Проекции точки

Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск

Архитектура

Проекции точки

I `s help you! By aras, S avropol. На местах попуска должны быть рисунки (плоскостей, эпюров и т.п.)ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ.ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ. Сущность метода ортогонального проецирования заключается в том, что предмет проецируется на две взаимно перпендикулярные плоскости лучами, ортогональными (перпендикулярными) к этим плоскостям. Одну из плоскостей проекций H располагают горизонтально, а вторую V — вертикально. Плоскость H называют горизонтальной плоскостью проекций, V — фронтальной. Плоскости H и V бесконечны и непрозрачны. Линия пересечения плоскостей проекций называется осью координат и обозначается OX. Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла — четверти. Рассматривая ортогональные проекции, предполагают, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций. Так как эти плоскости непрозрачны, то видимыми для наблюдателя будут только те точки, линии и фигуры, которые расположены в пределах той же первой четверти. При построении проекций необходимо помнить, что ортогональной проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на эту плоскость. На рисунке показаны точка А и ее ортогональные проекции а1 и а2. Точку а1 называют горизонтальной проекцией точки А, точку а2 — ее фронтальной проекцией. Каждая из них является основанием перпендикуляра, опущенного из точки А соответственно на плоскости H и V. Можно доказать, что проекции точки всегда расположены на прямых, перпендикулярных оси ОХ и пересекающих эту ось в одной и той же точке. Действительно, проецирующие лучи Аа1 и Аа2 определяют плоскость, перпендикулярную плоскостям проекций и линии их пересечения — оси ОХ. Эта плоскость пересекает H и V по прямым а1 аx и а1 аx, которые образуют с осью OX и друг с другом прямые углы с вершиной в точке аx. Справедливо и обратное, т. е. если на плоскостях проекций даны точки a1 и a2, расположенные на прямых, пересекающих ось OX в данной точке под прямым углом, то они являются проекциями некоторой точки А. Эта точка определяется пересечением перпендикуляров, восставленных из точек a1 и a2 к плоскостям H и V. Заметим, что положение плоскостей проекций в пространстве может оказаться иным. Например, обе плоскости, будучи взаимно перпендикулярными, могут быть вертикальными Но и в этом случае доказанное выше предположение об ориентации разноименных проекций точек относительно оси остается справедливым. Чтобы получить плоский чертеж, состоящий из указанных выше проекций, плоскость H совмещают вращением вокруг оси OX с плоскостью V, как показано стрелками на рисунке. В результате передняя полуплоскость H будет совмещена с нижней полуплоскостью V, а задняя полуплоскость H — с верхней полуплоскостью V. Проекционный чертеж, на котором плоскости проекций со всем тем, что на них изображено, совмещены определенным образом одна с другой, называется эпюром (от франц. еpure – чертеж). На рисунке показан эпюр точки А . При таком способе совмещения плоскостей H и V проекции a1 и a2 окажутся расположенными на одном перпендикуляре к оси OX.

При этом расстояние a1ax — от горизонтальной проекции точки до оси OX равно расстоянию от самой точки А до плоскости V, а расстояние a2ax — от фронтальной проекции точки до оси OX равно расстоянию от самой точки А до плоскости H. Прямые линии, соединяющие разноименные проекции точки на эпюре, условимся называть линиями проекционной связи. Положение проекций точек на эпюре зависит от того, в какой четверти находится данная точка. Так, если точка В расположена во второй четверти, то после совмещения плоскостей обе проекции окажутся лежащими над осью OX. Если точка С находится в третьей четверти, то ее горизонтальная проекция после совмещения плоскостей окажется над осью, а фронтальная — под осью OX. Наконец, если точка D расположена в четвертой четверти, то обе проекции ее окажутся под осью OX. На рисунке показаны точки М и , лежащие на плоскостях проекций. При таком положении точка совпадает с одной из своих проекций, другая же проекция ее оказывается лежащей на оси OX. Эта особенность отражена и в обозначении: около той проекции, с которой совпадает сама точка, пишется заглавная буква без индекса. Следует отметить и тот случай, когда обе проекции точки совпадают. Так будет, если точка находится во второй или четвертой четверти на одинаковом расстоянии от плоскостей проекций. Обе проекции совмещаются с самой точкой, если последняя расположена на оси OX. ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ. Выше было показано, что две проекции точки определяют ее положение в пространстве. Так как каждая фигура или тело представляет собой совокупность точек, то можно утверждать, что и две ортогональные проекции предмета (при наличии буквенных обозначений) вполне определяют его форму. Однако в практике изображения строительных конструкций, машин и различных инженерных сооружений возникает необходимость в создании дополнительных проекций. Поступают так с единственной целью — сделать проекционный чертеж более ясным, удобочитаемым. Модель трех плоскостей проекций показана на рисунке. Третья плоскость, перпендикулярная и H и V, обозначается буквой W и называется профильной. Проекции точек на эту плоскость будут также именоваться профильными, а обозначают их заглавными буквами или цифрами с индексом 3 (aз, bз, cз, . 1з, 2з, 33.). Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют три оси: ОX, ОY и ОZ, которые можно рассматривать как систему прямоугольных декартовых координат в пространстве с началом в точке О. Система знаков, указанная на рисунке, соответствует «правой системе» координат. Три плоскости проекций делят пространство на восемь трехгранных углов — это так называемые октанты. Нумерация октантов дана на рисунке. Как и прежде, будем считать, что зритель, рассматривающий предмет, находится в первом октанте. Для получения эпюра плоскости H и W вращают, как показано на рисунке, до совмещения с плоскостью V. В результате вращения передняя полуплоскость H оказывается совмещенной с нижней полуплоскостью V, а задняя полуплоскость H — с верхней полуплоскостью V. При повороте на 90° вокруг оси ОZ передняя полуплоскость W совместится с правой полуплоскостью V, а задняя полуплоскость W — с левой полуплоскостью V.

Окончательный вид всех совмещенных плоскостей проекций дан на рисунке. На этом чертеже оси ОX и ОZ, лежащие в не подвижной плоскости V, изображены только один раз, а ось ОY показана дважды. Объясняется это тем, что, вращаясь с плоскостью H, ось ОY на эпюре совмещается с осью ОZ, а вращаясь вместе с плоскостью W, эта же ось совмещается с осью ОX. В дальнейшем при обозначении осей на эпюре отрицательные полуоси (— ОX, — ОY, — ОZ) указываться не будут.ТРИ КООРДИНАТЫ И ТРИ ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ И ЕЕ РАДИУСА-ВЕКТОРА. Координатами называют числа, которые ставят в соответствие точке для определения ее положения в пространстве или на поверхности. В трехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью прямоугольных декартовых координат х, у и z. Координату х называют абсциссой, у — ординатой и z — аппликатой. Абсцисса х определяет расстояние от данной точки до плоскости W, ордината у — до плоскости V и аппликата z - до плоскости H. Приняв для отсчета координат точки систему, показанную на рисунке, составим таблицу знаков координат во всех восьми октантах. Какая-либо точка пространства А, заданная координатами, будет обозначаться так: A (х, у, z). Если х = 5, y = 4 и z = 6, то запись примет следующий вид А (5, 4, 6). Эта точка А, все координаты которой положительны, находится в первом октанте Координаты точки А являются вместе с тем и координатами ее радиуса-вектора ОА по отношению к началу координат. Если i, j, k — единичные векторы, направленные соответственно вдоль координатных осей х, у, z (рисунок), то ОА = ОAxi ОАyj ОАzk ,где ОАХ, ОАУ, ОАг — координаты вектора ОА Построение изображения самой точки и ее проекций на пространственной модели (рисунок) рекомендуется осуществлять с помощью координатного прямоугольного параллелепипеда. Прежде всего на осях координат от точки О откладывают отрезки, соответственно равные 5, 4 и 6 единицам длины. На этих отрезках ( Оax , Оay , Оaz ), как на ребрах, строят прямоугольный параллелепипед. Вершина его, противоположная началу координат, и будет определять заданную точку А. Легко заметить, что для определения точки А достаточно построить только три ребра параллелепипеда, например Оax , axa1 и a1А или Оay , aya1 и a1A и т. д. Эти ребра образуют координатную ломаную линию, длина каждого звена которой определяется соответствующей координатой точки. Однако построение параллелепипеда позволяет определить не только точку А, но и все три ее ортогональные проекции. Лучами, проецирующими точку на плоскости H, V, W являются те три ребра параллелепипеда, которые пересекаются в точке А. Каждая из ортогональных проекций точки А, будучи расположенной на плоскости, определяется только двумя координатами. Так, горизонтальная проекция a1 определяется координатами х и у, фронтальная проекция a2 — координатами х и z, профильная проекция a3 — координатами у и z. Но две любые проекции определяются тремя координатами. Вот почему задание точки двумя проекциями равносильно заданию точки тремя координатами. На эпюре (рисунок), где все плоскости проекций совмещены, проекции a1 и a2 окажутся на одном перпендикуляре к оси ОX, а проекции a2 и a3 — на одном перпендикуляре к оси OZ.