![]() |
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
![]() |
Место аналогии в обучении математике в школе |
СОДЕРЖАНИЕ 1. Введение 2 2. Сущность аналогии и ее виды . 5 3. Аналогия в процессе обучения математике 7 4. Положительная роль аналогии в планиметрии и стереометрии .12 5. Аналогия в теоремах о прямой Эйлера, окружности и сфере .18 6. Применение аналогии при решении задач 22 7. Ошибки, связанные с применением аналогии .23 8. Заключение . .25 9. Список использованной литературы .27 ВВЕДЕНИЕ Широкое применение аналогии в процессе обучения математике является одним из эффективных приемов, способных побудить у учащихся живой интерес к предмету, приобщить их к тому виду деятельности, который называют исследовательским. Кроме того, широкое применение аналогии дает возможность более легкого и прочного усвоения школьниками учебного материала, так как часто обеспечивает мысленный перенос определенной системы знаний и умений от известного объекта к неизвестному (что, кстати говоря, способствует также актуализации знаний). О роли аналогий как в научном познании, так и в процессе обучения говорили многие видные ученые. Так, Кеплер высказал следующее суждение: "Я больше всего дорожу Аналогиями, моими самыми верными учителями. Они знают все секреты Природы, и ими меньше всего следует пренебрегать”. Установление аналогий будет идти успешнее, если у учащихся будет сформировано умение проводить сравнение. Благодаря сравнению объектов, явлений, процессов человек получает возможность мыслить глубже, и его знания становятся более прочными и осмысленными. Сравнение позволяет сформировать у школьников умение находить сходства и различия понятий, процессов, явлений, что активизирует мыслительную деятельногсть и ускоряет процесс умственного развития. Сравнение осуществляется в двух основных формах: сопоставления и противопоставления. Противопоставление направлено на уяснение отличительного в предметах и явлениях при выделении существенных признаков и свойств. Сопоставление направлено на выделение существенных свойств, общих для ряда объектов. Как показывают исследования психологов, ученик осознает различие раньше, чем сходство. По степени полноты различают частичные и полные сравнения. Полное сравнение устанавливает и сходство, и отличие. Частичное сравнение позволяет глубже осознать отличительное в изучаемом учебном материале. Применение аналогии весьма полезно в процессе изучения математики, как и в любой науке вообще. Предметы и явления дейтвительности, - указывал еще Сеченов, - запечатлеваются и воспроизводятся не изолированно друг от друга, а в тесной связи друг с другом, группами или рядами. Аналогия же помогает сопоставлять и противопоставлять понятия математики, а новые сведения, понятия лучше усваиваются тогда, когда они вводятся не во всякой связи с предыдущими, а в сравнении с ними, в установлении сходных и отличительных признаков. Подведем некоторые итоги. Прежде всего отметим, что индукция, дедукция и аналогия, представляя собой основные виды умозаключений, являются прежде всего методами научного исследования, а также весьма эффективными методами обучения математикие. В процессе мышления (и в процессе обучения) индукция, дедукция и аналогия взаимодействуют настолько тесно, что говорить о них раздельно имеет смысл только из соображений их детального изучения.
Единство индуктивных и дедуктивных умозаключений по аналогии отражено и во многих работах по логике, связанных с проблемой классификации умозаключений. С этой точки зрения представляется весьма интересная работа А. И. Уемова, цитатой из которой будет подведен окончательный итог: “Независимо от оснований, оправдывающих переход от посылок к заключению, все выводы можно подразделить на две группы. В одной из них классы предметов, к которым относятся посылки и заключения, совместимы. Более того, один из этих классов является подклассом другого. К этому типу выводов относятся индукция и дедукция, которые можно определить следующим образом: а) дедукция – умозаключение, вывод которого относится к предметам, не выходящим за рамки того класса вещей, о котором шла речь в посылках; б) индукция – умозаключение, вывод которого относится к большему кругу предметов, чем тот, о котором говорится в посылках. В другом типе выводов предметы, к которым относятся посылки и заключение, различны. Именно таков характер выводов по аналогии. Таким образом, можно дать следующее определение: в) аналогия – умозаключение, в котором заключение относится к другому предмету, чем тот, о котором говорится в посылке”. Выводы в умозаключениях по аналогии всегдабывают только вероятны, но это вероятное знание, предположение несет в себе нечто новое. Сама по себе аналогия не дает ответа на вопрос о правильности предноложения,Эта правильность должна проверяться другими средствами. Аналогия важна уже тем, что она наводит нас на догадки, подает мысль о том или ином предположении. Все это очень важно как в развитии науки, так и в обучении математике. Аналогия помогает учащимся находить предположительное решение новых вопросов, учебных проблем и этим спосодствует активизации познавательного процесса, учения школьников, эффективному развитию их самостоятельного продуктивного мышления, математической интуиции. Аналогии, кроме того, являются важнейшем источником ассоциаций, обеспечивающих глубокое и прочное усвоение предмета учащимися. СУЩНОСТЬ АНАЛОГИИ И ЕЕ ВИДЫ Одним из весьма важных типов умозаключений является так называемое традуктивное умозаключение ( лат. raduc io – перемещение ), при котором от двух или нескольких суждений некоторой степени общности переходят к новому суждению той же степени общности. Например, пусть a, b и c – некоторые действительные числа, a>b(первое суждение), b>c(второе суждение). a>c(новое суждение). Как метод исследования традукция заключается в том, что, установив сходство двух объектов в некотором отношении, делают вывод о сходстве тех же объектов и в другом отношении. Важнейшим видом традуктивного умозаключения является аналогия (греч. a alogia – соответствие, сходство). Аналогия – весьма эффективный эвристический инструмент познания. Умозаключение по аналогии можно выразить следующей схемой: Объекты Свойства объектов A a b c d B a b c x Вывод: x=d При умозаключении по аналогии знание, полученное из рассмотрения какого –либо объекта (“модели”), переносится на другой, менее изученный (менее доступный для исследования, менее наглядный и т.
п.) в каком- либо смысле объект. По отношению к конкретным объектам заключения, получаемые по аналогии, носят, вообще говоря, лишь вероятный характер; они являются одним из источников научных гипотез, индуктивных рассуждений и играют важную роль в научных открытиях. Понятно, что не всякое сходство есть аналогия. Сравнивая девушку с цветком, поэт имеет ввиду определенное сходство образов красивой девушки и цветка; он далек от проведения аналогии между ними. Наиболее глубоким видом аналогии, приводящим к совершенно достоверным выводам, является изоморфизм. Установив изоморфность двух или нескольких систем объектов, мы можем перенести любое предложение, справедливое для одной из этих систем, на другую систему объектов, изоморфных изученной. Ярким примером служит аналитическая геометрия, в которой изучению геометрических фигур и их свойств сводится к изучению определенных аналитических соотношений над числовыми объектами. Аналогия различается на: 1. Простую аналогию, при которой по сходству объектов в некоторых признаках заключают их сходство в других признаках; 2. Распространенную аналогию, при которой из сходства явлений делают вывод о сходстве причин. В свою очередь, простая и распространенная аналогия может быть: а) строгой аналогией, при которой признаки сравниваемых объектов находятся во взаимной зависимости; б) нестрогой аналогией, при которой признаки сравниваемых объектов не находятся в явной взаимной зависимости. Аналогия является, пожалуй одним из самых распространенных методов научного исследования. Широкое применение аналогий часто приводит исследователя к более или менее правдоподобным предположениям о свойствах изучаемого объекта, которые могут быть затем подтверждены или опровергнуты опытом или более строгими рассуждениями. Таким образом, имеет смысл говорить о “полезной” и о “вредной” аналогии. Примером “полезной аналогии” является, в частности, мысленный перенос многих понятий и суждений, относящихся к планиметрии, в геометрию трехмерного пространства. Например: “Прямоугольник аналогичен прямоугольному параллелепипеду. В самом деле, отношения между сторонами прямоугольника сходны с отношениями между гранями параллелепипеда: Каждая сторона прямоугольника параллельна и равна одной другой стороне и перпендикулярна остальным. Каждая грань прямоугольного параллелепипеда параллельна и равна одной другой грани и перпендикулярна остальным” Заметим, что не менее явная аналогия существует и между площадью прямоугольника и объемом прямоугольного параллелепипеда. Причем эта аналогия проявляется весьма широко, начиная от сходства формул S = a b и V = a b c и кончая сходством в структуре вывода этих формул (распадающегося на случаи, когда измерения названных фигур выражаются натуральными, положительными рациональными и действительными числами). В качестве примера “вредной аналогии” можно привести перенос известных законов сложения конечных сумм на бесконечные. Вот к каким результатам можно придти, если, в частности, применить эту аналогию при нахождении суммы ряда S = 1 – 1 1 – 1 1 – 1 : a) используя свойство прибавления разности, получим: S = (1 –1) (1 – 1) (1 – 1) = 0 0 0 = 0 б) используя свойство вычитания разности, получим: S = 1 – (1 – 1) – (1 – 1) – (1 – 1) = 1 – 0 – 0 – 0 - = 1 в) используя сочетательное свойство для алгебраической суммы, имеем: S = 1 – (1 – 1 1 - ), или S = 1 – S, откуда 2S = 1 и S = Ѕ Понятно, что примененная здесь аналогия является незаконной; слишком глубокое качественное различие между конечным и бесконечным в математике уменьшает число аналогичных свойств, присущих тому и другому.
Рано, по-видимому, зародилось в Ломоносове сознание необходимости "науки", знания. "Вратами учености" для него делаются откуда-то добытые им книги: "Грамматика" Смотрицкого, "Арифметика" Магницкого, "Стихотворная Псалтырь" Симеона Полоцкого. В Москву Ломоносов ушел с ведома отца; один из местных крестьян поручился даже во взносе за него податей; но, по-видимому, отец отпустил его лишь на короткое время, почему он потом и числился "в бегах". В "Спасские школы", то есть в Московскую славяно-греко-латинскую академию, Ломоносов вступил в 1731 г. и пробыл там около 5 лет. Из дошедшего до нас письма Ломоносова к И.И. Шувалову видно, какие физические лишения, какую душевную борьбу пришлось выдержать Ломоносову за время пребывания его в академии. В научном отношении оно принесло ему немалую пользу: он не только приобрел вкус вообще к научным занятиям, но изучил латинский язык, ознакомился и вообще с тогдашней "наукой", хотя и в обычной для того времени схоластической форме разных "пиитик", "риторик" и "философий". Другим счастливым фактом ранней жизни Ломоносова был вызов со стороны Академии Наук 12 способных учеников "Спасских школ". В 1736 г. трое из них, в том числе Ломоносов, были отправлены Академией Наук в Германию, для обучения математике, физике, философии, химии и металлургии
2. Что такое аналогия и ее значимость в нашей жизни
5. Что такое разруха? (По памфлету М. А. Булгакова "Собачье сердце")
10. Что такое конфликт? Природа, типы и функции
11. Старая пластинка: Что такое цифровой звук и реставрация звука с помощью цифровой обработки
13. Что такое свобода личности и в чем смысл жизни?
15. Что такое «устойчивое развитие» для Украины?
18. Что такое книжная иллюстрация
20. Что такое аниме?
21. Что такое любовь в представлении леди Макбет?
25. Что такое орбита
28. Что такое эвтаназия? Традиционные представления об эвтаназии
29. Что такое остеохондроз и в чем таится опасность?
30. Что такое метаболический синдром
31. Что такое эрозия шейки матки?
33. Что такое POS?
34. Что такое маркетинговый план?
37. Что такое "местное самоуправление"?
42. Мудрость тела или Что такое Прикладная Кинезиология?
43. Что такое Bluetooth Маркетинг?
44. Что такое пол?
45. Что такое цивилизация? История возникновения данного понятия
46. Физическое здоровье человека. Что такое максимально потребление кислорода?
48. Что такое материя. История возникновения взгляда на материю
51. Что такое свет и как он распространяется
52. Что такое экологический менеджмент?
53. Что такое естественная тайга?
57. Что такое абсурд, или по следам Мартина Эсслина
58. Что такое фелинологическое образование, или как стать инструктором-фелинологом
59. Что такое жизнь с точки зрения физической химии
60. Уроки природоведения. Что такое карта
61. Как разобраться в китайских пластинах и что такое NP-1
62. Что такое информационная модель, и какие бывают информационные структуры
63. Что такое РНР
64. Что такое API ?
66. Астрономия. Что такое астрономия?
67. Что такое угри и угревая болезнь
68. Что такое целлюлит и как с ним бороться
74. Что такое иммунитет и как его повысить?
75. Что такое COM - современный взгляд
76. Что такое электронный словарь
77. Что такое КВН
78. Что такое любовь
79. Что такое психологическое консультирование
82. Философия искусства. Что такое красота? Философия от Гегеля до Ницше (ХІХ век)
84. Что такое достопримечательные деревья?
85. Проблемы русской национальной школы и изучения русской математики
89. Изучение функций в школьном курсе математики VII-VIII классов
90. Место интенсивной методики в системе обучения иностранному языку в средней школе ([Курсовая])
91. Методы изучения музыкальных произведений крупной формы в старших классах общеобразовательной школы
92. Изучение функций в школьном курсе математики VII-VIII классов
93. Умозаключения по аналогии в математике и физике
94. Все формулы по математике в школе
96. Использование графического метода при изучении электрического резонанса в курсе физики средней школы
97. Методика изучения синтаксиса сложного предложения в школе
98. Изучение основ православия в современной русской школе