|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Компьютеры, Программирование Теория систем управления
"Принцип Максимума" Понтрягина |
Горшок торфяной для цветов. 
Гуашь "Классика", 12 цветов. 
Коврик для запекания, силиконовый "Пекарь". Постановка задачи оптимального управления. Состояние объекта управления характеризуется -мерной вектор функцией, например, функцией времени Так, шестимерная вектор-функция времени полностью определяет положение самолета как твердого тела в пространстве. Три координаты определяют положение центра масс, а три - вращение вокруг центра масс. От управляющего органа к объекту управления поступает вектор-функция . Векторы x' и u' , обычно связаны между собой каким-то соотношением. Наиболее развитым в настоящее время является уравнение, в котором векторы связаны системой обыкновенных дифференциальных уравнений. И так, пусть движение управляемого объекта описывается системой дифференциальных уравнений - вектор координат объекта или фазовых координат,- вектор управлений или просто управление. В уравнении (1.1) векторы являются функциями переменной , обозначающей время, причем - отрезок времени, на котором происходит управление системой.На управление обычно накладывается условие (1.2) где U( ) - заданное множество в .Будем называть далее управлением кусочно-непрерывную на отрезке (т. е. имеющую конечное число разрывов первого рода) r--мерную вектор-функцию и, непрерывную справа в точках разрыва и непрерывную в точке Т. Управление и называется допустимым, если оно удовлетворяет ограничению (1.2).Заметим, что ограничиться рассмотрением непрерывных управлений оказывается невозможным, так как с их помощью трудно моделировать моменты переключения управления такие, как, например, включение и отключение двигателей, отделение ступеней ракеты, поворот рулей и т. д.Иногда рассматривают и более широкие классы допустимых управлений, например, класс всех ограниченных измеримых управлений, удовлетворяющих условию (1.2).Покажем, как при произвольном начальном положении и допустимом управлении и определяется траектория управляемого объекта. Рассмотрим задачу Коши (1.3) Поскольку при разрывных правых частях классическое понятие решения системы дифференциальных уравнений неприменимо, поясним, что понимается в данном случае под решением задачи (1.3). Для этого поступим следующим образом. Пусть функция и имеет скачки в точках. Предположим, что задача (1.3) имеет решение х, определенное на всем отрезке . Далее рассмотрим задачу Коши . Предполагая, что она имеет решение на отрезке и т. д. Если функцию х удалось определить указанным способом на всем отрезке , то будем называть ее решением задачи (1.3) или фазовой траекторией (иногда просто траекторией), соответствующей управлению и. Отметим, что x - непрерывная по построению функция, удовлетворяющая на отрезке При выполнении определенных условий на f решение задачи (1.3), соответствующее управлению и, существует и единственно при произвольном начальном положении и произвольном допустимом управлении и. Помимо ограничения на управление могут существовать ограничения и на фазовые координаты (1.4) Ограничения на концах траектории целесообразно рассматривать отдельно: , S (Т) - заданные множества из R"; < sup, oВ более подробной покоординатной записи сопряженная система принимает вид , (2.3) Система (2.3) имеет при любых начальных условиях единственное решение , определенное и непрерывное на всем отрезке .
Следующая теорема выражает необходимые условия оптимальности в задаче (2.1). Теорема (принцип максимума Понтрягина). Пусть функции и, Ф, g1, ., gm имеют частные производные по переменным х1, ., Х и непрерывны вместе с этими производными по совокупности аргументов х. Предположим, что (и, х)-решение задачи (2.1). Тогда существует решение сопряженной системы (2.3), соответствующей управлению и и траектории х, и константа ( ) при , и выполняются следующие условия: а) (условие максимума) при каждом , достигает максимума по=max H(x( ), v( ), (2.4) б)(условие трансверсальности на левом конце траектории) существуют числа(2.5) в) (условие трансверсальности на правом конце траектории) существуют числа (2.6) Центральным в теореме является условие максимума -(2.4).Если отказаться от предположения о том, что конечный момент времени Т фиксирован, то теорема останется справедливой за исключением условия трансверсальности на правом конце траектории. Условие (2.6) заменим условием и добавить еще одно условие трансверсальности на правом конце траектории: Примеры применения принципа максимума. 1. Простейшая задача оптимального быстродействия. Пусть точка движется по прямой в соответствии с законом (3.1) где х - координата. Требуется найти управление и, переводящее точку из начального положения в начало координат за минимальное время Т (задача оптимального быстродействия). При этом скорость точки в конце траектории должна быть нулевой, а управление - удовлетворять условию . Применим к сформулированной задаче принцип максимума Понтрягина . Введем фазовые переменные . Тогда движение управляемого объекта описывается системой двух дифференциальных уравнений первого порядка: при 0=0 и конечное положение (0, 0) фиксированы, а конечный момент времени Т не фиксирован. В обозначениях п.п. 1, 2 в данной задаче U ==, f0=1, Ф=0, а функция Гамильтона имеет вид легко выписывается в явном виде где С, D - постоянные. Очевидно, что максимум функции Н по и Таким образом, оптимальное управление и может принимать лишь два значения 1 . 2.Определить управление u( ) , которое дает минимум интегралу (1). Решение. Введем дополнительную переменную (2) Для этой переменной имеем дифференциальное уравнение (3) с начальными условиями, получаемыми из (2), т.е. х2(0)=0. Минимизирующий функционал, используя (2), можно записать в виде I Запишем сопряженную систему ?1(Т)=0 (т.к. с1=0) ?2(Т)=-1 Из поэтому ?2(е)=-1. Теперь функция Гамильтона запишется в виде H=- a?1x1 ?1u-0,5x12-0,5u2 . По принципу максимума функция Н при фиксированных х1 и ?1 достигает максимума по u : . Осталось решить систему уравнений (2) и (3) при условии с граничными условиями Сведем данную систему к одному уравнению относительно U. Добавим к этому уравнению граничные условия и решим его. Составим характеристическое уравнение к2 - (а2 1) =0, к1,2= (-). Тогда Таким образом, определено оптимальное решение Примеры применения принципа максимума. 1. Простейшая задача оптимального быстродействия. Пусть точка движется по прямой в соответствии с законом (3.1) где х - координата. Требуется найти управление и, переводящее точку из начального положения в начало координат за минимальное время Т (задача оптимального быстродействия).
При этом скорость точки в конце траектории должна быть нулевой, а управление - удовлетворять условию . Применим к сформулированной задаче принцип максимума Понтрягина . Введем фазовые переменные . Тогда движение управляемого объекта описывается системой двух дифференциальных уравнений первого порядка: при 0=0 и конечное положение (0, 0) фиксированы, а конечный момент времени Т не фиксирован. В обозначениях п.п. 1, 2 в данной задаче U ==, f0=1, Ф=0, а функция Гамильтона имеет вид легко выписывается в явном виде где С, D - постоянные. Очевидно, что максимум функции Н по и Таким образом, оптимальное управление и может принимать лишь два значения 1 . 2.Определить управление u( ) , которое дает минимум интегралу (1). Решение. Введем дополнительную переменную (2) Для этой переменной имеем дифференциальное уравнение (3) с начальными условиями, получаемыми из (2), т.е. х2(0)=0. Минимизирующий функционал, используя (2), можно записать в виде I Запишем сопряженную систему ?1(Т)=0 (т.к. с1=0) ?2(Т)=-1 Из поэтому ?2(е)=-1. Теперь функция Гамильтона запишется в виде H=- a?1x1 ?1u-0,5x12-0,5u2 . По принципу максимума функция Н при фиксированных х1 и ?1 достигает максимума по u : . Осталось решить систему уравнений (2) и (3) при условии с граничными условиями Сведем данную систему к одному уравнению относительно U. Добавим к этому уравнению граничные условия и решим его. Составим характеристическое уравнение к2 - (а2 1) =0, к1,2= (-). Тогда Таким образом, определено оптимальное решение О методах решения задач оптимального управления Убедимся вначале, что необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума дают, вообще говоря, достаточную информацию для решения задачи оптимального управления (2.1), (2.2). Условие максимума (2.4) позволяет, в принципе, найти управление и как функцию параметров х, , (2.7) Рассмотрим систему дифференциальных уравнений (2.8) объединяющюю систему уравнений движения объекта и сопряженную систему. Как известно, общее решение системы (2.8), состоящей из 2 обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, зависит от 2п параметров. Кроме того, система необходимых условий оптимальности содержит т параметров и параметр ?0. Таким образом, общее число неизвестных равно 2 m 1. Для их определения мы имеем 2п условий (2.5), (2.6) и т условий (2.2). Еще одно условие определяется из следующих соображений. Легко понять, что, в силу линейности функции Н по переменным принцип максимума Понтрягина определяет вектор () с точностью до положительного постоянного множителя. Поэтому если в конкретной задаче удается показать, что == - 1. В противном случае накладывают какое-либо условие нормировки, например, Таким образом, общее число условий равно 2 m 1 и совпадает с числом неизвестных параметров, что, в принципе, позволяет определить эти параметры. Изложенные соображения дают возможность в простейших случаях решить задачу оптимального управления в явном виде. Опишем численный метод, основанный на тех же соображениях. Для этого рассмотрим краевую задачу для системы дифференциальных уравнений (2.8) с краевыми условиями (2.5
В качестве примера, приведём здесь справку, выданную ЦАГИ Л. С. Понтрягину. Применение принципа максимума и теории дифференциальных игр в современной механике полёта Принцип максимума и теория дифференциальных игр Л. С. Понтрягина нашли широкое и важное применение в следующих работах, проведённых в ЦАГИ. 1. Исследование и выбор оптимальных траекторий, оптимальных параметров и разработка методов оптимизации характеристик летательных аппаратов (ЛА) различного назначения: оптимальное пространственное выведение; оптимальное выведение на орбиту искусственных спутников Земли, Луны и планет; оптимальное маневрирование ЛА, в том числе их стыковка; стабилизация и оптимальное управление ориентацией ЛА; оптимальные межпланетные перелёты, в том числе с двигателями малой тяги. 2. Решение задач динамики полёта и управления входом в атмосферу: исследование возможности полёта ЛА со скоростями входа, превышающими вторую космическую (обеспечение коридора входа, выдерживание ограничений по перегрузке, тепловым и температурным режимам); оптимальное выведение на орбиту искусственного спутника планеты (в том числе Марса) с использованием аэродинамического торможения в атмосфере; оптимальное управление боковой дальностью построение зон достижимости и оптимальное пространственное движение в заданную точку земной поверхности. 3
2. Принцип работы и назначение телескопа
4. Принцип построения налога на добавленную стоимость
5. Экономическая сказка-реферат "НДС - вражья морда" или просто "Сказка про НДС"
9. Понятие, содержание и принципы исполнительной власти
10. Основные принципы международного публичного права
11. Принципы технического регулирования, порядок разработки, принятия технических регламентов
12. Право: понятие, признаки, виды, функции, принципы
13. Принцип разделения властей
14. Происхождение права, теории происхождения права, понятие признаки, виды, функции, принципы
15. Принцип разделения властей
Накладка на унитаз "Бегемотик". 
Ватман "Kroyter Проф", А1, 100 листов. 
Именная кружка с надписью "Любимая мама". 17. Несколько рефератов по культурологии
18. Реферат перевода с английского языка из книги “A History of England” by Keith Feiling
19. Реферат по книге Фернана Броделя
20. Принцип действия боевых номеронабирателей и сканеров
21. Состав и принципы построения ЭВМ
26. Принципы проектирования и использования многомерных баз данных
29. Синдром раздраженного кишечника: этиология, патогенез, клиника, диагностика, принципы лечения
31. Синдром "Дисфагия". Принципы диагностики и лечения. Организация сестринского процесса
32. Принципы организации и деятельности суда
Напольный пазл "Машинки". 
Стул детский Ника "СТУ3" складной моющийся (цвет: розовый, рисунок: сердечки). 
Крышка силиконовая "Невыкипайка", 29 см (арт. TK 0081). 33. Субъект преступления ("подновлённая" версия реферата 6762)
34. Принципы уголовного судопроизводства
35. Принцип построения и опыт практической реализации экологических информационных систем
36. Проблемы экологической этики и принципы экологического гуманизма
37. Основополагающие принципы андрагогической модели обучения: Оптимальные условия их применения
41. Психология труда (Обзорный реферат по психологии труда)
42. Обучаемость как принцип оценки умственного развития дошкольников
43. Устройство цветных кинескопов. Принципы построения системы SECAM
44. Принцип относительности Эйнштейна
45. Устройство и принцип работы радиоприёмника Попова
46. Устройство, назначение, принцип работы, типы и история телескопа
Ручка перьевая "Golden Prestige", синяя, 0,8 мм, корпус черный/золото. 
Матрас-кокон "Зевушка". 
Настольная игра "Битва полов", артикул 7747. 49. Философия К. Поппера и принцип фальсификации
50. Диалектика: принципы, законы, категории
51. Основные принципы философской мысли Древней Индии, ее основные школы и направления
52. Развитие финансовых систем, основанных на рыночных принципах
53. Необходимость, сущность и формы кредита. Принципы кредитования
57. Реферат по информационным системам управления
58. ЗАКОНОМЕРНОСТИ И ПРИНЦИПЫ УПРАВЛЕНИЯ
59. Принципы управления преуспевающих компаний
60. Принципы и факторы, влияющие на ценообразование недвижимости в условиях конкуренции
61. Страхование - принципы, интересы, риски
62. Принципы и методы организации коммерческой деятельности
63. Принципы и модели ценообразования
64. Принципы и формы налоговой политики
Кролик "Bunnies" с магнитами, 9,5 см. 
Глобус "Двойная карта" диаметром 320 мм, с подсветкой. 
Сетка москитная белая. 65. Миграция населения. Особенности современных принципов миграции
66. Предмет истории. Источники. Принципы изучения отечественной истории
67. Принципы развития предпринимательства в России
68. Основные принципы философии ПоВеды
69. Принцип действия полевого транзистора
73. Реферат по книге Н. Цеда Дух самурая - дух Японии
74. Принципы морфемного членения слова
75. Жизненные принципы Чацкого и Молчалина
76. Принципы психологического анализа в романе Л.Н.Толстого "Война и мир"
77. Принципы синхронного описания языка
78. Обзорный реферат по творчеству Ф.И. Тютчева
79. Реферат по биографии Виктора Гюго
80. Христианский реализм как художественный принцип русской классики
Корзина для белья "Виолетта" (30 литров). 
Головоломка Кубик Рубика "3х3". 
Развивающая игра "Магнитные истории. В гостях у сказки". 81. О композиционных принципах первой части «Сочинений» Г. Р. Державина 1808-1816 гг.
82. Возникновение маркетинга. Принципы маркетинга
83. Организация завода по производству пива на принципах маркетинга
84. Принципы управления развитием нового продукта на предприятии
85. Принцип Дирихле
89. Хронические гастриты у детей: принципы диагностики
90. Общие принципы лечения острого алкогольного гепатита
91. Основные принципы психологии здоровья
92. Современные принципы диагностики и лечения эндометриоза
93. Литература - Патофизиология (ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ОЦЕНКИ ГЕМОГРАММ)
94. Литература - Топографическая анатомия (общие принципы паллиативных операций на
95. Общие принципы радикальных операций на желудке и кишечнике
96. Принципы магнитно-резонансной томографии
Полка для ванной (сиденье) (белый). 
Ручки гелевые "Lipari", 30 цветов. 
Подарочный набор "Покер", арт. 42449. 97. Реферат - Социальная медицина (ЗДРАВООХРАНЕНИЕ КАК СОЦИАЛЬНАЯ СИСТЕМА ЧЕЛОВЕЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА)
98. Реферат - Физиология (строение и функции гемоглобина)
99. Принципы и особенности составления лекарственных алгоритмов
