|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Механические колебания в дифференциальных уравнениях |
Коврик для запекания, силиконовый "Пекарь". 
Пакеты с замком "Extra зиплок" (гриппер), комплект 100 штук (150x200 мм). Механические колебания в дифференциальных уравнениях Реферат Выполнил: студент гр. МХТ-02 Казаков Василий Васильевич Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова Магнитогорск 2003 Колебаниями называются процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например качания маятника часов, переменный электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника изменяется координата центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и сила тока. Физическая природа колебаний может быть разной, однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Рассмотрим механические колебания. Гармонические колебания. Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых изменяющаяся величина изменяется по закону синуса (косинуса). Пусть груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина которой в естественном состоянии равна . Груз слегка оттянут книзу и затем отпущен. Найдем закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха. Решение Направим ось Ох вниз по вертикальной прямой, проходящей через точку подвеса груза. Начало координат О выберем в положении равновесии груз, то есть в точке, в которой вес груза уравновешивается силой натяжения пружины. Пусть l означает удлинение пружины в данный момент, а lст—статическое удлинение, т.е. расстояние от конца нерастянутой пружины до положения равновесия. Тогда l=lст х, или l-lст=х. Дифференциальное уравнение получим из второго закона Ньютона: F=ma, где m=P/g—масса груза а—ускорение движения и F—равнодей-ствующая приложенных к грузу сил. В данном случае равнодействующая слагается из силы натяжения пружины и силы тяжести. По закону Гука сила натяжения пружины пропорциональна её удлинению: Fупр=-сl, где с – постоянный коэффициент пропорциональности называемый жесткостью пружины. Так как в положении равновесия сила равновесия сила натяжения пружины уравновешивается весом тела, то P= сlст. Подставим в дифференциальное уравнение выражение Р и заменим l-lст через х, получится уравнение в виде: или, обозначив с/m через k2, (1) Полученное уравнение определяет так называемые свободные колебания груза. Оно называется уравнением гармонического осциллятора. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение: имеет мнимые корни , соответственно этому общее решение Для выяснения физического смысла решения удобнее привести его к другой форме, введя новые произвольные постоянные. Умножив и разделив на , получим: Если положить то (2) График гармонических колебаний имеет вид: Таким образом, груз совершает гармонические колебания около положения равновесия. Величину А называют амплитудой колебания, а аргумент — фазой колебания. Значение фазы при =o т.e. величина , называется начальной фазой колебания. Величина есть частота колебания. Период колебания и частота k зависят только от жесткости пружины и от массы системы.
Так как с = Р/lст = mg/lст, то для периода можно получить также формулу: Скорость движения груза получается дифференцированием решения по : Для определения амплитуды и начальной фазы необходимо задать начальные условия. Пусть, например, в начальный момент = 0 положение груза x=x0 и скорость u=u0. Тогда , откуда , Из формул для амплитуды и начальной фазы видно, что в отличие от частоты и периода собственных колебаний они зависят от начального состояния системы. При отсутствии начальной скорости (u0=0) амплитуда А=х0, а начальная фаза a=p/2 и, таким образом, или Затухающие колебания. Затухающими колебаниями называются колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшают-ся. Найдем закон движения груза в условиях предыдущей задачи, но с учетом сопротивления воздуха, которое пропорционально скорости движения. Решение К силам, действующим на груз, прибавляется здесь сила сопротивления воздуха (знак минус показывает, что сила R направлена противоположно скорости u). Тогда дифференциальное уравнение движения в проекции на ось Ox имеет вид или если положить , , то (3) Это уравнение также является линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение: имеет корни (4) Характер движения целиком определяется этими корнями. Возможны три различных случая. Рассмотрим сначала случай, когда . Это неравенство имеет место, когда сопротивление среды невелико. Если положить , то корни (4) имеют вид . Тогда общее решение можно записать в виде или, преобразовав, умножая и деля на , получим: положим, что , тогда (5) График зависимости отклонения от положения равновесия от времени имеет вид: Если заданы начальные условия: при = 0, то можно определить А и a. Для этого находим и подставляем = 0 в выражения для и получим систему уравнений Разделелив обе части второго уравнения на соответствующие части первого получим откуда или а Так как то Решение (5) показывает, что имеют место затухающие колебания. Действии-тельно, амплитуда колебания зависит от времени и является монотонно убывающей функцией, причем при . Период затухающих колебаний определяется по формуле Моменты времени, в которые груз получает максимальное отклонение от начала координат (положения равновесия), образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной полупериоду Т/2. Амплитуды затухающих колебаний образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем, равным или . Эта величина называется декрементом затухания и обычно обозначается буквой D. Натуральный логарифм декремента l D = - пТ/2 называется логарифмическим декрементом затухания. Частота колебаний в этом случае меньше, нежели в предыдущем (), но, как и там, не зависит от начального положения груза. Если сопротивление среды велико и , то, положив , получим корни (4) в виде Так как , то оба корня отрицательны. Общее решение уравнения в этом случае имеет вид (6) Отсюда видно, что движение апериодическое и не имеет колебательного характера.
Аналогичный характер будет иметь движение и в случае , когда общее решение имеет вид (7) Легко заметить, что в обоих последних случаях при имеем . Если заданы начальные условия и , то в случае, когда , имеем , а . Решая эту систему относительно и , получим , и, следовательно В случае же, когда , получаем , и следовательно, Вынужденные колебания без учета сопротивления среды. Вынужденными колебаниями называют колебания, вызванные внешней периодической возмущающей силой. Пусть груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина которой в ненагруженном состоянии равна . На груз действует периодическая возмущающая сила где Q и р — постоянные. Найдем закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением среды. Решение Как и для гармонических колебаний, получаем уравнение Полагая, как и прежде, и, кроме того, перепишем уравнение в виде (8) Это—неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, причем однородным уравнением, соответствующим уравнению (8), является (1). Поэтому ; остается найти х. Если предположить, что , то частное решение х, нужно искать в виде , где М и — коэффициенты, подлежащие определению. Итак, Производя вычисления, получаем откуда М=0 и Полученное таким образом частное решение (9) определяет так называемые вынужденные колебания, созданные возмущаю-щей силой . Вынужденные колебания, имеют тот же период, что и возмущающая сила, совпадают с ней по фазе (т. е. имеют одинаковую начальную фазу) при k>p, либо отличаются на p, если k
Интересно, что амплитуда колебаний в общем случае отлична от 1 и зависит от значения у(0) — при у(0)=0 она равна 1 (в нашем случае синусоида начинается со значение у(0)=-1). Подобным осциллятором может быть LC-контур или механический маятник без потерь. Рис. 7.6. Решение дифференциального уравнения идеального осциллятора 7.2.4. Дополнительные примеры решения дифференциальных уравнений второго порядка Ниже представлено решение еще двух дифференциальных уравнений второго порядка в аналитическом виде (de2a): > restart: dsolve(diff(y(x),x$2)-diff(y(x),x)=sin(x),y(x)); у(x) = -½sin(x) + ½cos(x) + ex _C1 + _C2 > de:=m*diff(y(x),x$2)-k*diff(y(x),x); > yx0:=y(0)=0,y(1)=1; ух0:= у(0) = 0, у(1) = 1 > dsolve({de,yx0},y(x)); Ряд примеров на применение дифференциальных уравнений второго порядка при решении практических математических и физических задач вы найдете в главе 11. 7.2.5. Решение систем дифференциальных уравнений Функция dsolve позволяет также решать системы дифференциальных уравнений. Для этого она записывается в виде dsolve(ODE_sys, optional_1, optional_2,...) Здесь ODE_sys — список дифференциальных уравнений, образующих систему, остальные параметры опциональные и задаются по мере необходимости
1. Механические колебания в дифференциальных уравнениях
2. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера
3. Расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера
4. Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов
5. Устойчивость систем дифференциальных уравнений
10. Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов
11. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения
12. Шпоры по дифференциальным уравнениям
13. Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки
14. Решение дифференциального уравнения с последующей аппроксимацией
15. Дифференциальные уравнения I и II порядка
16. Решение систем линейных дифференциальных уравнений пятиточечным методом Адамса – Башфорта
Релаксант-капельки "Спираль большая Эврика". 
Домкрат гидравлический, подкатной, 2 т, 130-315 мм. 
Дождевик Bambola для колясок прогулок с ручкой перекидной, пвх. 17. Методы и алгоритмы компьютерного решения дифференциальных уравнений
19. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
21. Использование дифференциальных уравнений, передаточных и частотных передаточных функций
25. Исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей
26. Матрицы. Дифференциальные уравнения
27. Решение дифференциальных уравнений
28. Решение систем дифференциальных уравнений
30. Анализ дифференциальных уравнений
31. Применение технологии знаково-контекстного обучения во время изложения дифференциальных уравнений
32. Уравнение гармонических колебаний точки в пространстве
Декоративная наклейка-фоторамка, арт. PH-3/3 (CO). 
Кружка фарфоровая "FIFA 2018. Забивака" (белая полоса), 480 мл. 
Гель Calgon "3030723", для cмягчения воды и предотвращения образования накипи, 1500 мл. 33. Великобритания (расширенный вариант реферата 9490)
34. Экономическая сказка-реферат "НДС - вражья морда" или просто "Сказка про НДС"
35. Несколько рефератов по культурологии
36. Реферат по научной монографии А.Н. Троицкого «Александр I и Наполеон» Москва, «Высшая школа»1994 г.
37. Получение уравнения переходного процесса по передаточной функции
41. "Уравнения математической физики", читаемым авторов на факультете "Прикладная математика" в МАИ
42. Решение уравнений, систем уравнений, неравенств графически
43. Построение решения задачи Гурса для телеграфного уравнения методом Римана
44. Решение уравнений в целых числах
45. Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модуль
47. Составление и решение нестандартных уравнений графоаналитическим методом
48. Итерационные методы решения систем линейных уравнений с неединственными коэффициентами
Подгузники "Солнце и Луна. Нежное прикосновение", размер: 2/S (3-6 кг), 70 штук. 
Машинка закаточная (улитка, полуавтомат) "Мещера-1". 
Игра магнитная "Одевашки. Настя". 49. Субъект преступления ("подновлённая" версия реферата 6762)
50. Психология труда (Обзорный реферат по психологии труда)
51. Дифференциальный усилитель
52. Несколько рефератов по Исламу
53. Волны в упругой среде. Волновое уравнение
57. "Камю", "Сартр", "Шопенгауэр", "Ясперс", "Фромм" (Рефераты, доклады по философии)
58. Реферат по информационным системам управления
59. Генезис капитализма в Мексике. Реферат по истории экономики
60. Реферат по книге Н. Цеда Дух самурая - дух Японии
61. Реферат по теме “Человек на войне”
62. Реферат по биографии Виктора Гюго
63. Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени
64. Метод касательных решения нелинейных уравнений
Набор детской посуды "Тачки. Дисней", 3 предмета. 
Доска магнитно-маркерная, А3, 342x484 мм. 
Средство дезинфицирующее "Аламинол 1", 1 литр, концентрат. 65. Применение графиков в решении уравнений
66. Виды тригонометрических уравнений
67. Рациональные уравнения и неравенства
68. Вычисление корней нелинейного уравнения
69. Методы решения уравнений в странах древнего мира
73. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток
74. Решения смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток
75. Уравнения математической физики
76. Численное решение модельного уравнения диссипации, конвекции и кинетики
77. Физика как источник теорем дифференциального исчисления
78. Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модули
79. Решение иррациональных уравнений
80. Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный
Детское удерживающее устройство "Фэст", 15-25 кг (серо-голубой). 
Дырокол на 4 отверстия, малый, черный. 
Именная кружка с надписью "Любимый дедушка". 81. Иррациональные уравнения и неравенства
82. Применение свойств функций для решения уравнений
83. Диагноз и дифференциальный диагноз приобретенных пороков сердца
84. Дифференциальная диагностика климактерия и болезней климактерического периода
85. Дифференциальный диагноз заболеваний суставов
89. Реферат - Социальная медицина (ЗДРАВООХРАНЕНИЕ КАК СОЦИАЛЬНАЯ СИСТЕМА ЧЕЛОВЕЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА)
90. Реферат - Физиология (строение и функции гемоглобина)
92. Лекции - Терапия (Дифференциальный диагноз при шумах сердца)
93. Лекции - Инфекционные болезни (Дифференциально-диагностические критерии)
96. Уравнение Дирака
Игра "Супер Твистер". 
Доска магнитно-маркерная, 90x120 см. 
Соковарка алюминиевая (6 литров). 98. Как написать хороший реферат?
99. Сборник рефератов о конфликтах
Совок большой. 
