|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q) |
Наклейки для поощрения "Смайлики 2". 
Брелок LED "Лампочка" классическая. 
Горшок торфяной для цветов. Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q) Д.А. Ланин, Омский государственный университет, кафедра математического анализа Пусть - вещественная алгебра Ли, G - группа Ли с алгеброй . Выпуклый замкнутый острый телесный конус в алгебре , инвариантный относительно действия группы , будем называть инвариантным конусом. Среди всех таких конусов есть минимальный. Если - инвариантный конус, то множество оказывается замкнутой комплексной полугруппой (см. ) и называется полугруппой Ольшанского. Будем рассматривать группу G, алгебру и полугруппу Ольшанского в матричной реализации. Под внутренней функцией на полугруппе Ольшанского будем понимать голоморфную ограниченную рациональную (от матричных элементов) функцию без особенностей на границе, равную по модулю единице на группе G. Степень рациональной внутренней функции определим как максимум степеней числителя и знаменателя. Наша задача состоит в нахождении свойств внутренних функций на полугруппах Ольшанского над группой SU(p,q). Сходные вопросы рассматриваются в работах дано полное описание рациональных внутренних функций на поликруге. Этот результат распространен на произвольные ограниченные симметрические области в . Через обозначим инволюцию, выделяющую группу в группе . В настоящей работе получены следующие результаты: Теорема 1. Каждая рациональная внутренняя функция на полугруппе л имеет вид где f(X) - многочлен от элементов матрицы X, а C =1. Теорема 2. В случае минимального конуса степень рациональной внутренней функции на полугруппе Ольшанского над группой SU(p,q) не меньше, чем , причем эта оценка точная. 1. Основные понятия и обозначения 1.1. Говоря о блочной матрице , будем подразумевать, что A имеет размеры , а D - . Пусть , где . Тогда Положим , т.е. - инволюция, выделяющая группу в группе . Если f(A) - многочлен от матричных элементов , то также будет многочленом от . 1.2. Поскольку - инвариантный, можно представить в виде Поэтому, . 1.3. Пусть известно, что значения двух многочленов F(A) и H(A) от элементов матрицы A совпадают при . Эти многочлены не обязательно равны, и мы будем называть их эквивалентными. Класс эквивалентности, в котором лежит многочлен P, будем обозначать взаимно просты, если для любых и многочлены и не имеют общих нетривиальных () множителей. Определение. Степенью рациональной функции будем называть , где , причем - взаимно просты, а P1 и Q1 имеют минимальную степень. Корректность последнего определения гарантируется следующим фактом (): Теорема 3. В кольце многочленов на односвязной полупростой алгебраической группе разложение на простые множители однозначно. 2. Доказательство теоремы 1 Нам понадобится теорема Боголюбова об острие клина (см. ). Приведем ее формулировку в удобной для нас форме. Теорема 4. Пусть - область в , C - конус в . Пусть в локальных трубах заданы функции , голоморфные и ограниченные в соответствующих областях, а их граничные (предельные) значения совпадают на . Тогда существует комплексная окрестность области , и функция f, голоморфная и ограниченная в , совпадающая с в . В нашем случае будет некоторой окрестностью в su(p,q), а будет соответствующей окрестностью в .
Пусть внутренняя функция имеет вид , где (без ограничения общности) P(A), Q(A) - многочлены от элементов матрицы A такие, что . Пусть теперь . Тогда (см. (1.2)). Положим , и . Ввиду голоморфности экспоненциального отобpажения эти функции будут удовлетворять условиям теоремы 4. Отсюда в комплексной окрестности любой точки . А значит и для любой матрицы имеем , или если ввести обозначения и , то Поскольку предполагаются взаимно простыми, то, в соответствии с теоремой 3, должно делиться на , т.е. Из (1) и (2) получаем, что Заменив в (2) и (3) матрицу A на и перейдя к комплексно сопряж"нным выражениям, обнаруживаем, что То есть нам удалось выделить общий множитель из двух многочленов, принадлежащих взаимно простым классам эквивалентности . Значит, этот множитель тривиален, т.е. , из чего следует, что . Таким образом, , где C - некоторая константа. Однако если , то 3. Доказательство теоремы 2 Пусть G=SU(p,q), =su(p,q) , - е" подалгебра Картана, - минимальный инвариантный конус. Тогда: Пусть - внутренняя функция, такая, что степени многочленов P и Q минимальны. 1) Если , то положим Заметим, что функция F принимает значение ноль в какой-то точке единичного круга . Действительно, если предположить противное, то функция будет аналитической в , в частности в (по принципу максимума модуля). С другой стороны, . Поэтому F =1, что противоречит многомерному принципу максимума модуля, поскольку ограниченная функция не может принимать значение, равное по модулю единице, во внутренней точке полугруппы л (рассматриваемой как область в ). Заметим также, что внутренним автоморфизмом можно непрерывно перевести Ak1l1(z) в Ak2l2(z), а, значит, и A(z) в B(z). Далее, поскольку интеграл есть целое число (равное числу нулей функции Fkl, ввиду ее аналитичности), и подынтегральная функция меняется непрерывно при переходе от матрицы Ak1l1(z) к Ak2l2(z), получаем, что этот интеграл имеет одно и то же значение для любых k и l. Точно так же будут совпадать интегралы и . Если , то , т.к. B(z)=A11(zq). Поскольку функция F имеет ноль внутри единичного круга, . Значит, рациональная функция F имеет по крайней мере q нулей в . А это говорит о том, что степень многочлена P, стоящего в числителе , не меньше, чем q. 2) Если p>q, то оценим степень через степень многочлена Q. Имеем: (см. (1.2)). Положив и повторив вышеприведенные рассуждения с учетом того, что , получим следующую оценку: . Таким образом, . Докажем теперь, что указанная оценка достигается. Предложение. Пусть . Тогда функция имеющая степень p, является внутренней на полугруппе Ольшанского над группой SU(p,p). Доказательство.Пусть Z - квадратная матрица размером . Тогда для матрицы X соответствующее ей отобpажение является аналитическим автоморфизмом области . Здесь E - единичная матрица размером p. Границей области является множество , которое разбивается на компоненты, различающиеся рангом матрицы (E-Z Z), причем отображение ранг этой матрицы не меняет (см. ). Поэтому и при Осталось доказать ограниченность модуля функции на полугруппе Ольшанского. Каждая матрица представляется в виде , где , а . Поэтому .
Отсюда где Z=P(K L)(M )-1Q-1. Заметим, что отображение (CZ D)(AZ B)-1 преобразует область E-Z Z&l ;0 в область E-Z Z>0 и наоборот. Поэтому, чтобы доказать ограниченность Ф(X), достаточно показать, что E-Z Z&l ;0, т.е. что все собственные числа матрицы Z Z больше или равны единице. А это действительно так ввиду того, что диагональные матрицы P и Q-1 состоят из чисел, больших или равных единице, а матрица (K L)(M )-1 унитарная. Для матриц из SU(p,q) при p>q требуемый пример получается ограничением указанной функции на группу SU(p,q). Список литературы Ol'sha ski G.I. I varia co es i Lie algebras, Lie semigroups, a d he holomorphic discre e series // Fu c . A al. Appl. 15 (1982), 275-285. Lawso J.D. Semigroups of Ol'sha ski ype // &l ;&l ;Semigroups i algebra, geome ry a d a alysis>>/ ed. Karl H. Hofma . - Berli ; ew York : de Gruy er, 1995. Рудин У. Теоpия функций в поликруге. М.: Миp, 1974. Kora yi A., Vagi S. Ra io al i er fu c io s o bou ded symme ric domai s // ra s. Amer. Ma h. Soc., 254 (1979), 179-193. Попов В.Л. Группы Пикара однородных пространств // Известия АН СССР. Сер. математическая. Т. 38. ò2. Март-апрель (1974). С. 296. Владимиров В.С., Сергеев А.Г. Комплексный анализ в трубе будущего // Соврем. проблемы математики. Фунд. направления. Т. 8 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР). М.: 1985, С.191-266. Пятецкий-Шапиро И.И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1961.
Лобачевским (1826, опубликовано в 1829—30) и Я. Больяй (1832) неевклидовой геометрии, работы К. Гаусса (1827) по внутренней геометрии поверхностей — типичные примеры наметившихся на рубеже 18 и 19 веков новых тенденций в развитии М. Связь М. с естествознанием, оставаясь по существу не менее тесной, приобретает теперь более сложные формы. Большие новые теории возникают не только в результате непосредственных запросов естествознания или техники, но также из внутренних потребностей самой М. Таково в основном было развитие теории функций комплексного переменного, занявшей в начале и середине 19 века центральное положение во всём математическом анализе. Другим замечательным примером теории, возникшей в результате внутреннего развития самой М., явилась «воображаемая геометрия» Лобачевского (см. Лобачевского геометрия ). Можно привести ещё один пример того, как начавшийся в конце 18 века и 1-й половине 19 века пересмотр с более общих точек зрения добытых ранее конкретных математических фактов нашёл во 2-й половине 19 века и в 20 веке мощную поддержку в новых запросах естествознания
1. Комплексное изучение социальных групп. (Как основа для принятия управленческих решений)
3. Нужно ли передавать функции маркетинга на аутсорсинг?
4. Внутренние и внешние функции государства
5. Сущность и функции внутреннего аудита
10. Одиноки ли мы во Вселенной?
12. Одиноки ли мы во Вселенной?
14. Функции белков в организмах живых существ
15. Синапсы (строение, структура, функции)
16. Функции белков в организме
Дорожная косметичка, 21x15x12 см, арт. 82630. 
Набор детской посуды "Домашние животные" (3 предмета). 
Тележка багажная ручная ТБР-02. 17. Функции ГЛИИ
18. Устройство парков и внутренняя служба в них
19. Аргентина. Комплексная экономико-географическая характеристика
20. Комплексная характеристика Словении
21. Внутренние воды Северной Америки
25. Правовые и организационные основы деятельности паспортно-визовой службы органов внутренних дел РФ
26. Деятельность органов внутренних дел по обеспечению режима чрезвычайного положения
27. Роль Великой Октябрьской революции для России и мира. Была ли альтернатива февральской революции
28. Готовил ли Сталин нападение на Германию
29. Референдум и его социальная функция
30. Задачи, система и функции органов юстиции Российской Федерации
32. Функции государства: налогообложение и взимание налогов
Настольная игра "Макроскоп". 
Копилка-сейф пластиковая большая, черная. 
Ведро Vileda "SuperMоcio" с отжимом ленточных швабр, 12 л. 33. Понятие налога, налогового права, его система, их функции
34. Цели, задачи и функции прокуратуры Украины
35. Право: понятие, признаки, виды, функции, принципы
36. Государство: понятие, признаки, формы правления и функции
42. Может ли Интернет нанести вред демократии?
43. Синтаксические функции герундия в испанском языке. Проблема атрибутивного герундия
44. Внутренняя и внешняя культура
45. Может ли Интернет нанести вред демократии?
46. Статья: "пойду ли я на дискотеку"
47. Функции культуры
48. Падежи: второй родительный и предложный. Функции и значения
Средство для сантехники "Cillit", от налета и ржавчины, спрей, 450 мл, 2 штуки. 
Бумага "Color copy", белая, А4, 250 гр/м2, 125 листов. 
Батут. 49. Поэзия природы: средства изобразительности и функции
50. "Освобожден народ, но счастлив ли народ ?" по поэме Некрасова "Кому на Руси жить хорошо"
51. Типы и функции обращений в лирике А. Блока
52. Группа Блумсбери. Творчество Вирджинии Вулф
53. Синтаксические функции герундия в испанском языке. Проблема атрибутивного герундия
57. Нужно ли было НАТО бомбить Югославию? История и последствия Косовского кризиса 1998-1999 гг.
58. Возможна ли единая европейская или мировая цивилизация ?
59. Рюрик: легенда и факты (А был ли Рерик?)
60. Царствование Николая I: внутренняя и внешняя политика
61. Метод комплексного археолого-искусствоведческого анализа могильников
63. Есть ли пределы развития и миниатюризации компьютеров?
64. Примеры баз данных (Студенческая группа)
Подушка "Green Line. Бамбук", 50х70 см. 
Пелёнка-кокон для мальчика "Карапуз" на липучке. 
Занимательная пирамидка большая. 65. Построение функции предшествования по заданной КС-грамматике
68. История открытия комплексных чисел
69. Экстремумы функций многих переменных
73. Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией
75. Изучение функций в школьном курсе математики VII-VIII классов
76. Исследование элементарных функций
77. Теория неявных функций и ее приложения
78. Пищеварительный тракт и его основные функции
79. Понятие инвалидности. Причины и группы инвалидности. Пенсии по инвалидности.
80. Внутренняя среда организма
Подарочный набор Шампунь "Земляника", 240 мл + Гелевая зубная паста "Малина", 60 мл + Пеня для купания. 
Бутылочка для кормления Avent "Classic+", 125 мл, от 0 месяцев. 
Табурет складной "Моби". 82. Пропедевтика внутренних болезней
83. Пропедевтика внутренних болезней
84. Оздоровительная физкультура при нарушении функций пищеварительной системы
85. О некоторых показателях опорной функции стопы у детей
89. ОРГАНЫ ВНУТРЕННИХ ДЕЛ В СИСТЕМЕ ИСПОЛНИТЕЛЬНОЙ ВЛАСТИ
91. Профилактика самоубийств среди сотрудников органов внутренних дел
92. Уголовно-исполнительное право в системе права, его предмет, функции и система
93. Психология преступной группы
94. Могут ли восстанавливаемые виды энергии полностью заменить фоссильные топлива?
95. Дидактические функции проверки и учета знаний и умений, учащихся по физике
96. Куратор студенческой группы
Лосьон солнцезащитный для детей Kolastyna, SPF-30, 150 мл. 
Подарочный набор "Покер", арт. 42447. 
Эко-гель "Organic People" для стирки детского белья, 1,5 литра. 97. Комплексные задачи по физике
98. Характеристика основных групп веществ пищевых продуктов
99. Внутренняя политика императора Александра II
