Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Красота повтора

Забавная пачка денег "100 долларов".
Купюры в пачке выглядят совсем как настоящие, к тому же и банковской лентой перехвачены... Но вглядитесь внимательней, и Вы увидите
60 руб
Раздел: Прочее
Карабин, 6x60 мм.
Размеры: 6x60 мм. Материал: металл. Упаковка: блистер.
44 руб
Раздел: Карабины для ошейников и поводков
Совок №5.
Длина совка: 22 см. Цвет в ассортименте, без возможности выбора.
18 руб
Раздел: Совки

Евгений Епифанов Фракталы известны уже почти век, хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни. Однако в основе этого явления лежит очень простая идея: бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций - копирования и масштабирования Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? На первый взгляд может показаться, что все эти объекты ничто не объединяет. Однако на самом деле существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них - еще меньшие, и т.д., то есть ветка подобна всему дереву. Подобным же образом устроена и кровеносная система: от артерий отходят артериолы, а от них - мельчайшие капилляры, по которым кислород поступает в органы и ткани. Посмотрим на космические снимки морского побережья: мы увидим заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы; теперь представим себе, что мы стоим на пляже и смотрим себе под ноги: всегда найдутся камешки, которые дальше выдаются в воду, чем остальные. То есть береговая линия при увеличении масштаба остается похожей на саму себя. Это свойство объектов американский (правда, выросший во Франции) математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты - фракталами (от латинского frac us - изломанный). ГЕОМЕТРИЯ И АЛГЕБРА Изучение фракталов на рубеже XIX и XX веков носило скорее эпизодический, нежели систематический характер, потому что раньше математики в основном изучали "хорошие" объекты, которые поддавались исследованию при помощи общих методов и теорий. В 1872 году немецкий математик Карл Вейерштрасс строит пример непрерывной функции, которая нигде не дифференцируема. Однако его построение было целиком абстрактно и трудно для восприятия. Поэтому в 1904 году швед Хельге фон Кох придумал непрерывную кривую, которая нигде не имеет касательной, причем ее довольно просто нарисовать. Оказалось, что она обладает свойствами фрактала. Один из вариантов этой кривой носит название "снежинка Коха". Идеи самоподобия фигур подхватил француз Поль Пьер Леви, будущий наставник Бенуа Мандельброта. В 1938 году вышла его статья "Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому", в которой описан еще один фрактал -С-кривая Леви. Все эти вышеперечисленные фракталы можно условно отнести к одному классу конструктивных (геометрических) фракталов. Другой класс - динамические (алгебраические) фракталы, к которым относится и множество Мандельброта. Первые исследования в этом направлении начались в начале XX века и связаны с именами французских математиков Гастона Жулиа и Пьера Фату. В 1918 году вышел почти двухсотстраничный мемуар Жулиа, посвященный итерациям комплексных рациональных функций, в котором описаны множества Жулиа - целое семейство фракталов, близко связанных с множеством Мандельброта. Этот труд был удостоен приза Французской академии, однако в нем не содержалось ни одной иллюстрации, так что оценить красоту открытых объектов было невозможно.

Несмотря на то что это работа прославила Жулиа среди математиков того времени, о ней довольно быстро забыли. Вновь внимание к ней обратилось лишь полвека спустя с появлением компьютеров: именно они сделали видимыми богатство и красоту мира фракталов. ЧТО ТАКОЕ ФРАКТАЛ? У этого понятия нет строгого определения. Поэтому слово "фрактал" не является математическим термином. Обычно так называют геометрическую фигуру, которая удовлетворяет одному или нескольким из следующих свойств: • обладает сложной структурой при любом увеличении; • является (приближенно) самоподобной; • обладает дробной хаусдорфовой (фрактальной) размерностью, которая больше топологической; • может быть построена рекурсивными процедурами. НАУКА И ИСКУССТВО В 1982 году вышла книга Мандельброта "Фрактальная геометрия природы", в которой автор собрал и систематизировал практически всю имевшуюся на тот момент информацию о фракталах и в легкой и доступной манере изложил ее. Основной упор в своем изложении Мандельброт сделал не на тяжеловесные формулы и математические конструкции, а на геометрическую интуицию читателей. Благодаря иллюстрациям, полученным при помощи компьютера, и историческим байкам, которыми автор умело разбавил научную составляющую монографии, книга стала бестселлером, а фракталы стали известны широкой публике. Их успех среди нематематиков во многом обусловлен тем, что с помощью весьма простых конструкций и формул, которые способен понять и старшеклассник, получаются удивительные по сложности и красоте изображения. Когда персональные компьютеры стали достаточно мощными то появилось даже целое направление в искусстве – фрактальная живопись, причем заниматься ею мог практически любой владелец компьютера. Сейчас в интернете можно легко найти множество сайтов, посвященных этой теме. ВОЙНА И МИР Как уже отмечалось выше, один из природных объектов, имеющих фрактальные свойства, – это береговая линия. С ним, а точнее, с попыткой измерить его длину, связана одна интересная история, которая легла в основу научной статьи Мандельброта, а также описана в его книге "Фрактальная геометрия природы". Речь идет об эксперименте, который поставил Льюис Ричардсон – весьма талантливый и эксцентричный математик, физик и метеоролог. Одним из направлений его исследований была попытка найти математическое описание причин и вероятности возникновения вооруженного конфликта между двумя странами. В числе параметров, которые он учитывал, была протяженность общей границы двух враждующих стран. Когда он собирал данные для численных экспериментов, то обнаружил, что в разных источниках данные об общей границе Испании и Португалии сильно отличаются. Это натолкнуло его на следующее открытие: длина границ страны зависит от линейки, которой мы их измеряем. Чем меньше масштаб, тем длиннее получается граница. Это происходит из-за того, что при большем увеличении становится возможным учитывать все новые и новые изгибы берега, которые раньше игнорировались из-за грубости измерений. И если при каждом увеличении масштаба будут открываться ранее не учтенные изгибы линий, то получится, что длина границ бесконечна! Правда, на самом деле этого не происходит – у точности наших измерений есть конечный предел.

Этот парадокс называется эффектом Ричардсона. КОНСТРУКТИВНЫЕ (ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ) ФРАКТАЛЫ Алгоритм построения конструктивного фрактала в общем случае таков. Прежде всего нам нужны две подходящие геометрические фигуры, назовем их основой и фрагментом. На первом этапе изображается основа будущего фрактала. Затем некоторые ее части заменяются фрагментом, взятым в подходящем масштабе, – это первая итерация построения. Затем у полученной фигуры снова некоторые части меняются на фигуры, подобные фрагменту, и т.д. Если продолжить этот процесс до бесконечности, то в пределе получится фрактал. Рассмотрим этот процесс на примере кривой Коха (см. врезку на предыдущей странице). За основу кривой Коха можно взять любую кривую (для "снежинки Коха" это треугольник). Но мы ограничимся простейшим случаем – отрезком. Фрагмент – ломаная, изображенная сверху на рисунке. После первой итерации алгоритма в данном случае исходный отрезок совпадет с фрагментом, затем каждый из составляющих его отрезков сам заменится на ломаную, подобную фрагменту, и т.д. На рисунке показаны первые четыре шага этого процесса. ЯЗЫКОМ МАТЕМАТИКИ: ДИНАМИЧЕСКИЕ (АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ) ФРАКТАЛЫ Фракталы этого типа возникают при исследовании нелинейных динамических систем (отсюда и название). Поведение такой системы можно описать комплексной нелинейной функцией (многочленом) f(z). Возьмем какую-нибудь начальную точку z0 на комплексной плоскости (см. врезку). Теперь рассмотрим такую бесконечную последовательность чисел на комплексной плоскости, каждое следующее из которых получается из предыдущего: z0, z1=f(z0), z2=f(z1), . z 1=f(z ). В зависимости от начальной точки z0 такая последовательность может вести себя по-разному: стремиться к бесконечности при →∞; сходиться к какой-то конечной точке; циклически принимать ряд фиксированных значений; возможны и более сложные варианты. Таким образом, любая точка z комплексной плоскости имеет свой характер поведения при итерациях функции f(z), а вся плоскость делится на части. При этом точки, лежащие на границах этих частей, обладают таким свойством: при сколь угодно малом смещении характер их поведения резко меняется (такие точки называют точками бифуркации). Так вот, оказывается, что множества точек, имеющих один конкретный тип поведения, а также множества бифуркационных точек часто имеют фрактальные свойства. Это и есть множества Жулиа для функции f(z). Множество Мандельброта строится несколько иначе. Рассмотрим функцию fc(z) = z2 с, где c – комплексное число. Построим последовательность этой функции с z0=0, в зависимости от параметра с она может расходиться к бесконечности или оставаться ограниченной. При этом все значения с, при которых эта последовательность ограничена, как раз и образуют множество Мандельброта. Оно было детально изучено самим Мандельбротом и другими математиками, которые открыли немало интересных свойств этого множества. Видно, что определения множеств Жулиа и Мандельброта похожи друг на друга. На самом деле эти два множества тесно связаны. А именно, множество Мандельброта - это все значения комплексного параметра с, при которых множество Жулиа fc(z) связно (множество называется связным, если его нельзя разбить на две непересекающиеся части, с некоторыми дополнительными условиями).

Добрая фея пришла ему на помощь и подарила волшебный плащ, с помощью которого он смог "совершить путешествие", пролететь над Необитаемой Землей и в первый раз увидеть деревья, цветы и другие красоты природы. У. Рэй Пойндекстер рассказывает о молодом человеке, чья жизненная драма повторяла сказку о Принце Хромоножке (23). Отец юноши решил, что его любознательный, интеллектуальный, но страдающий хромотой сын "не в порядке", так как он не отличался атлетическим телосложением и не подходил к образу "американского парня". Хотя юноша не имел недостатка в заботе и получил хорошее образование, он не мог добиться признания отца. Он чувствовал себя отверженным и нашел убежище в "общине беглецов". Здесь, чтобы покинуть свою "башню", он использовал наркотики, подобно волшебному плащу для путешествий. В повседневных жизненных драмах часто встречаются персонажи из книжных историй. Человек может искать одиночества, как Робинзон Крузо (возможно, вместе с юношей или девушкой Пятницей), убегать, как Гекльберри Финн, сражаться с ветряными мельницами, как Дон Кихот, приходить на помощь, как супермен, отказываться расти, как Питер Пэн, бесконечно и по ничтожному поводу переживать трагедии, как примадонна в мелодраме, быть шутом или злодеем, героем или героиней, королем или королевой

1. Экономическая целесообразность применения фотоэпиляции в салонах красоты различного класса

2. Прощание гречанки (О генезисе красоты)

3. Японское чувство красоты (Бигаку)

4. Стилистическая функция сквозных повторов в произведениях Сэлинджера

5. Стихотворение Н.А. Заболоцкого «О красоте человеческих лиц»

6. Эпитафия ускользающей красоте (по рассказу «Легкое дыхание»)
7. В чем истинная красота человека (по рассказу В. Астафьева «Фотография, на которой меня нет» )
8. Так что есть красота?

9. Тема красоты мира и человека в одном из произведений русской литературы

10. Истинная и ложная красота в Романе Л.Н.Толстого "Война и Мир"

11. Озон для здоровья. Озон для красоты

12. Здоровье. Эмоции. Красота.

13. Красота науки

14. Воспитание чувства красоты

15. Фигура повтора: философ Николай Федоров и его литературные прототипы

16. Актинидия коломикта: красота и польза

Настольная игра "Тримино".
"Тримино" настольная игра для тех, кто умеет просчитывать ходы, создавать хитроумные комбинации и не боится блефовать. Здесь не
714 руб
Раздел: Домино детское
Чернила "Bottle Quink", синие, 57 мл.
Цвет – синий. Объем – 57 мл. Материал флакона – стекло.
449 руб
Раздел: Чернила, тушь, штемпель
Кружка-хамелеон "Любовь".
Каждый человек знает, как приятно говорить о своих чувствах любимым. Кружка-хамелеон "Любовь" поможет Вам чаще признаваться в
314 руб
Раздел: Кружки

17. Сервер замедленных повторов Оrad Forum

18. Возвышение человеческой красоты в сонетах Петрарки

19. Идеал красоты у различных народов

20. Концепт "красота" в русском и английском языках

21. Золотая пропорция – критерий гармонии и красоты

22. Красота как сущность искусства
23. Анализ факторов, определяющих качество услуг, предоставляемых салоном красоты "Дива"
24. Маркетинговое исследование потребительского поведения посетителей салонов красоты г. Санкт-Петербурга

25. Проект салона красоты по предоставлению парикмахерских и маникюрных услуг

26. Внедрение SPA как нового вида услуг в салон красоты (на примере студии загара и красоты "Солана")

27. Симметрия - это красота и гармония

28. Философия красоты

29. Организация предпринимательской деятельности и расчет показателей эффективности бизнес проекта ТО студия красоты "Персона"

30. Общественная ценность. Красота


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.