|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа |
Крючки с поводками Mikado SSH Fudo "SB Chinu", №4BN, поводок 0,22 мм. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Математический факультет Кафедра алгебры и геометрии Выпускная квалификационная работа Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа Выполнил студент 5 курса математического факультета Чупраков Дмитрий Вячеславович /подпись/ Научный руководитель: д.ф-м.н., профессор Е.М. Вечтомов /подпись/ Рецензент: к.ф-м.н., доцент В.В. Чермных /подпись/ Допущена к защите в ГАК Зав. кафедрой д.ф-м.н., профессор Е.М. Вечтомов (подпись) “ ” Декан факультета к.ф-м.н., доцент В.И. Варанкина (подпись) “ ” Киров 2005 Содержание Содержание Введение Глава 1. 1.1. Базовые понятия и факты 1.2. Простое расширение Q (a) 1.3. Минимальное соотношение алгебраического элемента над полуполем рациональных неотрицательных чисел Глава 2. Однопорожденные полуполя 2.1. Структура простого расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел 2.2. Расширения полуполя неотрицательных действительных чисел комплексным числом 2.3. Расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел комплексным числом 2.4. Примеры Литература Введение Теория полуполей – одно из интенсивно развивающихся разделов общей алгебры, являющейся обобщением теории полей. Одним из основных способов исследования полей является построение их расширений. Поэтому естественно исследовать расширения полуполей. Эта проблема освещена в статье А.В.Ряттель и диссертации И.И.Богданова. Но в них рассматриваются случаи упорядочиваемых расширений. Интересно рассмотреть неупорядочиваемые расширения. Этому вопросу посвящена данная квалификационная работа Целью квалификационной работы является исследование однопорожденных расширений полуполей неотрицательных рациональных чисел и неотрицателных действительных чисел комплексным числом на предмет выявления признаков и свойств, позволяющих упростить поиск расширений, являющихся полуполями. Выпускная квалификационная работа состоит из двух глав. В главе 1 представлены предварительные сведения, необходимые для изучения однопорожденных расширений полуполей. Глава 2 посвящена исследованию однопорожденных расширений полуполей. В работе принята сквозная тройная нумерация теорем и лемм, где первое число – номер главы, второе – номер параграфа, третье – номер в параграфе. Например, теорема 2.1.1 – первая теорема первого параграфа второй главы. Основными результатами работы являются: Теорема 2.2.1. Любое расширение , где , является полем С. Теорема 2.3.1. Если , то – поле тогда и только тогда, когда Q (-a2) – поле, позволяющая выявлять полуполя вида . Теорема 2.3.6. Если минимальный многочлен f-g порождает полуполе то, он либо имеет положительный действительный корень, либо корень , такой что и последовательность ( ), заданная числами p и q, не содержит отрицательных элементов.Последовательность задается следующим образом: Эта теорема помогает сократить область поиска расширений, являющихся полуполями. Теорема 2.3.7. Для комплексных чисел расширение , минимальное соотношение которого имеет положительный корень, является полуполем.
Глава 1. 1.1. Базовые понятия и факты Определение: Алгебра &l ;P, , Ч&g ; называется полуполем, если &l ;Р, &g ; – коммутативная полугруппа с 0; &l ;Р, Ч&g ; – группа с 1; Дистрибутивность Не сложно показать, что Q является полуполем. Определение: Пусть Р – подполуполе полуполя F, , тогда простым расширением полуполя P с помощью элемента a называется наименьшее подполуполе полуполя F, содержащее множество P и элемент a. Простое расширение P с помощью a обозначается P(a). 1.2. Простое расширение Q (a) Теорема 1.2.1. Произвольное полутело либо аддитивно идемпотентно, либо содержит копию Q в качестве полутела. Доказательство. Предположим, что S – неидемпотентное полутело, т.е. найдется такой ненулевой элемент sОS, что s s№s. Откуда . Рассмотрим суммы единиц. Через обозначим сумму k единиц (при kО ). Так как любое полутело является антикольцом, то . Покажем, что суммы различного числа единиц в S различны. Допустим от противного, что при некоторых натуральных m&l ; . Положим l= -mО . Тогда . Прибавляя к обеим частям этого равенства элемент , получим . Применяя эту процедуру несколько раз, будем иметь для любого О . По свойству Архимеда, найдется такое О , что l&g ; . При k= l имеем и &l ;k. Тогда . Откуда 1=1 1 (). Получили противоречие. Следовательно, полутело S содержит аддитивную копию . Но тогда S содержит и частные сумм 1, т.е. содержит копию полуполя Q , причем, очевидно, операции в Q и S согласованы. ■ Теорема 1.2.2. - простое расширение полуполя Q . Доказательство. Заметим, что Q (a) – полуполе. Кроме того, а О Q (a). Это не сложно увидеть, взяв . Очевидно . Предположим, что есть полуполе P меньшее Q (a), содержащее а и Q . Тогда оно содержит все выражения вида . Так как P – полуполе, то . Таким образом, . Так как P – минимальное полуполе, то . То есть, –простое расширение полуполя Q . ■ Аналогично доказывается следующее утверждение. Теорема 1.2.3. - простое расширение поля Q. 1.3. Минимальное соотношение алгебраического элемента над полуполем рациональных неотрицательных чисел Пусть а – алгебраическое число. Тогда минимальный многочлен F числа а имеет степень ≥ 1. Тогда обозначим через f многочлен, составленный из положительных одночленов многочлена F, а многочлен g составим из отрицательных членов, взятых с противоположными знаками. Тогда . , тогда . Покажем, что любое равенство получается из , где . Заметим, что , так как а – корень , а – минимальный многочлен для a. Представим , где составлен из положительных одночленов многочлена h, а составлен из отрицательных одночленов многочлена h, взятых с противоположным знаком. Таким образом, Приведем подобные члены в паре , и найдем такой , что , не имеют подобных членов. Аналогично найдем , что и не имеют подобных членов. Получаем Так как не имеют подобных членов и не имеют подобных членов, то , или , . Найдем значения этих многочленов в точке а. ,. Итак, , . То есть, тогда и только тогда, когда . Будем говорить, что Q (a) порождается минимальным соотношением . Глава 2. Однопорожденные полуполя 2.1. Структура простого расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел Для простого расширения справедливы следующие теоремы.
Теорема 2.1.1. Пусть простое расширение , a – алгебраический элемент над . Тогда эквивалентны следующие утверждения: – поле; ; ; ; . Доказательство. (1)®(2): Пусть – поле. Так как - простое расширение поля Q элементом a. То . Однако, . Таким образом, . (2)®(3): Заметим, что достаточно показать, что . Пусть его нет, тогда покажем, что никакой ненулевой элемент не будет обратим. Рассмотрим и , тогда . По предположению, этот многочлен – тождественный ноль. А значит. . Так как , то . То есть, оба многочлена – нулевые. Мы же брали ненулевой многочлен b. Это показывает справедливость (3). (3)®(4): Пусть , тогда . Так как (f – g)(a) = 0, то h(a) = 0. (4)®(5): Пусть , покажем, что . Так как h(a)=0, то . Покажем, что . Рассмотрим . Если b0& e;0, то . Если h0=0, то . Так как a& e;0, то . Тогда . Итак, . (5)®(1): Пусть , покажем, что Q (a) – поле. Действительно, мы знаем, что Q (a) – полуполе. Рассмотрим bОQ (a), тогда . b ( b)=0. То есть, Q (a) – поле. Итак, мы показали, что все утверждения равносильны. ■ Доказанный факт влечет следующую теорему. Теорема 2.1.2. Пусть Q (a) простое расширение Q , a – алгебраический элемент над Q . Тогда эквивалентны следующие утверждения: Q (a) –полуполе; ; ; ; . Доказательство. Несложно установить равносильность утверждений (1) (4), исходя из предыдущей теоремы. Докажем условие равносильность их утверждению (5). Из условия (5) следует, что никакой элемент не обратим по сложению. Тогда Q (a) не является полем, а значит Q (a) – полуполе. Докажем, что из (3) следует (5). Действительно, согласно условию (3), (&quo ;hОQ , h& e;0) h(a)& e;0. То есть, если h(a)=0, то h=0. Пусть h(a)=(x y)(a)=0. Тогда . Тогда (xi yi)=0. Так как xiОQ и yiОQ , то xi=yi=0. А значит, x=y=0. Теорема доказана. ■ 2.2. Расширения полуполя неотрицательных действительных чисел комплексным числом Теорема 2.2.1. Любое расширение , где , является полем С. Доказательство. Пусть , и при a &g ; 0. Тогда находится строго в первой или четвертой четверти комплексной плоскости. Очевидно, существует натуральное , что лежит строго во второй или третьей четверти. То есть, , где c &l ; 0, . Значит, и . По теореме 2.1.1, – поле. Очевидно, что . То есть, является полем С. Аналогично рассматривается случай ■ 2.3. Расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел комплексным числом Теорема 2.3.1. Если , то – поле тогда и только тогда, когда Q (-a2) – поле. Доказательство. По теореме 2.1.1 Q (ai) – поле равносильно существованию f№0, f(ai)=0. Так как все степени aiОQ (ai). Рассмотрим некоторый многочлен . Равенство выполняется тогда и только тогда, когда действительная и мнимая часть равны нулю. То есть, Это верно тогда и только тогда, когда Q (-a2) – поле. Получили, что Q (ai) – поле тогда и только тогда, когда Q (-a2) – поле. ■ Как следствие получаем более ценные утверждения. Следствие 1. Если , то Q (ai) – полуполе тогда и только тогда, когда Q (-a2) – полуполе. Следствие 2. Если и Q (-b2) – полуполе, aОQ (-b2), то Q (a bi) – полуполе. Теорема 2.3.2. Пусть – комплексный корень квадратного трехчлена f(x) неприводимого над Q.
Вскоре он обнаружил некие включения, собиравшиеся по краям дисков и «плававшие» в близлежащем пространстве. Продолжая рассчитывать мельчайшие детали, он вдруг почувствовал, что удача покинула его,P на картинах вместо четких изображений появлялась путаница. Тогда он направился обратно в исследовательский центр IBM, надеясь попытать удачи на компьютерах корпорации в частном порядке, чего не мог позволить себе в Гарварде. К удивлению Мандельбро, нарастание путаницы в изображениях говорило о чем-то реальном. Отростки и завитки медленно отделились от основного островка, и возникла кажущаяся однородной граница, которая распадалась на цепочку спиралей, напоминавших хвосты морского конька. Иррациональное породило нечто рациональное. Система Мандельбро являет собой скопление точек, и каждая точка комплексной плоскости иными словами, каждое комплексное число или входит в их множество, или находится вне его пределов. Определить границы множества можно одним способом тестированием каждой точки с помощью простого итерационного процесса
10. Простые числа Мерсенна. Совершенные числа
13. Введение в специальность («комплексная реконструкция и эксплуатация зданий и сооружений»)
14. Исследование природных ресурсов планеты с помощью космических методов
15. Великобритания (расширенный вариант реферата 9490)
16. Аргентина. Комплексная экономико-географическая характеристика
Ящик для хранения универсальный, прозрачный, 25 л. 
Столик пеленальный "Фея" (цвет: сиреневый). 
Набор мисок с синими крышками, 5 предметов. 17. Комплексная характеристика Словении
18. Определения положения объектов на местности при помощи приборов нивелира и теодолита
20. Методы комплексной оценки хозяйственно-финансовой деятельности
21. Статуи острова Пасхи – свидетели достижений древних цивилизаций, или просто каменные идолы?..
25. Удалённый доступ к частной сети через Интернет с помощь технологии VPN
28. Набор процедур манипулирования с целыми числами произвольной длины
29. Помощь в обучении программированию
30. Понятие алгоритма, его свойства. Описание алгоритмов с помощью блок схем на языке Turbo Pascal
32. Финансовый контроль и планирование с помощью Excel
Опора для балдахина Карапуз (с обручем). 
Багетная рама "Patricia" (цвет - белый + золотой), 30х40 см. 
Пазл "Обитатели фермы", 15 деталей. 33. "Семейный бюджет" (расчет с помощью программы Microsoft Excel 97)
35. Создание баннеров с помощью программы Adobe PhotoShop 7.0
36. История открытия комплексных чисел
37. Число как основное понятие математики
42. Оказание первой медицинской помощи при автомобильных катастрофах
43. Лечение и реабилитация инвалидов с помощью верховой езды
44. Дневник практики на подстанции скорой помощи
45. Неотложная помощь при тяжелых инфекциях
46. Кровотечения, их классификация и первая медицинская помощь при них
48. Перечень и сущность дефектов оказания медицинской помощи
Фляга S.Quire "Птицы" 0,24 л, сталь, серебристый цвет с рисунком. 
Тарелка Lubby "Веселые животные" с присоской. 
Набор "Грибочки". 49. Кровотечения. Первая медицинская помощь
51. Как школа должна оказывать помощь неудачникам
52. Комплексный подход к преодолению заикания
53. Методика измерения перемещений при помощи лазерных интерферометров
57. Экономическая эффективность инвестиций, направленных на расширение парка ПС АТП
58. Психолого-педагогическая помощь трудным подросткам на уроках музыки и внеклассных занятий
59. Простой категорический силлогизм
62. Комплексная механизация СТФ с разработкой линии вентиляции и отопления
63. Измерение магнитострикции ферромагнетика с помощью тензодатчика
64. Решение обратных задач теплопроводности для элементов конструкций простой геометрической формы
Коробка для хранения елочных украшений (112 ячеек). 
Наушники "Philips SHE1450BK/51", цвет черный. 
Пенал "DeLune", арт. D-819. 65. Правильное оказание первой медицинской помощи
66. Прикладное плавание. Оказание первой помощи пострадавшему на воде
67. Простой категорический силлогизм
73. Финансирование с помощью краткосрочного долга
74. Числа Фибоначчи: технический анализ
75. “Аграрно-крестьянский вопрос” и его разрешение с помощью реформы 1861 г.
77. «Нищелюбие» русских князей: основные направления защиты и помощи нищим на Руси
78. Комплексный обед
79. Величие простых сердец в прозе А. П. Платонова
80. "Я научилась просто, мудро жить…". (Философские мотивы лирики А.А.Ахматовой)
Аппарат для приготовления домашнего творога и сыра "Нежное лакомство". 
Детское подвесное кресло Polini "Кокон" (цвет: голубой). 
Белый картон, А3, 100 листов. 81. Семантика и функционирование простых прилагательных цветообозначения в поэзии А. Блока
82. Комплексное исследование рынка сотовой связи на примере
83. Алгебраические расширения полей
84. Числа, которые преобразили мир
85. Дуальные числа
89. Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов
90. Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева
92. Об эволюционности процесса расширения вселенной
93. Простейшие элементы радиосхем
95. Способ доказательства теоремы Ферма в общем виде с помощью методов элементарной математики
96. Гравитация? Это очень просто! (гравитонная гипотеза)
Набор "Стучалка", 6 гвоздиков. 
Детское подвесное кресло Polini "Кокон" (цвет: оранжевый). 
Клей для дерева "Момент Столяр. ПВА Универсальный", 750 грамм. 97. Неотложная помощь и лечение поствакцинальных осложнений
98. Технология улучшения медицинской помощи
99. Комплексное лечение квантовой и электромагнитной терапией
Совок №5. 
Совок большой. 
