Место аналогии в обучении математике в школе

Брелок LED "Лампочка" классическая.
Брелок работает в двух автоматических режимах и горит в разных цветовых гаммах. Материал: металл, акрил. Для работы нужны 3 батарейки
131 руб
Раздел: Металлические брелоки

Совок большой.
Длина 21,5 см. Расцветка в ассортименте, без возможности выбора.
21 руб
Раздел: Совки

Забавная пачка "5000 дублей".
Юмор – настоящее богатство! Купюры в пачке выглядят совсем как настоящие, к тому же и банковской лентой перехвачены... Но вглядитесь
60 руб
Раздел: Прочее

СОДЕРЖАНИЕ 1. Введение 2 2. Сущность аналогии и ее виды . 5 3. Аналогия в процессе обучения математике 7 4. Положительная роль аналогии в планиметрии и стереометрии .12 5. Аналогия в теоремах о прямой Эйлера, окружности и сфере .18 6. Применение аналогии при решении задач 22 7. Ошибки, связанные с применением аналогии .23 8. Заключение . .25 9. Список использованной литературы .27 ВВЕДЕНИЕ Широкое применение аналогии в процессе обучения математике является одним из эффективных приемов, способных побудить у учащихся живой интерес к предмету, приобщить их к тому виду деятельности, который называют исследовательским. Кроме того, широкое применение аналогии дает возможность более легкого и прочного усвоения школьниками учебного материала, так как часто обеспечивает мысленный перенос определенной системы знаний и умений от известного объекта к неизвестному (что, кстати говоря, способствует также актуализации знаний). О роли аналогий как в научном познании, так и в процессе обучения говорили многие видные ученые. Так, Кеплер высказал следующее суждение: "Я больше всего дорожу Аналогиями, моими самыми верными учителями. Они знают все секреты Природы, и ими меньше всего следует пренебрегать”. Установление аналогий будет идти успешнее, если у учащихся будет сформировано умение проводить сравнение. Благодаря сравнению объектов, явлений, процессов человек получает возможность мыслить глубже, и его знания становятся более прочными и осмысленными. Сравнение позволяет сформировать у школьников умение находить сходства и различия понятий, процессов, явлений, что активизирует мыслительную деятельногсть и ускоряет процесс умственного развития. Сравнение осуществляется в двух основных формах: сопоставления и противопоставления. Противопоставление направлено на уяснение отличительного в предметах и явлениях при выделении существенных признаков и свойств. Сопоставление направлено на выделение существенных свойств, общих для ряда объектов. Как показывают исследования психологов, ученик осознает различие раньше, чем сходство. По степени полноты различают частичные и полные сравнения. Полное сравнение устанавливает и сходство, и отличие. Частичное сравнение позволяет глубже осознать отличительное в изучаемом учебном материале. Применение аналогии весьма полезно в процессе изучения математики, как и в любой науке вообще. Предметы и явления дейтвительности, - указывал еще Сеченов, - запечатлеваются и воспроизводятся не изолированно друг от друга, а в тесной связи друг с другом, группами или рядами. Аналогия же помогает сопоставлять и противопоставлять понятия математики, а новые сведения, понятия лучше усваиваются тогда, когда они вводятся не во всякой связи с предыдущими, а в сравнении с ними, в установлении сходных и отличительных признаков. Подведем некоторые итоги. Прежде всего отметим, что индукция, дедукция и аналогия, представляя собой основные виды умозаключений, являются прежде всего методами научного исследования, а также весьма эффективными методами обучения математикие. В процессе мышления (и в процессе обучения) индукция, дедукция и аналогия взаимодействуют настолько тесно, что говорить о них раздельно имеет смысл только из соображений их детального изучения.

Единство индуктивных и дедуктивных умозаключений по аналогии отражено и во многих работах по логике, связанных с проблемой классификации умозаключений. С этой точки зрения представляется весьма интересная работа А. И. Уемова, цитатой из которой будет подведен окончательный итог: “Независимо от оснований, оправдывающих переход от посылок к заключению, все выводы можно подразделить на две группы. В одной из них классы предметов, к которым относятся посылки и заключения, совместимы. Более того, один из этих классов является подклассом другого. К этому типу выводов относятся индукция и дедукция, которые можно определить следующим образом: а) дедукция – умозаключение, вывод которого относится к предметам, не выходящим за рамки того класса вещей, о котором шла речь в посылках; б) индукция – умозаключение, вывод которого относится к большему кругу предметов, чем тот, о котором говорится в посылках. В другом типе выводов предметы, к которым относятся посылки и заключение, различны. Именно таков характер выводов по аналогии. Таким образом, можно дать следующее определение: в) аналогия – умозаключение, в котором заключение относится к другому предмету, чем тот, о котором говорится в посылке”. Выводы в умозаключениях по аналогии всегдабывают только вероятны, но это вероятное знание, предположение несет в себе нечто новое. Сама по себе аналогия не дает ответа на вопрос о правильности предноложения,Эта правильность должна проверяться другими средствами. Аналогия важна уже тем, что она наводит нас на догадки, подает мысль о том или ином предположении. Все это очень важно как в развитии науки, так и в обучении математике. Аналогия помогает учащимся находить предположительное решение новых вопросов, учебных проблем и этим спосодствует активизации познавательного процесса, учения школьников, эффективному развитию их самостоятельного продуктивного мышления, математической интуиции. Аналогии, кроме того, являются важнейшем источником ассоциаций, обеспечивающих глубокое и прочное усвоение предмета учащимися. СУЩНОСТЬ АНАЛОГИИ И ЕЕ ВИДЫ Одним из весьма важных типов умозаключений является так называемое традуктивное умозаключение ( лат. raduc io – перемещение ), при котором от двух или нескольких суждений некоторой степени общности переходят к новому суждению той же степени общности. Например, пусть a, b и c – некоторые действительные числа, a>b(первое суждение), b>c(второе суждение). a>c(новое суждение). Как метод исследования традукция заключается в том, что, установив сходство двух объектов в некотором отношении, делают вывод о сходстве тех же объектов и в другом отношении. Важнейшим видом традуктивного умозаключения является аналогия (греч. a alogia – соответствие, сходство). Аналогия – весьма эффективный эвристический инструмент познания. Умозаключение по аналогии можно выразить следующей схемой: Объекты Свойства объектов A a b c d B a b c x Вывод: x=d При умозаключении по аналогии знание, полученное из рассмотрения какого –либо объекта (“модели”), переносится на другой, менее изученный (менее доступный для исследования, менее наглядный и т.

п.) в каком- либо смысле объект. По отношению к конкретным объектам заключения, получаемые по аналогии, носят, вообще говоря, лишь вероятный характер; они являются одним из источников научных гипотез, индуктивных рассуждений и играют важную роль в научных открытиях. Понятно, что не всякое сходство есть аналогия. Сравнивая девушку с цветком, поэт имеет ввиду определенное сходство образов красивой девушки и цветка; он далек от проведения аналогии между ними. Наиболее глубоким видом аналогии, приводящим к совершенно достоверным выводам, является изоморфизм. Установив изоморфность двух или нескольких систем объектов, мы можем перенести любое предложение, справедливое для одной из этих систем, на другую систему объектов, изоморфных изученной. Ярким примером служит аналитическая геометрия, в которой изучению геометрических фигур и их свойств сводится к изучению определенных аналитических соотношений над числовыми объектами. Аналогия различается на: 1. Простую аналогию, при которой по сходству объектов в некоторых признаках заключают их сходство в других признаках; 2. Распространенную аналогию, при которой из сходства явлений делают вывод о сходстве причин. В свою очередь, простая и распространенная аналогия может быть: а) строгой аналогией, при которой признаки сравниваемых объектов находятся во взаимной зависимости; б) нестрогой аналогией, при которой признаки сравниваемых объектов не находятся в явной взаимной зависимости. Аналогия является, пожалуй одним из самых распространенных методов научного исследования. Широкое применение аналогий часто приводит исследователя к более или менее правдоподобным предположениям о свойствах изучаемого объекта, которые могут быть затем подтверждены или опровергнуты опытом или более строгими рассуждениями. Таким образом, имеет смысл говорить о “полезной” и о “вредной” аналогии. Примером “полезной аналогии” является, в частности, мысленный перенос многих понятий и суждений, относящихся к планиметрии, в геометрию трехмерного пространства. Например: “Прямоугольник аналогичен прямоугольному параллелепипеду. В самом деле, отношения между сторонами прямоугольника сходны с отношениями между гранями параллелепипеда: Каждая сторона прямоугольника параллельна и равна одной другой стороне и перпендикулярна остальным. Каждая грань прямоугольного параллелепипеда параллельна и равна одной другой грани и перпендикулярна остальным” Заметим, что не менее явная аналогия существует и между площадью прямоугольника и объемом прямоугольного параллелепипеда. Причем эта аналогия проявляется весьма широко, начиная от сходства формул S = a b и V = a b c и кончая сходством в структуре вывода этих формул (распадающегося на случаи, когда измерения названных фигур выражаются натуральными, положительными рациональными и действительными числами). В качестве примера “вредной аналогии” можно привести перенос известных законов сложения конечных сумм на бесконечные. Вот к каким результатам можно придти, если, в частности, применить эту аналогию при нахождении суммы ряда S = 1 – 1 1 – 1 1 – 1 : a) используя свойство прибавления разности, получим: S = (1 –1) (1 – 1) (1 – 1) = 0 0 0 = 0 б) используя свойство вычитания разности, получим: S = 1 – (1 – 1) – (1 – 1) – (1 – 1) = 1 – 0 – 0 – 0 - = 1 в) используя сочетательное свойство для алгебраической суммы, имеем: S = 1 – (1 – 1 1 - ), или S = 1 – S, откуда 2S = 1 и S = Ѕ Понятно, что примененная здесь аналогия является незаконной; слишком глубокое качественное различие между конечным и бесконечным в математике уменьшает число аналогичных свойств, присущих тому и другому.

Рано, по-видимому, зародилось в Ломоносове сознание необходимости "науки", знания. "Вратами учености" для него делаются откуда-то добытые им книги: "Грамматика" Смотрицкого, "Арифметика" Магницкого, "Стихотворная Псалтырь" Симеона Полоцкого. В Москву Ломоносов ушел с ведома отца; один из местных крестьян поручился даже во взносе за него податей; но, по-видимому, отец отпустил его лишь на короткое время, почему он потом и числился "в бегах". В "Спасские школы", то есть в Московскую славяно-греко-латинскую академию, Ломоносов вступил в 1731 г. и пробыл там около 5 лет. Из дошедшего до нас письма Ломоносова к И.И. Шувалову видно, какие физические лишения, какую душевную борьбу пришлось выдержать Ломоносову за время пребывания его в академии. В научном отношении оно принесло ему немалую пользу: он не только приобрел вкус вообще к научным занятиям, но изучил латинский язык, ознакомился и вообще с тогдашней "наукой", хотя и в обычной для того времени схоластической форме разных "пиитик", "риторик" и "философий". Другим счастливым фактом ранней жизни Ломоносова был вызов со стороны Академии Наук 12 способных учеников "Спасских школ". В 1736 г. трое из них, в том числе Ломоносов, были отправлены Академией Наук в Германию, для обучения математике, физике, философии, химии и металлургии

6. Старая пластинка: Что такое цифровой звук и реставрация звука с помощью цифровой обработки

7. Что такое интернет

8. Что такое информация

Подставка для колец Zoola "Кошка", хром.
Серия стильных и функциональных держателей для украшений от Umbra. Они предназначены как для хранения украшений, так и общего декора
590 руб
Раздел: Подставки для украшений

Набор "Магазин мороженого".
Комплектация: маленькая ложка (2 шт.), шарики мороженого (5 шт.), касса со сканером, рожок для мороженого голубой (2 шт.), рожок для
899 руб
Раздел: Магазины, супермаркеты

Ручка-стилус шариковая "Супер-папа!".
Перед Вами готовый подарок в стильной упаковке — шариковая ручка со стилусом. Она имеет прочный металлический корпус, а надпись нанесена с
415 руб
Раздел: Металлические ручки

22. Что такое "обломовщина"?

23. Что такое речевой акт

24. Что такое проект и как им управлять

Ящик "Профи", 25 литров.
Ящик хозяйственный "Профи" из цветного пластика. Размер: 410х295х312 мм. Объем: 25 литров.
416 руб
Раздел: Более 10 литров

Набор фломастеров (36 цветов).
Яркие цвета. Проветриваемый и защищенный от деформации колпачок. Помогают научиться координировать движения рук. Возраст: от 3 лет.
396 руб
Раздел: Более 24 цветов

Комплект в кроватку Polini "Я и моя мама" (7 предметов, 140х70 см).
Комплект из 7 предметов Polini Я и моя мама рассчитан на детскую кроватку со спальным ложе размером 140х70 см. Европейский дизайн и
5735 руб
Раздел: Комплекты в кроватку

38. Что такое "символизм" и его практическое использование

39. Что такое разум?

40. Что такое эйдетика?

Деревянный конструктор 3 в 1 "Первые сказки", 30 деталей.
Игровые наборы-конструкторы из дерева серии «Сказки» познакомят детей с героями детских сказок, подарят много часов увлекательных
479 руб
Раздел: Деревянные конструкторы

Набор детской складной мебели Ника "Азбука" (КУ1).
Комплект складной. Подходит для кормления, игр и обучения. Поверхность столешницы ламинированная с нанесением ярких познавательных
1467 руб
Раздел: Наборы детской мебели

Жидкое средство для стирки детских вещей "Meine Liebe", 800 мл.
Концентрат абсолютно безопасен для здоровья. Не содержит хлора, фосфатов, ароматизаторов, красителей и других химически агрессивных
320 руб
Раздел: Для стирки детских вещей

54. Что такое банкротство?

55. Что такое классическая политическая экономия

56. Что такое наукоемкий рынок?

Головоломка "Шар-лабиринт 100 шагов-мини".
Это самый маленький из шаров-лабиринтов. Диаметр шара 11,3 см, при этом сам лабиринт насчитывает 100 шагов. Это мини-версия оригинального
365 руб
Раздел: Головоломки

Ежедневник недатированный "Русские художники. Петров-Водкин".
Ежедневник в твердом переплете - стильный аксессуар делового человека, ценящего практичные и качественные вещи. Недатированность страниц
321 руб
Раздел: Ежедневники недатированные

Полка для специй или домашней аптечки.
Удобная полка для хранения специй и лекарств легко собирается и регулируется в соответствии с размерами вашей кухни или ванны. Удобная
704 руб
Раздел: Полки напольные, стеллажи

70. Что такое бурбон

71. Что такое контекстная реклама?

72. Что такое Вальхалла

Компрессор для подкачки шин С-12.
Автокомпрессор — это электрическое устройство, предназначенное для накачивания шин на колесах. В отличие от механического насоса, при
732 руб
Раздел: Насосы, компрессоры автомобильные

Карандаши цветные "Jumbo", трехгранные, 20 цветов + точилка.
Мягкие, но при этом очень прочные карандаши, легко затачиваются и не крошатся. Насыщенные штрихи на бумаге. Не токсичны! В комплекте: 20
514 руб
Раздел: 13-24 цвета

Сито-кружка для муки BE-014/1 "Webber", 800 мл.
Объем: 800 мл. Размеры: Ø10х9,5 см. Материал: высококачественная нержавеющая сталь. Идеально подойдет для просеивания без комочков
318 руб
Раздел: Дуршлаги, сита

86. Роль и место физических методов исследования при изучении некоторых разделов химии высокомолекулярных соединений в школе и в вузе

87. Методы изучения музыкальных произведений крупной формы в старших классах общеобразовательной школы

88. Что же такое математика ?

Набор крепированной бумаги, 10 рулонов.
Крепированная бумага прекрасно подходит для воплощения творческих идей не только детей, но и взрослых. Насыщенный цвет бумаги сделает
359 руб
Раздел: Самоклеящаяся, флуоресцентная, перламутровая и прочие

Настольная семейная игра "Кошки-мышки. Сырная охота".
Четыре маленьких мышонка карабкаются на гигантский сыр и соскальзывают вниз через отверстия. Цель погони - заполучить 5 лакомых кусочков
685 руб
Раздел: Игры на ловкость

Качели детские подвесные (КД 150 ПЛ).
Качели подвесные очень удобны и просты в применении. Легкие дачные подвесные качели. Конструкция из пород дерева с низким содержанием
535 руб
Раздел: Качели