|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Курс лекций по теории вероятностей |
Брелок LED "Лампочка" классическая. 
Горшок торфяной для цветов. Раздел 1. Классическая вероятностная схема 1.1 Основные формулы комбинаторики В данном разделе мы займемся подсчетом числа «шансов». О числе шансов говорят, когда возможно несколько различных результатов какого-либо действия (извлечение карты из колоды, подбрасывание кубика или монетки, двух кубиков и т.д.). Число шансов — это число таких возможных результатов, или, иначе говоря, число способов проделать это действие. Теорема о перемножении шансов Теорема 1. Пусть имеется, k групп элементов, причем i-я группа содержит i элементов, 1 0, P(A) > 0). Теорема умножения для большего числа событий: Теорема 7. P(A1 ? A2 ? ? A ) = P(A1) P(A2A1) P(A3 A1 ?A2) P(A A1? ?A -1)если соответствующие условные вероятности определены. 4.2 Независимость Определение 16. События A и B называются независимыми, если P(A?B) = P(A)P(B) Пример 14. 1. Точка с координатами ?, ? бросается наудачу в квадрат со стороной 1. Доказать, что для любых х, у (R события A = { ? p p. Видим, что в зависимости от того, является число 1 > p p целым или нет, имеется либо два равновероятных «наиболее вероятных» числа успехов k0 = p p и k0 –1 > p p - 1,либо одно «наиболее вероятное» число успехов k0 = . Сформулируем уже доказанное утверждение в виде теоремы. Теорема 12. В испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p наиболее вероятным числом успехов является a) единственное число k0 = , если число p p не целое; б) два числа k0 = p p и k0 -1= p p -1, если число p p целое. Пример 19. Если p = q = 1/2, то при четном числе испытаний число p p = /2 1 /2— не целое, так что наиболее вероятным является единственное число успехов = /2. Что совершенно понятно, так как есть нечетное число возможностей — получить 0, 1, успехов, причем вероятности получить k и -k успехов одинаковы. При нечетном же числе испытаний число p p = /2 1 /2 — целое, так что наиболее вероятными (и одинаково вероятными) являются два числа успехов /2 1 /2 и /2 - 1 /2. 5.3 Номер первого успешного испытания Рассмотрим схему Бернулли с вероятностью успеха p в одном испытании. Испытания проводятся до появления первого успеха. Введем величину ? , равную номеру первого успешного испытания. Теорема 13. Вероятность того, что первый успех произойдет в испытании с номером k, равна P(? = k) = p qk-1. Доказательство. Действительно, Определение 21. Набор чисел {p qk-1 } называется геометрическим распределением вероятностей и обозначается Gp или G(p). Геометрическое распределение вероятностей обладает интересным свойством, которое можно назвать свойством «нестарения». Пусть величина ? обозначает, скажем, время безотказной работы (измеряемое целым числом часов) некоторого устройства. Предположим, что для величины ? вероятность принять любое свое значение k в точности равна pqk-1. Справедливо следующее утверждение. Теорема 14. Пусть P(? = k) = p qk-1. Тогда для произвольных , k ( 0 P(? > k ? > ) = P(? > k) Данному равенству можно придать следующее звучание: если известно, что устройство проработало без отказов часов, то вероятность ему работать еще не менее k часов точно такая же, как вероятность проработать не менее k часов для нового устройства.
Можно прочесть эту формулу и так: вероятность работающему устройству проработать еще сколько-то часов не зависит от того момента, когда мы начали отсчет времени, или от того, сколько уже работает устройство. Доказательство. По определению условной вероятности, (4) Последнее равенство следует из того, что событие {? > k} влечет событие {? > }, так что пересечение этих событий есть {? > k}. Найдем для произвольного m ( 0 вероятность P(? > m). Можно также заметить, что событие {? > m} означает, что в схеме Бернулли первые m испытаний завершились «неудачами», а это событие имеет вероятность как раз qm. Возвращаясь к (4), получим 5.4 Приближение гипергеометрического распределения биномиальным Рассмотрим урну, содержащую шаров, из которых K шаров — белые, а оставшиеся -K шаров — черные. Из урны наудачу (без возвращения) выбираются шаров. Вероятность P ,K( , k) того, что будет выбрано ровно k белых и - k черных шаров, находится по формуле (см. определение 8 гипергеометрического распределения вероятностей): Если число шаров в урне очень велико, то извлечение одного, двух, трех шаров почти не меняет пропорцию белых и черных шаров в урне, так что вероятности P ,K( , k) не очень отличаются от вероятностей в процедуре выбора с возвращением P(получить ровно k белых шаров при выборе шаров с возвращением) = Сформулируем нашу первую предельную теорему. Теорема 15. Если > ? и K > ? так, что K/ > p ( (0, 1) то для любых фиксированных , 0 0,то, очевидно, вероятность получить любое конечное число успехов при растущем числе испытаний стремится к нулю. Необходимо чтобы вероятность успеха p = p > 0 одновременно с ростом числа испытаний. Но от испытания к испытанию вероятность успеха меняться не может (см. определение схемы Бернулли). Поэтому рассмотрим «схему серий»: есть одно испытание ? с вероятностью успеха p1 два испытания ? , ? с вероятностью успеха p2 испытаний ? , , ? с вероятностью успеха p Вероятность успеха меняется не внутри одной серии испытаний, а от серии к серии, когда меняется общее число испытаний. Обозначим через v число успехов в -той серии испытаний. Теорема 17 (Теорема Пуассона). Пусть > ? , p > 0 так, что p > ? > 0. Тогда для любого k ? 0 вероятность получить k успехов в испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p стремится к величине для > ? , p > 0 так, что p > ? Определение 22. Пусть ? > 0— некоторая постоянная. Набор чисел называется распределением Пуассона с параметром ?. Пользуясь теоремой 17, можно приближенно посчитать вероятность получить не менее десяти успехов в 1000 испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха 0.003, с вычисления которой мы начали. Поскольку = 1000 «велико», а p = 0.003 «мало», то, взяв ? = p = 3 , можно написать приближенное равенство (6) Осталось решить, а достаточно ли =103 «велико», а p = 0.003 «мало», чтобы заменить точную вероятность P(v = k) на приближенное значение Для этого нужно уметь оценивать разницу между этими двумя вероятностями. Теорема 18 (Теорема Пуассона с оценкой погрешности). Пусть A ( {0, 1, , } — произвольное множество целых неотрицательных чисел, v — число успехов в испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p, ? = p.
Тогда Таким образом, теорема 18 предоставляет нам возможность самим решать, достаточно ли «велико», а p «мало», руководствуясь полученной величиной погрешности. Какова же погрешность в формуле (6)? Погрешность не более 0,009 (при вероятности около 0,001). Во всяком случае, можно утверждать, что искомая вероятность никак не больше, чем 0,01=0,001 0,009. Рассмотрим еще одну формулу приближенного вычисления p (m) когда велико. В отличии от предыдущего результата число успехов m в этом случае тоже растет с ростом , а вероятность успеха постоянна. Локальная теорема Муавра – Лапласа Пусть являются ограниченными. Тогда Доказательство: В силу ограниченности величин вместе с и m Воспользуемся формулой Стирлинга Раздел 6. Случайные величины и их распределения 6.1 Случайные величины Мы уже видели, что для очень многих экспериментов нет никаких различий в подсчете вероятностей событий, тогда как элементарные исходы в этих экспериментах очень различаются. Но нас и должны интересовать именно вероятности событий, а не структура пространства элементарных исходов. Поэтому пора во всех таких «похожих» экспериментах вместо самых разных элементарных исходов использовать, например, числа. То есть ввести соответствие (иначе говоря, отображение) между элементарными исходами и вещественными числами (с ними удобно работать). Пусть имеется случайный эксперимент и задано вероятностное пространство (?, ?,Р). Определение 23. Функция ?: ? >R называется случайной величиной, если для любого х ( R множество { ? < x} = {?: ?(?) < x} является событием, то есть принадлежит ?-алгебре событий ?. Замечание 10. Можно смело считать, что любое множество элементарных исходов есть событие, и, следовательно, случайная величина есть произвольная функция из ? в R. Никаких неприятностей на практике это обычно не влечет. Определение 24. Будем говорить, что функция ?: ? >R является ? -измеримой, если {?: ?(?) < x} принадлежит ? для любого х ( R. Итак, случайная величина есть ? - измеримая функция, ставящая в соответствие каждому элементарному исходу ? ( ? число ?(?) ( R. Пример 21. Подбрасываем 1 раз кубик. Пусть ? = {1, 2, 3, 4, 5, 6} , и две функции из ? в заданы так: ?(?)= ? , ?(?)= ?2. Если ? есть множество всех подмножеств ?, то ? и ? являются случайными величинами, поскольку любое множество элементарных исходов принадлежит ?, в том числе и {?: ?(?) < x} или {?: ? (?) < x} . Можно записать соответствие между значениями случайных величин ? и ? вероятностями принимать эти значения в виде «таблицы распределения вероятностей» или, коротко, «таблицы распределения»: ? 1 2 3 4 5 6 Р 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 ? 1 4 9 16 25 36 Р 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Здесь 1/6 = Р(?=1)= = Р(?=6) = Р(? =1)= = Р(? =36) Пусть ? -алгебра событий ? состоит всего из четырех множеств: ? = { ? ,(, {1,3,5},{2,4,6} } то есть событием является, кроме достоверного и невозможного событий, выпадение четного (соответственно, нечетного) числа очков. Убедимся, что при такой «бедной» ? -алгебре ни ?, ни ? не являются случайными величинами, так как эти функции не ? - измеримы. Возьмем (например) x = 3,967.
Курс так называемой математической физики я считал бы правильным сделать факультативным. Нельзя требовать от физиков-экспериментаторов умения владеть этими вещами. Надо также отметить, что эта программа тоже сильно перегружена. Необходимость в курсе теории вероятностей довольно сомнительна. Физики и без того излагают то, что им нужно, в курсах квантовой механики и статистической физики. Во всяком случае, представленная программа переполнена бесполезностями. Таким образом, я считаю, что преподавание математики нуждается в серьезнейшей реформе». В силу своих убеждений Ландау был занят не только преподаванием, но и воспитанием студентов. Его очень интересовал уровень интеллигентности студентов. Однажды вместо лекции была проведена викторина. PКто написал роман «Война и мир»?P спрашивает преподаватель. PЛев Толстой,P отвечает студент. PСколько было чудес света? PСемь. PПеречислите их, пожалуйста. PКроме египетских пирамид и висячих садов Семирамиды, к сожалению, ничего не помню. PЕще храм Артемиды в Эфесе, статуя Зевса, скульптура Фидия, гробница Мавзола, властителя Карии, медная статуя Гелиоса у входа в гавань Родос и стовосьмидесятиметровый мраморный маяк на острове Фарос
1. Конспект книги Дж. Гэлбрейта Экономические теории и цели общества
2. КРАТКИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ТЕОРИЯ ТЕСТИРОВАНИЯ АППАРАТНЫХ И ПРОГРАММНЫХ СРЕДСТВ
3. Лекции по теории проектирования баз данных (БД)
4. Теория вероятностей и случайных процессов
5. Шпоры по теории вероятности
12. Применение точечных и интервальных оценок в теории вероятности и математической статистике
16. Грегор Мендель, горох и теория вероятностей
Фоторамка на 11 фотографий С31-021 Alparaisa "Family", коричневый, 47x53,5 см. 
Пенал-книжка для начальной школы "Ever After High", 21x14 см. 18. Вклад А.Н. Колмогорова в развитие теории вероятностей
19. Задачи и примеры их решения по теории вероятности
20. Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики
25. Теория вероятности и математическая статистика
26. Теория вероятности и математическая статистика. Задачи
28. Вычисления по теории вероятностей
30. Конспект лекций по биофизике
31. Конспект лекций по Римскому праву
32. Дискретная математика (Конспекты 15 лекций)
Тетрадь на резинке "Study Up", А5, 120 листов, клетка, розовая. 
Настольная игра "Юный Свинтус" (новая версия). 
Спиннер трехлучевой "Элит", перламутровый (в железной квадратной коробке). 33. Конспект лекций по предмету Горячая Штамповка
34. Конспект лекций по дисциплине "Метрология и стандартизация". Часть 1. Метрология
35. Структура и свойство материалов (из конспекта лекций)
36. Конспект лекций по маркетингу (Пермский государственный университет)
37. Конспект лекций по дискретной математике
41. Конспект лекций по финансам
42. Конспект лекций по микропроцессорной технике
43. Охрана труда (конспект лекций)
44. Охрана труда (конспект лекций)
45. Деятельность предприятий в условиях перехода к рыночной экономике (конспект лекций)
46. Конспект лекций по экономике
47. Экономика труда - конспект лекций
48. Конспект по экономической теории
Настольная игра "Халли Галли" (Halli Galli). 
Музыкальная игрушка "Осьминог". 
Брелок оленёнок "Rike. Принцезин Лиллифи. Prinzessin Lillifee". 49. Конспект лекций по политэкономии
50. Конспект лекций по предмету Строительные материалы специальности Мосты и транспортные тоннели
51. Формулы из конспекта лекций
52. Электронный конспект лекций по курсу МСКИТ
57. Антропогенез: эволюционная теория происхождения человека
58. Лекции "Военная топография"
59. Лекции по "Общим воинским уставам"
60. Лекции по естественной географии
61. Налоги: типы, эволюция. Теория налогообложения
62. Бухгалтерский учёт и аудит в банках (курс лекций)
63. Иск в гражданском процессе: теория и практика
64. Теория социальной пассионарности Л. Н. Гумилева
Набор детской посуды "Принцесса", 3 предмета. 
Блинница (блюдо с крышкой) "Золотая Серена", 23,5 см. 65. Противоречивость "норманнской теории" происхождения государства у славян
66. Краткие лекции по истории политических и правовых учений (к зачету-тестированию)
67. Краткие лекции и шпаргалка по конституционному праву зарубежных стран
68. Охрана труда (лекции, Украина)
69. Краткий курс лекций по праву социального обеспечения
73. Теория государства и права
74. Теория государства и права
75. Теория государства и права (Шпаргалка)
76. Теория Государства и Права как юридическая наука
78. Шпаргалка по теории государства и права
79. Определения (Теория государства и право)
80. Предмет теории государства и права
Фоторамка на 4 фотографии С34-009 "Alparaisa", 55,5x18 см (белый). 
Кран башенный. 
Статуэтка "Мисс кокетливость", 10x9x29 см. 81. Шпоры к ГОСам (теория государства и права)
82. Шпаргалки по теории государства и права
83. Теория государства и права (шпаргалки для госэкзамена)
84. Теория государства и права (ТГП) в таблице
85. Теория государства и права (шпаргалки)
89. Культурология и теория цивилизаций
90. Антропогенез: эволюционная теория происхождения человека
91. Проблемы теории культуры в отечественной философии (А. Ф. Лосев, М. К. Мамардашвили)
92. "Теория" и поведение Раскольникова в романе Ф.Достоевского "Преступление и наказание"
93. Лекции по курсу "Введение в языкознание"
94. Лекции по зарубежной литературе 20 века
95. Лекции Л. И. Городнего по лексикологии английского языка
96. Теория лингвистической относительности Сепира - Уорфа
Шторка антимоскитная, черная. 
Альбом "Мои школьные годы" (книга с карманами на 11 лет). 
Средство для мытья посуды биоразлагаемое "Synergetic", концентрированное, 5 л. 98. Лекции по Истории мировых цивилизаций
99. Теория Якобинской диктатуры
Совок №5. 
Портфель "Attache", A4, серый. 
Копилка "Капитан Шарки. Capt'n Sharky". 
