. наук В.М. Чистяков (Санкт-Петербургский государственный политехнический университет). Господариков А.П. Г723. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление: Учебно-методическое пособие / А.П. Господариков, Г.А. Колтон, С.А. Хачатрян; Санкт-Петербургский государственный горный институт (технический университет). СПб, 2005. 102 с. ISB 5-94211-104-9 УДК 512 517.2 (075.80) ББК 22.161.5 Введение Из теории Фурье известно, что при некотором воздействии на физические, технические и другие системы, его результат повторяет форму начального входного сигнала, отличаясь только масштабным коэффициентом. Понятно, что на такие сигналы (их называют собственными) система реагирует наиболее простым образом. Если произвольный входной сигнал есть линейная комбинация собственных сигналов, а система линейна, то реакция системы на этот произвольный сигнал есть сумма реакций на собственные сигналы. И поэтому полную информацию о системе можно получить по «кирпичикам» – откликам системы на собственные входные сигналы. Так поступают, например, в электротехнике, когда вводят частотную характеристику системы (передаточную функцию). Для наиболее простых линейных, инвариантных во времени систем (например, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами) в некоторых случаях собственными функциями являются гармоники вида . Таким образом можно получить и результат произвольного воздействия на систему, если последний будет представлен в виде линейной комбинации гармоник (в общем случае, в виде ряда Фурье или интеграла Фурье). Вот одна из причин, по которой в теории и приложениях возникает потребность применения понятия тригонометрического ряда (ряда Фурье) или интеграла Фурье. Глава 1. Ряды Фурье § 1. Векторные пространства Здесь приведены краткие сведения из векторной алгебры, необходимые для лучшего понимания основных положений теории рядов Фурье. Рассмотрим множество W геометрических векторов (векторное пространство), для которого обычным образом введены понятие равенства векторов, линейные операции (сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число) и операции скалярного умножения векторов.

Введем в пространстве W ортогональный базис, состоящий из трех попарно ортогональных векторов , и . Произвольный вектор является линейной комбинацией векторов базиса: . (1.1) Коэффициенты li (i = 1, 2, 3), называемые координатами вектора относительно базиса , могут быть определены следующим образом. Скалярное произведение вектора и одного из векторов базиса . В силу ортогональности базиса скалярные произведения при , следовательно, в правой части последнего равенства отлично от нуля лишь одно слагаемое, соответствующее , поэтому , откуда , (1.2) где . Если векторы и заданы своими координатами и , то их скалярное произведение . Так как при скалярное произведение , то в двойной сумме отличны от нуля лишь слагаемые с равными индексами, поэтому . (1.3) В частности при из (1.3) следует . (1.4) § 2. Скалярное произведение и норма функций Обозначим символом множество функций, кусочно-непрерывных на промежутке конечное число точек разрыва первого рода и непрерывных во всех остальных точках этого промежутка. Скалярным произведением функций называется число . Свойства скалярного произведения функций полностью совпадают со свойствами скалярного произведения векторов: 1. . 2. . 3. . 4. ; . Таким образом, скалярное произведение линейно зависит от своих компонентов. Это свойство называется билинейностью скалярного произведения. Функции называются ортогональными на называется неотрицательное число , квадрат которого равен скалярному произведению функции на себя: . Свойства нормы функции во многом совпадают со свойствами модуля вектора: 1. . 2. Если функция непрерывна на и , то . Так как , то при , откуда . Дифференцируя последнее соотно- шение по и применяя теорему Барроу, получим и, сле-довательно, . 3. теорема косинусов . . Следствие. Если , то (теорема Пифагора). 4. Обобщенная теорема Пифагора. Если функции (k = = 1, 2, , ) попарно ортогональны на промежутке , то . Используя свойство билинейности скалярного произведения, получим . В силу ортогональности функций скалярные произведения при , поэтому . 5. неравенство Коши – Буняковского , или, что то же самое, . При любых вещественных . Таким образом, квадратный трехчлен в левой части последнего неравенства сохраняет знак на всей вещественной оси, следовательно, его дискриминант . Упражнение 1. Доказать свойства скалярного произведения функций 1-3. Упражнение 2. Показать справедливость следующих утверждений: а) функция ортогональна функциям и на промежутке при любых целых k и m; б) при любых целых k и m функции и ортогональны на промежутке ; в) функции и , а также и при ортогональны на промежутках и ; г) функции и не ортогональны на промежутке . Упражнение 3. Используя свойство нормы 5, доказать неравенство треугольника . § 3. Ортогональные системы функций. Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье Счетное множество непрерывных на промежутке функций образуют на этом промежутке ортогональную систему, если 1. , 2. при . Пусть – ортогональная система функций на промежутке и . По аналогии с (1.2) образуем величины , (3.1) где . Числа называются коэффициентами Фурье функции относительно ортогональной системы .

Ряд (3.2) называется рядом Фурье для функции . В отличие от того, что имеет место в векторной алгебре , здесь нельзя утверждать ни того, что суммой ряда Фурье (3.2) является заданная функция , ни даже того, что ряд (3.2) вообще сходится. Тем не менее, частичные суммы ряда (3.2), называемые полиномами Фурье, играют важную роль в задаче аппроксимации функции линейными комбинациями функций . Термином аппроксимация будем обозначать замену заданной функции другой, близкой к , функцией , более простой или более удобной для исследования. При этом, естественно, возникает вопрос о величине погрешности, связанной с такой заменой. Погрешность аппроксимации обычно оценивается с помощью среднего квадратического отклонения , или более простой величины . Ясно, что чем меньше величина &del a;, тем ближе располагаются друг к другу графики функций и , тем лучше функция аппроксимирует функцию . Определим, при каком наборе коэффициентов линейная комбинация первых п функций ортогональной системы наилучшим образом аппроксимирует функцию , или, иначе говоря, при каких величина принимает наименьшее значение. Преобразуем выражение для dп, используя последовательно теорему косинусов, свойство билинейности скалярного произведения, обобщенную теорему Пифагора и формулу (3.1) для коэффициентов Фурье: . Применив тождество , получим Из последнего выражения сразу следует, что принимает наименьшее значение , (3.3) при Таким образом, именно частичная сумма ряда Фурье является наилучшей аппроксимацией функции по сравнению с другими линейными комбинациями функций Упражнение. Показать, что, во-первых, система функций ортогональна на промежутке , и, во-вторых, системы функций и ортогональны на промежутке . Указание. Воспользоваться свойствами скалярного произведения функций. § 4. Сходимость в среднем. Равенства Парсеваля Из формулы (3.3) с учетом того, что величина по определению не отрицательна, следует . (4.1) Левая часть неравенства (4.1) представляет собой частичную сумму положительного числового ряда . (4.2) Положительный ряд с ограниченными в совокупности частичными суммами сходится, следовательно, сходится и ряд (4.2). Переходя в (4.1) к пределу при , получим неравенство Бесселя . (4.3) Возвращаясь к формуле (3.3), заметим, что с увеличением п величина уменьшается, оставаясь неотрицательной. Следовательно, монотонно убывающая неотрицательная последовательность сходится. из (3.3) получим ее предел . (4.4) Если , где – частичная сумма ряда Фурье (3.2), то говорят, что ряд (3.2) сходится в среднем к функции . В этом случае из (4.4) следует (4.5) Соотношение (4.5) называется равенством Парсеваля. Это аналог формулы (1.4) для квадрата модуля вектора. Замечание. Из сходимости ряда в среднем, вообще говоря, не следует его сходимость в обычном смысле слова. Если равенство Парсеваля выполняется для всех функций из множества , или, что то же самое, для любой функции из ряд Фурье сходится в среднем к этой функции, то ортогональная система называется замкнутой, а соотношение (4.5) – уравнением замкнутости. Замкнутыми системами, например, являются системы функций из упражнения в § 3.

Однако должны быть отмечены его настойчивые высказывания о моральной ответственности учёных в деле сохранения мира и борьбы против использования достижений науки в агрессивной военной политике. В сочинениях писателей-фантастов получила большой отклик идея В. о возможности «бунта машин».   Соч.: Я — математик, 2 изд., М., 1967; Интеграл Фурье и некоторые его приложения, М., 1963; Преобразование Фурье в комплексной области, М., 1964 (совм. с Р. Пэли); Кибернетика, 2 изд., М., 1968; Кибернетика и общество, М., 1958; Новые главы кибернетики, М., 1963.   А. Н. Колмогоров. Винер-Нёйштадт Ви'нер-Нёйштадт (Wiener Neustadt), город в Австрии, в земле Нижняя Австрия, к Ю. от Вены. 33,8 тыс. жителей (1961). Крупный железнодорожный узел на пути к перевалу Земмеринг. Машиностроительная (в том числе локомотивостроение), текстильная, обувная, бумажная промышленность. Основан в 12 в. Винея Вине'я (лат. vinea — осадный навес), приспособление в древнеримской армии для устройства подступов при осаде укреплений. В. представляла собой лёгкое сооружение на катках со стенами и крышей из плетней или досок, покрытых сырыми воловьими шкурами или дёрном для защиты осаждающих от поражения зажигательными и метательными средствами. В боковых стенах В. устраивались двери и бойницы

1. Розробка та обгрунтування заходів щодо підвищення рівня конкурентоспроможності підприємства

2. Охорона праці під час роботи на підприємстві. Параметри пожежовибухонебезпеки речовин

3. Організація роботи малого торговельного підприємства та шляхи підвищення її ефективності

4. Система формування та підготовки кадрів для підприємства

5. Підвищення ефективності експлуатації свердел під час обробки композиційних матеріалів

6. Технологія підготовки гіпсокартонної поверхні під облицювання глазурованою керамічною плиткою
7. Фінансове планування на підприємстві та шляхи підвищення його ефективності
8. Підвищення продуктивності праці на підприємстві ВАТ "Сумський завод продовольчих товарів"

9. Підвищення ефективності діяльності підприємства ВАТ "Поліпромінвест" на основі використання економіко-математичних методів

10. И. П. Мартос. Памятник Минину и Пожарскому

11. Прибуткове оподаткування підприємств, проблеми та шляхи розвитку в Україні

12. Аграрная реформа П. А. Столыпина

13. Підприємництво

14. Поле запаха в немецком языке на примере романа П.Зюскинда ПАРФЮМЕР

15. Трагическая роль русского народа в произведении А.С. Пушкина "Борис Годунов", в опере М.П. Мусоргского "Борис Годунов" и картине В.И. Сурикова "Боярыня Морозова"

16. Жизнь и творчество художника А.П. Лежнёва

Часы "Камасутра".
Оригинальные часы с прямым обычным ходом. Высокое качество исполнения, веселые картинки, механизм обычный - тикающий. Диск выполнен из
958 руб
Раздел: Прочее
Кружка фарфоровая "FIFA 2018. World Cup Russia", 480 мл.
Объем: 480 мл. Материал: фарфор.
416 руб
Раздел: Кружки, посуда
Вешалки-плечики "Стандарт", комплект 10 штук, синие.
Вешалка-плечики металлическая, покрыта слоем ПВХ. Предназначена для бережного хранения одежды. Металличекая, покрытая слоем ПВХ. Размер:
333 руб
Раздел: Вешалки-плечики

17. Языковые особенности дилогии П.И. Мельникова "В лесах" и "На горах"

18. Салон А.П.Шерер

19. "Скверно вы живете, господа..." А.П. Чехов

20. А.П. Чехов и его произведения: "Унтер Пришибей", "Палата N6", "Дом с мезонином"

21. Вишнёвый сад А.П. Чехова, как пьеса о прошлом, настоящем и будущем

22. Життя та діяльність І.П.Котляревського (Жизнь и деятельность Ивана Петровича Котляревского)
23. П.Я. Чаадаев Философская концепция
24. Роман "Проклят и убит" В.П. Астафьева в контексте идейно-художественной эволоции творчества писателя

25. Тургенев - биография, произведения и т.п.

26. Творчество А.А. Дельвинга, Н.М. Языкова и П.А. Вяземского

27. Российское чиновничество в произведениях А.П. Чехова

28. А.П.Чехов "Устрицы"

29. Концепция поэта и поэзии П.Б.Шелли

30. П.И.Чайковский - "Осенняя песня" (Октябрь) (из цикла "Времена года")

31. Аграрная реформа П.А.Столыпина

32. П. А. Столыпин – выдающийся реформатор

Швабра плоская с декором "Premium" (микрофибра).
Швабра плоская с декором "Premium". Чистящая поверхность тряпки изготовлена из микрофибры. Данный материал обладает повышенной
640 руб
Раздел: Швабры и наборы
Шкатулка "Фермерский шик" - В (25,5x18,5x11 см).
Короб шкатулки выполнен из ткани. Ручка из бусин. Внутри пластиковый поддон с разделителями. Шкатулка очень удобна в использовании, и к
492 руб
Раздел: Шкатулки для рукоделия
Фоторамка "Poster black".
Рамка может располагаться как вертикально, так и горизонтально. Экран у рамки пластиковый. Для фотографий размером: 30х40см. Материал рамки: пластик.
332 руб
Раздел: Размер 30x40

33. Основные этапы жизни И.П. Павлова

34. П.И. Чайковский

35. Столыпин П.А.

36. Столыпин П.А.

37. П. Л. Шиллинг и его телеграф

38. Информационная система (ІНФОРМАЦІЙНА СИСТЕМА ОБЛІКУ І АНАЛІЗУ РОЗРАХУНКІВ З ПОСТАЧАЛЬНИКАМИ І ПІДРЯДНИКАМИ)
39. П.А.Загорский - выдающийся анатом, физиолог и врач
40. Половое воспитание и подготовка учеников к семейной жизни (Статеве виховання та підготовка учнів до сімейного життя)

41. П. Я Григорьев "Холодные блюда и закуски"

42. Лекции по Физической оптике чл.-кор Курбатова Л.П.

43. Травление п/п ИМС

44. Грех как путь смерти и небытия в работе П.А. Флоренского "Столп и утверждение Истины" Письмо седьмое "Грех"

45. П.А. Сорокин - крупный социолог XX века

46. П. Л. Шиллинг и его телеграф

47. Теософия Е.П. Блаватской

48. Реферат по статье П. Вайнгартнера «Сходство и различие между научной и религиозной верой»

Матрёшка "Колобок" (7 персон).
Матрешка "Колобок" - расписная деревянная игрушка, созданная по сюжету любимой всеми детьми сказки "Колобок". Игра с
610 руб
Раздел: Матрешки
Планшетик "Маленький всезнайка".
Ваш малыш хочет знать всё обо всём? Тогда ему обязательно понравится новый планшетик от компании "Азбукварик"! 200 вопросов, 20
445 руб
Раздел: Планшеты и компьютеры
Свечи чайные в гильзе (100 штук).
Вес: 12 гр. Высота: 1,6 см. Диаметр: 3,8 см. t горения: 3,5 ч В упаковке: 100 штук. Материал: парафин.
634 руб
Раздел: Свечи чайные

49. Расчет ректификационных колонн, обеспечивающих отделение о-ксилола от равновесных м- и п-ксилолов

50. Определение и управление валютными рисками предприятием внешнеэкономической деятельности на примере ООО "Корпорация "Агросинтез" (Визначення та керування валютними ризиками підприємством ЗЕД на прикладі ТОВ “Корпорація “Агросинтез”)

51. Кредитування підприємств та забезпечення кредитів

52. Формування статутного фонду підприємств різних форм власності

53. Революция 1905-1907 гг. и реформы П.А. Столыпина

54. Аграрная реформа П. Скоропадського
55. Битва під Москвою
56. Неопозитивизм начала XX века: историческая концепция П.Н. Милюкова

57. П.А. Столыпин - судьба реформатора

58. Початок визвольної війни українського народу під проводом Б.Хмельницького

59. Сподвижник Петра1 П.А.Толстой

60. Победоносцев К. П. - критик «великой лжи нашего времени»

61. Реформа П. А. Столыпина

62. Анализ проектов конституций П. И. Пестеля и Н. М. Муравьева

63. Русский изобретатель телефона П. М. Голубицкий

64. Інформаційні системи і технології підприємства

Керамическая кружка "World of Tanks" с 3D логотипом, 425 мл.
Керамическая кружка "World of Tanks" с 3D логотипом – настоящая находка для геймеров! Эта вместительная чашка станет Вашим
398 руб
Раздел: Кружки
Стиральный порошок Perfect 6 Solution "Перфект мульти солюшн", 3200 грамм.
Порошок стиральный "Перфект мульти солюшн" бесфосфатный для всех типов стиральных машин и ручной стирки. Стиральный порошок
712 руб
Раздел: Стиральные порошки
Настольная игра "Хоккей".
Материал шайб: пластик. Материал игроков: пластик, металл. Количество шайб: 2. Диаметр шайбы: 24 мм. Высота игроков: 70 мм. Размер
1727 руб
Раздел: Настольный футбол, хоккей

65. А.П.Чехов: "Ионыч"

66. А.П.Чехов: "Палата номер 6"

67. Федотов П.А.

68. А. П. Павлова

69. Библейские и мифологические мотивы в творчестве П.П. Рубенса

70. П.Загребельний
71. Религиозные мотивы лирики П.П.Ершова
72. Вяземский П.А.

73. Сумароков А.П.

74. Творчество А. П. Чехова как энциклопедия сюжетов русской литературы

75. Величие простых сердец в прозе А. П. Платонова

76. Рассказ А. П. Чехова «Ионыч»

77. Импрессионистические мотивы в повести А.П.Чехова «Степь»

78. Споры Е. Базарова и П.П. Кирсанова в романе "Отцы и дети"

79. Рассказ А. П. Чехова «Ионыч». Мысли и чувства автора

80. Размышления над рассказом А.П. Чехова "Человек в футляре"

Гель "Meine Liebe" для стирки шерстяных, шелковых и деликатных тканей, 800 миллилитров.
Концентрированный гель "Meine Liebe" идеально подходит для изделий из шерсти, шелка, кашемира, в том числе состоящих из
315 руб
Раздел: Гели, концентраты
Помпа для воды "HotFrost", A6, механическая.
Цвет корпуса: синий/серый. Тип установки: на бутыль. Тип помпы: механический. Тип крана: кнопка на корпусе. Количество кранов: 1. Материал
357 руб
Раздел: Прочее
Набор для изготовления мягкой игрушки "Собачка".
Домашняя студия мягкой игрушки. Полностью готовые детали кроя и синтепоновый наполнитель. Разложите все детали кроя и определите их
422 руб
Раздел: Игрушки

81. Юмористический рассказ по творчеству А. П. Чехова. "Хирург"

82. Мой любимый рассказ А. П. Чехова

83. Изображение распада дворянства в пьесе А.П. Чехова "Вишневый сад"

84. Внутренний мир героев рассказа А. П. Чехова «Дама с собачкой»

85. О чем спорили Е. Базаров и П.П. Кирсанов в романе И.С. Тургенева "Отцы и дети"

86. Три поколения в пьесе А. П. Чехова "Вишневый сад"
87. Рецензия на повесть А. П. Платонова "Ювенильное море"
88. Комедия А. П. Чехова «Вишневый сад»

89. Роман в. П. Астафьева "Печальный детектив"

90. А. П. Чехов — обличитель мещанства и пошлости

91. В. П. Астафьев

92. Сочинение по рассказу А. П. Чехова "Ионыч"

93. Единство комического и трагического в сатирических рассказах А.П. Чехова

94. А.П. Чехов “Тоска”

95. Анализ рассказа А.П. Чехова "Дама с собачкой"

96. А.П. Чехов и русский театр

Универсальные сменные пакеты для дорожного горшка, 15 штук.
Отправляясь с ребенком в путешествие, важно позаботиться о том, чтобы под рукой всегда был горшок для малыша. С дорожными горшками
328 руб
Раздел: Прочие
Ручка перьевая "Silk Prestige", синяя, 0,8 мм, корпус черный/хром.
Перьевая ручка Silk Prestige. Цвет корпуса: черный/хром. Материал корпуса: металл. Материал пера: иридий.
375 руб
Раздел: VIP-ручки
Средство для мытья посуды Finish "All in 1 Shine&Protect", (лимон), 65 штук.
Средство для посудомоечных машин с функцией "блеск и защита" обеспечивает сверкающую чистоту и блеск посуды, а также защищает
880 руб
Раздел: Для посудомоечных машин

97. Рецензия на рассказ А. П. Платонова "Потомки солнца"

98. Обращения В.Г.Короленко и А.П.Чехова в Императорскую Академию Наук

99. Вчера, сегодня, завтра в пьесе А. П. Чехова «Вишневый сад»

100. А.П. Чехов


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.