Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Метод Рунге-Кутты четвертого порядка с автоматическим выбором шага интегрирования решения задачи Коши

Чашка "Неваляшка".
Ваши дети во время приёма пищи вечно проливают что-то на ковёр и пол, пачкают руки, а Вы потом тратите уйму времени на выведение пятен с
222 руб
Раздел: Тарелки
Браслет светоотражающий, самофиксирующийся, желтый.
Изготовлены из влагостойкого и грязестойкого материала, сохраняющего свои свойства в любых погодных условиях. Легкость крепления позволяет
66 руб
Раздел: Прочее
Карабин, 6x60 мм.
Размеры: 6x60 мм. Материал: металл. Упаковка: блистер.
44 руб
Раздел: Карабины для ошейников и поводков

Реферат Решение многих технических, химических, а также биологических задач требует решения задачи Коши. Эту задачу можно решать разными способами, как аналитическими, так и численными, применяя ЭВМ. Очень часто бывает важно получить результат в сжатые сроки. В этом случае предпочтение отдается численным методам. Кроме того, встречаются такие сложные дифференциальные уравнения, найти аналитическое решение которых либо вообще не представляется возможным, либо для этого требуются очень большие затраты времени и сил. В работе детально рассматривается метод Рунге-Кутты четвертого порядка с автоматическим выбором длины шага интегрирования (это обеспечивает гораздо более высокую точность вычислений по сравнению с методом, использующим шаг постоянной длины), приводится необходимая теоретическая сводка, описание метода, а также программа для ЭВМ, результаты ее выполнения и иллюстрации. Ключевые слова: дифференциальное уравнение, метод Рунге-Кутты, метод Эйлера, порядок метода Рунге-Кутты, задача Коши, ряд Тейлора, отрезок, коэффициенты, шаг интегрирования, интегральная кривая. Работа содержит 36 листов, включая 8 графиков, 4 иллюстрации и 12 таблиц. Содержание & bsp; Введение 1. Теоретическая часть 1.1 Постановка задачи 1.2 Метод Эйлера 1.3 Общая формулировка методов Рунге-Кутты 1.4 Обсуждение методов порядка 4 1.5 «Оптимальные» формулы 1.6 Условия порядков для методов Рунге-Кутты 1.7 Оценка погрешности и сходимость методов Рунге-Кутты 1.7.1 Строгие оценки погрешности 1.7.2 Главный член погрешности 1.7.3 Оценка глобальной погрешности 1.8 Оптимальный выбор шага 2. Практическая часть 2.1 Описание программы «Ilya RK-4 версия 1.43» Заключение Список использованных источников Приложение А. Графики функций Приложение Б. Пример таблицы значений функции y(x) Приложение В. Листинг программы «Ilya RK-4 версия 1.43» Введение Ввиду того, что для методов Рунге-Кутты не нужно вычислять дополнительные начальные значения, эти методы занимают особое место среди методов классического типа. Ниже будут рассмотрены их свойства, а также некоторые ограничения, присущие этим методам. С увеличением числа этапов для больших задач, решаемых этими методами, возникли бы трудности с памятью ЭВМ, кроме того (и это важнее), для больших задач, как правило, всегда велики константы Липшица. В общем случае это делает методы Рунге-Кутты высокого порядка не пригодными для таких задач. Во всяком случае, другие методы обычно эффективнее и им следует отдавать предпочтение. Однако методы Рунге-Кутты четвертого порядка являются достаточно легко реализуемыми на ЭВМ, а наличие автоматического выбора шага дает возможность производить вычисления с хорошей точностью. Поэтому их целесообразно применять для довольно широкого множества задач. Методы Рунге-Кутты имеют несколько весомых достоинств, определивших их популярность среди значительного числа исследователей. Эти методы легко программируются, обладают достаточными для широкого круга задач свойствами точности и устойчивости. Эти методы, как и все одношаговые методы, являются самостартующими и позволяют на любом этапе вычислений легко изменять шаг интегрирования.

В работе основное внимание сконцентрировано на вопросах точности и эффективности решения задач того типа, для которых методы Рунге-Кутты приемлемы. Программная реализация методов Рунге-Кутты четвертого порядка с автоматическим выбором шага представлена в виде программы, написанной на языке высокого уровня Borla d C 3.1. Программу можно запускать в среде MS-DOS или Wi dows® 95/98/Me/2k/XP. В качестве выхода программа пишет таблицу значений в файл на диск и рисует график на экране ЭВМ. Для проверки результатов работы созданной программы одни и те же дифференциальные уравнения решались в математическом пакете Wa erloo Maple 9.01 и при помощи созданного приложения (версия 1.43), проводился анализ таблиц значений и графиков решений. 1. Теоретическая часть 1.1 Постановка задачи Дано дифференциальное уравнение и начальное условие, то есть поставлена задача Коши:  (2.1.1) Требуется отыскать интегральную кривую, удовлетворяющую поставленной задаче Коши с помощью метода Рунге-Кутты четвертого порядка с автоматическим выбором шага на отрезке . Задачу можно решить аналитически, найдя решение дифференциального уравнения и подставив в него начальное условие, тем самым, отыскав требуемую интегральную кривую. Но для нас интерес представляет решение данной задачи с применением численного метода, а конкретнее – метода Рунге-Кутты 4-го порядка с автоматическим выбором шага, то есть численное решение. Автоматический выбор шага – необходимое условие адекватного поведения программы при резко изменяющихся функциях, задающих интегральную кривую, позволяющее отразить все моменты в поведении интегральной кривой и добиться высокой точности. 1.2 Метод Эйлера Метод Эйлера для решения начальной задачи (2.1.1) был описан Эйлером в 1768 году. Этот метод весьма прост. Его глобальная погрешность имеет вид , где  – постоянная, зависящая от задачи, и  – максимальная длина шага. Если желательно, скажем, получить 6 точных десятичных знаков, то требуется, следовательно, порядка миллиона шагов, что не слишком удовлетворительно. С другой стороны, еще со времен Ньютона известно, что можно найти гораздо более точные методы, если  не зависит от , то есть если мы имеем задачу (2.1.1), решаемую квадратурой . (2.2.1) В качестве примера можно рассмотреть первую квадратурную формулу Гаусса, также называемую «правилом средней точки»:  (2.2.2) где  и  – граничные точки подинтервалов, на которые разбит интервал интегрирования. Известно, что оценка глобальной погрешности этой формулы  имеет вид . Таким образом, если желаемая точность составляет 6 десятичных знаков, ее обычно можно получить приблизительно за 1000 шагов, то есть этот метод в тысячу раз быстрее. Поэтому Рунге поставил следующий вопрос: нельзя ли распространить этот метод на исходную задачу Коши? Первый шаг длины  должен иметь вид . (2.2.3) Но какое значение взять для ? За неимение лучшего естественно использовать один малый шаг метода Эйлера длины . Тогда из предыдущей формулы получим:  (2.2.4) Решающим обстоятельством здесь является умножение  в третьем выражении на , в результате чего влияние погрешности становится менее существенным.

Точнее, вычислим для  разложение Тейлора по степеням :  (2.2.5) Его можно сравнить с рядом Тейлора для точного решения, который получается из того, что  путем повторного дифференцирования с заменой  на  каждый раз, когда оно появляется:  (2.2.6) Вычитая из последнего равенства предыдущее, получим для погрешности первого шага выражение  (2.2.7) Таким образом, если все частные производные  второго порядка ограничены, то . Чтобы получить приближенное значение решения исходной задачи в конечной точке , будем применять формулы (2.2.4) последовательно к интервалам . Приведенные выше формулы являются усовершенствованным методом Эйлера. Для вычислений с высокой точностью, однако, следует пользоваться другими методами, одним из которых как раз является метод Рунге-Кутты. 1.3 Общая формулировка методов Рунге-Кутты Рунге и Хойн построили новые методы, включив в указанные формулы один или два добавочных шага по Эйлеру. Но именно Кутта сформулировал общую схему того, что теперь называется методом Рунге-Кутты. Пусть  – целое положительное число (число стадий, этапов) и  – вещественные коэффициенты. Тогда метод  (2.3.1) называется -стадийным явным методом Рунге-Кутты для исходной задачи Коши (2.1.1) Обычно коэффициенты  удовлетворяют условиям . (2.3.2) Эти условия были приняты Куттом без каких-либо комментариев. Смысл их заключается в том, что все точки, в которых вычисляется , являются приближениями первого порядка к решению. Эти условия сильно упрощают вывод условий, определяющих порядок аппроксимации для методов высокого порядка. Однако для методов низких порядков эти предположения необходимыми не являются. Метод Рунге-Кутты имеет порядок , если для достаточно гладких задач (2.1.1) справедливо неравенство , (2.3.3) то есть ряды Тейлора для точного решения  и для  совпадают до члена  включительно. После статьи Бутчера вошло в обычай символически представлять метод (2.3.1) по средствам следующей таблицы: 1.4 Обсуждение методов порядка 4 Подойдем теперь вплотную к определению 4-стадийных методов Рунге-Кутты (2.3.1) с таким расчетом, чтобы они имели порядок 4. Для этого необходимо вычислить производные порядков 1, 2, 3 и 4 от  при  и сравнить их с производными точного решения. Теоретически при известных правилах дифференциального исчисления это совершенно тривиальная задача. Однако с использованием (2.3.2) получаются следующие условия:   Эти вычисления очень утомительны и емки. Их громоздкость очень быстро растет для более высоких порядков. Лемма 1. Если  (2.4.2) то уравнения d), g) и h) являются следствием остальных. Доказательство. Покажем это для g). C помощью уравнений c) и e) получим: Для уравнений d) и h) процедура аналогична. Покажем, что в нашем случае условие является и необходимым. Лемма 2. При  (2.4.2) следует из уравнений (2.4.1) и уравнений (2.3.2). Для доказательства потребуется следующая лемма 3. Лемма 3. Пусть  и  суть 3x3-матрицы, такие что , (2.4.3) тогда либо , либо , где . Доказательство. Если , то из  следует . Если же , то существует вектор , такой, что , и поэтому . Но тогда из (2.4.3) следует, что  должен быть пропорционален вектору .

В журнале "Коммунистический Интернационал" Троцкий применительно к масштабам мировой революции говорит о том, что "система репрессий сгущается в систему террора".*3 Первым шагом к решению задач мировой революции стал приказ о наступлении на Варшаву. Решение это было принято по личной инициативе Ленина, которого уже не удовлетворяла должность председателя СНК России, а снился пост руководителя мировой республики. Поход на Варшаву, по мнению вождя, должен был помочь "советизации Литвы и Польши", революционизированию Германии и дальнейшему развитию мировой революции. Его эйфорическое состояние той поры выражает секретное послание Сталину 23 июля 1920 года. "Положение в Коминтерне превосходное, - сообщает он, - Зиновьев, Бухарин, а также и я думаем, что следовало бы поощрить революцию тотчас в Италии. Мое личное мнение, что для этого надо советизировать Венгрию, а может, также Чехию и Румынию. Надо обдумать внимательно. Сообщите ваше подробное заключение, немецкие коммунисты *1 Троцкий Л.Д. Пять лет Коминтерна. М.; Л., 1925. С.39. *2 Ленин. ПСС. Т.40. С. 209, 211. *3 Коммунистический Интернационал. 1920. 11. С.1756,1759. 651 думают, что Германия способна выставить 300 тыс. войска из люмпенов против нас".*1 В течение сорока дней Красная армия совершала победоносное движение по Польше

1. Разработка программы поиска решения системы дифференциальных уравнений двумя методами: Рунге-Кутта и Рунге-Кутта-Мерсона

2. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса

3. Численное решение системы линейных уравнений с помощью метода исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу

4. Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений

5. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера

6. Приближённые методы решения алгебраического уравнения
7. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера
8. Метод касательных решения нелинейных уравнений

9. Приближённые методы решения алгебраического уравнения

10. Приближённые методы решения алгебраического уравнения

11. Метод касательных. Решения нелинейных уравнений. Паскаль 7.0

12. Методы и алгоритмы компьютерного решения дифференциальных уравнений

13. Методы решения алгебраических уравнений

14. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

15. Использование численных методов для решения дифуpов (2-го порядка) (, демонстрация применения интерполяции в среде MATHCAD-а)

16. Сущность и методы принятия управленческих решений

Форма для кексов "Easy", 27х18х3 см.
Форма для кексов с антипригарным покрытием. Материал: углеродистая сталь. Размер: 27х18х3 см.
385 руб
Раздел: Формы и формочки для выпечки
Пенал большой "Pixie Crew" с силиконовой панелью для картинок (цветная клетка).
Повседневные вещи кажутся скучными и однотонными, а тебе хочется выглядеть стильно и быть не как все? "Pixie Crew" сделает твою
1402 руб
Раздел: Без наполнения
Комод "Girl" (четырехсекционный).
Этот комод не оставит Вас равнодушными. Яркая оригинальная расцветка комода привлечет и взрослого, и ребенка, и того, кто предпочитает
1862 руб
Раздел: Комоды, тумбы, шкафы

17. Методы исследования опорно-двигательной системы

18. Математические модели и методы обоснования управленческих решений и сферы их применения в практике управления

19. Методы анализа управленческих решений

20. Методы поиска технических решений

21. Основные методы исследования функционирования нервной системы беспозвоночных

22. Решение системы линейных уравнений
23. ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения системы дифференциальных уравнений
24. Решение линейной системы уравнений с тремя неизвестными

25. Методы воспроизведения заболеваний органов системы пищеварения

26. Изучение методов принятия управленческих решений для конкретной проблемы

27. Методы принятия управленческих решений

28. Методы разработки управленческих решений

29. Экспертные методы оценки управленческого решения

30. Разработка программного обеспечения решения нелинейных уравнений

31. Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения

32. Лабораторные работы по ЭММ (системы уравнений межотраслевого баланса; оптимизационная модель межотраслевого баланса)

Стул детский "Ника" складной, моющийся (цвет: синий, рисунок: горошек).
Особенности: - стул складной; - предназначен для детей от 3 до 7 лет; - металлический каркас; - на ножках стула установлены пластмассовые
562 руб
Раздел: Стульчики
Настольная игра "Кот на крыше".
Настольная игра «Кот на крыше» соберет всю семью за столом. С ней вечер пройдет незаметно и крайне увлекательно. Правила просты: нужно
458 руб
Раздел: Игры на ловкость
Карандаши цветные "Kolores", 24 цвета.
Карандаши цветные, трехгранные, заточенные. В комплекте: точилка. Длина карандаша: 175 мм Толщина грифеля: 2,9 мм. Количество цветов: 24.
403 руб
Раздел: 13-24 цвета

33. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

34. Решение иррациональных уравнений

35. Решение дифференциального уравнения с последующей аппроксимацией

36. Численное решение модельного уравнения

37. Решение дифференциальных уравнений в среде MathCAD

38. Алгоритм решения Диофантовых уравнений
39. Решение алгебраического уравнения n-ой степени
40. Решение дифференциальных уравнений

41. Решение иррациональных уравнений

42. Решение параболических уравнений

43. Решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Комплексные числа

44. 10 способов решения квадратных уравнений

45. Эволюция политической системы в 70-е гг. 20-го века

46. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Куты 4 порядка

47. Система поддержки принятия маркетинговых решений в торговом предприятии на основе методов Data Mining

48. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и Зейделя

Резак для бумаги с ковриком.
Обеспечивает аккуратный и ровный отрез бумаги, фотографий и плакатов. Подходит для формата А4 (максимальная длина реза 350 мм). Безопасен
1073 руб
Раздел: Ножи, ножницы, резаки
Фломастеры-кисти "Trendy", 12 цветов.
Набор фломастеров-кисточек. Предназначены для рисования на бумаге и картоне. В наборе: 12 цветов. Характеристики: - круглый пластиковый
342 руб
Раздел: 7-12 цветов
Сахарница с ложкой "Гуси", 660 мл.
Сахарница с ложкой прекрасно впишется в кухонный интерьер. Материал: доломит. Объем: 660 мл.
319 руб
Раздел: Сахарницы

49. Построение решения задачи Гурса для телеграфного уравнения методом Римана

50. Система поддержки принятия маркетинговых решений в торговом предприятии на основе методов Data Mining

51. Методы решения уравнений в странах древнего мира

52. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА

53. Решения смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток

54. Методы решения уравнений в странах древнего мира
55. Решение систем линейных дифференциальных уравнений пятиточечным методом Адамса – Башфорта
56. Решение систем линейных алгебраических уравнений (прямые методы)

57. Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена

58. Экспериментальное исследование свойств методов Рунге-Кутты

59. Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений

60. Поиски более рационального способа решения систем линейных уравнений с двумя переменными - методом подстановки

61. Методы путевого анализа и их применение к системам одновременных уравнений

62. Предмет, метод и система гражданского процессуального права /Украина/

63. Методы приобретения знаний в интеллектуальных системах

64. Анализ криптостойкости методов защиты информации в операционных системах Microsoft Window 9x

Копилка-раскраска "Лисенок".
Набор для творчества. Копилка-раскраска. Пластиковая копилка легкая, приятная на ощупь, не бьется при падении и ее легко раскрашивать. В
324 руб
Раздел: Копилки
Бумага чертежная, А4, 100 листов.
Плотность 200 г/м2. ГОСТ 597-73.
519 руб
Раздел: Папки для акварелей, рисования
Подарок «Вкусный Новый год».
Новый год - это волшебное время, которое особенно ждут самые маленькие. Подарочный набор «Вкусный Новый год» станет отличным решением для
350 руб
Раздел: Новогодние наборы от My-shop.ru

65. Лабораторная работа №7 по "Основам теории систем" (Решение задачи коммивояжера методом ветвей и границ)

66. Лабораторная работа №6 по "Основам теории систем" (Решение задачи о ранце методом ветвей и границ)

67. Расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера

68. Методы решения систем линейных неравенств

69. Решение задач линейной оптимизации симплекс – методом

70. Метод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов
71. Решение задач на построение сечений в многогранниках методом следов
72. Проблемы и методы принятия решений

73. Методы экспертных оценок при разработке и принятии управленческих решений

74. Современные методы решения экологических проблем на предприятии (на примере ООО "Волготрансгаз" - дочерней структуры ОАО "ГАЗПРОМ")

75. Методы алгебраических и дифференциальных уравнений для анализа и качественного исследования социально-экономических явлений (По дисциплине: Математические методы моделирования процессов управления в социальной сфере)

76. Решение творческих задач методом блочных альтернативных сетей: объектно-ориентированные представления

77. Совершенствование методов проектирования кораблей и обоснование проектных решений

78. Решение задач линейной оптимизации симплекс – методом

79. Сердечно сосудистая система, нетрадиционные методы лечения по Лазареву, диагностика

80. Система методов управления персоналом

Перчатки смотровые, нитриловые, нестерильные "Klever", неопудренные, текстурированные, размер S, 50.
Особенности и преимущества: превосходное растяжение; устойчивость к порезам, разрывам и проколам при сохранении тактильной
430 руб
Раздел: Перчатки
Фигурка "FIFA2018. Забивака. Класс!", 8,5 см.
Этот обаятельный, улыбчивый символ Чемпионата мира по футболу ещё и сувенир в память о событии мирового масштаба на всю жизнь! Уже
302 руб
Раздел: Игрушки, фигурки
Игра настольная "Словодел".
Игра представляет собой пластмассовую коробку с пластмассовым полем, состоящим из 225 клеток (15х15) и 120 фишками с буквами. Главное
485 руб
Раздел: Игры со словами

81. Эвристические методы решения творческих задач

82. Кинезиология как Метод решения психологических проблем

83. Типология современных методов применения средств ИКТ в системе общего образования

84. Психология религии: предмет, место в системе научного знания и методы исследования

85. Решение задачи методами линейного, целочисленного, нелинейного и динамического программирования.

86. Определение предмета и метода проектирования устойчивого развития в системе Природа-Общество-Человек
87. Построение системы методов управления инвестиционными рисками лизинговой компании
88. Зарплата в системе методов стимулирования труда(зарубежный опыт)

89. Системы учета "стандарт-кост" и нормативного метода - основа организации управленческого учета

90. Системы и методы калькулирования себестоимости. Расчет себестоимости на примере ячеек КРУ

91. Система приемов и методов достижения эффективности взаимоотношений «адресант – адресат» в современной радиожурналистике

92. Методы решения задач

93. Теория принятия решений: математические методы для выбора специалиста на должность администратора сети

94. Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы

95. Классификация методов разработки и принятия управленческих решений

96. Понятие, предмет, метод и система отрасли административного права, его источники, соотношение с другими отраслями права

Перчатки Paclan, латексные, 100 штук, размер М.
Основная составляющая перчаток – натуральный латекс. Высокие барьерные качества. Высокие тактильные качества. Можно использовать для мытья
433 руб
Раздел: Перчатки
Ведро-контейнер для мусора, 50 литров, серое, качающаяся крышка.
Объем: 50 литров. Размер: 74х40х35 см. Материал: пластик.
1124 руб
Раздел: Корзины для бумаг, мусора
Автокресло Еду-Еду "KS-513 Lux" с вкладышем (цвет: оранжевый, 9-36 кг).
Автокресло разработано для детей весом от 9 до 36 кг. Группа веса 1/2/3 (ECE R44/04). Каждая деталь автокресла спроектирована должным
2977 руб
Раздел: Группа 1/2/3 (9-36 кг)

97. Калькулирование себестоимости продукции по системе "Стандарт-костинг". Связь с традиционными методами учета затрат

98. Понятие, предмет, метод, система и задачи уголовного права

99. Поняття, предмет, метод, система, джерела, суб’єкти і зміст правовідносин по праву соціального забезпечення

100. Предмет, метод, джерела та система фінансового права


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.