Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Лекции по линейной алгебре (МГИЕМ)

Брелок LED "Лампочка" классическая.
Брелок работает в двух автоматических режимах и горит в разных цветовых гаммах. Материал: металл, акрил. Для работы нужны 3 батарейки
131 руб
Раздел: Металлические брелоки
Ночник-проектор "Звездное небо и планеты", фиолетовый.
Оригинальный светильник - ночник - проектор. Корпус поворачивается от руки. Источник света: 1) Лампочка (от карманных фонариков) 2) Три
330 руб
Раздел: Ночники
Гуашь "Классика", 12 цветов.
Гуашевые краски изготавливаются на основе натуральных компонентов и высококачестсвенных пигментов с добавлением консервантов, не
170 руб
Раздел: 7 и более цветов

Лекция№8 Множества с двумя алгебраическими операциями. Кольца и поля. Пусть на множестве R определены две алгебраические операции, которые мы будем называть сложением и умножением и обозначать соответственно и . Говорят, что умножение обладает свойством (правой) дистрибутивности относительно сложения, если . (1) Аналогично определяется свойство левой дистрибутивности. Разумеется, если операция умножения коммутативна, эти свойства равнозначны. В общем случае говоря о свойстве дистрибутивности мы будем подразумевать двустороннюю дистрибутивность. Предположим, что операция ’ ’ на R имеет нейтральный элемент, обозначаемый 0. Положив в равенстве (1) y = z = 0, получим: x 0 = x 0 x 0, откуда, при наличии свойства сокращения для операции ’ ’ , получаем, что x 0 = 0. Если для элемента y имеется противоположный элемент (-y), то взяв в том же равенстве z = -y, получим: 0 = x 0 = x y x (-y) и, значит, x (-y) = -x y. Определение. Множество с двумя алгебраическими операциями R( , ) называется кольцом, если 1. (R, ) - абелева группа (аддитивная группа кольца R). 2. Умножение в R дистрибутивно относительно сложения. Дополнительные свойства операции умножения отмечаются с помощью соответствующих прилагательных перед словом кольцо. Так ассоциативное кольцо - это кольцо, в котором операция умножения обладает свойством ассоциативности. Аналогичный смысл имеет термин коммутативное кольцо. Наличие нейтрального элемента для операции умножения выражают термином кольцо с единицей ( этот нейтральный элемент называют единицей и обозначают или просто e ); При этом дополнительно предполагается, что кроме свойств 1 и 2 выполнено 3. 0. Элементы такого кольца R, имеющие обратные относительно операции умножения, называются обратимыми , а их множество обозначается через . Отметим, что для ассоциативного кольца с единицей множество является группой по умножению, называемой мультипликативной группой кольца R. Поскольку в кольце R с единицей e , элемент 0 из R необратим. В случае ассоциативного кольца не будет обратим и такой элемент y0, что y z = 0. Такой элемент y называется (левым) делителем нуля. Определение. Полем называется такое ассоциативное коммутативное кольцо с единицей k, в котором всякий ненулевой элемент обратим: . Таким образом, по определению в поле отсутствуют делители нуля. Примеры колец и полей. 1. Хорошо известными примерами полей являются, конечно, поля R,Q, и C соответственно вещественных, рациональных и комплексных чисел . Отметим, что любое поле содержит по крайней мере 2 элемента - 0 и e. Этот «минимальный» запас элементов и достаточен для образования поля: операции определяются очевидным образом ( отметим только, что e e=0). Построенное поле из двух элементов обозначается GF(2) (по причинам, которые будут ясны в дальнейшем). Напомним также, что если p - простое число, то все вычеты по модулю p, кроме 0, обратимы относительно операции умножения. Значит, рассматривая группу с дополнительной операцией умножения, мы получаем поле из p элементов, которое обозначается GF(p). 2. Множество Z целых чисел с операциями сложения и умножения дает важный пример ассоциативного коммутативного кольца с единицей.

Аддитивная группа этого кольца - хорошо известная нам бесконечная циклическая группа. Мультипликативная группа содержит всего 2 элемента 1 и -1 и потому изоморфна необратимы, хотя и не являются делителями нуля. 3. Пусть R - любое ассоциативное коммутативное кольцо. Множество- квадратных матриц порядка с элементами из кольца R образует кольцо относительно операций сложения и умножения матриц. Отметим, что кольцо матриц ассоциативно, но, вообще говоря, не коммутативно. Если R содержит единицу ) ,будет единицей кольца матриц. Заметим, что для любой матрицы имеет смысл понятие определителя de (A) R, причем de (AB)=de (A)de (B). Если de (A) обратимый элемент кольца R, то матрица A обратима в кольце матриц: - присоединенная к А матрица (то есть транспонированная матрица из алгебраических дополнений). Таким образом, - группа матриц порядка с обратимым определителем. В случае поля R это означает, что de (A) 0, то есть матрица невырождена. С другой стороны, в этом случае любая вырожденная матрица будет делителем нуля. В самом деле, из de (A) = 0 следует, что столбцы А линейно зависимы: , причем не все коэффициенты нулевые. Построим ненулевую матрицу В, взяв в качестве ее первого столбца и считая прочие элементы В нулевыми. Тогда А В = 0 и значит А - делитель нуля. 4. Пусть снова R любое ассоциативное коммутативное кольцо и x - некоторый символ. Формальная сумма вида p= называется многочленом над кольцом R. Если , то число называется степенью этого многочлена и обозначается deg(p). Нулевой многочлен не имеет степени. Многочлены над R можно складывать и перемножать по обычным правилам и они образуют кольцо R. Если кольцо R имеет единицу е, то многочлен нулевой степени p=e будет единицей кольца R. Если R не имеет делителей нуля, то deg(pq)=deg(p) deg(q) и потому R также не имеет делителей нуля. В то же время обратимыми элементами кольца многочленов будут в точности обратимые элементы R, рассматриваемые как многочлены нулевой степени. Отметим, что эта конструкция позволяет рассматривать и многочлены от нескольких переменных: по определению, R). Определение. Подмножество называется подкольцом, если оно является кольцом относительно тех же операций, которые определены в R. Это означает, что К является подгруппой аддитивной группы R и замкнуто относительно умножения: . Отметим, что если R обладает свойством ассоциативности , коммутативности или отсутствием делителей нуля, то и К обладает теми же свойствами. В то же время, подкольцо кольца с единицей может не иметь единицы. Например, подкольцо четных чисел 2Z Z не имеет единицы. Более того, может случиться, что и R и K имеют единицы, но они не равны друг другу. Так будет, например, для подкольца , состоящего из матриц с нулевой последней строкой и последним столбцом; =diag(1,1,.,1). Определение. Гомоморфизмом колец называется отображение, сохраняющее обе кольцевые операции: . Изоморфизм - это взаимно однозначный гомоморфизм. Ядро гомоморфизма - это ядро группового гомоморфизма аддитивных групп , то есть множество всех элементов из R, которые отображаются в - некоторое подкольцо. Поскольку (К, ) - подгруппа коммутативной группы (R, ), можно образовать факторгруппу R/K, элементами которой являются смежные классы r K.

Поскольку К К К, для произведения двух смежных классов имеет место включение: (r K) (s K) r s r K K s K. Определение. Подкольцо К называется идеалом кольца R, если K. Мы видим, что если К является идеалом в R, произведение смежных классов (r K) (s K) содержится в смежном классе r s K. Значит в факторгруппе R/K определена операция умножения, превращающая ее в кольцо, называемое факторкольцом кольца R по идеалу К. Примеры. 1. Подкольцо Z является идеалом кольца Z, поскольку для любого целого m m( Z) Z. Факторкольцо Z/ Z - это множество вычетов по модулю с операциями сложения и умножения. Отметим, что если число не является простым, то Z/ Z имеет делители нуля. 2. Пусть I, у которых . Поскольку p I =(p x)RI, мы имеем идеал кольца многочленов. Каждый смежный класс q I содержит элемент I) = I. В развитие предыдущего примера рассмотрим некоторое ассоциативное коммутативное кольцо S. Если любой его элемент, то множество I=x S является идеалом кольца S, называемым главным идеалом с образующим элементом x. Этот идеал обозначается (x). Если S кольцо с единицей и элемент x обратим, то (x)=S. Если кольцо S является полем, то всякий ненулевой идеал I в S совпадает со всем полем. В самом деле, если , откуда . 1. Пусть I идеал кольца R. Сопоставляя каждому элементу смежный класс r I, получаем сюръективный гомоморфизм . Этот гомоморфизм называется естественным гомоморфизмом кольца на факторкольцо. Замечание. Свойства ассоциативности, коммутативности и наличия единицы очевидно сохраняются при переходе к факторкольцу. Напротив, отсутствие в R делителей нуля еще не гарантирует их отсутствие в факторкольце (см. пример 1). Теорема об ядре. Ядро гомоморфизма колец является идеалом. Доказательство. Пусть - любой элемент. Тогда, (x) 0 =0. Значит, x I =I. Аналогично проверяется, что I xI. Теорема о гомоморфизме для колец. Пусть - сюръективный гомоморфизм колец. Тогда S изоморфно факторкольцу R/Ker. Если эти изоморфные кольца отождествить, то отождествляется с естественным гомоморфизмом кольца R на свое факторкольцо.Доказательство этой теоремы аналогично доказательству соответствующей теоремы для групп и мы его опускаем. Пример. Пусть K - кольцо многочленов RC - гомоморфизм, сопоставляющий каждому многочлену p его значение в точке i : (p) =p(i). Ядро этого гомоморфизма составляют многочлены, представимые в виде: ( 1) q(x), где q - любой многочлен. Можно записать: Ker.

Никакой медиум так не восприимчив к чужой мысли или загробному дуновению, как были восприимчивы мы к капле знания, оказавшись один на один с Абсолютом у классной доски и раскаленной Сахарой невежества в голове. Что касается психокинеза, то нас было сорок человек, объединенных духом, и прежде чем удалось бы прочесть эту фразу, кафедру, профессора и классный журнал поглотило бы чрево нижних этажей, если б только напряженная до предела мысль могла поколебать основы материи. В последних фразах стиль у меня изменился, принял какой-то библейский оттенок, ибо, пожалуй, только так можно говорить об этих делах. А может, в стиле Гомера? Ведь древние греки подсмеивались над своими богами, знали их маленькие грешки и слабости. Впрочем, и ветхозаветные евреи, стоило господу отвернуться, уже перешептывались по углам, прогуливались с тельцами, теряли веру в кафедру, то бишь, я хотел сказать, в спасительное пришествие, – я думаю, их души были сродни гимназическим. Исайя или Иезекииль,[30] ухитрились бы изложить даже лекцию по алгебре нумерованными виршами, каждая строчка которых была бы подобна молнии, пронизывающей до мозга костей; я на это не покушаюсь

1. Лекции по Линейной алгебре

2. Контрольная работа по линейной алгебре

3. Линейная Алгебра. Теория групп

4. Основы линейной алгебры на примере балансовой модели

5. Краткие сведения и задачи по курсу векторной и линейной алгебры

6. Вычислительные методы алгебры (лекции)
7. Алгебра матриц. Системы линейных уравнений
8. Лекции "Военная топография"

9. Лекции по "Общим воинским уставам"

10. Лекции по естественной географии

11. Гражданское право (лекции)

12. Краткие лекции по истории политических и правовых учений (к зачету-тестированию)

13. Охрана труда (лекции, Украина)

14. Краткий курс лекций по праву социального обеспечения

15. Конспект лекций по Римскому праву

16. Государство (6 лекций)

Настольная игра "Викторина первоклассника".
В игре вы найдёте 600 вопросов из разных областей знаний: математики, языкознания, культуры и искусства, биологии, естествознания и
342 руб
Раздел: Викторины
Подставка под горячее с пробкой "FIFA 2018".
Подставка под горячее с пробкой + окантовка. Диаметр: 16 см. Материал: керамика.
346 руб
Раздел: Кружки, посуда
Набор детской посуды "Принцесса", 3 предмета.
Набор посуды для детей включает в себя три предмета: суповую тарелку, обеденную тарелку и кружку. Набор упакован в красочную, подарочную
397 руб
Раздел: Наборы для кормления

17. Лекции по экологии

18. История отечественной культуры (лекции)

19. Лекции по культурологии

20. Русский символизм: лекция из курса д-ра Валюлис

21. Устные высказывания и их особенности (беседа, лекция, доклад, диспут, дискуссия)

22. Лекции по роману Ф.М. Достоевского "Преступление и наказание"
23. Конспекты лекций по языкознанию
24. Курс лекций и семинаров "История России: 1861-1995 гг."

25. Лекции по курсу Истории Отечества

26. Краткий конспект лекций по Теории тестирования аппаратных и программных средств

27. Лекции по курсу "Периферийные устройства компьютеров"

28. Лекции по курсу "Информатика"

29. Лекции по теории проектирования баз данных (БД)

30. Исследования устойчивости и качества процессов управления линейных стационарных САУ

31. Критерии устойчивости линейных систем

32. Лабораторная работа №5 по "Основам теории систем" (Транспортные задачи линейного программирования)

Стенд "Календарь природы". С карточками чисел, дней недели, месяцев и бланком дневника наблюдений.
Календарь природы — важный инструмент ознакомления детей с окружающим миром. Ежедневный учет явлений природы развивает у детей
546 руб
Раздел: Демонстрационные рамки, планшеты, таблички
Вертикальный накопитель, пластиковый, черный, ширина 240 мм, 4 отделения, органайзер.
Изготовлен из полистирола. Многосекционный поддон с 4 отделениями (шириной по 40 мм каждое) для бумаг формата А4 и вместительным
445 руб
Раздел: Подставки, лотки для бумаг, футляры
Глобус Луны диаметром 320 мм, с подсветкой.
Диаметр: 320 мм. Масштаб: 1:40000000. Материал подставки: пластик. Цвет подставки: черный. Мощность: 220 V, переключатель на шнуре; может
1338 руб
Раздел: Глобусы

33. Лабораторная работа №3 по "Основам теории систем" (Теория двойственности в задачах линейного программирования)

34. Управление техническими системами (лекции)

35. Изучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных занятиях по математике

36. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА

37. Шпаргалка по геометрии и алгебре

38. Решение оптимизационной задачи линейного программирования
39. Методы решения систем линейных неравенств
40. Решение задач линейного программирования

41. Лекции (1-18) по мат. анализу 1 семестр

42. Решение задачи линейного программирования

43. Шпаргалки по геометрии, алгебре, педагогике, методике математики (ИГПИ)

44. Лекции по Методике математики в начальных классах (4-5 семестры)

45. Травма - лекция по общей хирургии

46. Лекции по теории преступности

47. Лекции по уголовному праву (общая часть)

48. Лекции по Концепциям Современного Естествознания (КСЕ)

Сиденье для ванны (светло-голубое).
Выдерживает нагрузку до 200 кг. Располагается практически на уровне ванны, а не вставляется внутрь, что особенно важно для удобства людей
604 руб
Раздел: Горки, приспособления для купания
Набор детской складной мебели Ника "Маленькая принцесса".
В комплект входит стол и стул с мягким сиденьем и спинкой. Подходит для кормления, игр и обучения. Поверхность столешницы ламинированная с
1358 руб
Раздел: Наборы детской мебели
Микрофон-караоке "Чунга-чанга".
Новые оригинальные микрофоны-караоке для будущих звезд сцены! В каждом микрофоне – 12 популярных песенок В. Шаинского, Е. Крылатова, М.
301 руб
Раздел: Микрофоны

49. Схемы по лекциям по Педагогике и Психологии высшей школы

50. Конспект лекций по разделу "Политическая власть"

51. Лекции по материаловедению

52. Конспект лекций по предмету Горячая Штамповка

53. Лекции по Физической оптике чл.-кор Курбатова Л.П.

54. Техника Безопасности (лекции)
55. Лекции по пассажирским перевозкам
56. Курс лекций по ораторскому искусству

57. Зигмунд Фрейд - Введение в психоанализ (лекции)

58. Разработка программно-методического комплекса для анализа линейных эквивалентных схем в частотной области /для числа узлов <=500/

59. Комплексное моделирование электрических и тепловых характеристик линейного стабилизатора напряжений

60. Лекции по твердотельной электронике

61. Cкремблирование и дескремблирование линейного сигнала

62. Расчет переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами

63. Билеты и лекции по ДКБ

64. Линейный ускоритель

Гарнитура беспроводная "FreeMotion B680", чёрная.
Технические характеристики: Питание: Li-Ion аккумулятор. Тип подключения: беспроводной Bluetooth. Тип наушников:
670 руб
Раздел: Гарнитуры и трубки
Футбольный мяч "Moscow", 23 см.
Размер: 5 (23 см). Плотность материала: 350 грамм. Материал: TPU+EVA.
729 руб
Раздел: Игрушки, фигурки
Набор цветных карандашей "Progresso", 24 штуки.
Цветные монолитные карандаши в лаковой оболочке. Бездревесные цветные карандаши "Progresso" имеют прочное лаковое покрытие,
793 руб
Раздел: 13-24 цвета

65. Лекции по физике за 2 семестр

66. Тепловые процессы (из конспекта лекций 2000г.)

67. Общая Физика (лекции по физике за II семестр СПбГЭТУ "ЛЭТИ")

68. Лекции по физкультуре (ОГУ)

69. Лекции по философии (Орел, 2003г.)

70. Химия радиоматериалов, лекции Кораблевой А.А. (ГУАП)
71. Лекции по курсу «Финансы, кредит, денежное обращение» (2004г.)
72. Курс лекций по аудиту

73. Лекции по аудиту

74. Лекции по маркетингу

75. Лекции по квалиметрии

76. Экономика и менеджмент средств массовой информации (курс лекций)

77. Курс лекций по менеджменту

78. Лекции по ценообразованию

79. Лекции по IT экономике

80. Конспект лекций по курсу ЭММ (Экономико-математические методы и модели)

Машинка "Бибикар (Bibicar)" с полиуретановыми колесами (салатово-оранжевая).
Оснащена улучшенными колесами, выполненными из высококачественного полиуретана. Теперь езда на этой удивительной машинке стала еще более
2650 руб
Раздел: Каталки
Набор детской посуды "Фея".
Набор посуды детский "Фея". В комплекте 3 предмета: - тарелка суповая диаметром 15 см, - тарелка обеденная диаметром 17,5 см, -
387 руб
Раздел: Наборы для кормления
Сушилка для посуды P&C "Лилия", двухъярусная.
Наша уникальная двухъярусная сушилка позволит сушить или хранить большое количество посуды, при этом сэкономит полезную площадь на столе
511 руб
Раздел: Настольные

81. Лекции по экономической теории

82. Лекции по экономическому анализу

83. Курс лекций по истории Отечества - основа для докладов и выступлений

84. Лекции по Культуре

85. Курс лекций по культурологии

86. Лекции
87. Лекции по курсу Культурология
88. Русский символизм: лекция из курса др.Валюлис

89. Лекции по логистике

90. Курс лекций по маркетингу

91. Системы линейных уравнений

92. Алгебра матриц

93. Решение систем линейных алгебраических уравнений

94. Контрольные билеты по алгебре

95. Векторная алгебра

96. Алгебра и Начало анализа

Качели детские подвесные "Вятушка С".
Предназначены для развлечения, отдыха и физического развития детей в возрасте от 3 лет. Допустимая нагрузка до 30 кг. Материал: металл,
613 руб
Раздел: Качели
Игра настольная "Тише, не будите спящего папу".
Шшшш! Тише! Не разбудите папу! Кто может устоять перед вкусным шоколадным тортом? Не дети в любом случае! Пока папа спал и храпел в
1458 руб
Раздел: Игры на ловкость
Аппарат для приготовления домашнего творога и сыра "Нежное лакомство".
Сладкая творожная запеканка, мягкий пряный сыр, чесночная паста на бутерброды — сколько вкуснятины можно приготовить из домашнего творога
464 руб
Раздел: Прочее

97. Задача линейного программирования

98. Конспект лекций по дискретной математике

99. Лекции по Математическому анализу


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.