Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Решение систем дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка

Фонарь садовый «Тюльпан».
Дачные фонари на солнечных батареях были сделаны с использованием технологии аккумулирования солнечной энергии. Уличные светильники для
106 руб
Раздел: Уличное освещение
Фонарь желаний бумажный, оранжевый.
В комплекте: фонарик, горелка. Оформление упаковки - 100% полностью на русском языке. Форма купола "перевёрнутая груша" как у
87 руб
Раздел: Небесные фонарики
Ручка "Помада".
Шариковая ручка в виде тюбика помады. Расцветка корпуса в ассортименте, без возможности выбора!
25 руб
Раздел: Оригинальные ручки

МГТУ ГА Кафедра вычислительной математики и программирования Пояснительная записка к курсовому проекту на тему: «Решение систем дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка» МОСКВА 2008 Содержание Введение Постановка задачи Описание математических методов решения Описание используемого метода Описание блок-схемы Описание программы Анализ результатов Заключение Литература Приложения Приложение 1 Приложение 2 Приложение 3 Введение Бурное развитие в последнее десятилетие информационных технологий и компьютерной техники способствует возникновению всё более сложных математических задач, для решения которых без применения численных методов требуется значительное время. Очень часто перед специалистом возникают задачи, не требующие абсолютно точного решения; как правило, требуется найти приближенное решение с заданной погрешностью. Наряду с совершенствованием компьютерной техники происходит процесс совершенствования и численных методов программирования, позволяющих за минимальный отрезок времени получить решение поставленной задачи с заданной степенью точности. Одной из таких задач является решение систем дифференциальных уравнений. Обыкновенными дифференциальными уравнениями можно описать поведение материальных точек в силовом поле, законы химической кинетики, уравнения электрических цепей и т. д. Ряд физических задач может быть сведён к решению дифференциальных уравнений или системы дифференциальных уравнений. Задача решения системы дифференциальных уравнений имеет важное прикладное значение при решении научных и технических проблем. Кроме того, она является вспомогательной задачей при реализации многих алгоритмов вычислительной математики, математической физики, обработки результатов экспериментальных исследований. Поэтому для инженеров крайне важно грамотно находить решение этой задачи. 1. Постановка задачи Необходимо решить с заданной степенью точности задачу Коши для системы дифференциальных уравнений на заданном интервале . Добиться погрешности на втором конце не более 0,0001. Результат получить в виде таблицы значений приближенного и точного решений в точках заданного интервала. Построить графики полученных решений и сравнить их с точным решением. Исходные данные: – система дифференциальных уравнений вида: – интервал, на котором ищется решение: – погрешность, с которой ищется решение: е – формулировка задачи Коши в начальной точке заданного интервала: u(a)=u, v(a)=v – количество узлов сетки, для которой формируется таблица значений приближенного и точного решений системы: x – шаг вывода на экран значений искомых функций в узлах заданной сетки: p Выходные данные: – таблица значений приближенного и точного решений в узлах заданной сетки; – графики полученных и точных решений. 2. Описание математических методов решения задачи Конкретная прикладная задача может привести к дифференциальному уравнению любого порядка или к системе таких уравнений. Произвольную систему дифференциальных уравнений любого порядка можно привести к некоторой эквивалентной системе дифференциальных уравнений первого порядка.

Среди таких систем выделяют класс систем, разрешённых относительно производной неизвестных функций: (2.1) Дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений имеет бесконечное множество решений. Единственные решения выделяют с помощью дополнительных условий, которым должны удовлетворять искомые решения. В зависимости от вида таких условий рассматривают три типа задач, для которых доказано существование и единственность решений. Первый тип – это задачи Коши, или задачи с начальными условиями. Для таких задач кроме исходного уравнения в некоторой точке a должны быть заданы начальные условия, т.е. значения функции u1(a), , um(a): u1(a)=, , um(a)= (2.2) Ко второму типу задач относятся так называемые граничные, или краевые задачи, в которых дополнительные условия задаются в виде функциональных соотношений между искомыми решениями. Количество условий должно совпадать с порядком уравнения или системы. Если решение задачи определяется в интервале xО, то такие условия могут быть заданы как на границах, так и внутри интервала. Третий тип задач для систем дифференциальных уравнений – это задачи на собственные значения. Такие задачи отличаются тем, что кроме искомых функций u1(x), , um(x) в уравнения входят дополнительно неизвестных параметров l1, l2, ., l , которые называются собственными значениями. Для единственности решения на интервале необходимо задать m граничных условий. Рассмотрим подробнее задачу Коши. Воспользуемся компактной записью задачи (2.1), (2.2) в векторной форме: (2.3) Требуется найти на интервале . Задачу Коши удобнее всего решать методом сеток. Метод сеток состоит в следующем : 1) Выбираем в области интегрирования упорядоченную систему точек a=x1&l ;x2&l ; &l ;x &l ;b, называемую сеткой. Точки xi называют узлами разностной сетки, разность между соседними узлами h=xi-xi-1 – шаг сетки. Формула для вычисления шага равномерной сетки, заданной на интервале : , (2.4) где x – количество узлов заданной сетки. 2) Решение ищется в виде таблицы значений в узлах выбранной сетки, для чего дифференцирование заменяется системой алгебраических уравнений, связывающих между собой значения искомой функции в соседних узлах. Такую систему уравнений принято называть конечно-разностной схемой. Для получения конечно-разностной схемы удобно использовать интегроинтерполяционный метод, согласно которому необходимо проинтегрировать уравнение (2.3) на каждом интервале и разделить полученное выражение на длину этого интервала: (2.5) Далее апроксимируем интеграл в правой части одной из квадратурных формул и получаем систему уравнений относительно приближенных неизвестных значений искомых функций, которые в отличие от точных обозначим . При этом возникает погрешность &epsilo ;, обусловленная неточностью апроксимации: &epsilo ;(h)= (2.6) Согласно основной теореме теории метода сеток (теорема Лакса), для устойчивой конечно-разностной схемы при стремлении шага h к нулю погрешность решения стремится к нулю с тем же порядком, что и погрешность апроксимации: , (2.7) где С0 – константа устойчивости, p – порядок апроксимации. Поэтому для увеличения точности решения необходимо уменьшить шаг сетки h.

На практике применяется множество видов конечно-разностных схем, которые подразделяются на одношаговые, многошаговые схемы и схемы с дробным шагом. Одношаговые схемы – Метод Эйлера Заменяем интеграл в правой части уравнения (2.5) по формуле левых прямоугольников: (2.8) Получим: , (2.9) где k=0,1,2, , . Схема явная устойчивая. В силу того, что формула для левых прямоугольников имеет погрешность второго порядка, точность &epsilo ;(h) первого порядка. – Неявная схема 1-го порядка Используя формулу правых прямоугольников, получим: (2.10) Эта схема неразрешима в явном виде относительно , поэтому проводится итерационная процедура: , (2.11) где s=1,2, - номер итерации. Обычно схема сходится очень быстро – 2-3 итерации. Неявная схема первого порядка эффективнее явной, так как константа устойчивости С0 у неё значительно меньше. – Метод Эйлера-Коши Вычисления проводятся в два этапа : этап прогноза и этап коррекции. На этапе прогноза определяется приближенное решение на правом конце интервала по методу Эйлера: (2.12) На этапе коррекции, используя формулу трапеций, уточняем значение решения на правом конце: (2.13) Так как формула трапеций имеет третий порядок точности, то порядок погрешности апроксимации – равен двум. – Неявная схема 2-го порядка (метод Эйлера-Коши) Используя в (2.5) формулу трапеций, получим: (2.14) Схема не разрешена в явном виде, поэтому требуется итерационная процедура: , (2.15) где s=1,2, – номер итерации. Обычно схема сходится за 3-4 итерации. Так как формула трапеций имеет третий порядок точности, то погрешность апроксимации – второй. Схемы с дробным шагом – Схема предиктор-корректор (Рунге-Кутта) 2-го порядка Используя в (2.5) формулу средних, получим: ,(2.16) где – решение системы на середине интервала . Уравнение явно разрешено относительно , однако в правой части присутствует неизвестное значение . Поэтому сначала расчитывают (предиктор): . (2.17) Затем расчитывают (корректор) по формуле (2.16). Схема имеет первый порядок погрешности. – Схема Рунге-Кутта 4-го порядка Используя в (2.5) формулу Симпсона, получим: (2.18) Наиболее часто рассчитывают неявное по уравнение по следующей схеме: Сначала рассчитывают предиктор вида: (2.19) затем корректор по формуле: (2.20) Поскольку формула Симпсона имеет пятый порядок погрешности, то точность &epsilo ;(h) – четвёртого порядка. Многошаговые схемы Многошаговые методы решения задачи Коши характеризуются тем, что решение в текущем узле зависит от данных не в одном предыдущем или последующем узле сетки, как это имеет место в одношаговых методах, а зависит от данных в нескольких соседних узлах. Идея методов Адамса заключается в том, чтобы для повышения точности использовать вычисленные уже на предыдущих шагах значения Если заменим в (2.5) подинтегральное выражение интерполяционным многочленом Ньютона, построенного по узлам , то после интегрирования на интервале получим явную экстраполяционную схему Адамса. Если заменим в (2.5) подинтегральное выражение на многочлен Ньютона, построенного по узлам , то получим неявную интерполяционную схему Адамса. – Явная экстраполяционная схема Адамса 2-го порядка (2.2

Итак, задаем исходные данные: > Es: = .35: Rs:=15: C:=10*10^(-12): L:=30*10^(-6): tm:=10*10^(-9): Составим систему дифференциальных уравнений цепи и выполним ее решение с помощью функции dsolve: > se:=diff(i(t),t) = (Es-i(t)*Rs-u(t)) /L, difff(u(t), t) = (i(t)- Id(u(t))) / С; > F:=dsolve({se, i(0)=0, u(0)=0}, {i(t),u(t)}, type=numeric, method-=classiccal, stepsize=10^(-11), output=listprocedure); F := [t = (proc(t) … end proc), u(t) = () i(t) = (proc(t) … end proc)] Поскольку заведомо известно, что схема имеет малые значения L и С мы задали с помощью параметров достаточно малый шаг решения для функции dsolve — stepsize=10^(-11) (с). При больших шагах возможна численная неустойчивость решения, искажающая форму колебаний, получаемую при моделировании. Используя функции odeplot и display пакета plots построим графики решения в виде временных зависимостей u(t) и 10∙i(t) и линии, соответствующей спряжению Es источника питания: > gu:=odeplot(F,[t, u(t)], 0..tm, color=black, labels=[`t`, `u(t),10*i(t)`]): > gi:=odeplot(F, [t, 10*i (t)], 0..tm, color=black): > ge:=odeplot(F, [t,Es], 0..tm, color=red): > display(gu, gi, ge); Эти зависимости представлены на рис. 11.40

1. Решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Комплексные числа

2. Поиск решений системы линейных уравнений методом Гаусса

3. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса

4. Системы линейных уравнений

5. Система линейных уравнений

6. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Куты 4 порядка
7. Разработка программы для решения систем линейных уравнений
8. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и Зейделя

9. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА

10. Решение систем линейных алгебраических уравнений

11. Способы решения систем линейных уравнений

12. Решение систем линейных дифференциальных уравнений пятиточечным методом Адамса – Башфорта

13. Разработка программы поиска решения системы дифференциальных уравнений двумя методами: Рунге-Кутта и Рунге-Кутта-Мерсона

14. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона

15. Численные методы решения систем линейных уравнений

16. Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений

Изограф, 0,20 мм.
Чертежный прибор для черчения и рисования на бумаге, ватмане и чертежной пленке. Изограф имеет резервуар для чернил, который легко
1421 руб
Раздел: Циркули, чертежные инструменты
Коврик силиконовый с разметкой, 50x40x0,1 см, розовый (арт. TK 0190).
Вы все еще делаете коржи одинаково круглыми при помощи тарелок? Но где взять столько тарелок разного диаметра, которые подойдут к каждому
379 руб
Раздел: Коврики силиконовые для выпечки
Шнуровка-бусы "Цветы".
Эта простая, но интересная игрушка увлечет малыша! Цель игры - нанизать на шнурок все бусинки. Ребенку будет интересно каждый раз менять
345 руб
Раздел: Деревянные шнуровки

17. Решение систем дифференциальных уравнений

18. Поиски более рационального способа решения систем линейных уравнений с двумя переменными - методом подстановки

19. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

20. Метод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов

21. Поверхности 2-го порядка

22. Аттестационное задание для студентов 3-го курса по специальности №021100 - Юриспруденция по блоку Гражданско-правовых дисциплин (Гражданское право)
23. Системы 2-х, 3-х линейных уравнений, правило Крамера
24. Численное решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

25. ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения системы дифференциальных уравнений

26. Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений

27. Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений

28. 10 задач с решениями программированием на Паскале

29. Задачирешениями) по сопромату

30. Линейные уравнения и неравенства

31. Разработка алгоритма и программы для вычисления коэффициента оперативной готовности системы

32. Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера

Подставка под мобильный телефон "Сказочный павлин", 17 см.
Подставка под мобильный телефон, декоративная. Высота: 17 см. Материал: полистоун.
464 руб
Раздел: Держатели и подставки
Коврик массажный "Микс лес".
Массажные коврики представляют собой отдельные модули, которые соединяются между собой по принципу "пазл". Массажные элементы,
1296 руб
Раздел: Коврики
Набор утолщенных фломастеров (24 цвета).
Яркие цвета. Проветриваемый и защищенный от деформации колпачок. Помогают научиться координировать движения рук.Толщина стержня 5
603 руб
Раздел: 13-24 цвета

33. Методы путевого анализа и их применение к системам одновременных уравнений

34. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера

35. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера

36. Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

37. Решение математических задач с помощью алгоритмического языка Turbo Pascal, Microsoft Excel, пакета MathCAD и разработка программ в среде Delphi

38. Решение дифференциального уравнения первого порядка
39. Сравнение операционных систем /DOS, Windows 3.*, Windows 95, Windows NT/
40. Лабораторная работа №7 по "Основам теории систем" (Решение задачи коммивояжера методом ветвей и границ)

41. Лабораторная работа №2 по "Основам теории систем" (Решение задач линейного программирования симплекс-методом. Варианты разрешимости задач линейного программирования)

42. Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток

43. Расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера

44. Построение решения задачи Гурса для телеграфного уравнения методом Римана

45. Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модуль

46. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

47. О преобразовании дифференциальных систем уравнений в случае сингулярных пучков матриц

48. Рабочая программа по хирургическим болезням для студентов 3 - 4 курсов стоматологического факультета

Машина-каталка "Авторалли", цвет: розовый.
Игрушка выполнена в интересном дизайне: внешне она очень напоминает автомобиль BMW, но оформлена в ярком розовом цвете. Толокар снабжен
1073 руб
Раздел: Каталки
Кружка фарфоровая "Парижские улочки", 500 мл.
Кружка. Объем: 500 мл. Материал: костяной фарфор. В ассортименте, без возможности выбора.
470 руб
Раздел: Кружки, чашки, блюдца
Сушилка для посуды двухуровневая BE-7216 "Webber".
Размеры: 43х24х38,5 см. Двухуровневая настольная сушилка для посуды. Хромированная нержавеющая сталь. Пластиковый поддон. Держатель для
1064 руб
Раздел: Настольные

49. Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени

50. Применение графиков в решении уравнений

51. Решение смешанной задачи для уравнения

52. Методы решения уравнений в странах древнего мира

53. Приближённые методы решения алгебраического уравнения

54. Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных
55. Решение некоторых уравнений и неравенств с параметром
56. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

57. Численное решение модельного уравнения диссипации, конвекции и кинетики

58. Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модули

59. Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств

60. Применение свойств функций для решения уравнений

61. Метод решения уравнений Ньютона - Рафсона

62. План урока алгебры. Тема: Значения тригонометрических функций. Решение простейших тригонометрических уравнений.

63. Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки

64. Сравнительная характеристика методов принятия решений относительно инвестиционных программ

Патронташ со стопками.
Охотнику, туристу, болельщику и просто любителю спонтанных праздников это изобретение может весьма пригодиться. Набор удобных пластиковых
554 руб
Раздел: Прочее
Чудо-пеленка для мальчика "Bambola".
Пеленка на липучках создана, чтобы обеспечить спокойный сон малышу. Благодаря липучкам, которые удерживают и не позволяют ребенку
340 руб
Раздел: Пелёнки
Фоторамка на 6 фотографий С34-004 "Alparaisa", 50,5x34,5 см (белый).
Размеры рамки: 50,5x34,5х1,5 cм. Размеры фото: - 10х15 см, 3 штуки, - 15х10 см, 3 штуки. Фоторамка-коллаж для 6-ти фотографий. Материал:
599 руб
Раздел: Мультирамки

65. Решение дифференциального уравнения с последующей аппроксимацией

66. Разработать программу на алгоритмическом языке программирования С++ , реализующую учебную систему управления базой данных

67. Наборы утилит служебных программ операционных систем

68. Методы решения уравнений в странах древнего мира

69. Дифференциальные уравнения I и II порядка

70. Приближённые методы решения алгебраического уравнения
71. Гипотетическое построение систем уравнений полевой теории стационарных явлений электромагнетизма
72. Метод касательных. Решения нелинейных уравнений. Паскаль 7.0

73. Локальная и нелокальная задачи для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта

74. Влияние международных моделей полицейской охраны общественного порядка в Латинской Америке: экспериментальные программы поддержания правопорядка с привлечением населения

75. Итерационные методы решения нелинейных уравнений

76. Особенности интерфейса программы RightMark Audio Analyzer 6.0.3

77. Программа "Доход по вкладу" (Delphi)

78. Разработка программы на Delphi

79. Разработка формата хранения данных программ и решение задач

80. Решение задач моделирования и оптимизации с помощью программ Excel и Mathcad

Качели детские "Классик".
Деревянный каркас состоит из брусков. Капроновый шнур надежно соединяет детали качелей между собой. Подвеской является металлическое
343 руб
Раздел: Качели
Сундук-бар, 40x30x75 см.
Такой бар не займет много места. А поэтому он гармонично впишется в интерьер абсолютно любого помещения. Сундук-бар будет лучшим подарком
8493 руб
Раздел: Аксессуары для вина
Фоторамка "Clip" (70x100 см).
Рамка настенная может располагаться как вертикально, так и горизонтально. Для фотографий размером: 70x100 см. Материал: стекло.
456 руб
Раздел: Размер 50x60 и более

81. Решение задачи с помощью программ Mathcad и Matlab

82. Решение задачи с помощью программ Mathcad и Matlab

83. Решение задачи с помощью программ Mathcad и Matlab

84. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

85. Создание программы на языке Delphi

86. Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем
87. Дефокусировка. Сферическая аберрация 3 порядка. Кома и неизопланатизм
88. Асимптотика решений дифференциальных уравнений

89. Дифференциальные уравнения линейных систем автоматического регулирования

90. Метод замены неизвестного при решении алгебраических уравнений

91. Решение дифференциальных уравнений

92. Решение иррациональных уравнений

93. Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами

94. Решение параболических уравнений

95. Решение уравнений с параметрами

96. Методы решения алгебраических уравнений

Набор детской складной мебели Ника "Познайка. Большие гонки".
В комплект входит стол-парта и стул с мягким сиденьем. Металлический каркас. Столешница облицована пленкой с тематическими рисунками. На
1367 руб
Раздел: Наборы детской мебели
Френч-пресс АК-719/60 "Alpenkok", 600 мл, бежевый.
Объем: 600 мл. Френч-пресс из упрочненного стекла в корпусе из высококачественного термостойкого пластика. Упрочненное стекло,
312 руб
Раздел: Френч-прессы
Ручка перьевая "Silk Prestige", синяя, 0,8 мм.
Перьевая ручка Silk Prestige. Перьевая ручка Golden Prestige. Ручка упакована в индивидуальный пластиковый футляр. Цвет корпуса:
375 руб
Раздел: Металлические ручки

97. Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений

98. Методы оптимизации при решении уравнений

99. Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций на элективном курсе по математике в старших классах общеобразовательной школы


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.