Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

О некоторых применениях алгебры матриц

Фонарь садовый «Тюльпан».
Дачные фонари на солнечных батареях были сделаны с использованием технологии аккумулирования солнечной энергии. Уличные светильники для
106 руб
Раздел: Уличное освещение
Ночник-проектор "Звездное небо и планеты", фиолетовый.
Оригинальный светильник - ночник - проектор. Корпус поворачивается от руки. Источник света: 1) Лампочка (от карманных фонариков) 2) Три
330 руб
Раздел: Ночники
Гуашь "Классика", 12 цветов.
Гуашевые краски изготавливаются на основе натуральных компонентов и высококачестсвенных пигментов с добавлением консервантов, не
170 руб
Раздел: 7 и более цветов

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Х.М. Бербекова Математический факультет Кафедра геометрии и высшей алгебры Лакунова Залина Дипломная работа «О некоторых применениях алгебры матриц»Научный руководитель: д.ф.-м.н.,проф.каф. Г и В А /В.Н.Шокуев /Рецензент: к.ф.-м.н.,доцент /В.М.Казиев/Допущена к защите 2002г.Заведующий кафедрой к.ф.-м.н.,доцент /А.Х.Журтов/ Нальчик 2002 Оглавление стр. Введение 3 §1. О правиле Крамера 4 §2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел 9 §3. Матричный вывод формулы Кардано 17 Литература 21 Отзыв О дипломной работе «О некоторых применениях алгебры матриц». Студентки 6 курса МФ специальности «математика» Лакуновой З. В данной дипломной работе рассматривается новые применения матриц в теории систем линейных уравнений, теории чисел и теории алгебраических уравнений малых степеней. В §1 дается новый (матричный) вывод правила Крамера для решения любых квадратных систем линейных уравнений с неравным нулю определителем. В §2 получено тождество (1) , которое используется для доказательства некоторых теоретико-числовых фактов (предложения 1-4); при этом основную роль играют матрицы- циркулянты и их определители. Здесь попутно доказана теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом трех положительных чисел. В §3 дается новый вывод правила Кардано для решения кубических уравнений; его можно назвать «матричным выводом» , поскольку он опирается на свойства циркулянта (третьего порядка). Считаю, что результаты получения в дипломной работе студентки Лакуновой З. удовлетворяют требованиям, предъявляемым к дипломным работам, и могут быть допущены к защите. Предварительная оценка – «хорошо» д.ф.-м.н., проф.каф. Г и ВА /В.Н.Шокуев/ §1. О правиле Крамера В литературе известны разные способы решения Крамеровой системы линейных алгебраических уравнений. Один из них – матричный способ – состоит в следующем. Пусть дана Крамерова система, т.е. квадратная система (1)Определитель которой отличен от нуля: (2)Систему (1) можно представить в виде одного матричного уравнения - матрица коэффициентов при неизвестных системы (1), - столбец (Матрица-столбец) неизвестных - столбец свободных членов системы (1)Так как невырожденная и для нее существует обратная матрица (слева), получим (единственное) решение системы в следующей матричной форме (в предположении, что она совместима и имеет вид: -алгебраическое дополнение элемента ) Другой известный способ можно назвать методом алгебраических дополнений. Его использование предполагает владение понятием алгебраического дополнения как и в матричном способе, теоремой о разложении определителя по столбцу (строке), теоремами о замещении и об аннулировании. Предлагаемый нами новый метод опирается на теорему Коши-Бине об определителе произведения матриц. Суть этого метода можно понять легко, если сначала рассмотрим случай выполняются следующие матричные равенства (если задана система (1)): Переходя к определителям в этих равенствах и обозначив определители правых частей соответственно через ( (Правило Крамера) Переход к общему случаю Крамеровых систем (1) порядка ничего по существу не меняет.

Просто следует заметить, что матрица получается из единичной матрицы заменой (5)Теперь из - матрица, получающаяся заменой столбцом свободных членов системы (1), причем к формулам Крамера, взяв определители от обеих частей в каждом равенстве: . (здесь ). Другой, еще более короткий способ отыскания решения системы (1) состоит в следующем (по-прежнему (после переобозначений) образуют ее решение. Тогда при имеем, используя два линейных свойства определителя: , в котором вместо свободных членов в -м столбце подставлены их выражения согласно (1); используя соответствующие свойства определителя, получим: ), откуда и получаются формулы Крамера. Замечание. Проверка того, что значения неизвестных, определяемые по формуле Крамера удовлетворяют системе (1), (т.е. образуют решение системы), производится одним из известных способов. §2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел.Матрица вида: - называется циклической матрицей или циркулянтом (третьего порядка), а ее определитель – циклическим определителем. Циклическим определителем некоторые авторы называют также циркулянтом. Пусть дан циклический определитель (Циркулянт) . Прибавив первые две строки к третьей, получим: из последней строки: . С другой стороны, по определению детерминанта имеем: (1) Имеет место следующее предложение. Предложение 1. Уравнение (2) не имеет решений в натуральных числах - вещественные положительные числа, не все равные между собой, то - не все равные между собой положительные числа. Тогда существуют положительные числа , не все равные между собой, такие, что . К этим числам применим тождество (1). Так как не все числа между собой равны, то последний сомножитель правой части тождества (1) есть число положительное и, следовательно, , то неравенство (4) дает неравенство (3). (Неравенство (3) можно переписать в виде ; получим известный факт о том, что среднее арифметическое трех положительных, не равных между собой чисел больше их среднего геометрического). Пусть - натуральные числа, удовлетворяющие уравнению (2). Представляются две возможности: либо числа все равны между собой, либо не все эти числа равны друг другу. В первом случае все они должны быть равны 1, так как она положительные и - противоречие. Значит, не все три числа равны между собой; поэтому в силу неравенства (3) имеем . Таким образом, доказано что уравнение .Предложение 2. Уравнение . Доказательство: удовлетворяют нашему уравнению. Если не все три числа между собой равны, то как мы видели в ходе доказательства Предложения (1), выполняется неравенство - противоречие. Таким образом, должно быть , и из нашего уравнения следует, что каждое из этих чисел равно 1, так что . Итак, мы доказали, что заданное уравнение имеет бесконечно много решений в натуральных числах .Предложение 3. Произведение двух чисел, каждое из которых является суммой двух квадратов, представимо в виде суммы двух квадратов. Доказательство: Рассмотрим следующее произведение двух циклических матриц (второго порядка) - мнимая единица. Переходя к определителям, получим равенство . (5)Предложение 4. Если число представляемое в виде суммы двух квадратов, делится на простое число, являющееся суммой двух квадратов, то частное также является суммой двух квадратов.

Доказательство: Пусть число : имеет вид . Предположим, что задача уже решена, т.е. , (6) и с помощью анализа попробуем найти искомые числа . Гипотетическое равенство (6) подсказывает целесообразность рассмотрения матричных равенств. перемножив правые части этих равенств, получим: (7) - простое число и , то равенство (9) показывает, что . Тогда из тождества делится и число , так что в силу (7) - целое число. Таким образом, в рассматриваемом случае имеем: , т.е. в силу (8) - целое, то, рассуждая как и выше, можем написать: - целое. В этом случае . §3. Матричный вывод формулы КарданоВ этом параграфе предлагается новый подход к выводу формулы Кардано для корней кубического произведения уравнения. Пусть дано любое кубическое уравнение , поэтому есть корень уравнения, получающегося из (1) делением всех коэффициентов т правой части на , и обратно. Поэтому (1) эквивалентно уравнению. . (2) Таким образом, можно сказать, что решение любого кубического уравнения сводится к решению кубического уравнения со старшим коэффициентом, равным 1, т.е. уравнения вида , (3) которое получается из (2) после переобозначения коэффициентов; такое уравнение называется унитарным. Если к уравнению (3) применить подстановку , (5) где определяются по заданным коэффициентам уравнения (3). Уравнение (5) эквивалентно уравнению (3), поэтому достаточно научиться решать уравнения типа (5). В силу этого, обозначив через неизвестное, мы видим, что решение любого кубического уравнения вида , (6) называется приведенным или (неполным) кубическим уравнением. Покажем теперь, как можно найти все корни уравнения (6). Для этого заметим, что в силу тождества (1) §2, полученного с использованием циркулянта третьего порядка имеет место тождество - один из корней третьей степени из единицы, так что (проверка тождества опирается на равенство ). Попробуем теперь отождествить наше уравнение (6) с уравнением пока неизвестны. Чтобы вычислить их, имеем систему которая показывает (в силу теоремы Виета), что являются корнями квадратного уравнения (9) Таким образом, уравнение (6) эквивалентно уравнению (8), в котором определяются по формулам (9). В свою очередь, уравнение (8) в силу (7) равносильно уравнению (10) где определяются по (9). При этом надо иметь ввиду, что кубические корни из (9) имеют по три значения и их необходимо комбинировать с учетом равенства выбрана указанным образом, то все три корня определяются по формулам (10). Сказанное можно представить и по другому; можно сказать, что значения неизвестного (11) причем остается в силе сказанное относительно комбинаций значений этих кубических радикалов. Формула (11) и есть знаменитая формула Кардано. ЛИТЕРАТУРА 1. Ф. Бахман, Э. Шмидт. - угольник «Мир», М., 1973 г. 2. Э. Чезаро. Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления бесконечно малых ч. 1 М.Л., 1936 г. 3. В. Серпинский. 250 задач по элементарной теории чисел. М., 1968 г. 4. Р. Курант, Г. Роббинс Что такое математика ? «Просвещение», М., 1967 г. 5. А.Г. Курош. Курс высшей алгебры. М., Наука, 1976 г. 6. Эдвардс. Теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел.

Поэтому развитие теории машин-автоматов связано с совершенствованием методов построения схем управления по выбранному критерию оптимальности, например по условию получения минимального числа элементов, составляющих схему. Наибольшее распространение получили методы, основанные на применении алгебры-логики, и соответственно этот раздел теории машин-автоматов получил название логического синтеза систем управления. В системах управления наряду с электрическими элементами стали применяться пневматические, обладающие, как правило, большей надёжностью. Развитие методов построения систем управления машинами-автоматами привело к созданию систем программного управления, в которых программа требуемых перемещений выражается в форме чисел (цифр) — элементарных (малых) шагов. Для реализации этих шагов предусматривают специальные типы двигателей, называемые шаговыми электродвигателями . Особую ценность имеют самонастраивающиеся и адаптирующиеся системы программного управления, в которых программа автоматически корректируется с учётом опыта предшествующих циклов работы системы и условий, в которых должна работать эта система.   Последним достижением теории машин-автоматов является разработка методов проектирования роботов , то есть машин-автоматов, моделирующих свойства и функции живых организмов и, в частности, имитирующих действия человека при перемещении в пространстве орудий и объектов труда

1. Алгебра матриц. Системы линейных уравнений

2. Применение теоремы Эйлера к некоторым задачам

3. Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике

4. Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике

5. Мониторинг исследования тестовых заданий на основе применения коэффициентов связи и корреляционной матрицы

6. Исследование некоторых задач в алгебрах и пространствах программ
7. Алгебра Дж. Буля и ее применение в теории и практике информатики
8. Капитальный ремонт пути на щебеночном балласте с укладкой железобетонных шпал с применением машин тяжелого типа

9. Применение фильтра Калмана в задаче идентификации отказов двигателей стабилизации космического аппарата

10. Нодальная анатомия некоторых представителей семейства Campanulaceae Juss

11. Применение лазеров в военном деле

12. Зажигательные смеси, состав, средства применения и доставки, вызываемые повреждения, методы лечения и защиты

13. Некоторые аспекты отравлений азотной кислотой и окислами азота при химических авариях

14. Проблема применения моделей устойчивого развития на региональном уровне

15. Некоторые вопросы обеспечения прав обвиняемого на предварительном расследовании

16. Правовые аспекты применения сети "Интернет" в России

Набор маркеров-текстовыделителей "Boss Original Pastel", 4 цвета.
Набор текстовыделителей — классика в пастельных тонах, ориентированный на течение в индустрии моды. Выполненный в спокойной цветовой
535 руб
Раздел: Текстовыделители
Подгузники "Солнце и Луна. Нежное прикосновение", размер: 2/S (3-6 кг), 70 штук.
Подгузники "Солнце и Луна. Нежное прикосновение" сделаны по японской технологии в сотрудничестве с японской корпорацией WATASHI
661 руб
Раздел: 0-5 кг
Машинка закаточная (улитка, полуавтомат) "Мещера-1".
Машинка идеальна для домашнего консервирования, она проста в использовании и надежна в работе. Конструкция машинки обеспечивает ее
419 руб
Раздел: Консервирование

17. Применение норм права

18. Содержание и порядок применения единого налога на вмененный доход для субъектов малого предпринимательства

19. Дисциплинарная ответственность. Применение дисциплинарного взыскания

20. Применение права

21. О некоторых проблемах современной английской лексикографии

22. Некоторые аспекты новейшей истории Франции
23. Алгебра логики
24. Управление потоками данных в параллельных алгоритмах вычислительной линейной алгебры

25. Многопроцессорный вычислительный комплекс на основе коммутационной матрицы с симметричной обработкой заданий всеми процессорами

26. Применение ПЭВМ в подготовка печатных изданий

27. Периферийное устройство ПЭВМ, Характеристика этапов подготовки и решения задач на ПЭВМ в любой системе программирования. Электронная почта, особенности применения

28. Применение методов линейного программирования в военном деле. Симплекс-метод

29. Применение самоорганизующихся карт Кохонена для классификации и анализа пространственно распределенных неполных данных по окружающей среде

30. Криптология: подстановочно-перестановочный шифр и его применение

31. Применение компьютера в туристической деятельности

32. Применение метода частотных диаграмм к исследованиям устойчивости систем с логическими алгоритмами управления

Банки для сыпучих продуктов (3 штуки) и ложки "Birds" 8,5х12 см, 350 см.
Банки для сыпучих продуктов (3 штуки) и ложки "Birds" станут незаменимым атрибутом приготовления пищи. Прекрасно впишутся в
642 руб
Раздел: Наборы
Шарики для бассейна, 500 штук.
Шариками можно наполнить бассейн, манеж, игровую палатку или домик. Материал: безопасный, экологически чистый пластик. Диаметр шара 7 см.
3027 руб
Раздел: Шары для бассейна
Набор первоклассника, для девочек, 16 предметов.
В наборе 16 предметов: - Подставка для книг. - Настольное покрытие для творчества. - Веер "гласные". - Веер
721 руб
Раздел: Наборы канцелярские

33. Применение двойных интегралов к задачам механики и геометрии

34. Использование численных методов для решения дифуpов (2-го порядка) (, демонстрация применения интерполяции в среде MATHCAD-а)

35. Изучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных занятиях по математике

36. Формулы по алгебре

37. Контрольная работа по линейной алгебре

38. Некоторые Теоремы Штурма
39. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия (шпаргалка)
40. Вычислительные методы алгебры (лекции)

41. Шпаргалки по геометрии, алгебре, педагогике, методике математики (ИГПИ)

42. Алгебра логики

43. Метод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов

44. Применение фильтра Калмана в задаче идентификации отказов двигателей стабилизации космического аппарата

45. Применение"Сравнительная терапевтическая и экономическая эффективность антимикробного препарата "Фармазин" при лечении бронхопневмонии у телят, применяемого раздельно и в сочетании с аутогемотерапией" в СПК "Чартолы", Тюкалинского района, Омской обл

46. Применение имплантантов с биологически активным пористо-порошковым покрытием

47. Дезинфицирующие препараты и их применение в хирургии

48. Применение компьютеров в медицине

Учимся читать по слогам. 40 карточек-пазлов. Митченко Ю.
В наборе 40 двухсторонних карточек-пазлов, разработанных для детей, которые уже знакомы с алфавитом. Эта развивающая игра поможет ребенку
389 руб
Раздел: Алфавит, азбука
Глобус Земли физико-политический, рельефный, с подсветкой, 320 мм.
Глобус Земли физико-политический, рельефный, с подсветкой, питание от сети. Диаметр: 32 см. Материал: пластмасса. Крым в составе РФ.
1452 руб
Раздел: Глобусы
Качели подвесные Edu-play "До-Ре-Ми".
Качели подвесные Edu Play "До-Ре-Ми". Легкие по весу, простые в сборке. Устанавливать возможно дома и на улице. Надежные канаты
2535 руб
Раздел: Качели

49. Некоторые аспекты отравлений азотной кислотой и окислами азота при химических авариях

50. О некоторых показателях опорной функции стопы у детей

51. Некоторые особенности расследования преступлений связанных с дорожно-транспортными происшествиями

52. Применение психологических знаний в процессе оперативно - розыскной деятельности

53. Применение милицией физической силы, спецсредств и огнестрельного оружия

54. Применение судами условного осуждения
55. Разработка и обоснование применения очистных сооружений для очистки цианистых сточных вод гальванического цеха предприятия
56. Некоторые результаты исследования горных лиственничных лесов бассейна Верхней Лемвы в 1999-2000 гг.

57. Дидактические игры и их применение на уроках английского языка

58. Методические особенности комментированного обучения и применения поурочного балла при изучении трудных тем на уроках русского языка шестых классов

59. Обучение младших школьников с применением компьютерной поддержки

60. Применение избирательных технологий на выборах в Пермскую городскую Думу 2000 года: технологичность выборов

61. Сегнетоэлектрики, их свойства и применение

62. Оптико-электронные приборы и их применение

63. Изучение экономической целесообразности применения ООО <Сибирь-связь> зарубежных технологических разработок по строительству офисных телекоммуникационных сетей на базе систем микросотовой связи стандарта DECT

64. Устройства дорожной одежды с применением золоминеральной смеси

Кольцеброс "Зайчики".
В наборе 8 колец. Диаметр колец: 12 см.
307 руб
Раздел: Кольцебросы, кегли
Настольная семейная игра "Crazy Белка".
Хитрая белка забралась в дупло, а задача участников - выманить ее из уютного убежища. Игроки должны по очереди класть желуди в специальные
609 руб
Раздел: Прочие
Пакеты с замком "Zip-Lock", 30х40 см (100 штук).
Размер: 30х40 см. Толщина: 40 мкм. В упаковке: 100 штук. Материал: полиэтилен (ПВД).
324 руб
Раздел: Пакеты для продуктов

65. Моделирование процессов функционирования технологических жидкостей в системе их применения

66. Гальванотехника и ее применение в микроэлектронике

67. Разработка технологического процесса для получения матрицы с удлиненно-продолговатым отверстием

68. Теория Э.Фрома - опыт анализа и применения при наблюдении бытия

69. Применение гетеропереходов в оптоэлектронике

70. Энергетика СВЧ в народном хозяйстве: применение СВЧ-нагрева в пищевой промышленности
71. Оптроны и их применение
72. Структура и программирование ПЛИС фирмы Altera в САПР Quartus II, её применение в лабораторном стенде

73. Применение материалов Аэрофотосъемки при инвентаризации лесов

74. Агрохимия и система применения удобрений

75. Разработка научно обоснованной системы применения удобрений для полевого севооборота Прикубанского района учхоза Кубань

76. Предмет экономической социологии как отрасли социологии. Метод социометрических измерений. Сущность и область применения

77. Некоторые парадоксы теории относительности

78. Применение лазера

79. Применение лазеров в технологических процессах

80. Лазеры. Основы устройства и их применение

Подстаканник для прогулочных колясок Peg-Perego Cup holder.
Держатель для бутылочки Peg-Perego Cup Holder - удобный подстаканник для прогулочных колясок фирмы Peg-Perego. Легко подойдет к коляскам
975 руб
Раздел: Прочие
Набор "Парикмахер".
Набор будет прекрасным подарком для девочек, отлично подойдет для сюжетно-ролевых игр. Выполнен в виде саквояжа, который можно
624 руб
Раздел: Наборы "Парикмахер"
Пенал-тубус "Pixie Crew" с силиконовой панелью для картинок (серая клетка).
Повседневные вещи кажутся скучными и однотонными, а тебе хочется выглядеть стильно и быть не как все? "Pixie Crew" сделает твою
858 руб
Раздел: Без наполнения

81. Применение магнитов

82. Голография: основные принципы и применение

83. Голография и ее применение

84. Применение голографии

85. Продукты пчеловодства и их применение в косметике

86. Некоторые философские уроки З. Фрейда
87. Понимание религии Фрейдом и некоторые проблемы современности
88. Применение алкенов и алкодиенов

89. Получение и применение кальция и его соединений

90. Применение топлив, смазочных материалов и специальных жидкостей

91. Получение алканов, алкенов, алкинов. Важнейшие представители. Применение в промышленности

92. Инертные газы: история открытия, свойства, применение

93. Свойства некоторых веществ в свете теории электролитической диссоциации

94. Применение электролиза

95. Применение информационных технологий в процессе обучения химии

96. Разработка научно обоснованной системы применения удобрений для полевого севооборота Прикубанского района учхоза Кубань

Мешок для обуви "Sweets", 2 отделения, светоотражающая полоса, розовый.
Количество отделений - 2. Материал - полиэстер. Размер - 370x470 мм. Цвет - розовый/рисунок. Светоотражающий элемент - есть.
316 руб
Раздел: Сумки для обуви
Лосьон солнцезащитный для детей Kolastyna, SPF-30, 150 мл.
Нежную детскую кожу защитит солнцезащитная серия для детей Kolastyna. Инновацоинные активные ингредиенты и сочетание UVA/UVB фильтров
499 руб
Раздел: Солнцезащитная косметика
Подарочный набор "Покер", арт. 42447.
Подарочный набор "Покер" безусловно будет тем самым неизбитым презентом, произведённым из дерева. Регулярно удалять пыль сухой,
684 руб
Раздел: VIP-игровые наборы

97. Амилолитические ферменты и их применение в спиртовой промышленности.

98. Некоторые сущностные понятия о терминах "система" и "тип"

99. Вексель и вексельное кредитование: содержание и российская практика применения в кредитных учреждениях


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.