|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Дискретная математика |
Мыло металлическое "Ликвидатор". 
Забавная пачка "5000 дублей". 
Крючки с поводками Mikado SSH Fudo "SB Chinu", №4BN, поводок 0,22 мм. Введение Общество 21в. – общество информационное. Центр тяжести в решении задач переместился от задач вычислительной математики к задачам на дискретных структурах. Математика нужна не как метод расчета, а как метод мышлению средство формирования и организации Такое владение математикой богатой культуры, понимание важности точных формулировок. В дисциплине мало методов, но много определений и терминов. В основе дискретной математике 4 раздела: Язык дискретной математики; Логические функции и автоматы; Теория алгоритмов; Графы и дискретные экстремальные задачи. Теория алгоритмов и формальных систем является центральной в дисциплине. В настоящие время от нее возникли ответвления, например, разработка алгоритмических языков программирования. Одной из важнейших проблем в дискретной математики является проблема сложности вычислений. Теория сложности вычислений помогает оценить расход времени и памяти при решении задач на ЭВМ. Теория сложности позволяет выделить объективно сложные задачи (задачи перебора) и неразрешимые задачи. Мы будем заниматься решением задач реальной размерности с учетом ограниченности временных и емкостных ресурсов ЭВМ. Множества и операции над ними Одно из основных понятий математики – множество. Определение: Множеством называется совокупность, набор предметов, объектов или элементов. Множество обозначают: M, . m1, m2, m – элементы множества. Символика A Î M – принадлежность элемента к множеству; А Ï М – непринадлежность элемента к множеству. Примеры числовых множеств: 1,2,3, множество натуральных чисел ; ,-2,-1,0,1,2, - множество целых чисел Z. множество рациональных чисел а. I – множество иррациональных чисел. R – множество действительных чисел. K – множество комплексных чисел. Множество А называется подмножеством В, если всякий элемент А является элементом В. А Í В – А подмножество В (нестрогое включение) Множества А и В равны, если их элементы совпадают. A = BЕсли А Í В и А ¹ В то А Ì В (строгое включение). Множества бывают конечные и бесконечные. М - мощность множества (число его элементов). Конечное множество имеет конечное количество элементов. Пустое множество не содержит элементов: M = Æ . Пример: пустое множество: 1) множество действительных корней уравнения x2 1=0 пустое: M = Æ . 2) множество D , сумма углов которого ¹ 1800 пустое: M = Æ .Если дано множество Е и множество и мы рассматриваем все его подмножества, то множество Е называется униварсельным. Пример: Если за Е взять множество книг то его подмножества: художественные книги, книги по математике, физики, физики Если универсальное множество состоит из элементов, то число подмножеств = 2 . Если , состоящее из элементов E, не принадлежащих А, называется дополненным. Множество можно задать: Списком элементов {a,b,c,d,e}; Интервалом 1&l ;x&l ;5; Порождающей процедурой: xk=p k si x=0; Операции над множествами Объединение множеств А и В (союз или). Множество, состоящие из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В называется объединенным.А È ВОтношение множеств наглядно иллюстрируется с помощью диаграмм Венна.
Диаграмма Венна – это замкнутая линия, внутри которой расположены элементы множества. Объединение двух множеств Объединение трех множеств: AUB Объединение системы множеств можно записать - объединение системы множеств. Пример: объединение множеств, когда они заданы списком. A = {a,b,d} B = {b,d,e,h} AUB = {a,b,c,d,e,h} 2) Пересечением множеств А и В называется множество, состоящие из элементов принадлежащих одновременно множествам А и В. A Ç B Пересечение прямой и плоскости если прямые пл., то множество пересечений – единственная точка; если прямые II пл., то M ¹ Æ ; если прямые совпадают, то множество пересечений = множество прямой. Пересечение системы множеств: Разностью 2-х множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов А, не входящих в В. С = А В A = {a,b,d}; B = {b,c,d,h} C = A B={a}. В отличии от предыдущих операций разность: 1) строго двухместна; 2) не коммутативна, т.е. AB ¹ BA. 4) дополнение E – универсальное множество. -- дополнение Операции объединения, пересечения и дополнения называются Булевыми. Основные законы операций над множествами. Некоторые свойства È , Ç похожи на алгебраические операции, однако многие свойства операций над множествами все же отличаются. Основные свойства AUB=BUA; AÇ B=BÇ A – переместительный закон объединения и пересечения. (АUB)UC = AU(BUC); (AÇ B)Ç C=AÇ (BÇ C) – сочетательный закон. АUÆ =A, AÇ Æ =Æ , A Æ =A, A A=Æ 1,2,3 – есть аналог в алгебре. 3.а) Æ A = Æ - нет аналога. Æ ; E A =; A E=Æ ; AUA=A; AÇ A=A; AUE=E; AÇ E=A; 5.а) свойства 1-4 очевидны и не нуждаются в доказательствах. AÇ (BUC)=(AÇ B)(AÇ C) – есть аналогичный распределительный закон Ç относительно U. Прямые произведения и функции Прямым декартовым “х” множеством А и В называется множество всех пар (a;b), таких, что аÎ А, bÎ B. С=AхВ, если А=В то С=А2. Прямыми “х” множеств A1x, ,xA называется множество векторов (a1, a ) таких, что a1Î A1, , A Î A . Через теорию множеств введем понятие функции. Подмножество FÎ Mx x My называется функцией, если для каждого элемента хÎ Mx найдется yÎ Му не более одного. (x;y)Î F, y=F(x). Соответствие между аргументом и функцией можно изобразить с помощью диаграммы Венна: Определение: Между множествами MX и MY установлено взаимноодназночное соответствие, если каждому хÎ MX соответствует 1 элемент yÎ MY и обратное справедливо. Пример: 1) (х,у) в круге x=2 à y=2y=2 à x=2.4 не взаимнооднозначное соответствие. 2) x = si x Rà R Пусть даны две функции f: Aà B и g: Bà C, то функция y:Aà C называется композицией функций f и g. Y=f o g o – композиция. Способы задания функций: таблицы, определены для конечных множеств; формула; графики; Способы 1-3 частные случаи выч. процедуры. Пример процедуры, не относящейся к 3 способам задания функций ! Взаимнооднозначное соответствие и мощности множеств. Определение: Множества равномощны A = B если между ними взаимнооднозначное соответствие.
Теорема: Если для конечного множества А мощность равна A то количество всех подмножеств 2 A =2 . Множества равномощные называются счетными, т.е. в них можно выполнить нумерацию элементов. – множество натуральных чисел. Множество 2 – счетно. Доказательство Разобьем 2 на классы Ко 2-му классу 2 {(1;2), (2;1)} К i-му классу i {(a;b) (a b=i 1} Каждый класс будет содержать i пар. Упорядоченный классы по возрастанию индекса i, а пары внутри класса упорядоченные по направлению первого элемента а. Занумеруем последовательность классов, что и доказывает счетность множества 2.Аналогично доказывается счетность множеств 3, , k. Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел на отрезке не является счетным. ДоказательствоДопустим это множество счетно изобразим его числа десятичными дробями. Возьмем произвольное число 0,b1,b2,b3 b1 ¹ a11, b2 ¹ a22, Эта дробь не может выйти в последовательность т.к. отличается от всех чисел, значит нельзя пронумеровать числа на отрезке . Множество нечетно и называется континуальным, а его мощность континуум. Метод, используемый при доказательстве, называется диагональным методом Кантора. Отношение Пусть дано RÍ M – местное отношение на множество М. Будем изучать двухместные или бинарные отношения. Если а и b находятся в отношении R, то записывается а R b. Проведем отношение на множество : А) отношение £ выполняется для пар (7,9) (7,7 Б) (9,7) не выполняется. Пример отношения на множество R А) отношение находится на одинаковом расстоянии от начала координат выполняется для пар (3; 4) и (2; Ö 21) Б) (3; 4) и (1; 6) не выполняется. Для задания бинарных отношений можно использовать любые способы задания множеств. Для конечных множеств используют матричный способ задания множеств. Матрица бинарного отношения на множество M={1;2;3;4}, тогда матрица отношения С равна Отношение Е заданные единичной матрицей называется отношением равенства. Отношением назовется обратным к отношением R, если ajRai тогда и только тогда, когда ajRai обозначают R-1. Свойства отношений 1.Если aRa ==> очн. рефлексивное и матрица содержит на главной диагонали единицу если ни для какого а не ==> отношение антирефлексивное главная диагональ содержит нули Пр. отношнний £ рефлексивное &l ; антирефлексивное 2. Если из aRb следует bRa, ==> отношение R симметричное. В матрице отношения элементы сумм Cij=Cji. Если из aRb и bRa следует a=b ==> отношение R – антисимметричное. Пр. Если а £ b и b £ a ==> a=b 3. Если дано " a,b,c из aRb и aRc следует aRC ==> отношение называемое транзитивным. 4.Отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Пр. отношение равенства E5. Отношение называется отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Отношение называется отношением строгого порядка, если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Пр. а) отношение £ u ³ для чисел отношение нестрогого б) отношение &l ; u > для чисел отношение строгого Элементы общей алгебры Операции на множествах Множество М вместе с заданной на нем совокупностью операций W = {j 1, , j m}, т.е
Все эти элементы моделируемого объекта имеют «привязку» к определенному месту в пространстве (вода, воздух, земля, космическое пространство). Структура моделируемого объекта – это то, с помощью чего моделируемый объект реализуется в пространстве. Модели структуры – пространственные модели. ? Рассмотрим наиболее часто используемые модели процессов и структур. Для моделирования процессов и структур объектов часто используется принцип «черного ящика», согласно которому для предсказания поведения объекта не обязательно точно знать, как именно устроены его процесс и структура. Этот принцип широко применяется при моделировании таких больших систем, как производственные системы, на основе анализа характеристик информации о входных и выходных потоках и ресурсов системы. Для моделирования используются машинные модели двух видов: аналоговые и дискретные. Аналоговые модели – это, как правило, модели процессов в виде обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, решаемые на аналоговых и цифровых вычислительных машинах. Дискретные модели, т.е. модели с развитой системой логических переходов и условий, описываемой с помощью аппарата дискретной математики (математическая логика и теория алгоритмов, теория языков и языковых процессоров, алгебраические системы и др.), решаются с помощью цифровых вычислительных машин
1. Разработка системы задач (алгоритмы-программы) по дискретной математике
2. Дискретная математика: "Графы"
3. Дискретная математика (Конспекты 15 лекций)
4. Конспект лекций по дискретной математике
9. Готфрид Лейбниц - немецкий историк, математик, физик, юрист
10. Математики эпохи возрождения
12. Три кризиса в развитии математики
14. "Уравнения математической физики", читаемым авторов на факультете "Прикладная математика" в МАИ
15. Философские проблемы математики
16. Выдающиеся личности в математике
Игра настольная "Кто в яйце". 
Матрешка 5 в 1 (Д-282). 
Набор цветных карандашей "Noris Club", акварельные, 36 цветов, с кистью. 17. Шпаргалки по математике (логарифмы, тригонометрия) (Шпаргалка)
18. Математика
19. Гениальные математики Бернулли
20. Число как основное понятие математики
21. Отношение сознания к материи: математика и объективная реальность
25. Высшая математика, интегралы (шпаргалка)
26. Методы обучения математике в 10 -11 класах
29. Шпаргалка по высшей математике
30. Устный счет как средство повышения интереса к уроку математики
31. Известные математики (Софья Васильевна Ковалвская)
32. Лекции по Методике математики в начальных классах (4-5 семестры)
Гибкий трек "Большое путешествие", 317 деталей. 
Контейнер универсальный, 4 выдвижные секции, большой. 
Шарики, 100 шт. 33. Геометрический материал на уроках математики (наглядность)
34. Роль математики в современном естествознании
36. Развитие продуктивного мышления на уроках математики
41. Реализация эвристического обучения учащихся на уроках математики
42. Геометрический материал на уроках математики (наглядность)
43. Новые информационные технологии обучения в математике
44. Моделирование дискретной случайной величины и исследование ее параметров
45. Развитие и взаимное влияние математики, философии и искусства
46. Соотношение интуитивного и логического в математике (философия)
47. Монголо-татарское иго. Версия математиков А. Фоменко и Г. Носовского
48. Математика как языковая игра
Набор цветных карандашей Trio, 12 цветов, утолщенные. 
Комплект детского постельного белья "Трансформеры". 
Детский матрас "Плитекс. Юниор", для коляски и люльки. 49. О развитии математики в XIX столетии. Гамильтон
50. Изучение функций в курсе математики VII-VIII классов
52. Анализ дискретного фильтра II порядка
53. О необычности путей развития математики
57. Математика и математическое образование в современном мире
59. Математика (шпаргалка для экзамена)
62. Билеты по математике для устного экзамена и задачи по теме
64. Курсовая работа по прикладной математике
Сковорода чугунная с деревянной ручкой 2505/27, 27 см. 
Магический шар 8. 
Сковорода чугунная с деревянной ручкой 2505/25, 25 см. 66. Методика обучения по курсу математики за 3 года
67. Понятие величины и её измерения в начальном курсе математики
68. Развитие математики в России в XVIII и XIX столетиях
69. Температурный расчет с помощью вычислений информационной математики
73. Размышления о взаимодействии лингвистики и математики
75. Как учатся математике во Франции
77. Интерпретации существования в математике
80. О единстве естествознания в рамках дискретного подхода
Пазл "Киты", 66 деталей. 
Дождевик Bambola, ПВХ. 
Карандаши цветные "Jumbo", двухсторонние, 24 цвета. 81. Дискретное устройство (ДУ)
82. Передача Дискретных сообщений
83. К вопросу об использовании компьютерного тестирования в обучении высшей математике
84. Метод программированного обучения в преподавании математики
85. Связь математики с другими учебными дисциплинами (мировоззренческий аспект)
89. Математика и физика в средней школе
90. Нестандартные задачи в курсе школьной математики (неполное и избыточное условие)
92. Показникові та логарифмічні рівняння, нерівності та їх системи в шкільному курсі математики
94. Методы обучения математике
95. В начальной и средней школе - одна математика
Полотенце махровое "Нордтекс. Aquarelle", серия "Палитра", цвет: аметистовый, 70х130. 
Ранец "Космо", 36х29х18 см. 
Настольная игра "Колонизаторы", 4-е русское издание. 97. Гуманитарная роль математики в процессе подготовки учителя
98. К методике преподавания прикладной математики в военно-инженерном вузе
99. Расчет технических характеристик систем передачи дискретных сообщений
100. Моделирование дискретной случайной величины и исследование ее параметров
