Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Матрицы и определители

Ручка "Помада".
Шариковая ручка в виде тюбика помады. Расцветка корпуса в ассортименте, без возможности выбора!
25 руб
Раздел: Оригинальные ручки
Карабин, 6x60 мм.
Размеры: 6x60 мм. Материал: металл. Упаковка: блистер.
44 руб
Раздел: Карабины для ошейников и поводков
Браслет светоотражающий, самофиксирующийся, желтый.
Изготовлены из влагостойкого и грязестойкого материала, сохраняющего свои свойства в любых погодных условиях. Легкость крепления позволяет
66 руб
Раздел: Прочее

СОДЕРЖАНИЕ Лекция 1. Матрицы 1. Понятие матрицы. Типы матриц 2. Алгебра матриц Лекция 2. Определители 1. Определители квадратной матрицы и их свойства 2. Теоремы Лапласа и аннулирования Лекция 3. Обратная матрица Понятие обратной матрицы. Единственность обратной матрицы 2. Алгоритм построения обратной матрицы. Свойства обратной матрицы 4. Задачи и упражнения Матрицы и действия над ними 4.2.Определители 4.3. Обратная матрица 5. Индивидуальные задания Литература ЛЕКЦИЯ 1.МАТРИЦЫ План Понятие матрицы. Типы матриц. Алгебра матриц. Ключевые понятия Диагональная матрица. Единичная матрица. Нулевая матрица. Симметричная матрица. Согласованность матриц. Транспонирование. Треугольная матрица. 1. ПОНЯТИЕ МАТРИЦЫ. ТИПЫ МАТРИЦ Прямоугольную таблицу А=, состоящую из m строк и столбцов, элементами которой являются действительные числа , где i – номер строки, j - номер столбца на пересечении которых стоит этот элемент, будем называть числовой матрицей порядка mґ и обозначать . Рассмотрим основные типы матриц: 1. Пусть m = , тогда матрица А – квадратная матрица, которая имеет порядок : А = . Элементы образуют главную диагональ, элементы образуют побочную диагональ. Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, кроме, возможно, элементов главной диагонали, равны нулю: А = = diag (). Диагональная, а значит квадратная, матрица называется единичной, если все элементы главной диагонали равны 1: Е = = diag (1, 1, 1, ,1). Заметим, что единичная матрица является матричным аналогом единицы во множестве действительных чисел, а также подчеркнем, что единичная матрица определяется только для квадратных матриц. Приведем примеры единичных матриц: =, =. Квадратные матрицы А = , В = называются верхней и нижней треугольными соответственно. 2. Пусть m = 1, тогда матрица А – матрица-строка, которая имеет вид: 3. Пусть =1, тогда матрица А – матрица-столбец, которая имеет вид: 4.Нулевой матрицей называется матрица порядка mґ , все элементы которой равны 0: 0 = Заметим, что нулевая матрица может быть квадратной, матрицей-строкой или матрицей-столбцом. Нулевая матрица есть матричный аналог нуля во множестве действительных чисел. 5. Матрица называется транспонированной к матрице и обозначается , если ее столбцы являются соответствующими по номеру строками матрицы . Пример. Пусть = , тогда = . Заметим, если матрица А имеет порядок mґ , то транспонированная матрица имеет порядок ґm. 6. Матрица А называется симметричной, если А=А, и кососимметричной, если А = –А. Пример. Исследовать на симметричность матрицы А и В. = , тогда = , следовательно, матрица А – симметричная, так как А = А. В = , тогда = , следовательно, матрица В – кососимметричная, так как В = – В. Заметим, что симметричная и кососимметричная матрицы всегда квадратные. На главной диагонали симметричной матрицы могут стоять любые элементы, а симметрично относительно главной диагонали должны стоять одинаковые элементы, то есть =. На главной диагонали кососимметричной матрицы всегда стоят нули, а симметрично относительно главной диагонали = – . 2. АЛГЕБРА МАТРИЦ Рассмотрим действия над матрицами, но вначале введем несколько новых понятий.

Две матрицы А и В называются матрицами одного порядка, если они имеют одинаковое количество строк и одинаковое количество столбцов. Пример. и – матрицы одного порядка 2ґ3; и – матрицы разных порядков, так как 2ґ3& e;3ґ2. Понятия ″больше″ и ″меньше″ для матриц не определяют. Матрицы А и В называются равными, если они одного порядка mґ , и = , где 1, 2, 3, , m, а j = 1, 2, 3, , . Умножение матрицы на число. Умножение матрицы А на число λ приводит к умножению каждого элемента матрицы на число λ: λА = , λR. Из данного определения следует, что общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы. Пример. Пусть матрица А =, тогда 5А==. Пусть матрица В = = = 5. Свойства умножения матрицы на число: 1) λА = Аλ; 2) (λμ)А = λ(μА) = μ(λА), где λ,μ R; 3) (λА) = λА; 4) 0ּА = 0. Сумма (разность) матриц. Сумма (разность) определяется лишь для матриц одного порядка mґ . Суммой (разностью) двух матриц А и В порядка mґ называется матрица С того же порядка, где = ± ( 1, 2, 3, , m , j = 1, 2, 3, , .). Иными словами, матрица С состоит из элементов, равных сумме (разности) соответствующих элементов матриц А и В. Пример. Найти сумму и разность матриц А и В. = , = , тогда = ==, =–==. Если же = , = , то А ± В не существует, так как матрицы разного порядка. Из данных выше определений следуют свойства суммы матриц: коммутативность А В=В А; ассоциативность (А В) С=А (В С); дистрибутивность к умножению на число λR: λ(А В) = λА λВ; 0 А=А, где 0 – нулевая матрица; А (–А)=0, где (–А) – матрица, противоположная матрице А; (А В)= А В. Произведение матриц. Операция произведения определяется не для всех матриц, а лишь для согласованных. Матрицы А и В называются согласованными, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Так, если , , m& e;k, то матрицы А и В согласованные, так как = , а в обратном порядке матрицы В и А несогласованные, так как m & e; k. Квадратные матрицы согласованы, когда у них одинаковый порядок , причем согласованы как А и В, так и В и А. Если , а , то будут согласованы матрицы А и В, а также матрицы В и А, так как = , m = m. Произведением двух согласованных матриц и А=, В= называется матрица С порядка mґk: =∙, элементы которой вычисляются по формуле: (1, 2, 3, , m , j=1, 2, 3, , k), то есть элемент i –ой строки и j –го столбца матрицы С равен сумме произведений всех элементов i –ой строки матрицы А на соответствующие элементы j –го столбца матрицы В. Пример. Найти произведение матриц А и В. =, =, ∙===. Произведение матриц В∙А не существует, так как матрицы В и А не согласованы: матрица В имеет порядок 2ґ2, а матрица А – порядок 3ґ2. Рассмотрим свойства произведения матриц: 1) некоммутативность: АВ & e; ВА, даже если А и В, и В и А согласованы. Если же АВ = ВА, то матрицы А и В называются коммутирующими (матрицы А и В в этом случае обязательно будут квадратными). Пример 1. = , = ; ==; ==. Очевидно, что & e; . Пример 2. = , = ; = = =; = = = .

Вывод: & e;, хотя матрицы и одного порядка. 2) для любых квадратных матриц единичная матрица Е является коммутирующей к любой матрице А того же порядка, причем в результате получим ту же матрицу А, то есть АЕ = ЕА = А. Пример. =, =; ===; ===. 3) A·0 = 0·A = 0. 4) произведение двух матриц может равняться нулю, при этом матрицы А и В могут быть ненулевыми. Пример. = , = ; = ==. 5) ассоциативность АВС=А(ВС)=(АВ)С: · (· Пример. Имеем матрицы , , ; тогда Аּ(ВּС) = (· (АּВ)ּС= === ==. Таким образом, мы на примере показали, что Аּ(ВּС) = (АּВ)ּС. 6) дистрибутивность относительно сложения: (А В)∙С = АС ВС, А∙(В С)=АВ АС. 7) (А∙В)= В∙А. Пример. =, =, , =. Тогда АВ=∙== = (А∙В)= = В∙А=∙ = ==. Таким образом, (А∙В)= ВА. 8) λ(АּВ) = (λА)ּ В = Аּ (λВ), λ,R. Рассмотрим типовые примеры на выполнение действий над матрицами, то есть требуется найти сумму, разность, произведение (если они существуют) двух матриц А и В. Пример 1. , . Решение. 1) = = =; 2) – ===; 3) произведение не существует, так как матрицы А и В несогласованы, впрочем, не существует и произведения по той же причине. Пример 2. =, =. Решение. 1) суммы матриц, как и их разности, не существует, так как исходные матрицы разного порядка: матрица А имеет порядок 2ґ3, а матрица В – порядок 3ґ1; 2) так как матрицы А и В согласованны, то произведение матриц АּВ существует: ·=·==, произведение матриц ВּА не существует, так как матрицы и несогласованны. Пример 3. =, =. Решение. 1) суммы матриц, как и их разности, не существует, так как исходные матрицы разного порядка: матрица А имеет порядок 3ґ2, а матрица В – порядок 2ґ3; 2) произведение как матриц АּВ, так и ВּА, существует, так как матрицы согласованны, но результатом таких произведений будут матрицы разных порядков: ·=, ·=. ·=·= = = ; ·=·= = = = в данном случае АВ & e; ВА. Пример 4. =, =. Решение. 1) ===, 2) –= ==; 3) произведение как матриц АּВ, так и ВּА, существует, так как матрицы согласованны: ·==·==; ·==·== = & e;, то есть матрицы А и В некоммутирующие. Пример 5. =, =. Решение. 1) ===, 2) –===; 3) произведение как матриц АּВ, так и ВּА, существует, так как матрицы согласованны: ·==·==; ·==·== = = АּВ=ВּА, т. е. данные матрицы коммутирующие. ЛЕКЦИЯ 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ План Определители квадратной матрицы и их свойства. Теоремы Лапласа и аннулирования. Ключевые понятия Алгебраическое дополнение элемента определителя. Минор элемента определителя. Определитель второго порядка. Определитель третьего порядка. Определитель произвольного порядка. Теорема Лапласа. Теорема аннулирования. 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ИХ СВОЙСТВА Пусть А – квадратная матрица порядка : А=. Каждой такой матрице можно поставить в соответствие единственное действительное число, называемое определителем (детерминантом) матрицы и обозначаемое = de A= &Del a;=.

В практических приложениях этот принцип весьма удобен, естествен и плодотворен; но постулирование его как универсального методологического закона приводит к трудностям, проявляющимся прежде всего в виде парадоксов (логики и теории множеств). См. Аксиоматический метод , Метаматематика , Непротиворечивость . Определённый интеграл Определённый интегра'л , одно из основных понятий математического анализа, к которому приводится решение ряда задач геометрии, механики, физики. О. и. является числом, равным пределу сумм особого вида (интегральных сумм), соответствующих функции f (x ) и отрезку [ а , b ]; обозначается . Геометрически О. и. выражает площадь «криволинейной трапеции», ограниченной отрезком [ а , b ] оси Ох , графиком функции f (x ) и ординатами точек графика, имеющих абсциссы а и b . Точное определение и обобщение О. и. см. в статьях Интеграл , Интегральное исчисление . Определитель Определи'тель , детерминант, особого рода математическое выражение, встречающееся в различных областях математики. Пусть дана матрица порядка n , т. е. квадратная таблица, составленная из п 2 элементов (чисел, функций и т. п.):  (1)   (каждый элемент матрицы снабжён двумя индексами: первый указывает номер строки, второй — номер столбца, на пересечении которых находится этот элемент)

1. Матрицы и определители

2. Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

3. Матрицы и определители

4. Turbo Paskal "Операции над матрицами"

5. Модифицированный симплекс-метод с мультипликативным представлением матриц

6. Организационный инструментарий управления проектами (сетевые матрицы, матрица разделения административных задач управления, информационно-технологическая модель)
7. Метод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов
8. Разработка технологического процесса для получения матрицы с удлиненно-продолговатым отверстием

9. Матрица: Философия

10. Определители

11. О некоторых применениях алгебры матриц

12. Два ключевых показателя. Матрица рентабельности как средство управления ассортиментом

13. Матрица нашего сознания

14. Мониторинг исследования тестовых заданий на основе применения коэффициентов связи и корреляционной матрицы

15. Матрица анализа возможностей и угроз

16. Матрица определения приоритетных внешних факторов

Игра "Лопни шар" (арт. DE 0155).
У Вас есть "семейная» игра", в которую по вечерам с удовольствием играют и дети, и взрослые? Если нет, то настольная игра
550 руб
Раздел: Игры на ловкость
Настольная игра "Пакля-рвакля".
Слон - лимон, пират - самокат. Ищите рифмы на картинках. Сочиняйте и фантазируйте! В коробке: 60 карт, правила игры. Количество игроков:
357 руб
Раздел: Карточные игры
Набор мягких кубиков "Предметы".
Кубики помогут вашему малышу в развитии сенсорных способностей (восприятия цвета и формы предметов), а также подвижности пальцев (мелкой
322 руб
Раздел: Прочие

17. Интегралы, дифуры, матрицы

18. Разработка метода формирования маршрутных матриц однородной замкнутой экспоненциальной сети массового обслуживания

19. Ментальная матрица власти и тело государственного сознания в китайской традиции

20. ЛИСП-реализация операций над матрицами

21. Расположение элементов в матрице

22. Генерация матриц
23. Разработка светодиодной матрицы
24. Використання матриці витрат для оцінки ефекту масштабу або охоплення

25. Матрица выбора направлений развития, как средство стратегического планирования

26. Алгебра матриц. Системы линейных уравнений

27. Використання елементарних перетворень для знаходження оберненої матриці

28. Задачи линейной алгебры. Понятие матрицы. Виды матриц. Операции с матрицами. Решение задач на преобразование матриц

29. Изучение матриц

30. Матрицы графов

31. Матрицы, Метод Гаусса

32. Решение матриц

Трусики для девочек Moony, 9-14 кг, 44 штуки.
Дышащий материал отлично испаряет пот, а специальные рассеивающие ячейки эффективно впитывают "детские неожиданности" и
1423 руб
Раздел: Обычные
Держатель балдахина с двойным креплением (в пенале).
Крепление для балдахина состоит из двух полых трубок, которые вставляются одна в другую, верхней спирали для балдахина и двух креплений к
303 руб
Раздел: Балдахины, держатели
Пенал "Радужная коллекция", серый-лайм.
Пенал очень компактен, удобен для хранения и переноски карандашей, ручек, фломастеров, кистей. Без наполнения. Размер: 22x11x6,5 см. 1
475 руб
Раздел: Без наполнения

33. Матрицы

34. SWOT-анализ и построение матрицы McKinsey на примере ОАО

35. Матрица, разработанная ведущей консалтинговой компанией "Бостон консалтинг групп"

36. Разработка матрицы ответственности и полномочий в системе качества предприятия

37. Технологический процесс сборки матрицы штампа холодной объемной штамповки корпуса внутреннего шарнира ВАЗ 2108

38. Водень в шаруватих матрицях


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.