Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Геометрия Лобачевского

Ночник-проектор "Звездное небо и планеты", фиолетовый.
Оригинальный светильник - ночник - проектор. Корпус поворачивается от руки. Источник света: 1) Лампочка (от карманных фонариков) 2) Три
330 руб
Раздел: Ночники
Совок №5.
Длина совка: 22 см. Цвет в ассортименте, без возможности выбора.
18 руб
Раздел: Совки
Забавная пачка денег "100 долларов".
Купюры в пачке выглядят совсем как настоящие, к тому же и банковской лентой перехвачены... Но вглядитесь внимательней, и Вы увидите
60 руб
Раздел: Прочее

Выполнили Исаев Андрей, Гурьев Дмитрий «Начала» - величайший памятник деятельности Евклида, в котором он собрал воедино всё то, что сделали его предшественники в области геометрии и «словесной алгебры». Но не только в этом его заслуга. Он также внёс много своего, нового, оригинального. Вплоть до XX в. геометрию в школах преподавали по учебникам, в которые были включены евклидовы «Начала», переведённые и литературно обработанные. Однако не всё написанное Евклидом удовлетворяло живших после него математиков. Великолепной была его попытка дать аксиоматическое изложение геометрии, т.е. сформулировать небольшое количество аксиом, из которых логически выводятся все теоремы геометрии. Список аксиом сразу же подвергся критике, некоторые из них оказались совсем не нужными, например, что «все прямые углы равны между собой». Так называемый пятый постулат Евклида вызвал особые нарекания математиков. Именно эта аксиома, как показала историческое развитие науки, содержала в себе зародыш другой, неевклидовой геометрии. Вот о чём говорится в пятом постулате: Если две прямые a и b образуют при пересечении с третьей прямой внутренние односторонние углы α и β, сумма величин которых меньше двух прямых углов (т.е. меньше 180˚; рис 1), то эти две прямые обязательно пересекаются, причём именно стой стороны от третьей прямой, по которую расположены углы α и β (составляющие вместе не менее 180˚). Данное утверждение заметно сложнее остальных аксиом. Потому-то пятый постулат   часто замеряют на равносильную аксиому параллельности: к данной прямой через данную вне её точку можно провести не более одной параллельной прямой. Вообразим. Что мы взяли две точки А и В на расстоянии 1 м друг от друга и провели через них две прямые a и b, причём так что a образует с прямой АВ равен 89˚59′59″ (рис. 2).   Иначе говоря, сумма двух внутренних односторонних углов α и β всего на одну угловую секунду меньше 180˚. Продолжим прямые α и β, пока они не пересекутся в точке С. В результате получится прямоугольный треугольник АВС, у которого угол А прямой, угол при вершине С равен γ и составляет 1 угловую секунду. Катет АС этого треугольника имеет длину с/ g γ, где с = 1 м. С помощью калькулятора нетрудно подсчитать, что 1/ g γ ≈ 2,06 • 105 . Следовательно, длина катета АС составляем приблизительно 2,06 • 105 = 206 км. Угол в 1 угловую секунду достаточно ощутим (например при астрономических расчётах). Но проверить две указанные выше прямые α и β пересекаются на расстоянии206 км от прямой АВ,  совсем не просто. Ведь изготовить плоский лист бумаги и линейку длиной более 200 км не предоставляется возможным. Использовать оптические приборы? Но тогда надо будет добавить ещё один постулат: свет распространяется по прямой (а это уже физика). А если сумма углов α и β отличается менее чем на 1 угловую секунду? Как видит, пятый постулат Евклида не так уж прост и убедителен. Сложность формулировки пятого постулата и его неубедительность привели к тому, что очень многие математики, жившие после Евклида, старались исключить этот постулат из списка аксиом, т.е

. доказать его как теорему с помощью остальных аксиом Евклида. В «сражениях» с пятым постулатом особенно далеко продвинулись Ламберт, Саккери и Лежандр. Итальянец Саккери рассматривал четырёхугольник с тремя прямыми углами (рис. 3). Четвёртый угол (обозначим его φ) мог быть прямым, тупым или острым. Саккери установил, что гипотеза прямого угла, т.е. утверждение о том, что четвёртый угол φ всегда равен 90º, позволяет доказать пятый постулат. Иначе говоря, гипотеза прямого угла представляет собой новую аксиому, пятому постулату. Гипотезу тупого угла, допускающую существование четырёхугольника, у которого четвёртый угол φ тупой, Саккери отверг при помощи строгого рассуждения. Однако доказать, что гипотеза острого угла неверна не смог ни Саккери, ни его последователи. Неприступная «крепость»  пятого постулата так и осталась неприступной.          Очень интересны исследования французского математика Адриена Мари Лежандра. Но ни одна из них не привела к успеху. Вот краткое описание одной из попыток Лежандра. Пусть a и b – две прямые, перпендикулярны одной и той же третьей прямой и пересекающие её в точках А и В. Эти две прямые a и b не пересекаются. Допустим, что пятый постулат Евклида неверен и через А можно провести ещё одну прямую a′, так же не пересекающую b (рис 4.)   Симметричная ей ( относительно АВ) прямая а″ также не пересекает прямую b. Рассматривая два получающихся острых угла α′ и α″ (симметричных друг другу), Лежандр строго доказывает, что прямая a как при продолжении её вправо, так и при продолжении её влево всё более удаляются от прямой b. Но прямые a и b не могут вести себя подобным образом: если они не пересекаются, то должны находится на ограниченном расстоянии друг от друга на своём протяжении. Не правда ли убедительно? Однако на самом деле это просто другая аксиома: она следует из пятого постулата, и, в свою очередь, из неё вытекает справедливость пятого постулата.        В начале XIX в. в «сражение» вступил русский математик профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский. Он был исключительно талантлив и настойчив. Первое время Лобачевский шёл тем же путём что и его предшественники, т.е. пытался рассуждать от противного. Допустив, что пятый постулат неверен, а остальные аксиомы справедливы, мы рано или поздно придем к противоречию. Этим противоречием он и будет доказан. Итак, допустим, что пятый постулат неверен: через точку А, не принадлежащую прямой b (рис. 5, а), можно провести более чем одну прямую, которая не пересекается с b. Пусть прямые a′ и a″ не пересекаются с b. При  их расположение, как на рисунке, будем поворачивать прямую a′ по часовой стрелке. Тогда найдётся прямая c′, которая «в последний раз» не пересекается с b. Значит, прямые, получившиеся из с′ при повороте по часовой стрелке (на сколь угодно малый угол),будут пересекать прямую b, а прямые, получающиеся из с при малом повороте в обратном направлении, не будут пересекать b. Иначе говоря, среди всех прямых, проходящих через точку А, прямая с′ отделяет пересекающие b прямые от не пересекающих её.

Сама прямая с′ не пересекает b. Такая же картина наблюдается и для прямой с″, симметричной с′  относительно перпендикуляра АР, опущенного на b. Она отделяет пересекающие b от не пересекающих.  Лобачевский называет прямые с′ и с″ параллельными прямой b, причём с′ параллельна b вправо, а с″ параллельна b влево. Остальные прямые, проходящие через точку А и не пересекающая  прямую b ( такие, как a′ и a″ ), именуются расходящимися с прямой b. Далее, обозначим длину отрезка АР через x, а острый угол, образуемый прямой с′ или с″ с прямой АР, - через П(х) (рис. 5,б). Лобачевский вводит эти определения и обозначения, стремясь, со свойственной ему настойчивостью, узнать, что может получиться из его предположения о неверности пятого постулата, и быстрее обнаружить желанное противоречие. На наших чертежах линии изогнуты. Но вы должны понять, что Лобачевский рассуждает именно о прямых линиях. Если отрезок АР мал, то острый угол П(х) близок к 90˚. Когда отрезок совсем мал, то, мы увидим, что прямые с′ и с″ практически сливаются, поскольку угол П(х) очень близок к 90˚(рис. 6).  В целом же, в силу предположения о неверности пятого постулата, приходится изображать линии изогнутыми. И если в дальнейшем будут появляться всё более и более странные вещи, то это только хорошо – мы скорее наткнемся на долгожданное противоречие. Лобачевский доказывает (всё в том же предложении о неверности пятого постулата), что две параллельные прямые неограниченно сближаются друг с другом в сторону параллельности, но в обратном направлении они неограниченно удаляются друг от друга (рис.7,а).  А две расходящиеся прямые имеют единственный общий перпендикуляр, по обе стороны от которого они неограниченно удаляются друг от друга (рис. 7,б). Это очень похоже на то, о чём писал Лежандр, но мы уже знаем, что здесь пока ещё нет никакого противоречия. Затем Лобачевский рассматривает две параллельные прямые b и c и берёт на прямой b движущуюся точку М, удаляющуюся в сторону обратную параллельности (рис. 8).  В каждом положении точки М он восставляет перпендикуляр p к прямой b до его пересечения с прямой с. длина перпендикуляра непрерывно возрастает при движении точки М, и ,когда она попадает в положение Q, длина перпендикуляра становится бесконечной. Точнее говоря, перпендикуляр р, восставленный к прямой b в точке Q, параллелен прямой с (рис. 9,а). Построив прямую с′  симметричную относительно перпендикуляра р, получим три прямые – b, c и c′, которые попарно параллельны друг другу (рис. 9, б). Возникает своеобразный «бесконечный треугольник»: у него каждые две стороны параллельны друг другу, а вершин совсем нет (они как бы находятся в бесконечности; рис. 10). Это уже никак не согласуется с привычными представлениями о расположении прямых линий! Но противоречия и здесь нет. Тогда Лобачевский предпринимает попытку использовать могущество формул. Применяя выведенную им функцию П(х), он получает зависимости, позволяющие по сторонам треугольника вычислять его углы. И оказывается что в любом треугольнике сумма углов меньше 180˚.

Таким образом, правило определения простого числа записывается в виде теоремы Ферма, которая при этом становится доказанной: xn + yn zn , выполняется для целых X, Y, Z только при целых n 2 , а именно: Квадрат цифры числа есть единичное множество простых чисел. 52. Суть теоремы Ферма: Определение силы числа мощностью множества простых чисел. 53. С другой стороны, геометрия теоремы Ферма - взаимоконвертация пространства и времени в решении проблемы квадратуры круга: Проблема квадратуры круга сводится таким образом к проблеме взаимоконвертации квадрата числа в конкретное множество простых чисел, имеющей "внешний вид" знаменитой ленты Мебиуса. Геометрия Евклида (недоказанность пятого постулата - как непосредственное следствие недоопределенности точки, отсутствия рефлексии точки) и геометрия Лобачевского (геометризация цифровой формы числа вне числа) вместе преодолены в геометрии теоремы Ферма. Центральный постулат геометрии теоремы Ферма - постулат точки, раскрываемый формулой единицы. 54. Таким образом, рефлексия следующих операций теории чисел на основе формулы единицы - возведения в степень, извлечения корня - приведет к созданию физической теории управления временем-пространством. 55

1. Геометрия Лобачевского

2. Геометрия Лобачевского

3. Лобачевский и неевклидова геометрия

4. Геометрия

5. Применение двойных интегралов к задачам механики и геометрии

6. Математическая кунсткамера /кое-что из истории геометрии/
7. Формулы и шпоры 10-11 кл. (информатика, геометрия, тригонометрия ...) (Шпаргалка)
8. Великий математик России Николай Иванович Лобачевский

9. Шпаргалка по геометрии и алгебре

10. Экзанаменационные билеты по геометрии за 11 класс

11. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия (шпаргалка)

12. Справочник по геометрии (7-9 класс)

13. Экзаменационные билеты по геометрии (9 класс, шпаргалка)

14. Обобщающее повторение по геометрии /на примере темы "Четырехугольник"/

15. ЛОБАЧЕВСКИЙ Николай Иванович

16. Геометрия физического пространства

Сменный фильтр "Аквафор В-100-5", 2 штуки.
Модуль В100-5 содержит в оптимальном соотношении гранулы кокосового угля, ионообменные смолы и "ноу-хау" АКВАФОР - волокна
379 руб
Раздел: Фильтры для воды
Набор пробок для бутылок "Аристократ".
Набор пробок для бутылок - незаменимый аксессуар для хранения уже открытого вина, коньяка или шампанского. Он герметично закупорит любую
348 руб
Раздел: Аксессуары для вина
Деревянная развивающая игрушка "Торт".
Деревянный торт - игрушка не только интересная, но и полезная. Торт разрезан на 6 кусков. Каждый кусок - это пирамидка, состоящая из 5
807 руб
Раздел: Продукты

17. Дифференциальная геометрия

18. Геометрия физического пространства

19. Некоторые темы геометрии

20. Геометрия

21. Геометрия в пространстве

22. История развития неевклидовой геометрии
23. Лобачевский
24. Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике

25. Методы квантования систем с нелинейной геометрией фазового пространства

26. Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике

27. Геометрия пространства двойной планетной системы: Земля - Луна

28. Алгоритмы инопланетной геометрии

29. Экзаменационные билеты по аналитической геометрии за первый семестр 2001 года

30. План урока геометрии. Тема: векторы в пространстве

31. Самолеты с изменяемой геометрией и стреловидностью крыльев

32. Урок-семінар у 8 класі з геометрії на тему "Перетин прямої і кола" /Укр./

Детский велосипед Jaguar трехколесный (цвет: синий).
Детский трехколесный велосипед колясочного типа, для малышей от 10 месяцев до 3 лет. Модель с удлиненной рамой, что позволяет подобрать
1440 руб
Раздел: Трехколесные
Набор утолщенных фломастеров для декорирования (5 цветов).
Набор фломастеров для декорирования различных поверхностей с металлическим эффектом. Яркие цвета. Проветриваемый и защищенный от
522 руб
Раздел: До 6 цветов
Карандаши цветные "Noris Club. Johanna Basford", 36 цветов.
Количество цветов: 36. Материал корпуса: дерево. Форма корпуса: шестигранный. Твёрдость грифеля: мягкий. Тип карандаша: классический.
837 руб
Раздел: Более 24 цветов

33. Геометрия

34. Аналитическая геометрия

35. Евклид и Лобачевский

36. Универсальная геометрия в природе и архитектуре

37. Билеты по геометрии

38. Увеличение радиуса Земли и геометрия земной коры
39. Особенности создания текстового контента для сайта ННГУ им. Н.И. Лобачевского
40. Геометрия места точек на плоскости

41. Гиперболическая геометрия

42. Дифференциальная геометрия торсов в пространстве 1R4 с псевдоевклидовой касательной плоскостью

43. Использование измерений и решение задач на местности при изучении некоторых тем школьного курса геометрии

44. Нарисна геометрія

45. Векторная алгебра и аналитическая геометрия

46. Учение о параллельности. Открытие неевклидовой геометрии

47. Викладення теми "Трикутники" по програмі курсу геометрії в 7 класі середньої школи

48. Организация процесса повторения в курсе геометрии 7-9 классов

Кран башенный.
Тяжелые колеса из ПВХ играют роль инерционного движителя. Стрела поворачивается, трос наматывается на барабан с трещоткой, человечек
499 руб
Раздел: Подъёмные краны, автокраны
Статуэтка "Мисс кокетливость", 10x9x29 см.
Статуэтка - это отличный вариант подарка. Красивый продуманный дизайн и высокое качество фабричного производства непременно порадуют
1485 руб
Раздел: Миниатюры
Кружка "Вязанная", синяя.
Долгими зимними вечерами, в осеннюю слякоть или весеннюю распутицу приятно согреться кружкой чего-нибудь горячего, особенно, если она тоже
378 руб
Раздел: Кружки

49. Изучение конструкции и геометрии токарных резцов

50. Аналитическая геометрия Декарта и проблемы философии техники

51. Геометрия молекул. Теория ЛЭП. Элементы стереохимии


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.