Скачать шпаргалку по геометрии. Рефераты по геометрии. Шпаргалки по методике математики. Шпаргалки по геометрии, алгебре, педагогике, методике математики (ИГПИ)

Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск

Математика

Шпаргалки по геометрии, алгебре, педагогике, методике математики (ИГПИ)

Кольцом называется числ. множ. На котором выполняются три опер-ии: слож, умнож, вычит.Полем наз. Числ множ. На котором выполняются 4 операции: слож, умнож, вычит, деление(кроме деления на 0). Впопрос 1.Система натуральных чисел. Принцип мат. Индукции. Аксиомы Пиано: 1.В cущ. ! элем. a’ непосредст. следующий за а. 2.Для люб- го числа а из сущ-т ! эл-т а’ непосредственно следующий за а. 3. Для люб. элем-та из сущ. не более 1 эл-та за которым непосредственно следует данный эл-т. 4. Пусть М ? и выполн-ся: 1. 1€ М 2. если а€М след-но а’€M тогда М= опр: Любое множество для эл-тов которого установлено отношение ‘непосредственно следовать за’ удавлет-щее аксиомама Пиано наз-ся множеством натуральных чисел. Алгебр-ие операц-и на : 1. Сложение – это алг. опер-я определенная на и обладающая свойствами: 1.(для люб. а) а 1=а’ 2. (для люб. а,b) a b’= (a b)’ (a b-сумма, а,b -слогаемые) Т.Сложение нат. чисел сущ и !. 2. Умножение: 1. для люб а а 1=а 2. для люб а,b a b’=ab a / Умножение нат чисел сущ. и !. Свойства сложения: 1. для люб. а,b^ a b=b a (комут-ть) 2. Длб люб. a,b,c^ (a b) c=a (b c) (ассац-ть) Свойства умнож-я: 1.(Для люб. а,b^ ) ab=ba 2. (для люб. a,b,c ^ ) (ab)c=a(bc) 3.(a,b,c^ ) a(b c)=ab ac Операции вычитания и деления лишь частично выполняются на . Отношение порядка на : На введем отношение ‘ =р q (1), р?q. Заменим в (1) q на р: ?р2, т.к. р2? , р? . Всякое нат-е число >1 либо явл-ся простым, либо м.б. предст-а в виде произв-я простых множ-й =р1 р2 рr, r?1 (1) и (1) явл-ся ! с точностью до порядка следования множ-й. (1) наз-ся разл-м числа на простые множ-ли. Док-во: 1. док-во сущ-я предст-я (1): Если –число простое, то . Пусть - сост-е и р1 его натур-й дел-ль. Как было док-но р1 число простое и можно записать: =р 1, где р? 1. Если 1 число простое, то ; если 1 сост-е, то р2 – его наименьший простой делитель. 1=р2 2, =р1 р2 2. Если 2 сост- е, то рассуждаем аналог. Это можно прод-ть пока не придем к какому-либо s=1. То, что после конечного числа шагов такое s должно получ-ся => из того, что > 1> 2> > s мн-во нат-х чисел, т.е. все эти числа меньше . Итак, через конеч-е число шагов число можно пред-ть в виде (1). 2. Док-во !: Предпол-м, что сущ-т 2 разлож-я числа на простые множ-ли =p1 p2 pr и =q1 q1 qs, где р1, рr, q1, qs простые числа. p1 p2 pr= q1 q2 qs. Нужно показ-ть r=s. Левая часть делит-ся на р1 => на р1 делит-ся и правая часть. Учит-я, что в правой части стоят также простые числа, то по свойству простых чисел р совпадает с одним из них. Пусть р1=q1, тогда после сокращ- я: p2 pr= q2 qs. Аналог. рассуж-я, убеждаемся, что р2 совп-т с одним из множ-й q. Пусть р2=q2, после сокр-я: p3 pr= q3 qs и т.д. Предпол-м, что r?s. Пусть r считать закон-м как только найдено число >?m.Вопрос 3. Кольцо целых чисел. Теорема о делении с остатком. НОД и НОК двух чисел. На вып-ы опер-и “ ” и “ ”, но опер-я “-” вып-ся частично, т.е. ур-е а х=в в не всегда разреш-о. Это одна из причин разширения . При расщ-и одной с- ы чисел до др-й должны вып-ся несколько треб-й: 1) ЄZ. 2) , должны вып- ся в Z, причем рез-ы опер-й для чисел из в и Z должны совп-ть.

3) , - комут-ы, ассоц-ы и связ. дистр-м законом. 4) в Z должна вып-ся опер-я “-”. т.е. ур-е а х=в одноз-о разрешимо в Z для люб-х а,вЄZ. 5) Z должно быть миним. расш-м из всех расш-й мн-ва облад-е св-ми 1-4. Число в делит а, если сущ-т qЄZ, что а=b q. Отношение “b делит а” наз-ют отношением делимости и зап-т b а. Св-ва: 1) (Ґа)(а a). 2) (Ґa,b,c)(a b^b c=>a c). 3) (Ґа)(а 0). 4) (Ґа)(0?a). 5) (Ґа)(1 a^-1 a). 6) a b^b a=> b=±a. 7) (Ґx)(а b=>a b x). 8) Теорема о делении с остатком. Разделить целое число a на bЄZ, это значит найти 2 таких q и rЄZ, что a=b q r (1) 0?r f(x) и g(x) ассоц- ы, f(x)=cg(x), cЄP. 3. g(x) f(x) и ?(x) g(x) => g(x) (f(x)±?(x)). 4. Если f1(x), f2(x), , fk(x) делятся на g(x), для Ґc1, c2, ckЄР, то сумма делится на g(x). 5. Если g(x) f1(x) => f1(x)f2(x) fk(x) делится на g(x). 6. Если f1(x) g(x), f2(x) g(x), fk(x) g(x) => g(x) , i(x), fi(x), gi(x)ЄP и (x) f(x) и g(x) (x), то g(x) f(x). 8. Мн-ны нулевой степени из Р. 9. Мн-ны cf(x), где с?0 и только они будут делителями мн-на f(x) имеюш-ми такую же степень, что и f(x). 10. ҐДелитель f(x), cf(x), c?0 будут делителями и для другого мн-на. Пусть Ґf(x), g(x)ЄP. Общим делителем мн-в f(x), g(x) явл-ся такой мн-н d(x)ЄP, что d(x) f(x) и d(x) g(x). Нод(f(x), g(x)) наз-ся мн-н D(x) такой, что 1. D(x)=ОД(f(x), g(x)), 2. d(x) D(x), где d(x)=ҐОД(f(x), g(x)). Покажем, что НОД сущ-т для Ґмн-в f(x), g(x)ЄP?0. пусть степень f(x) ? степени g(x). Делим f(x) на g(x) с остатком f(x)=g(x)q(x) r1(x). Если r1(x)=0, тогда НОД(f(x), g(x))=q(x). Если r1(x)?0, то степень r1(x)< степени g(x), но >0. Делим g(x) на r1(x) с остатком g(x)=r1(x)q1(x) r2(x). Если r2(x)?0, 0< степень r2(x) < степень r1(x), делим r1(x) на r2(x) с ост-м r1(x)=r2(x)q2(x) r3(x). и т.д. Т.к. степень остатков понижается оставаясь не отриц-й, то через конечное число шагов мы придем к остатку rk(x), на который разделится предыд-й остаток. Этот процесс наз-ся Алгоритмом Евклида. Итак, применяя алгор-м Евкл-а для мн-в f(x) и g(x) мы получили совокупность f(x) = g(x)q(x) r1(x), g(x) = r1(x)q1(x) r2(x), r1(x) = r2(x)q2(x) r3(x) rk-2(x) = rk-1(x)qk-1(x) rk(x), rk-1(x) = rk(x)qk(x) (1). Док-м, что послед-й ?0 остаток rk(x) в алгоритме Евк-а явл-ся НОД. Будем рассм-ть (1) снизу вверх: rk(x) ?k-1(x), rk(x) ?k(x) и ?k(x) ?k-1(x) => rk(x) rk-2(x) , rk(x) rk-2(x) и rk(x) r1(x) => rk(x) g(x), rk(x) r1(x) и rk(x) g(x) => rk(x) f(x). Получим, что rk(x) f(x) и ?k(x) g(x) => ?k(x)= ОД(f(x),g(x)). Покажем, что rk(x)=НОД(f(x), g(x)). Пусть (x) - Ґдругой ОД(f(x), g(x)). Рассм-м (1) сверху вниз: (x) f(x) и (x) g(x) => (x) r1(x), (x) g(x) и (x) r1(x) => (x) r2(x), (x) r1(x) и (x) r2(x) => (x) r3(x) (x) rk-2(x) и (x) rk-1(x) => (x) rk(x). Получили: (x) rk(x)=ОД(f(x), g(x)) => rk(x)=НОД(f(x), g(x)). Итак, мы док-ли, что последний ?0 остаток в алгор-е Евклида явл-ся НОД для мн-в f(x) и g(x). Нетрудно убелиться, что НОД мн-в f(x) и g(x) явл-ся ! с точностью до мн-ля нулевой степени. Действительно, пердположим, что D1(x)=НОД(f(x), g(x)) и D2(x)=НОД(f(x), g(x)). Т.к. D1(x)=НОД(f(x), g(x)) => D2(x) D1(x), а т.к. D2(x)=НОД(f(x), g(x)), то имеем D1(x) D2(x).

Получим: D2(x) D1(x) и D1(x) D2(x) => св-во 2 D1(x)=cD2(x). Алгоритм Евклида показываем, что если f(x) и g(x) имеют оба рац-е коэф-ы или оба действ-е коэф-ы, то и коэф-ы их НОД будут соотв-о или рац-ми, или дейст-ми. Если D(x)=НОД(f(x), g(x)), где f(x), g(x)ЄP, что f(x)?(x) g(x)?(x)=D(x). Обратимся к алгор-у Евклида для мн-на f(x) и g(x): f(x) = g(x)q(x) r1(x), g(x) = r1(x)q1(x) r2(x), r1(x) = r2(x)q2(x) r3(x) rk-2(x) = rk-1(x)qk- 1(x) rk(x), rk-1(x) = rk(x)qk(x). Перепишем все рав-ва алго-а Евклида, кроме послед-го (1). Выразим остаток из каждого равенства r1(x)=f(x)- g(x)q(x), r2(x)=g(x)-r1(x)q1(x), r3(x)=r1(x)-r2(x)q2(x) rk(x)=rk-2(x)-rk- 1(x)qk-1(x) (1). Перепишем первое рав-во (1): r1(x)=f(x) 1 g(x)(-q(x)). Обозначим ?1(x)=1, ?1(x)=-q(x), тогда имеем r1(x)=f(x)?1(x) g(x)?1(x). Теперь второе из (1): r2(x) = g(x)-r1(x)q1(x) = g(x)-(f(x),?1(x) g(x)?1(x)) q1(x) = g(x)-f(x)?1(x)q1(x)-g(x)?1(x)q1(x) = f(x)(-?1(x)q1(x)) g(x)(1-?1(x)q1(x)) = f(x)?2(x) g(x)?2(x). r2(x) = f(x)?2(x) g(x)?2(x). Подставим полученное выражение для r1(x) и r2(x) в выражение для r3(x) из (1). Получим, проделывая аналогичные преобразования r3(x)= f(x)?3(x) g(x)?3(x). и т.д. опускаясь ниже получим rk(x)= f(x)?k(x) g(x)?k(x). Как было док-но выше rk(x) явл-ся НОД мн-в f(x) и g(x) , причем НОД определен с точностью до множ-ля нулевой сиепени. Умножая обе части последнего равенства на с: crk(x)= f(x)(c?k(x)) g(x)(c?k(x)).Вопрос 7. Неприводимые над полем многочлены. Мн-н f(x)ЄP наз-ся неприводимым над полем Р, если он не разлагается в произведение многоч-в положительной степени над полем Р. Мн-н наз-ся приводимым над полем Р, если он разлагается в произведение мн-в положит-й степени. Вопрос приводимости зависит от того поля, над которым мы его рассматриваем. Н-р, 1)f(x)=x2-2 неприводим над полем Q, но приводим над полем R. 2) f(x)=x2 1 неприводим над R, приводим над C. 3)?(x)=x 1 непривд- м ни над одним числовым полем. Над полем ком-х чисел неприво-м только мн-ы 1-й степени. Над полем дейст-х чисел неприводимы мн-ны 1-й степени и квадратный трехчлен, у которого дискр-т эти мн-ны отлич- ся друг от друга множ-м нулевой степени. (Док-во. Т.к. p1(x) - неприводим, то в p1(x) = p2(x)g(x) один из множ-й есть мног-н нулевой степени g(x)=c- co s . Т.о. p1(x) = p2(x)c. Мног-ны p1(x), p2(x) явл-ся ассоциированными.) 2. Ґf(x)ЄP – непривомн-н => либо f(x), p(x) взаимно просты, либо p(x) f(x). (Док-во. Т.к. p(x) неприводимый мн-н, то возм-ы 2 случая:1) НОД(f(x),p(x))=c-co s , тогда f(x), p(x) – взаимно просты. 2) НОД(f(x),p(x))=D(x), где D(x)=cp(x), но тогда т.к. D(x) f(x) => cp(x) f(x) => p(x) f(x)). 3) Если произ-е p(x) f(x)g(x), где p(x), f(x), g(x)ЄP и p(x) – непривод-м над полем P, р(x) f(x) или p(x) g(x). Это св-во можно распрост-ть и на случай произвольного числа множ-й. Теорема. Ґ мн-н f(x)ЄP выше нулевой степени явл-ся неприводимым над полем Р или разлагается в произведение неприводимых мн-в. f(x)=p1(x)p2(x) p (x) ( ), где pi(x) – неприводимые мн-ны над полем Р, i=1,2, , причем это разложение явл-ся ! с точностью до порядка. Док-во. 1) Док-м возможность представления ( ).