|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне |
Чашка "Неваляшка". 
Браслет светоотражающий, самофиксирующийся, желтый. 
Карабин, 6x60 мм. Санкт-Петербургский Государственный Технологический Институт (Технический Университет) Кафедра Факультет VIII Прикладной Курс II Математики Группа 891 Дисциплина: Информатика – 2 Курсовая работа Тема: «Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне» Руководитель: Поляков В.О. Исполнитель: Солнцев П.В. Санкт-Петербург 2001 ВведениеВ решении любой прикладной задачи можно выделить три основных этапа: - построение математической модели исследуемого объекта - выбор способа и алгоритма решения полученной модели - численная реализация алгоритмаЦель данной работы – на примере исследования распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне освоить основные методы приближённых вычислений, приобрести практические навыки самостоятельных исследований, существенно опирающихся на использование методов прикладной математики. Содержание1. Постановка задачи 1. Физическая модель 2. Математическая модель2. Обработка результатов эксперимента 1. Задача регрессии. Метод наименьших квадратов. 2. Гипотеза об адекватности модели задачи регрессии3. Нахождение коэффициента теплоотдачи ? 1. Вычисление интеграла методом трапеций 2. Вычисление интеграла методом парабол (Симпсона)4. Вычисление времени Т0 установления режима 1. Решение уравнения комбинированным методом 2. Решение уравнения методом итерраций5. Решение краевой задачи (метод малого параметра)6. Заключение Литература 1. Постановка задачи 1. Физическая модель В ряде практических задач возникает необходимость исследования распределения температуры вдоль тонкого цилиндрического стержня, помещённого в высокотемпературный поток жидкости или газа. Это исследование может проводиться либо на основе обработки эксперимента (измерение температуры в различных точках стержня), либо путём анализа соответствующей математической модели. В настоящей работе используются оба подхода. Тонкий цилиндрический стержень помещён в тепловой поток с постоянной температурой ?, на концах стержня поддерживается постоянная температура ?0. 1.2 Математическая модель Совместим координатную ось абсцисс с продольной осью стержня с началом в середине стержня. Будем рассматривать задачу (распределения температуры по стержню) мосле момента установления режима Т0. Первая математическая модель использует экспериментальные данные, при этом измеряют температуру Ui стержня в нескольких точках стержня с координатами xi. Результаты измерения Ui рассматривают как функцию регрессии и получают статистики. Учитывая чётность U(x) можно искать её в виде многочлена по чётным степеням x (ограничимся 4-ой степенью этого многочлена). (1.1) Задача сводится к отысканию оценок неизвестных параметров, т.е. коэффициентов a0 , a1 и a2 , например, методом наименьших квадратов. Вторая математическая модель, также использующая экспериментальные данные, состоит в применении интерполяционных формул и может употребляться, если погрешность измерений температуры Ui пренебрежимо мала, т.е. можно считать, что U(xi)=Ui Третья математическая модель основана на использовании закона теплофизики. Можно доказать, что искомая функция U(x) имеет вид: (1.2
) где ? - коэффициент теплопроводности, ? - коэффициент теплоотдачи, D – диаметр стержня, ? - температура потока, в который помещён стержень. Ищем U(x) как решение краевой задачи для уравнения (1.2) с граничными условиями: (1.3) на отрезке , где L – длина стержня, ?0 - постоянная температура, поддерживаемая на концах стержня. Коэффициент теплопроводности ? зависит от температуры: (1.4) где ?0 - начальное значение коэффициента теплопроводности, ? - вспомогательный коэффициент. Коэффициент теплоотдачи ? вычисляют по формуле: (1.5) т.е. как среднее значение функции за некоторый отрезок времени от 0 до Т, здесь ?0 - значение ? при стремящемся к бесконечности, b – известный коэффициент. Время Т0, по истечении которого распределение температуры в стержне можно считать установившимся определяется по формуле: (1.6) где а – коэффициент температуропроводности, ? - наименьший положительный корень уравнения: (1.7) Задание курсовой работы Вариант № 136 Исходные данные: 1. L = 0.0386 м 2. D = 0,00386 м 3. ? ’ 740 оС 4. ?0 ’ 74 оС 5. ?0 ’ 141,85 (Вт/м К) 6. ? ’ 2,703 10-4 7. ? ’ 6,789 10-7 8. ?0 ’ 3,383 102 (Вт/м2 К) 9. ? ’ 218 оС 10. А = 3,043 10-5 (м2/с) 11 X, м U, oC 0 353 0,00386 343 0,00772 313 0,01158 261 0,01544 184 0,01930 74 2. Обработка результатов эксперимента. 2.1 Задача регрессии. Метод наименьших квадратов. Ищем функцию регрессии в виде (1.1). Оценки коэффициентов находим с помощью МНК, при этом наименьшими будут оценки, обеспечивающие минимум квадратов отклонений оценочной функции регрессии от экспериментальных значений температуры; суммирование ведут по всем экспериментальным точкам, т.е. минимум величины S: (2.1) В нашем случае необходимым т достаточным условием минимума S будут: Где k = 0, 1, 2. (2,2) Из уравнений (2.1) и (2.2) получаем: (2.3) Сумма Система (2.3) примет вид: (2.4) В результате вычислений получаем Sk и Vj. Обозначим матрицу коэффициентов уравнения (2.4) через “p”: Методом Гаусса решаем систему (2.4) и найдём обратную матрицу p-1. В результате получаем: Подставляя в (2.1) найденные значения оценок коэффициентов ак, находим минимальное значение суммы S: Smi =0.7597 При построении доверительных интервалов для оценок коэффициентов определяем предварительно точечные оценки. Предполагается, что экспериментальные значения xi измерены с пренебрежимо малыми ошибками, а случайные ошибки измерения величины Ui независимы и распределены по нормальному закону с постоянной дисперсией ?2, которая неизвестна. Для имеющихся измерений температуры Ui неизвестная дисперсия оценивается по формуле: Где r – число степеней свободы системы, равное разности между количеством экспериментальных точек и количеством вычисляемых оценок коэффициентов, т.е. r = 3. Оценка корреляционной матрицы имеет вид: Оценки дисперсий параметров оценок коэффициентов найдём по формулам: Где Sk – минор соответствующего диагонального элемента матрицы нормальной системы; ? - главный определитель нормальной системы. В нашем случае: S0=3.5438 10-22 S1=-8.9667 10-14 S2=6.3247 10-7 Откуда: Найденные оценки коэффициентов распределены по нормальному закону, т.к
. линейно зависят от линейно распределённых экспериментальных данных Ui. Известно, что эти оценки несмещённые и эффективные. Тогда случайные величины: Имеют распределения Стьюдента, а r = 3. Выбираем доверительную вероятность ?=0,9 и по таблице Стьюдента находим критическое значение ? равное 2,35, удовлетворяющее равенству: Доверительные интервалы для коэффициентов: (2.4 ) В нашем случае примут вид: 2.2 Проверка статистической гипотезы об адекватности модели задачи регрессии. Имеется выборка объёма экспериментальных значений (xi;Ui). Предполагаем, что ошибки измерения xi пренебрежимо малы, а случайные ошибки измерения температур Ui подчинены нормальному закону с постоянной дисперсией ?2. Мы выбрали функцию регрессии в виде: Выясним, нельзя ли было ограничиться многочленом второго порядка, т.е. функцией вида: (2.5) C помощью МНК можно найти оценки этих функций и несмещённый оценки дисперсии отдельного измерения Ui для этих случаев: Где r1 = 4 (количество точек – 6, параметра – 2). Нормальная система уравнений для определения новых оценок коэффициентов функции (2.5)с помощью МНК имеет вид: (2.7) Решая эту систему методом Гаусса, получим: (2.8) Чем лучше функция регрессии описывает эксперимент, тем меньше для неё должна быть оценка дисперсии отдельного измерения Ui, т.к. при плохом выборе функции в дисперсию войдут связанные с этим выбором дополнительные погрешности. Поэтому для того, чтобы сделать выбор между функциями U(x) и U(1)(x) нужно проверить значимость различия между соответствующими оценками дисперсии, т.е. проверить гипотезу: Н0 – альтернативная гипотеза Т.е. проверить, значимо ли уменьшение дисперсии при увеличении степени многочлена. В качестве статического критерия рассмотрим случайную величину, равную: (2.9) имеющую распределение Фишера с(r ; r1) степенями свободы. Выбираем уровень распределения Фишера, находим критическое значение F ?, удовлетворяющее равенству: p(F>F ?)=? В нашем случае F=349.02, а F ?=10,13. Если бы выполнилось практически невозможное соотношение F>F?, имевшее вероятность 0,01, то гипотезу Н0 пришлось бы отклонить. Но в нашем случае можно ограничиться многочленом , коэффициенты в котором неодинаковы. 3. Нахождение коэффициента теплопроводности ?. Коэффициент ? вычислим по формуле (1.5), обозначим: (3.1) Определим допустимую абсолютную погрешность величины интеграла I, исходя из требования, чтобы относительная погрешность вычисления ? не превосходила 0,1%, т.е.: (3.2) Т.к. из (3.1) очевидно, что ?>?0, то условие (3.2) заведомо будет выполнено, если: (3.3) Т.е. в качестве предельно допустимой абсолютной погрешности вычисления интеграла I возьмём ?’0,001Т (3.4) Т=218 оС, следовательно, ?’0,218 оС. 3.1 Вычисление интеграла I методом трапеции Использование теоретической оценки погрешности Для обозначения требуемой точности количества частей , на которые нужно разбить отрезок интегрирования , e , f( )=e-b 3 Учитывая формулу (3.4) получаем: (3.5) Дифференцируя f( ), получим: А необходимое условие экстремума: f”( )-f’’’( )=0, откуда получаем: Далее вычисляем значения f’’( ) при = 1, = 2, =0 и = , получаем: f’’( 1)=1.5
Схема аппарата для выращивания монокристаллов по методу Вернейля: 1 — бункер; 2 — кристалл; 3 — печь; 4 — свеча; 5 — механизм опускания; 6 — механизм встряхивания. Рис. 2. Схема аппарата для выращивания монокристаллов по методу Чохральского: 1 — тигель с расплавом; 2 — кристалл; 3 — печь; 4 — холодильник; 5 — механизм вытягивания. Рис. 5. Схема высокотемпературного кристаллизатора: 1 — раствор; 2 — кристалл; 3 — печь; 4 — тигель. Рис. 6. Схема автоклава для гидротермального синтеза: 1 — раствор; 2 — кристалл; 3 — печь; 4 — вещество для кристаллизации. Рис. 7. Схема установки для кристаллизации из газовой фазы; пунктиром показано распределение температуры вдоль печи. Рис. 4. Схема низкотемпературного кристаллизатора: 1 — раствор; 2 — кристалл; 3 — печь; 4 — термостат; 5 — мешалка; 6 — контактный термометр; 7 — терморегулятор. Рис. 1. Схема аппарата для выращивания монокристаллов по методу Стокбаргера: 1 — тигель с расплавом; 2 — кристалл; 3 — печь; 4 — холодильник; 5 — термопара; 6 — диафрагма. Монокультура Монокульту'ра в земледелии (от моно... и лат. cultura — возделывание, развитие), 1) единственная с.-х. культура, возделываемая в хозяйстве. 2) Длительное, непрерывное (повторное) выращивание растений одного вида на одном и том же участке (поле, огород) без соблюдения севооборота (чередования культур). При М. ухудшаются физические свойства почвы, уменьшается содержание гумуса; почва односторонне истощается (например, длительное возделывание зерновых на одной и той же площади обедняет почву преимущественно фосфором, свёклы, картофеля — калием, бобовых — фосфором и кальцием), возникает эрозия почвы и т. п
1. Применение обобщенного метода Фурье в задаче полого волновода треугольного сечения
3. Методы и средства контактных электроизмерений температуры
4. Методы оценки близости допредельных и предельных распределений статистик
9. Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений
13. Изучение миксомицетов среднего Урала, выращенных методом влажных камер
14. Методы исследования в цитологии
15. МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ ЭВОЛЮЦИИ ЧЕЛОВЕКА
16. Методологическое значение сравнительного метода в зоологических исследованиях
Френч-пресс, 600 мл. 
Корзина "Плетенка" с крышкой, 35х29х22,5 сантиметров, бежевая. 
Чайник "Birds", 1050 мл. 17. Метод радиоавтографии в биологии
18. Виды стихийных бедствий и методы борьбы с ними
19. Статистика населения. Методы анализа динамики и численности и структуры населения
20. Методы и модели демографических процессов
21. Гамма – каротаж. Физические основы метода
25. Предмет, метод, источники Административного права
26. Методы осуществления государственной власти
27. Метод гражданско правового регулирования
28. Формы и методы государственного регулирования экономики в Казахстане
29. Математические методы и модели в конституционно-правовом исследовании
30. Методы комплексной оценки хозяйственно-финансовой деятельности
31. Цикл-метод обучения. (Методика преподавания эстонского языка)
32. Специфика преподавания иностранного языка и метод проектов
Сменный фильтр "Барьер-6" (2 штуки). 
Караоке песенки В. Шаинского. 
Дуст от муравьев "Чистый дом", 350 грамм. 33. Естественная и гуманитарная культуры. Научный метод
34. Русская здрава (методы оздоровления на Руси)
35. Методы исследования литературы
36. Метод комплексного археолого-искусствоведческого анализа могильников
41. Оценка методов и средств обеспечения безошибочности передачи данных в сетях
43. Обзор возможных методов защиты
44. Метод деформируемого многогранника
46. Динамическое распределение памяти
47. Применение методов линейного программирования в военном деле. Симплекс-метод
48. Вычисление площади сложной фигуры методом имитационного моделирования (Windows)
Качели пластмассовые "Малыш". 
Кроватка-качалка для куклы. 49. Математические методы и языки программирования: симплекс метод
50. Лекции по высокоуровневым методам информатики и программированию
51. Вычисление определённого интеграла с помощью метода трапеций на компьютере
52. Интегрирование методом Симпсона
53. Автоматизированная система распределения мест и оценок качества олимпиадных заданий
59. Первообразная. Три правила нахождения первообразных
60. Ряд Фурье
61. Численные методы
63. Метод конечных разностей или метод сеток
64. "Комплект" заданий по численным методам
Домик игровой с забором. 
Стиральный порошок с ферментами "Top Home", 900 г. 65. Аксиоматический метод. Логическое строение геометрии
66. Расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера
67. Сетевые методы в планировании
68. Методы корреляционного и регрессионного анализа в экономических исследованиях
69. Современные криптографические методы
74. Методы решения систем линейных неравенств
76. Приближенный метод решения интегралов. Метод прямоугольников (правых, средних, левых)
77. Вычислительные методы алгебры (лекции)
78. Решение транспортной задачи методом потенциалов
79. Составление и решение нестандартных уравнений графоаналитическим методом
80. Некоторые дополнительные вычислительные методы
Набор линеров "Kores", 0,4 мм, 10 цветов. 
Этажерка для обуви разборная, 2 полки, 435x660x300 мм, 4 положения. 
Ручка шариковая "Excellence", золото. 81. Метод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов
82. Итерационные методы решения систем линейных уравнений с неединственными коэффициентами
85. Механические и хирургические методы контрацепции
89. Предмет, метод, содержание cудебной медицины
90. Методы оценки кровопотери в акушерстве
91. Метод Фолля
92. Некоторые методы лечения переломов длинных трубчатых костей
93. Бруцеллез. Этиология и географическое распределение, профилактика болезни
95. Сравнительная характеристика методов лабораторной диагностики трихомоноза
96. Продвинутые методы Ганемана. LМ-потенции: теория и практика
Магнитная доска для фото, с маркером, 30x48 см. 
Мультиплеер "Антошка". 
Ниблер силиконовый "Зайчик", голубой. 98. Предмет, понятие, метод и система криминологии
99. Характеристики методов расследования преступлений, связанных с квалифицированным вымогательством
Манеж детский игровой "Динозаврики" (120х100х74 см). 
Кружка "Гольф", с ручками. 
