Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Дзета-функция Римана

Ручка "Помада".
Шариковая ручка в виде тюбика помады. Расцветка корпуса в ассортименте, без возможности выбора!
25 руб
Раздел: Оригинальные ручки
Горшок торфяной для цветов.
Рекомендуются для выращивания крупной рассады различных овощных и цветочных, а также для укоренения саженцев декоративных, плодовых и
7 руб
Раздел: Горшки, ящики для рассады
Браслет светоотражающий, самофиксирующийся, желтый.
Изготовлены из влагостойкого и грязестойкого материала, сохраняющего свои свойства в любых погодных условиях. Легкость крепления позволяет
66 руб
Раздел: Прочее

Министерство образования Российской Федерации Ставропольский Государственный университет Кафедра математического анализа Курсовая работа на тему : «Дзета-функция Римана» Выполнил: студент 2го курса ФМФ группы «Б» Симонян Сергей Олегович Ставрополь, 2004 г. Введение. Функция – одно из основных понятий во всех естественнонаучных дисциплинах. Не случайно ещё в средней школе дети получают интуитивное представление об этом понятии. Со школьной скамьи наш багаж знаний пополняется сведениями о таких функциях как линейная, квадратичная, степенная, показательная, тригонометрические и других. В курсе высшей математики круг известных функций значительно расширяется. Сюда добавляются интегральные и гиперболические функции, эйлеровы интегралы (гамма- и бета- функции), тета-функции, функции Якоби и многие другие. Что же такое функция? Строгого определения для неё не существует. Это понятие является в математике первичным, аксиоматизируется. Однако, под функцией понимают закон, правило, по которому каждому элементу какого-то множества X ставится в соответствие один или несколько элементов множества Y. Элементы множества X называются аргументами, а множества Y – значениями функции. Если каждому аргументу соответствует одно значение, функция называется однозначной, если более одного – то многозначной. Синонимом функции является термин «отображение». В простейшем случае множество X может быть подмножеством поля действительных R или комплексных C чисел. Тогда функция называется числовой. Нам будут встречаться только такие отображения. Функции могут быть заданы многими различными способами: словесным, графическим, с помощью формулы. Функция, которую мы будем рассматривать в этой работе, задаётся через бесконечный ряд. Но, несмотря на такое нестандартное определение, по своему представлению в виде ряда она может быть хорошо изучена методами теории рядов и плодотворно применена к различным теоретическим и прикладным вопросам математики и смежных с ней наук. Конечно же, речь идёт о знаменитой дзета-функции Римана, имеющей широчайшие применения в теории чисел. Впервые ввёл её в науку великий швейцарский математик и механик Леонард Эйлер и получил многие её свойства. Далее активно занимался изучением дзета-функции немецкий математик Бернгард Риман. В честь него она получила своё название, так как он опубликовал несколько исключительно выдающихся работ, посвящённых этой функции. В них он распространил дзета-функцию на область комплексных чисел, нашёл её аналитическое продолжение, исследовал количество простых чисел, меньших заданного числа, дал точную формулу для нахождения этого числа с участием функции и высказал свою гипотезу о нулях дзета-функции, над доказательством или опровержением которой безрезультатно бьются лучшие умы человечества уже почти 150 лет. Научная общественность считала и считает решение этой проблемы одной из приоритетных задач. Так Давид Гильберт, выступавший на Международной Парижской математической конференции 1900 году с подведением итогов развития науки и рассмотрением планов на будущее, включил гипотезу Римана в список 23 проблем, подлежащих решению в новом столетии и способных продвинуть науку далеко вперёд.

А на рубеже веков, в 2000 году американский he Clay Ma hema ics I s i u e назвал семь задач, за решение каждой из которых будет выплачен 1 миллион долларов. В их число также попала гипотеза Римана. Таким образом, даже бы поверхностное знакомство с дзета-функцией будет и интересным, и полезным. Глава 1. Итак, приступим к изучению этой важной и интересной дзета-функции Римана. В данной главе мы получим некоторые свойства функции в вещественной области, исходя из её определения с помощью ряда. Определение. Дзета-функцией Римана ?(s) называют функцию, которая любому действительному числу s ставит в соответствие сумму ряда (1) если она существует. Основной характеристикой любой функции является область определения. Найдём её для нашей функции. Пусть сначала s?0, тогда s=- , где принадлежит множеству неотрицательных действительных чисел R и ряд (1) обращается в ряд , который, очевидно, расходится как при >0, так и при =0. То есть значения s?0 не входят в область определения функции. Теперь пусть s>0. Для исследования сходимости ряда (1) воспользуемся интегральным признаком Коши. При каждом s рассмотрим функцию , которая является на промежутке непрерывной, положительной и монотонно убывающей. Возникает три различных возможности: 1) 01. Перепишем ряд (1) в виде сходится, а функции при s>s0 монотонно убывают и все вместе ограничены единицей. Значит, по признаку Абеля для s>s0 ряд (1) сходится равномерно. Используя теорему о непрерывности суммы функционального ряда, получаем, что в любой точке s>s0 дзета-функция непрерывна. Ввиду произвольности s0 ?(s) непрерывна на всей области определения. Теперь почленным дифференцированием ряда (1), пока формально, найдём производную дзета-функции Римана: (2). Чтобы оправдать этот результат, достаточно удостовериться в том, что ряд (2) равномерно сходится на промежутке и воспользоваться теоремой о дифференцировании рядов. Используем тот же приём. Зафиксируем любое s0>1 и представим ряд (2) в виде , начиная с =2, монотонно убывают, оставаясь ограниченными числом l 2. Поэтому по признаку Абеля ряд (2) сходится равномерно при s>s0, а значит и при любом s>1. Какое бы значение s>1 ни взять его можно заключить между ; к промежутку применима вышеуказанная теорема. Таким же путём можно убедиться в существовании для дзета-функции производных всех порядков и получить их выражения в виде рядов: . Попытаемся построить наглядное изображение функции в виде графика. Для этого изучим сначала её поведение на бесконечности и в окрестности точки s=1. В первом случае, ввиду равномерной сходимости ряда (1), по теореме о почленном переходе к пределу, имеем . При =1 предел равен единице, остальные пределы равны нулю. Поэтому , докажем некоторые вспомогательные оценки. Во-первых, известно, что если для ряда существует непрерывная, положительная, монотонно убывающая функция , такая, что , то остаток ряда оценивается так: . Применяя вышесказанное к ряду (1), найдём, что необходимая функция . Отсюда, подставляя в двойное неравенство, имеем (3). В левом неравенстве положим =0, тогда . В правом же возьмём =1 и получим .

Переходя в неравенствах . Отсюда, в частности, следует, что , то есть , а , вытекает доказываемое утверждение. Можно, однако, получить ещё более точный результат для оценки поведения дзета-функции в окрестности единицы, чем приведённые выше, принадлежащий Дирихле. Будем отталкиваться от очевидного при произвольном равенства . Прибавим ко всем частям неравенств (3) сумму . Пусть здесь s стремится к единице. По правилу Лопиталя легко вычислить . Мы пока не знаем, существует ли предел выражения , поэтому, воспользовавшись наибольшим и наименьшим пределами, напишем неравенства так: . Первое и последнее выражения стремятся к эйлеровой постоянной C (C, а, следовательно, существует и обычный предел и . Найденные выше пределы позволяют получить лишь приблизительное представление о виде графика дзета-функции. Сейчас мы выведем формулу, которая даст возможность нанести на координатную плоскость конкретные точки, а именно, определим значения , где k – натуральное число. Возьмём известное разложение - знаменитые числа Бернулли (по сути, через него эти числа и определяются). Перенесём слагаемое , то есть , получаем . С другой стороны, существует равенство c h вместо , то для любого и по теореме о сложении бесконечного множества степенных рядов . Приравняем полученные разложения: . Отсюда немедленно следует искомая формула - k-е число Бернулли. Она удобна тем, что эти числа хорошо изучены и для них составлены обширные таблицы. Теперь, исходя из полученных результатов, можно построить эскиз графика дзета-функции Римана, достаточно хорошо отражающий её поведение на всей области определения. Леонард Эйлер, впервые рассмотревший дзета-функцию, получил замечательное разложение её в бесконечное произведение, которое иногда тоже принимают за определение: , где pi – i-е простое число (4). Докажем тождественность ряда (1) и произведения (4). Вспомнив формулу суммы геометрической прогрессии, получаем равенство Если перемножить конечное число таких рядов, отвечающих всем простым числам, не превосходящим заданного натурального числа , то получившееся частичное произведение окажется равным , где символ означает, что суммирование распространяется не на все натуральные числа, а лишь на те из них (не считая единицы), которые в своём разложении содержат только простые числа меньшие . Так как первые натуральных чисел этим свойством обладают, то содержит не все числа, большие 1, поэтому, очевидно, (6). Ввиду сходимости ряда (1), выражение справа, представляющее его остаток после -го члена, стремится к нулю при стремящимся к бесконечности, а есть произведение (4). Значит из неравенства при , что и требовалось доказать. Формула (4) важна потому, что она связывает натуральный ряд, представленный множеством значений аргумента дзета-функции, со множеством простых чисел. Ещё один шаг в этом направлении мы сделаем, оценив остаётся ограниченным при , а . Возьмём логарифм от обеих частей равенства, тогда . Натуральные логарифмы под знаком суммы разлагаются в ряд: . Подставив полученные разложения в равенство и устремив к бесконечности, имеем . Остаётся доказать ограниченность последнего слагаемого.

Бейкер (1966) получил оценку снизу линейной формы логарифмов алгебраических чисел, что привело к эффективному доказательству теоремы Туэ о конечности решений уравнения a0 xn + a1 xn ¾1 y +... + an—1 xy n—1 + ап уn = А (указываются границы этих решений) и к эффективному усилению теоремы Лиувилля о приближении алгебраических чисел рациональными дробями. Большое количество проблем Ч. т. ещё не решено (сюда относятся проблемы простых близнецов, бесконечности простых чисел вида n 2 + 1, целых точек в круге и под гиперболой, распределения нулей дзета-функции, трансцендентность чисел p+е и постоянной Эйлера и мн. др.).   Лит.: Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972; его же, Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; его же, Особые варианты метода тригонометрических сумм, М., 1976; Карацуба А. А., Основы аналитической теории чисел, М., 1975; Боревич З. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972; Дэвенпорт Г., Мультипликативная теория чисел, пер. с англ., М., 1971; Чандрасекхаран К., Введение в аналитическую теорию чисел, пер. с англ., М., 1974; Хассе Г., Лекции по теории чисел, пер. с нем., М., 1953; Дирихле П. Г. Л., Лекции по теории чисел, пер. с нем., М.—Л., 1936; Титчмарш Е. К., Теория дзета-функции Римана, пер. с англ., М., 1953; Венков Б. А., Элементарная теория чисел, М.—Л., 1937.   А. А. Карацуба

1. Храмовое искусство Древнего Рима

2. Биология (Шпаргалка)

3. Ароморфозы растений и животных (WinWord 98)

4. Биология

5. Общая биология

6. Приспособление растений к водному режиму
7. Экологические основы устойчивости растений
8. Роль высших растений в почвообразовании (шпаргалка)

9. Шпаргалки по биологии

10. Биология в 21 веке

11. Тесты по биологии для школы

12. Отчёт по лабараторным работам по биологии за 1 семестр

13. Использование фитонцидных растений для оздоровления воздуха помещений

14. Физиология растений

15. Экологические стратегии растений

16. Отдаленная гибридизация растений

Ежедневник. Гравити Фолз.
СУПЕРпроект самого крутого мультсериала во всем мире – Гравити Фолз! ЕжеДНЕВНИК станет отличным помощником в решении сложных задач,
370 руб
Раздел: Блокноты художественные
Мультиплеер "Улыбка".
В этом телефончике представлены следующие песенки: 1 «Ничего на свете лучше нету» 2 «Расскажи, Снегурочка» 3 «Песенка Мамонтёнка» 4 «Не
314 руб
Раздел: Смартфоны, мультиплееры
Подушка, с лузгой гречихи, 50x68 см.
Подушка с гречневой лузгой - самая натуральная ортопедическая подушка: она высококачественная, "дышащая", экологична. Размер
690 руб
Раздел: Размер 50х70 см, 40х60 см

17. Влияние 6-БАП на растения кукурузы при разном уровне засоления

18. Лекарственные растения

19. Метод радиоавтографии в биологии

20. Как зимуют растения

21. Роль высших растений в почвообразовании (шпаргалка)

22. Зарождение элементов бюджетного учёта в Древнем Риме
23. Древний Рим в эпоху рексов и республики
24. Рим: от республики к империи

25. Искусство античного Рима

26. Культура Древнего Рима

27. Культура Древнего Рима

28. Культура Рима

29. Ораторское искусство древнего Рима

30. Культура древнего Рима эпохи Октавиана Августа

31. Сборник сочинений русской литературы с XIX века до 80-х годов XX века

32. Сочинения по литературе (шпаргалка)

Зеркало, 27x9x30 см, арт. 22368.
Зеркало станет идеальным подарком представительнице прекрасного пола. Размер: 27x9x30 см. Товар не подлежит обязательной сертификации.
1983 руб
Раздел: Зеркала, расчески, заколки
Термомозаика "В мире животных".
Ваш ребенок любит изучать животных, а еще — играть и придумывать что-то новое? С термомозаикой "В мире животных" все это можно
383 руб
Раздел: Термомозаика
Кувшин "Бистро", 1,8 л.
Кувшин прозрачный, с крышкой. Материал: стекло. Объем: 1,8 л.
314 руб
Раздел: Кувшины, графины

33. Сборник сочинений

34. Сочинение-рецензия на рассказ В. Астафьева "Людочка"

35. Темы сочинений за курс средней школы 2002-2003 уч. года (11 класс)

36. Сочинение по повести М. Горького «Детство». «На тему бог бабушки и дедушки»

37. Древний Рим

38. Рим
39. Традиция обедов в Древнем Риме
40. История развития физической культуры в древней Греции и Риме

41. Культура эпохи Античности (Древняя Греция, Рим)

42. Культура древнего Рима эпохи Октавиана Августа

43. Построение решения задачи Гурса для телеграфного уравнения методом Римана

44. Дзета-функция Римана

45. Растения, проявляющие адаптогенные свойства

46. Формирование понятия "фермент" в курсе биологии и связь с школьным курсом химии

47. Биология 11 класс

48. Биология раневого процесса

Трикотажная пеленка кокон "Bambola" (цвет: розовый).
Состав: интерлок, хлопок 100%. Возраст: 0-3 месяцев.
381 руб
Раздел: Пелёнки
Универсальный бокс, средний (3 секции).
Универсальные боксы прекрасно подходят для хранения любых мелочей: шурупов, гаек в мастерской, лекарств в домашней аптечке, маленьких
526 руб
Раздел: Более 10 литров
Музыкальный мобиль Жирафики "Рыбки" (арт. 939489).
Этот музыкальный мобиль станет одной из первых игрушек вашего малыша. Сначала кроха будет фокусировать взгляд на ярких забавных рыбках. Со
1250 руб
Раздел: Мобили

49. Что такое дьявол с точки зрения биолога

50. Биология и гуманизм

51. Растения, занесённые в Красную книгу Вологодской области

52. Межпредметные связи в обучении биологии

53. Знакомство детей старшего дошкольного возраста с экзотическими плодовыми комнатными растениями (7 занятий)

54. Хозяйственный механизм античного рабства /на примере Древней Греции и Древнего Рима
55. Религиозно-культурный конфликт,в Риме. Оргиастические формы культа Диониса - вакханалии
56. Интегрированная защита овса посевного от вредителей (темная цикада, шведская муха), болезней (закукливание овса, твердая головня), сорных растений (овсюг, марь белая)

57. История развития физической культуры в древней Греции и Риме

58. Химия в биологии, медицине и производстве лекарственных веществ

59. Химия в биологии , медицине, производстве лекарственных веществ

60. Характеристика экскурсионно-туристических центров РИМА

61. Бритты и Рим

62. Пища жителей древнего Рима

63. Дом в древнем Риме

64. Цивилизация древнего Рима.

Наклейки на стену "Космос", светящиеся в темноте (62 штуки).
Удивительный набор "Космос" от Djeco представляет собой 62 фосфоресцентные пластиковые наклейки для декора комнаты. Наклейки
879 руб
Раздел: Интерьерные наклейки
Овощечистка "Mayer & Boch".
Овощечистка - это удобный инструмент, с помощью которого удобно чистить овощи и фрукты как с тонкой, так и со слишком толстой кожурой.
308 руб
Раздел: Овощечистки, рыбочистки
Автомобиль со звуковым сигналом "Джип-каталка", красный.
Автомобиль Джип-каталка - это удобное транспортное средство для малыша! Каталка сделана в виде машинки. Малыш отталкиваясь ножками сможет
1698 руб
Раздел: Каталки

65. Греция и Рим

66. Дипломатия древнего Рима

67. Государственный строй древнего Рима

68. Древний Рим

69. Искусство Рима 1-3 вв. н.э.

70. Образование Рима
71. Роль рабства в экономическом развитии Древней Греции и Древнего Рима
72. Военное дело в Древнем Риме

73. Сравнительный анализ систем физического воспитания Древней Греции и Древнего Рима

74. Особенности русского общественного сознания в старообрядческих сочинениях XVII в.

75. Жизнь древнего Рима: женщины

76. Жизнь древнего Рима: бани

77. Семья в Риме VII-начала VI в. до н.э.

78. Проектирование и строительство собора св. Петра в Риме

79. Сочинение по картине М. В. Нестерова «Видение отроку Варфоломею»

80. Государство в Древнем Риме

Точилка электрическая "Power TX", 2 отверстия.
Настольная точилка для чернографитовых и цветных карандашей. Прочный пластиковый корпус. Съёмный контейнер для стружки. Работает на 4
523 руб
Раздел: Точилки
Детский велосипед Jaguar трехколесный (цвет: оранжевый).
Детский трехколесный велосипед колясочного типа, для малышей от 10 месяцев до 3 лет. Модель с удлиненной рамой, что позволяет подобрать
1440 руб
Раздел: Трехколесные
Антискользящий резиновый коврик для ванны "Roxy-kids", 35x76 см, белый.
Резиновый коврик с отверстиями ROXY-KIDS создан специально для детей и призван обеспечить комфортное и безопасное купание в ванне. Мягкие
529 руб
Раздел: Горки, приспособления для купания

81. Психоактивные растения как феномен в культуре

82. Жизнь древнего Рима: погребальные обряды

83. Искусство древнего Рима

84. Живопись Древнего Рима

85. Древний Рим

86. Культура Древнего Рима
87. Кнабе Г.С. "Цицерон и искусство красноречия в Риме"
88. Сочинение на тему "Силен или слаб Обломов?"

89. Сочинения: Выбор темы

90. Пример готового сочинения по роману М.Ф. Достоевского «Преступление и наказание»

91. Сочинение по пьесе Максима Горького "На дне"

92. Сочинения-2003

93. Материалы к сочинению по роману "Тихий Дон" М.Шолохова

94. Ошибки при написании сочинения

95. Сочинение по творчеству Маяковского

96. Сочинения по творчеству Пушкина, Гончарова

Компактные развивающие игры в дорогу "Логозавры", арт. ВВ2099.
Логозавры - это увлекательная игра-головоломка на развитие логического мышления, математических навыков, внимательности,
337 руб
Раздел: Игры в дорогу
Конструктор "Mechanical Kangaroo".
Конструктор для сборки действующей модели «Механический Кенгуру». Каждый мальчишка, увидев хитроумный механизм, пытается его
317 руб
Раздел: Инженерные, научно-технические
Танк с пневмопушкой.
У танка башня поворачивается, пушка поднимается, стреляет снарядами (пульки входят в комплект, 6 штук). Размер: 28x8x10 см. Материал: пластик.
327 руб
Раздел: Танки

97. Сочинения – русская литература

98. Произведение Галича "Теория красноречия для всех родов прозаических сочинений"

99. Медальные сочинения

100. Произведение А.И. Галича Теория красноречия для всех родов прозаических сочинений (русская словесность)


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.