|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Решение уравнений с параметрами |
Фонарь садовый «Тюльпан». 
Карабин, 6x60 мм. 
Браслет светоотражающий, самофиксирующийся, желтый. Городская открытая научно – практическая конференция Тема: Решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями Автор: Научный руководитель: 2007 г. Содержание 1. Введение 2. Решение уравнений с параметрами 3. Решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями 4. Заключение 5. Используемая литература Введение Актуальность данной темы определяется необходимостью уметь решать такие уравнения с параметрами при сдачи Единого Государственного экзамена и на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения. Цель данной работы рассказать о решении уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи: дать определения понятиям уравнение с параметрами; показать принцип решения данных уравнений на общих случаях; показать решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями. Для выполнения поставленной цели были использованы следующие методы: использование литературы разного типа, работа в группах на уроках алгебры и занятиях элективного курса по математике, участие проектной группы в городской конференции по данной теме в 2006 году. Объектом исследовательской работы было решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами выше представленных функций. Структура данной работы включает в себя теорию, практическую часть, заключение, библиографический список. Решение уравнений с параметрами Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение. Такие задачи предлагаются на едином государственном экзамене и на вступительных экзаменах в вузы. Большинство пособий адресовано абитуриентам, однако начинать знакомиться с подобными задачами нужно намного раньше – параллельно с соответствующими разделами школьной программы по математике. Если в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение параметрическим. Естественно, такой небольшой класс задач многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, - степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ. Основное, что нужно усвоить при первом знакомстве с параметром, - это необходимость осторожного, даже, если хотите, деликатного обращения с фиксированным, но неизвестным числом.
Этому, по нашему мнению, во многом будут способствовать наши примеры. Необходимость аккуратного обращения с параметром хорошо видна на тех примерах, где замена параметра числом делает задачу банальной. К таким задачам, например, относятся: сравнить два числа, решить линейное или квадратное уравнение, неравенство и т.д. Обычно в уравнение буквами обозначают неизвестные. Решить уравнение - значит: найти множество значений неизвестных, удовлетворяющих этому уравнению. Иногда уравнения, кроме букв, обозначающих неизвестное(X, Y,Z), содержат другие буквы, называемые параметрами(a, b, c). Тогда мы имеем дело не с одним, а с бесконечным множеством уравнений. При одних значениях параметров уравнение не имеет корней, при других – имеет только один корень, при третьих – два корня. При решении таких уравнений надо: 1) найти множество всех доступных значений параметров; 2) перенести все члены, содержащие неизвестное, в левую часть уравнения, а все члены, не содержащие неизвестного в правую; 3) привести подобные слагаемые; 4) решать уравнение ax = b. Возможно три случая. 1. а 0, b – любое действительное число. Уравнение имеет единственное решение х = . 2. а = 0, b = 0. Уравнение принимает вид: 0х = 0, решениями являются все хR. 3. а = 0, b 0. Уравнение 0х = b решений не имеет. Сделаем одно замечание. Существенным этапом решения уравнений с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа – это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения. В только что разобранном примере запись ответа практически повторяет решение. Тем не менее, я считаю целесообразным привести ответ. Ответ: х = при а 0, b – любое действительное число; х – любое число при а = 0, b = 0; решений нет при а = 0, b & e; 0. Решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, тригонометрической и логарифмической функциями 1. Найдем значения параметра , при которых уравнение 15·10 х – 20 = – · 10х 1 не имеет корней? Решение: преобразуем заданное уравнение: 15·10 х – 20 = – · 10х 1; 15·10 х · 10х 1 = 20; 10 х ·(15 10 ) = 20; 10 х = . Уравнение не будет иметь решений при ≤ 0, поскольку 10 х всегда положительно. Решая указанное неравенство методом интервалов, имеем: ≤ 0; ( 20)·(15 10 ) ≤ 0; - 20 ≤ ≤ - 1,5. Ответ: . 2. Найдем все значения параметра а, при которых уравнение lg2 (1 х2) (3а – 2)· lg(1 х2) а2 = 0 не имеет решений. Решение: обозначим lg(1 х2) = z, z &g ; 0, тогда исходное уравнение примет вид: z2 (3а – 2) · z а2 = 0. Это уравнение – квадратное с дискриминантом, равным (3а – 2)2 – 4а2 = 5а2 – 12а 4. При дискриминанте меньше 0, то есть при 5а2 – 12а 4 &l ; 0 выполняется при 0,4 &l ; а &l ;2. Ответ: (0,4; 2). 3. Найдем наибольшее целое значение параметра а, при котором уравнение cos2x asi x = 2a – 7 имеет решение. Решение: преобразуем заданное уравнение: cos2x asi x = 2a – 7; 1 – 2si 2х – asi x = 2a – 7; si 2х - asi x a – 4 = 0; (si х – 2) · = 0. Решение уравнения (si х – 2) · = 0 дает: (si х – 2) = 0; х принадлежит пустому множеству.
si х - = 0; х = (-1) arcsi π , Z при ≤ 1. Неравенство ≤ 1 имеет решение 2 ≤ а ≤ 6, откуда следует, что наибольшее целое значение параметра а равно 6. Ответ: 6. 4. Указать наибольшее целое значение параметра а, при котором корни уравнения 4х2 - 2х а = 0 принадлежит интервалу (- 1; 1). Решение: корни заданного уравнения равны: х1 = (1 ) х2 = , при этом а ≤ . По условию -1 &l ; (1 ) &l ; 1 &l ; &l ; 3, - 1 &l ; &l ; 1 &g ; &g ; - 3. Решением, удовлетворяющим указанным двойным неравенствам, будет решение двойного неравенства: - 3 &l ; &l ; 3. Неравенство - 3 &l ; выполняется при всех а ≤ , неравенство &l ; 3 – при - 2 &l ; а ≤ . Таким образом, допустимые значения параметра а лежат в интервале (-2; . Наибольшее целое значение параметра а из этого интервала, которое одновременно принадлежит и интервалу (-1; 1), равно 0. Ответ: 0. 5. При каких значениях параметра а число корней уравнения 2 -х = 0 равно а? Решение: построим эскиз графика функции, у = 2 -х при этом учтем, что функция у – четная и ее график – симметричен относительно оси ординат, в силу чего можно ограничиться построением только его правой части ( х ≥ 0). Также учтем, что трехчлен х2 - 8х 7 имеет корни х = 1 и х = 7, при х = 0 у = 7, а при х = 4 – минимум, равный – 9. На рисунке: пунктирными прямыми изображена парабола у = х2 - 8х 7 с минимумом умин равным - 9 при х мин = 4, и корнями х1 = 1 и х2 = 7; сплошными линиями изображена часть параболы у = 2 – 8х (1 &l ; х &l ; 7), полученная зеркальным отражением относительно оси 0х части параболы х2 - 8х 7 при 1 &l ; х &l ; 7. (Эскиз левой части графика функции при х &l ; 0 можно получить, отразив эскиз правой части графика симметрично относительно оси 0у). Проводя горизонтали у = а, а , получаем k точек ее пересечение с линиями эскиза графика. Имеем: а 0 7 8 9 к 4 8 7 6 4 2 Таким образом, а = k при а = 7. Ответ: 7. 6. Указать значение параметра а, при котором уравнение х4 (1 – 2а)х2 а2 – 4 = 0 имеет три различных корня. Решение: всякое биквадратное уравнение в общем случае имеет две пары корней, причем корни одной пары различаются только знаком. Три корня возможны в случае, если уравнение имеет одну пару в виде нуля. Корни заданного уравнения равны: х = Одна из пар корней будет равна 0, если (2а-1) = . Решая это уравнение при условии 2а-1 &g ; 0 &g ; , имеем: (2а – 1) = (2а – 1)2 = 17 – 4а 4а2 – 4а 1 = 17 – 4а а = 2. Ответ: 2. Указать целое значение параметра p, при котором уравнение cosx – 2si x = имеет решение. Решение: р ≥ 0; 2 – р ≥ 0 р ≤ 2; объединяя допустимые значения параметра р, имеем: 0 ≤ р ≤ 2. При р = 0 исходное уравнение принимает вид – 2si х = 2 х принадлежит пустому множеству ( в силу ограниченности синуса). При р = 1 исходное уравнение принимает вид: cosx-2si x = 1. Максимальное значение разности (cosx-2si x) составляет = (- si x – 2cosx) = 0 gx = -2, при этом si x = si (arc g(-2)) = , cosx – 2si x = , что меньше 1. Следовательно, при р = 1 уравнение решений не имеет. При р = 2 исходное уравнение принимает вид . Максимальное значение разности составляет при х = arc g(-) (при этом si x = , cosx = ).
Ввел мусульманское летосчисление по хиджре. Убит рабом-персом. ОМАР АЛЬ-МУХТАР (ок. 1862-1931) - национальный герой ливийского народа, руководитель вооруженной борьбы племен Киренаики (Ливия) против итальянских войск в 1923-31; сенуситский шейх. Был ранен, взят в плен и казнен. ОМАР ИБН АБИ РАБИА (644-712 или 719) - арабский поэт. Мастер любовной лирики; первый в арабской поэзии проявил интерес к внутреннему миру человека. ОМАР ХАЙЯМ (ок. 1048 - после 1122) - персидский и таджикский поэт, математик и философ. Всемирно известные философские четверостишия - рубаи проникнуты гедоническими мотивами, пафосом свободы личности, антиклерикальным вольнодумством. В математических трудах дал изложение решения уравнений до 3-й степени включительно. ОМАРЫ - семейство морских беспозвоночных отряда десятиногих ракообразных. Внешне похожи на речных раков. 36 видов, в т. ч. европейский омар - длина до 65 см, масса до 11 кг, американский - соответственно 63 см и 15 кг, норвежский - 32 см и 7 кг. Объект промысла и разведения. ОМАХА (Omaha) - город в США, на р. Миссури, шт. Небраска
1. Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки
2. Какие задачи решает товарный знак. Особенности принятия решений в управлении инновациями
3. Решение некоторых уравнений и неравенств с параметром
4. Методы решения уравнений, содержащих параметр
9. Решение нелинейного уравнения методом касательных
10. Решение уравнений, систем уравнений, неравенств графически
11. Решение уравнений в целых числах
12. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения
13. Составление и решение нестандартных уравнений графоаналитическим методом
14. Итерационные методы решения систем линейных уравнений с неединственными коэффициентами
15. Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени
16. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге - Кутты 4 порядка
Кружка керамическая "FIFA 2018", 650 мл. 
Набор детской посуды "Тачки", 3 предмета. 
Доска магнитно-маркерная "ECO", деревянная рамка, 60х80 см. 17. Применение графиков в решении уравнений
18. Решение смешанной задачи для уравнения
19. Построение приближенного решения нелинейного уравнения методом Ван-дер-Поля
20. Приближенное решение уравнений
21. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА
25. Решение иррациональных уравнений
26. Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный
27. Метод решения уравнений Ньютона - Рафсона
29. Решение дифференциального уравнения с последующей аппроксимацией
30. Решение нелинейных уравнений
31. Методы решения уравнений в странах древнего мира
32. Приближённые методы решения алгебраического уравнения
Подставка под кухонные приборы "Лавандовый букет". 
Набор чернографитных карандашей для правшей STABILO EASYgraph, 2 штуки. 
Фломастеры. CARIOCA, 36 цветов. 33. Решение систем линейных дифференциальных уравнений пятиточечным методом Адамса – Башфорта
34. Метод касательных. Решения нелинейных уравнений. Паскаль 7.0
35. Excel: решение задач с подбором параметров
36. Итерационные методы решения нелинейных уравнений
37. Поиск решений системы линейных уравнений методом Гаусса
41. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
42. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона
43. Решение системы линейных уравнений
44. Решение уравнений средствами Excel
48. Аналитические свойства решений системы двух дифференциальных уравнений третьего порядка
Автомобильный ароматизатор Deliss "Romance", аромат жасмина, ванили, ежевики. 
Шинковка "ШК-4". 
Дождевик Bambola для колясок, универсальный. 49. Графическое решение уравнений
50. Исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей
51. Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений
52. Метод замены неизвестного при решении алгебраических уравнений
53. Решение дифференциального уравнения первого порядка
57. Решение произвольных систем линейных уравнений
58. Решение систем дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка
60. Функционально-графический подход к решению задач с параметрами
61. Методы решения алгебраических уравнений
63. Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений
64. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений
Набор смываемых мини-фломастеров, 16 шт. 
Одеяло летнее "Medium Soft", 140x205 см. 
Форма для выпечки "Имбирный домик". 65. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений
67. Обзор методов и способов измерения физико-механических параметров рыбы
68. Гражданская Оборона. Расчет параметров ядерного взрыва
69. Изучение взаимно влияющих друг на друга математических параметров
74. Уравнение Кортевега - де Фриса, солитон, уединенная волна
75. Устойчивость систем дифференциальных уравнений
77. Вычисление корней нелинейного уравнения
78. Структура и формирование исходных данных, необходимых для расчета параметров технологических схем
79. Выбор материала и расчет параметров обделок вертикальных столов метрополитенов
80. Разработка схемы автоматического регулирования и контроля параметров управления методической печи
Ящик для хранения универсальный, прозрачный, 25 л. 
Столик пеленальный "Фея" (цвет: сиреневый). 
Набор мисок с синими крышками, 5 предметов. 81. Обзор методов и способов измерения физико-механических параметров рыбы
83. Контроль динамических параметров ЦАП
85. Моделирование дискретной случайной величины и исследование ее параметров
89. Вывод уравнения Шредингера
90. Замечательное уравнение кинематики
93. Нахождение параметров модели
95. Параметры социолингвистики
96. Роль теории дифференциальных уравнений в современной математике и ее приложениях
Конструктор "Краски дня. Утро", 105 деталей. 
Глобус Звездного неба диаметром 320 мм. 
Набор детской складной мебели "Веселая азбука". 97. Дифференциальные уравнения
98. Рациональные уравнения и неравенства
99. Вычисление корней нелинейного уравнения
