|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и Зейделя |
Пакеты с замком "Extra зиплок" (гриппер), комплект 100 штук (150x200 мм). 
Гуашь "Классика", 12 цветов. 
Брелок LED "Лампочка" классическая. Содержание Введение 1 1. Теоретическая часть 1 1.1. Метод Гаусса 1 1.2. Метод Зейделя 4 1.3. Сравнение прямых и итерационных методов 6 2. Практическая часть 7 2.1 Программа решения системы линейных уравнений по методу Гаусса 7 2.2 Программа решения системы линейных уравнений по методу Зейделя 10 Введение Решение систем линейных алгебраических уравнений – одна из основных задач вычислительной линейной алгебры. Хотя задача решения системы линейных уравнений сравнительно редко представляет самостоятельный интерес для приложений, от умения эффективно решать такие системы часто зависит сама возможность математического моделирования самых разнообразных процессов с применением ЭВМ. Значительная часть численных методов решения различных (в особенности – нелинейных) задач включает в себя решение систем линейных уравнений как элементарный шаг соответствующего алгоритма. Одна из трудностей практического решения систем большой размерности связанна с ограниченностью оперативной памяти ЭВМ. Хотя обьем оперативной памяти вновь создаваемых вычислительных машин растет очень быстро, тем не менее, еще быстрее возрастают потребности практики в решении задач все большей размерности. В значительной степени ограничения на размерность решаемых систем можно снять, если использовать для хранения матрицы внешние запоминающие устройства. Однако в этом случае многократно возрастают как затраты машинного времени, так и сложность соответствующих алгоритмов. Поэтому при создании вычислительных алгоритмов линейной алгебры большое внимание уделяют способам компактного размещения элементов матриц в памяти ЭВМ. К счастью, приложения очень часто приводят к матрицам, в которых число ненулевых элементов много меньше общего чила элементов матрицы. Такие матрицы принято называть разреженными. Одним из основных источников разреженных матриц являются математические модели технических устройств, состоящих из большого числа элементов, связи между которыми локальны. Простейшие примеры таких устройств – сложные строительные конструкции и большие электрические цепи. Известны примеры решенных в последние годы задач, где число неизвестных достигало сотен тысяч. Естественно, это было бы невозможно, если бы соответствующие матрицы не являлись разреженными (матрица системы из 100 тыс. уравнений в формате двойной точности заняла бы около 75 Гбайт). 1. Теоретическая часть 1.1. Метод Гаусса Одним из самых распространенных методов решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. Этот метод (который также называют методом последовательного исключения неизвестных) известен в различных вариантах уже более 2000 лет. Вычисления с помощью метода Гаусса заключаются в последовательном исключении неизвестных из системы для преобразования ее к эквивалентной системе с верхней треугольной матрицей. Вычисления значений неизвестных производят на этапе обратного хода. 1.1.1. Схема единственного деления. Рассмотрим сначала простейший вариант метода Гаусса, называемый схемой единственного деления. Прямой ход состоит из ( 1 шагов исключения. 1-й шаг. Целью этого шага является исключение неизвестного x1 из уравнений с номерами i = 2, 3, , .
Предположим, что коэффициент a11 ( 0. Будем называть его главным элементом 1-го шага. Найдем величины qi1 = ai1/a11 (i = 2, 3, , ),называемые множителями 1-го шага. Вычтем последовательно из второго, третьего, , -го уравнений системы первое уравнение, умноженное соответственно на q21, q31, , q 1. Это позволит обратить в нуль коэффициенты при x1 во всех уравнениях, кроме первого. В результате получим эквивалентную систему a11x1 a12x2 a13x3 a1 x = b1 , a22(1)x2 a23(1)x3 a2 (1)x = b2(1) , a32(1)x2 a33(1)x3 a3 (1)x = b3(1) , . . . . . . . . . . . . . . . a 2(1)x2 a 3(1)x3 a (1)x = b (1) .в которой aij(1) и bij(1) вычисляются по формулам aij(1) = aij - qi1a1j , bi(1) = bi - qi1b1. 2-й шаг. Целью этого шага является ислючение неизвестного x2 из уравнений с номерами i = 3, 4, , . Пусть a22(1) ? 0, где a22(1) – коэффициент, называемый главным (или ведущим) элементом 2-го шага. Вычислим множители 2-го шагаqi2 = ai2(1) / a22(1) (i = 3, 4, , )и вычтем последовательно из третьего, четвертого, , -го уравнения системы второе уравнение, умноженное соответственно на q32, q42, , qm2. В результате получим систему a11x1 a12x2 a13x3 a1 x = b1 , a22(1)x2 a23(1)x3 a2 (1) = b2(1) , a33(2)x3 a3 (2)x = b3(2) , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 3(2)x3 a (2)x = b (2) . Здесь коэффициенты aij(2) и bij(2) вычисляются по формулам aij(2) = aij(1) – qi2a2j(1) , bi(2) = bi(1) – qi2b2(1). Аналогично проводятся остальные шаги. Опишем очередной k-й шаг. k-й шаг. В предположении, что главный (ведущий) элемент k-го шага akk(k–1) отличен от нуля, вычислим множители k-го шага qik = aik(k–1) / akk(k–1) (i = k 1, , )и вычтем последовательно из (k 1)-го, , -го уравнений полученной на предыдущем шаге системы k-e уравнение, умноженное соответственно на qk 1,k, qk 2,k, , q k. После ( - 1)-го шага исключения получим систему уравнений a11x1 a12x2 a13x3 a1 x = b1 , a22(1)x2 a23(1)x3 a2 (1)x = b2(1) , a33(2)x3 a3 (2)x = b3(2) , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a ( –1)x = b ( –1) .матрица A( -1) которой является верхней треугольной. На этом вычисления прямого хода заканчиваются. Обратный ход. Из последнего уравнения системы находим x . Подставляя найденное значение x в предпоследнее уравнение, получим x –1. Осуществляя обратную подстановку, далее последовательно находим x –1, x –2, , x1. Вычисления неизвестных здесь проводятся по формулам x = b ( –1) / a ( –1), xk = (b (k–1) – ak,k 1(k–1)xk 1 – – ak (k–1)x ) / akk(k–1), (k = – 1, , 1). Необходимость выбора главных элементов. Заметим, что вычисление множителей, а также обратная подстановка требуют деления на главные элементы akk(k–1). Поэтому если один из главных элементов оказывыется равным нулю, то схема единственного деления не может быть реализована. Здравый смысл подсказывает, что и в ситуации, когда все главные элементы отличны от нуля, но среди них есть близкие к нулю, возможен неконтролируемый рост погрешности. 1.1.2. Метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу (схема частичного выбора). Описание метода. На k-м шаге прямого хода коэффициенты уравнений системы с номерами i = k 1, , преобразуются по формуламaij(k) = aij(k–1) - qikakj , bi(k) = bi(k–1) - qikbk(k–1) , i = k 1, , .И
нтуитивно ясно, что во избежание сильного роста коэффициентов системы и связанных с этим ошибок нельзя допускать появления больших множителей qik. В методе Гаусса с выбором главного элементоа по столбцу гарантируется, что qik ? 1 для всех k = 1, 2, , – 1 и i = k 1, , . Отличие этого варианта метода Гаусса от схемы единственного деления заключается в том, что на k-м шаге исключения в качестве главного элемента выбирают максимальный по модулю коэффициент aikk при неизвестной xk в уравнениях с номерами i = k 1, , . Затем соответствующее выбранному коэффициенту уравнение с номером ik меняют местами с k-м уравнением системы для того, чтобы главный элемент занял место коэффициента akk(k-1). После этой перестановки исключение неизвестного xk производят, как в схеме единственного деления. 1.1.3. Метод Гаусса с выбором главного элемента по всей матрице (схема полного выбора). В этой схеме допускается нарушение естественного порядка исключения неизвестных. На 1-м шаге мтода среди элементов aij определяют максимальный по модулю элемент ai1j1. Первое уравнение системы и уравнение с номером i1 меняют местами. Далее стандартным образом производят исключение неизвестного xi1 из всех уравнений, кроме первого. На k-м шаге метода среди коэффициентов aij(k–1) при неизвестных в уравнениях системы с номерами i = k, , выбирают максимальный по модулю коэффициент aikjk(k-1). Затем k-е уравнение и уравнение, содержащее найденный коэффициент, меняют местами и исключают неизвестное xjk из уравнений с номерами i = k 1, , . На этапе обратного хода неизвестные вычисляют в следующем порядке: xj , xj –1, , xj1. 1.2. Метод Зейделя 1.2.1. Приведение системы к виду, удобному для итераций. Для того чтобы применить метод Зейделя к решению системы линейных алгебраических уравнений Ax = b с квадратной невырожденной матрицей A, необходимо предварительно преобразовать эту систему к виду x = Bx c.Здесь B – квадратная матрица с элементами bij (i, j = 1, 2, , ), c – вектор-столбец с элементами cij (i = 1, 2, , ). В развернутой форме записи система имеет следующий вид: x1 = b11x1 b12x2 b13x3 b1 x c1 x2 = b21x1 b22x2 b23x3 b2 x c2 . . . . . . . . . . . . . . . . . x = b 1x1 b 2x2 b 3x3 b x c Вообще говоря, операция приведения системы к виду, удобному для итераций, не является простой и требует специальных знаний, а также существенного использования специфики системы. Самый простой способ приведения системы к виду, удобному для итераций, состоит в следующем. Из первого уравнения системы выразим неизвестное x1: x1 = a11–1 (b1 – a12x2 – a13x3 – – a1 x ),из второго уравнения – неизвестное x2: x2 = a21–1 (b2 – a22x2 – a23x3 – – a2 x ),и т. д. В результате получим систему x1 = b12x2 b13x3 b1, –1x –1 b1 x c1 , x2 = b21x1 b23x3 b2, –1x –1 b2 x c2 , x3 = b31x1 b32x2 b3, –1x –1 b3 x c3 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x = b 1x1 b 2x2 b 3x3 b , –1x –1 c ,в которой на главной диагонали матрицы B находятся нулевые элементы. Остальные элементы выражаются по формулам bij = –aij / aii, ci = bi / aii (i, j = 1, 2, , , j ? i) Конечно, для возможности выполнения указанного преобразования необходимо, чтобы диагональные элементы матрицы A были ненулевыми.
Этим объясняется то, что, вообще говоря, решение систем из n уравнений 1-го порядка с n неизвестными функциями зависит от n параметров. Для приведённых выше конкретных примеров Д. у. их общее решение удаётся выразить при помощи элементарных функций. Типы Д. у., допускающие такого рода решение, детально изучаются. Часто придерживаются более общей точки зрения, считая Д. у. «решённым», если искомая зависимость между переменными (и входящими в общее решение параметрами c1, c2, ...) может быть выражена при помощи элементарных функций и одной или нескольких операций взятия неопределённого интеграла («решение выражено в квадратурах»). Большой общностью обладают способы нахождения решений при помощи разложения их в степенные ряды. Например, если правые части уравнений (а) в окрестности точки (t0, x10, x20, ..., xn0) голоморфны (см. Аналитические функции), то решение соответствующей начальной задачи выражается функциями xi (t), разлагающимися в степенные ряды: коэффициенты которых можно найти последовательным дифференцированием правых частей Д. у. (а) и сопоставлением коэффициентов при одинаковых степенях в левых и правых частях этих уравнений. Из специальных типов Д. у. особенно хорошо разработана теория линейных Д. у. и систем линейных Д. у. (см
1. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса
3. Исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей
4. Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений
5. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Куты 4 порядка
9. Решение систем линейных алгебраических уравнений (прямые методы)
10. Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена
11. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
12. Метод замены неизвестного при решении алгебраических уравнений
13. Методы решения алгебраических уравнений
15. Метод последовательных уступок (Теория принятия решений)
16. Метод Гаусса
Давайте вместе поиграем. Игры с логическими блоками Дьенеша. 
Электроминикар Tokids "Bubble truck", цвет синий. 17. Решение системы нелинейных уравнений
18. Метод Гаусса с выбором главной переменной
19. Классификация методов разработки и принятия управленческих решений
20. Разработка программы решения системы линейных уравнений
21. Численное интегрирование методом Гаусса
25. Методы исследования больных с заболеваниями эндокринной системы
26. Методы поиска новых идей и решений. Совершенствование методов управления в менеджменте
29. Графический метод и симплекс-метод решения задач линейного программирования
32. Способы решения систем линейных уравнений
Развивающая настольная игра "Кругозорник". 
Набор "Водный мир №4" (в коробке). 
Карандаши цветные "Progresso", 12 цветов. 33. Статические методы против виртуальных методов
34. Автоматизация решения систем линейных алгебраических уравнений
35. Решение линейных интегральных уравнений
36. Радиоволновые, радиационные методы контроля РЭСИ. Методы электронной микроскопии
37. Решение алгебраического уравнения n-ой степени
41. Налоговые системы развитых стран и их сравнение с налоговой системой России
42. Банковская система США: от зарождения до образования Федеральной резервной системы
44. Систематизация и обобщение знаний учащихся по теме "Алгебраические уравнения" в 9 классе
46. Решение нелинейного уравнения методом касательных
47. Построение решения задачи Гурса для телеграфного уравнения методом Римана
48. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера
Машина-каталка Ламбо "Розовая Принцесса". 
Точилка "Божья коровка", электрическая с контейнером (2 запасных лезвия EG-5009). 
Макси-пазлы "Ягоды", 20 элементов. 49. Метод касательных решения нелинейных уравнений
50. Построение приближенного решения нелинейного уравнения методом Ван-дер-Поля
51. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА
52. Решения смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток
53. Метод решения уравнений Ньютона - Рафсона
57. Методы оптимизации при решении уравнений
58. Методы решения уравнений линейной регрессии
59. Решение транспортной задачи методом потенциалов
60. Билеты, решения и методичка по Информатике (2.0)
61. Парольные методы защиты информации в компьютерных системах от несанкционированного доступа
63. Решение задач - методы спуска
64. Расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера
Карандаши цветные "Lyra Groove Slim", 12 цветов + точилка. 
Набор чехлов для путешествий "Бон вояж". 
Письменные принадлежности "Набор первоклассника", арт. Нп4_17692. 65. Методы и приемы решения задач
66. Решение задач линейной оптимизации симплекс – методом
67. Метод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов
68. Предмет, понятие, метод и система криминологии
69. Методология и методы принятия решения
74. Совершенствование методов проектирования кораблей и обоснование проектных решений
75. Методы решения некорректно поставленных задач
77. Методы исследования опорно-двигательной системы
78. Методы исследования опорно-двигательной системы
79. Методы принятия управленческого решения
80. Система методов управления персоналом
Игровой надувной цилиндр "Gymex". 
Набор разделочных досок на подставке (4 штуки ). 
Стиральный порошок "INDEX", универсал, 4500 грамм. 81. Эвристические методы решения творческих задач
82. Кинезиология как Метод решения психологических проблем
84. Решение задач транспортного типа методом потенциалов
85. Развитие физкультуры и спорта. Новые системы и методы физического воспитания.
89. Системы учета "стандарт-кост" и нормативного метода - основа организации управленческого учета
90. Системы и методы калькулирования себестоимости. Расчет себестоимости на примере ячеек КРУ
93. Методы поиска технических решений
94. Модели и методы решения проблемы выбора в условиях неопределенности
95. Сбалансированная Система Показателей- как метод реализации стратегии
96. Криминология: методы и система
Набор "Дизайнер улиц". 
Бумага для офисной техники, А4, 80 г/м2, 138% CIE, 500 листов в пачке. 
Игрушка пластмассовая "Умный телефон". 97. Основные методы исследования функционирования нервной системы беспозвоночных
99. Понятие, предмет, метод, система и задачи уголовного права
Каталка "Пальма" с ручкой. 
