Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Высшая математика

Браслет светоотражающий, самофиксирующийся, желтый.
Изготовлены из влагостойкого и грязестойкого материала, сохраняющего свои свойства в любых погодных условиях. Легкость крепления позволяет
66 руб
Раздел: Прочее
Чашка "Неваляшка".
Ваши дети во время приёма пищи вечно проливают что-то на ковёр и пол, пачкают руки, а Вы потом тратите уйму времени на выведение пятен с
222 руб
Раздел: Тарелки
Ручка "Шприц", желтая.
Необычная ручка в виде шприца. Состоит из пластикового корпуса с нанесением мерной шкалы. Внутри находится жидкость желтого цвета,
31 руб
Раздел: Оригинальные ручки

Основные теоремы и определения Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности  называется числовым рядом. При этом числа  будем называть членами ряда, а u – общим членом ряда. Определение. Суммы , = 1, 2, называются частными (частичными) суммами ряда. Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S1, S2, ,S , Определение. Ряд  называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его частных сумм. Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы. Свойства рядов. 1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда. 2) Рассмотрим два ряда  и , где С – постоянное число. Теорема. Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд тоже сходится, и его сумма равна СS. (C ¹ 0) 3) Рассмотрим два ряда и . Суммой или разностью этих рядов будет называться ряд , где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами. Теорема. Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно S и s, то ряд  тоже сходится и его сумма равна S s. Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом. Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом. О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя. При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда. Критерий Коши. (необходимые и достаточные условия сходимости ряда) Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого  существовал такой номер , что при > и любом p > 0, где р – целое число, выполнялось бы неравенство: . 1.3 Определение. Ряд называется равномерно сходящимся на отрезке , если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм этого ряда. Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда) Для равномерной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для любого числа e>0 существовал такой номер (e), что при > и любом целом p>0 неравенство выполнялось бы для всех х на отрезке . Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса) (Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик) Ряд сходится равномерно и притом абсолютно на отрезке , если модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда с положительными членами : т.е. имеет место неравенство: . Еще говорят, что в этом случае функциональный ряд  мажорируется числовым рядом . ряд  называется положительным, если U ≥0, для всех € Интегральный признак Коши. Если j(х) – непрерывная положительная функция, убывающая на промежутке [1;&ye ;), то ряд j(1) j(2) j( ) =  и несобственный интеграл  одинаковы в смысле сходимости. Пример. Ряд  сходится при a>1 и расходится a&pou d;1 т.к. соответствующий несобственный интеграл  сходится при a>1 и расходится a&pou d;1.

Ряд  называется общегармоническим рядом. Следствие. Если f(x) и j(х) – непрерывные функции на интервале (a, b] и  то интегралы  и  ведут себя одинаково в смысле сходимости. Степенные ряды. Определение. Степенным рядом называется ряд вида . Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера. Пример. Исследовать на сходимость ряд Применяем признак Даламбера: . Получаем, что этот ряд сходится при и расходится при . Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1. При х = 1:  ряд сходится по признаку Лейбница (см. Признак Лейбница. ). При х = -1:  ряд расходится (гармонический ряд). 1 теорема Абеля. (Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) – норвежский математик) Теорема. Если степенной ряд  сходится при x = x1 , то он сходится и притом абсолютно для всех . Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то где k- некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство: Из этого неравенства видно, что при x&l ;x1 численные величины членов нашего ряда будут меньше ( во всяком случае не больше ) соответствующих членов ряда правой части записанного выше неравенства, которые образуют геометрическую прогрессию. Знаменатель этой прогрессии  по условию теоремы меньше единицы, следовательно, эта прогрессия представляет собой сходящийся ряд. Поэтому на основании признака сравнения делаем вывод, что ряд  сходится, а значит ряд  сходится абсолютно. Таким образом, если степенной ряд сходится в точке х1, то он абсолютно сходится в любой точке интервала длины 2 с центром в точке х = 0. Следствие. Если при х = х1 ряд расходится, то он расходится для всех . Таким образом, для каждого степенного ряда существует такое положительное число R, что при всех х таких, что  ряд абсолютно сходится, а при всех ряд расходится. При этом число R называется радиусом сходимости. Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости. Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым. Радиус сходимости может быть найден по формуле: Определение. Тригонометрическим рядом называется ряд вида: или, короче, Действительные числа ai, bi называются коэффициентами тригонометрического ряда. Определение. Тригонометрическим рядом называется ряд вида: или, короче, 3,3 2 Теорема Абеля. Если степенной ряд  сходится для положительного значения х=х1 , то он сходится равномерно в любом промежутке внутри . Признак сравнения рядов с неотрицательными членами. Пусть даны два ряда  и  при u , v ³ 0. Теорема. Если u &pou d; v при любом , то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда . Доказательство. Обозначим через S и s частные суммы рядов  и . Т.к. по условию теоремы ряд сходится, то его частные суммы ограничены, т.е. при всех s &l ; M, где М – некоторое число. Но т.к. u &pou d; v , то S &pou d; s то частные суммы ряда тоже ограничены, а этого достаточно для сходимости. Пример. Исследовать на сходимость ряд Т.к. , а гармонический ряд  расходится, то расходится и ряд . Пример. Исследовать на сходимость ряд Т.к. , а ряд  сходится ( как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд  тоже сходится.

Также используется следующий признак сходимости: Теорема. Если  и существует предел , где h – число, отличное от нуля, то ряды  и ведут одинаково в смысле сходимости. Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции. Возможны различные способы разложения функции в степенной ряд. Такие способы как разложение при помощи рядов Тейлора и Маклорена были рассмотрены ранее. (См. Формула Тейлора. ) Существует также способ разложения в степенной ряд при помощи алгебраического деления. Это – самый простой способ разложения, однако, пригоден он только для разложения в ряд алгебраических дробей Рассмотрим способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования. С помощью интегрирования можно разлагать в ряд такую функцию, для которой известно или может быть легко найдено разложение в ряд ее производной. Находим дифференциал функции  и интегрируем его в пределах от 0 до х. 2) Теорема о почленном интегрировании ряда. Равномерно сходящийся на отрезке ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку. 3) Теорема о почленном дифференцировании ряда. Если члены ряда  сходящегося на отрезке представляют собой непрерывные функции, имеющие непрерывные производные, и ряд, составленный из этих производных сходится на этом отрезке равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно. На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х, можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда (разложения функции в ряд), что имеет широкое применение при интегрировании, дифференцировании и других действиях с функциями. На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд. Ряд Тейлора. (Пьер Альфонс Лоран (1813 – 1854) – французский математик) Функция f(z), аналитическая в круге , разлагается в сходящийся к ней степенной ряд по степеням (z – z0). Коэффициенты ряда вычисляются по формулам: Степенной ряд с коэффициентами такого вида называется рядом Тейлора. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:   где - многочлен степени m. Тогда частное решение ищется в виде:   Здесь Q(x)- многочлен той же степени, что и P(x), но с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз число a является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:   Здесь Р1(х) и Р2(х) – многочлены степени m1 и m2 соответственно. Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид:   где число r показывает сколько раз число  является корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения, а Q1(x) и Q2(x) – многочлены степени не выше m, где m- большая из степеней m1 и m2.

Оглянувшись вокгруг в поисках учебника, они с удивлением обнаружили, что вообще не существует практического руководства, которое когда-либо было написано с целью помочь людям решать их повседневные проблемы взаимоотношений с людьми. Хорошенькое дело! На протяжении столетий пишутся горы учебных томов о древнегреческом языке, о латыни и высшей математике - о предметах за которые нормальный взрослый человек не даст и ломанного гроша. Но о том единственном предмете, который он поистенне страстно желает знать, который ему необходим, как руководство и помощь в его делах - ни единой строчки! Именно этим обстоятельством и об'ясняется присутствие двух с половиной тысяч алчущих и жаждущих взрослых людей, которые заполнили большой бальный зал отеля "Пенсильвания", откликнулись на об'явление в "Нью-Йорк Сан". Под его сводами они, очевидно, полагали найти то, чего так долго и безуспешно искали. В прошлом в институтах и колледжах, они корпели над книгами, искренне веря, что одно только знание было тем волшебным средством к "Сезам, откройся! ", которое могло открыть заставляя слушателей то и дело покатываться со смеху

1. Что такое звезды

2. Что такое звёзды

3. Что такое налог

4. Трактовка образа Обломова в статье Н. А. Добролюбова "Что такое Обломовщина?"

5. Что такое интернет?

6. Что такое мультимедийный компьютер?
7. Что такое дьявол с точки зрения биолога
8. Что такое счастье?

9. Что такое деятельность?

10. Что такое любовь?

11. Что такое лечебное голодание (Доклад)

12. Что такое философия, ее предназначение, социальные функции и роль в жизни человека

13. Что такое организация

14. Что такое "любовь к империи"

15. Введение в ХХ век. Что такое модернизация ?

16. Что такое cвоё дело

Набор детской складной мебели "Маленькая принцесса".
Комплект складной. Подходит для кормления, игр и обучения. Поверхность столешницы ламинированная с нанесением ярких познавательных
1795 руб
Раздел: Наборы детской мебели
Коробка картонная для цветов с люверсами и ручками "Лайм", 30x30x20 см.
Коробка картонная для цветов с люверсами и ручками. Размер: 30x30x20 см.
493 руб
Раздел: Коробки
Пробковая доска в деревянной раме MDF, 40x30 см.
Пробковые доски применяются в качестве персональных информационных дисплеев. На их поверхность с помощью кнопок или булавок можно
424 руб
Раздел: Прочее

17. Что такое книжная иллюстрация

18. Что такое “телерепортаж”

19. Что такое аниме?

20. Что такое любовь в представлении леди Макбет?

21. Что такое "обломовщина"?

22. Что такое речевой акт
23. Что такое проект и как им управлять
24. Что такое орбита

25. Что такое гепатит B?

26. Что такое здоровье?

27. Что такое эвтаназия? Традиционные представления об эвтаназии

28. Что такое остеохондроз и в чем таится опасность?

29. Что такое метаболический синдром

30. Что такое эрозия шейки матки?

31. Что такое реинжиниринг

32. Что такое POS?

Батут.
Каркас: сталь Полотно: дюралевая нейлоновая сетка. Окантовка: прочный защитный материал. Количество ножек: 6 шт. Размер: 91 см. Допустимая
2821 руб
Раздел: Батуты, надувные центры
Свечи чайные белые (100 штук).
Свечи чайные в гильзе. Количество: 100 штук. Цвет: белый.
361 руб
Раздел: Свечи чайные
Подгузники "Солнце и Луна. Нежное прикосновение", размер: 4/L (7-14 кг), 44 штуки.
Подгузники "Солнце и Луна. Нежное прикосновение" сделаны по японской технологии в сотрудничестве с японской корпорацией WATASHI
425 руб
Раздел: Более 11 кг

33. Что такое маркетинговый план?

34. Что такое синергетика

35. Что такое телескоп

36. Что такое "местное самоуправление"?

37. Что такое "символизм" и его практическое использование

38. Что такое разум?
39. Что такое эйдетика?
40. Что такое медитация?

41. Мудрость тела или Что такое Прикладная Кинезиология?

42. Что такое Bluetooth Маркетинг?

43. Что такое пол?

44. Что такое цивилизация? История возникновения данного понятия

45. Физическое здоровье человека. Что такое максимально потребление кислорода?

46. Что такое аритмология?

47. Что такое материя. История возникновения взгляда на материю

48. Что такое философия?

Точилка Berlingo механическая "Яблоко".
Оригинальная механическая точилка в форме яблока. С одним отверстием для заточки карандашей. Лезвие из высококачественной стали. Механизм
352 руб
Раздел: Точилки
Гидромассажная ванночка для ног (арт. ATH-6411 blue).
Характеристики: - Расслабляющий и оздоровительный массаж. - Мощный компрессор для водно-пузырькового массажа. - 3 сменные насадки. -
1368 руб
Раздел: Прочее
Корзина для белья "Виолетта" (30 литров).
Корзина для белья решит проблему хранения большого количества грязного белья. Благодаря своей прямоугольной форме она может быть легко
396 руб
Раздел: Корзины для белья

49. Что такое даосизм?

50. Что такое свет и как он распространяется

51. Что такое жизнь?

52. Что такое экология?

53. Что такое мусор и чем он опасен

54. Что такое инфляция (не закончен)
55. Что такое фирма?
56. Что такое текст

57. Что такое жизнь?

58. Опять актуален вопрос: что такое ген?

59. Что такое геопатогенные зоны

60. Что такое НАФТА

61. Что такое редактирование и правка текста?

62. Что такое вирусы?

63. Что такое Internet?

64. Что такое DirectX?

Фоторамка "Poster blue" (30х40 см).
Рамка может располагаться как вертикально, так и горизонтально. Для фотографий размером: 30х40см. Материал: пластик.
331 руб
Раздел: Размер 30x40
Магнитные истории "Что мне надеть".
Игра научит ребенка: ориентироваться по ситуации, внимательности, развития мелкой моторики, фантазии, аккуратности, усидчивости. В
499 руб
Раздел: Игры на магнитах
Набор цветных карандашей Trio, 12 цветов.
Тонкий карандаш с трехгранной формой корпуса. Грифель 2,5 мм. 12 цветов.
443 руб
Раздел: 7-12 цветов

65. Что такое речевой акт

66. Что такое солнечный ветер

67. Что такое базальная температура и как ее измерять

68. Семейный бизнес или что такое хорошо, что такое плохо

69. Что такое бутерброд?

70. Что такое история и нужна ли она дошкольникам
71. Что такое веды?
72. Что такое звёзды

73. Что такое ген? Генетическая точка зрения

74. Что такое цена товара, из чего она слагается?

75. Что такое операционная система вообще и Linux в частности

76. Что такое язык программирования

77. Что такое элитарная и массовая культуры

78. Что такое НЛП?

79. Что такое религия

80. Что такое социальная реклама

Набор контейнеров для хранения грудного молока и детского питания "Happy Baby", 6 штук.
Специальные контейнеры для хранения молока и питания позволяют сохранять ценные питательные элементы сцеженного грудного молока, в том
350 руб
Раздел: Молокоотсосы, аксессуары
Менажница (5 секций) "Садовая ягода".
Менажница (5 секций). Диаметр: 24,5 см. Высота: 2,5 см. Материал: керамика.
397 руб
Раздел: Менажницы
Набор "Сделай слайм" (с разноцветными бусами, пенопластовые шариками, блёстки).
Набор для изготовления слайма - это уникальный набор для создания оригинальной игрушки своими руками! Из компонентов набора можно сделать
575 руб
Раздел: Лизуны, мялки, жвачки для рук

81. Что такое электричество

82. Что такое идеальное? Проблема идеального

83. Что такое философия?

84. Что же такое математика ?

85. Шпаргалки по высшей математике

86. Шпаргалки по высшей математике (1 курс)
87. Высшая математика
88. Высшая математика

89. Высшая математика

90. Высшая математика

91. Высшая математика

92. Высшая математика

93. Основы высшей математики

94. Ответы на экзаменационные билеты по высшей математики

95. Высшая математика в экономике

96. Высшая математика. Матрица

Багетная рама "Sandra" (серебряный), 40х50 см.
Багетные рамы предназначены для оформления картин, вышивок и фотографий. Оформленное изделие всегда становится более выразительным и
791 руб
Раздел: Размер 40x50
Стол детский Little Angel "Я расту" (цвет: салатовый).
Размер стола: 56х56х50 см. Материал: пластик. Цвет: салатовый.
1476 руб
Раздел: Столики
Ванная комната "Конфетти".
Набор мебели для кукольной комнаты подойдет для кукол размером до 30 см. Комплектность: коврик большой, коврик, флакон - 2 штуки, пробка к
878 руб
Раздел: Ванные комнаты

97. Разноспоровость у высших растений

98. Физиология высшей нервной деятельности

99. Высшее образование в Германии


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.